2026 年新高考第15 题A 版分类训练
解三角形与三角函数综合
考点
3 年考题
考情分析
解三角形与
三角函数综
合
2025 年新高考Ⅱ卷第15 题
2024 年新高考Ⅰ卷第15 题
2024 年新高考Ⅱ卷第15 题
2023 年新高考Ⅰ卷第17 题
2023 年新高考Ⅱ卷第17 题
解三角形、三角函数大题难度适中，主要考查正弦定理
边角互化、余弦定理、三角形面积公式，同时结合三角
恒等变换、最值求解、取值范围分析等知识点综合命
题，也是高三高考备考冲刺阶段的重点复习内容。可以
预测 2026 年新高考解三角形的命题方向，将继续围绕
正弦定理边角互化、余弦定理、三角形面积公式为核
心，融合三角恒等变换、基本不等式、函数值域求解等
内容展开综合考查，注重对学生数形结合、转化与化归
数学思想的考查。
1.（2025·新高考Ⅱ卷高考真题第15 题）已知函数
．
(1)求
;
(2)设函数
，求
的值域和单调区间．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）直接由题意得
，结合余弦函数的单调性即可得解；
（2）由三角恒等变换得
，由此可得值域，进一步由整体代入法可得
函数
的单调区间.
【解析】（1）由题意
，所以
；
（2）由（1）可知
，
所以
，
所以函数
的值域为
，
令
，解得
，
令
，解得
，
所以函数
的单调递减区间为
，
函数
的单调递增区间为
.
2．（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第15 题）记
内角A、B、C 的对边分别为a，b，c，
已知
，
(1)求B；
(2)若
的面积为
，求c．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出
，最后结合已知
得
的值即可；
（2）首先求出
，然后由正弦定理可将
均用含有的式子表示，结合三角形面积
公式即可列方程求解.
【解析】（1）由余弦定理有
，对比已知
，
可得
，
因为
，所以
，
从而
，
又因为
，即
，
注意到
，
所以
.
（2）由（1）可得
，
，
，从而
，
，
而
，
由正弦定理有
，
从而
，
由三角形面积公式可知，
的面积可表示为
，
由已知
的面积为
，可得
，
所以
.
3.（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第15 题）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
已知
．
(1)求A．
(2)若
，
，求
的周长．
【答案】 (1)
(2)
【分析】（1）根据辅助角公式对条件
进行化简处理即可求解，常规方
法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解
决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出
，然后根据正弦定理算出
即可得出周长.
【解析】（1）由
可得
，即
，
由于
，故
，解得
（2）由题设条件和正弦定理
，
又
，则
，进而
，得到
，
于是
，
，
由正弦定理可得，
，即
，
解得
，
故
的周长为
4. （2023· 新高考Ⅰ卷高考真题第
17
题）已知在
中，
A + B =3C ,2sin ( A −C)=sin B．
（1）求
；
（2）设
，求
边上的高．
【答案】（1）
（2）6
【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求
,再由正弦定理求出
，
根据等面积法求解即可.
【解析】（1）∵A + B =3C，
∴π−C =3C，即
，
又2sin( A −C )=sin B =sin( A +C )，
∴2sin A cosC −2cos A sinC =sin A cosC +cos A sinC，
∴sin A cosC =3cos A sinC，
∴sin A =3cos A，
即tan A =3，所以
，
∴sin A =
3
❑√10 = 3 ❑√10
10
.
（2）由（1）知，cos A =
1
❑√10 =
❑√10
10 ，
由sin B =sin( A +C )=sin A cosC +cos A sinC =
❑√2
2 ( 3 ❑√10
10
+
❑√10
10 )= 2❑√5
5
，
由正弦定理，
，可得b=
5× 2❑√5
5
❑√2
2
=2❑√10，
∴1
2 AB⋅h= 1
2 AB⋅AC ⋅sin A，
∴h=b⋅sin A =2❑√10× 3 ❑√10
10
=6.
5.（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第17 题）记
的内角
的对边分别为
，已
知
的面积为
，
为
中点，且
．
（1）若
，求
；
（2）若
，求
．
【答案】（1）
（2）
.
【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出
，再利用余弦定理求解作答；方法2，
利用三角形面积公式求出
，作出
边上的高，利用直角三角形求解作答.
（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出
即可求解作答；
方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出
即可求解作
答.
【解析】
（1）在
中，因为
为
中点，
，
，
则
，解得
，
在
中，
，由余弦定理得
，
即
，解得
，则
，
，
所以
.
（2）在
中，因为
为
中点，则
，又
，
于是
，即
，解得
，
又
，解得
，而
，于
，
所以
.
1. 余弦定理
公式表达：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC
2. 正弦定理
公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a
sinA =
b
sinB =
c
sinC .
3.推论：在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆半径为R
①a
sinA =
b
sinB =
c
sinC =2 R，
②sinA :sinB:sinC =a:b:c，
③asinB =bsinA，bsinC =csinB，asinC =csinA，
④
a+b+c
sinA + sinB+ sinC =
a+b
sinA + sinB =
a+c
sinA + sinC =
b+c
sinB+ sinC =2 R，
⑤a=2 RsinA，b=2 RsinB，c =2 RsinC（实现边和角的互相转化）
4. 三角形面积公式
（1）S = 1
2 aha=bhb=c hc（2）S = 1
2 absinC = 1
2 bcsinA = 1
2 acsinB
5.（1）三角形内角和定理：
中，
,
A
2 + B
2 + C
2 =
π
2 。
①互补关系：
②互余关系：
6.判断三角形的形状时，经常用到以下结论
①△ABC 为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2；
②△ABC 为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2；
③△ABC 为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2；
④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B 或A＋B＝.
7.中线问题
在
中，
为
的中点，
是底边
的中线.遇到中线问题，常见的处理方法有：
（1）中线的向量表示：
，通过平方进一步转化为数量积问题.
（2）
.
（3）极化恒等式：
.
（4）底边邻补角互补：
，所以
.
（5）底边公共角相等：
,
，
所以
,
.
（6）中线的性质：平分
的面积，
.
8.角平分线问题
在
中，角
的角平分线
交底线于点
.遇到角平分线问题，常见的处理方法有：
（1）在
中，
是角的角平分线，则
；
（2）等面积法:
.
三角函数综合
1.（广东广州市天河区2026 届普通高中毕业班适应性训练（二模））已知函数
f (x)=sin(ωx +φ)的周期为π,ω>0,|φ)<π
2 ，且f(
π
2 )= f(
2π
3 ).
(1)求函数y = f (x)的解析式；
(2)比较f(
11π
8 )与f(
4π
7 )的大小.
【答案】(1)f (x)=sin(2 x +π
3 ) (2)f(
11π
8 )>f(
4π
7 )
【解析】（1）由条件可知，2π
ω =π，得ω=2，
f(
π
2 )= f(
2π
3 )可知，函数f (x)关于直线x =
π
2 + 2π
3
2
= 7π
12
对称，
所以2× 7π
12 +φ =π
2 + k π,k ∈Z，得φ =−2π
3 +k π,k ∈Z,
因为|φ)<π
2 ，所以k =1时，φ=π
3 ，
所以f (x)=sin(2 x +π
3 )；
（2）f(
11π
8 )=sin(2× 11π
8
+π
3 )=sin 37π
12 =sin(3π+π
12)=−sinπ
12，
f(
4π
7 )=sin(2× 4π
7
+π
3 )=sin 31π
21 =sin(π+ 10π
21 )=−sin 10π
21 ，
y =sin x在区间[0,π
2 )单调递增，所以sinπ
12 <sin 10π
21 ，则−sinπ
12 >−sin 10π
21 ，
所以f(
11π
8 )>f(
4π
7 ).
2.（2026 年沈阳市高中三年级教学质量监测（一））
且
(1)求函数
的最小正周期；
(2)将函数
图象上所有的点向左平移
个单位后得到函数
的图象，当
时，求函数
的值域；
(3)说明函数
的图象经过怎样的变换能得到函数
的图象，写出一个变换过
程.
【答案】(1)
(2)
(3)详细见解析
【解析】（1）根据题意知
，
根据正弦函数的周期公式
，
所以
最小正周期为
.
（2）根据“左加右减”的原则，可得
，
已知
，则
，
当
时，
取最大值，最大值为
，
当
时，
取最小值，最小值为
，
所以当
时，函数
的值域为
（3）把
的图象上所有点向右平移
个单位得到
的图象；
再把
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变得到的图象
，
再把
的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的
倍，横坐标不变得到
.
3. （广东省
2026
届普通高中毕业班第二次调研）已知函数
的部分图象如图所示．
（1）求
的解析式；
（2）把
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
，求使
成立的
的取值集合
【答案】(1)
(2)
【
解
析
】
（
1
）
，
由图知，
过点
，即
，则
，
由图得，
，解得
．
所以
．
（2）由题得，
，
由
，得
，则
，
所以
，
解得
，
因此，使
成立的
的取值集合是
4.（浙江金丽衢十二校2026 届高三第一次联考）已知函数
.
(1)求函数
的最小正周期，以及在区间
上的最小值；
(2)在
中，角
所对的边分别为
.若
，
，
，求
的长.
【答案】（1）-1 (2)
【解析】（1）
，
，即
，
最小正周期为
，
当
时，
，
当
时，即
时
取得最小值，
.
（2）
，
，
，即
，
，解得：
，
又
，故
，
，
，
，
，
由余弦定理得：
,
故
.
5.（浙江省温州市2026 届高三上学期期末质量评价）已知函数
的部分图象如图所示，
是图象的
一个最低点，
是图象的一个最高点．
（1）求函数
的解析式；
（2）已知
也是图象的最低点，
是图象与
轴的交点，求
．
【答案】（1）
或
（2）
.
【解析】（1）由最低点
和最高点
可知
，所以
因为
，
所以
，将
代入上式得
所以
或
.
（2）令
，可得
，
，
由最低点
和
得
，
，
，
故
.
6.（湖南名校大联盟2026 届高三月考卷）已知在△ABC中，角A ､B､C的对边分别为
a､b､c，若cos A
cosB = b
a 且sinC =cos A.
(1)求角A ､B､C的大小；
(2)设函数f (x)=sin(2 x + A)+cos(2 x−C
2)，求函数f (x)的单调递减区间.
【答案】(1)A = B =π
6 ,C = 2π
3 (2)[k π+π
6 ,k π+ 2π
3 )(k ∈Z)
【解析】（1）由cos A
cosB = b
a 及正弦定理，可得cos A
cosB =sin B
sin A ，化简得sin2 A =sin2B，
∵A ,B , A + B∈(0,π )，∴2 A ,2B ,2 A +2B∈(0,2π )，
∴2 A =2B或2 A +2B =π，即A = B或A + B =π
2 ，
当A = B时，因sinC =sin(π−2 A)=sin2 A =2sin A cos A =cos A，
又A ,B∈(0, π
2)，cos A不为0，则sin A = 1
2，得A = B =π
6 ,C = 2π
3 ；
当A + B =π
2 时，有sinC =sin(π−π
2 )=sinπ
2 =1=cos A，不合题意；
∴A = B =π
6 ,C = 2π
3 .
（2）由（1）及题设知f (x)=sin(2 x +π
6 )+cos(2 x−π
3 )
=sin(2 x +π
6 )+cos[(2 x +π
6 )−π
2 )=2sin(2 x +π
6 )，
由2k π+π
2 ≤2 x +π
6 ≤2k π+ 3π
2 ，(k ∈Z)解得
k π+π
6 ≤x ≤k π+2π
3 ，(k ∈Z)，
所以f (x)=2sin(2 x +π
6 )的单调递减区间为[k π+π
6 ,k π+ 2π
3 )(k ∈Z).
和向量有关问题
1.（福建厦门大学附属科技中学2026 届高三下学期数学3 月限时训练）已知a,b,c分别为
△ABC的内角A ,B ,C所对的边，a=2且❑√3asinC +acosC =b+c.
(1)求A；
(2)已知D是边BC的中点，求AD的最大值.
【答案】(1)A = π
3
(2)❑√3
【解析】（1）因为❑√3asinC +acosC =b+c，
由正弦定理得：❑√3sin A sinC +sin A cosC =sin B+sinC，
因为sin B =sin ( A +C)=sin A cosC +cos A sinC，
所以❑√3sin A sinC =cos A sinC +sinC，
因为C ∈(0,π)，所以sinC >0，所以❑√3sin A −cos A =1，
所以2sin(A −π
6 )=1，即sin(A −π
6 )= 1
2，
因为A ∈(0,π)，所以−π
6 < A −π
6 < 5π
6 ，所以A −π
6 =π
6 ，所以A =π
3 ．
（2）因为cos A = b
2+c
2−a
2
2bc
= 1
2，a=2，所以b
2+c
2= 4 +bc，
因为D是BC的中点，所以⃗AD = 1
2 (⃗AB+⃗AC)，
所以|⃗AD)
2= 1
4 (|⃗AB)
2+|⃗AC)
2+2⃗AB·⃗AC)
= 1
4 (c
2+b
2+2bc cos A)= 1
4 (b
2+c
2+bc)= 1
4
(2bc + 4)，
因为b
2+c
2≥2bc，所以4 +bc≥2bc，即bc≤4，
所以|⃗AD)
2= 1
4 (2bc + 4)≤1
4 (2×4 + 4)=3，
当且仅当b=c时，等号成立．所以AD的最大值为❑√3．
2.（广东省2026 年1 月普通高等学校招生适应性测试）
中，
，且
．
(1)若
且
，求
的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，且已知
，
，
所以
，代入向量表达式得
，
所以
，
又
，
，
，
所以
，解得
．
（2）由
，得
，
又
，
故
，所以
，
得
，
，
所以
3.(福建泉州市2026 届高中毕业班质量检测（一）)△ABC的内角A ,B ,C所对的边分别为
a,b,c，其面积为S. 已知2S + ❑√3⃗AB⋅⃗AC =0.
(1)求A；
(2)点D满足⃗AD = 4
3⃗AB+ 1
3⃗AC，且CD =2 AD，求b
2+c
2
a
2
.
【答案】(1)A = 2π
3 (2)5
7 .
【解析】（1）因为S = 1
2 bcsin A，⃗AB⋅⃗AC =|⃗AB)⋅|⃗AC)cos A =cbcos A，
2S+ ❑√3⃗AB⋅⃗AC =0，
所以2× 1
2 bcsin A + ❑√3cbcos A =0，即bcsin A + ❑√3bccos A =0，
因为bc≠0，cos A ≠0，所以tan A =−❑√3，
又因为0< A <π，所以A = 2π
3 .
（2）因为⃗AD = 4
3⃗AB+ 1
3⃗AC，⃗CD =⃗AD−⃗AC = 4
3⃗AB+ 1
3⃗AC −⃗AC = 4
3⃗AB−2
3⃗AC.
因为CD =2 AD，所以|⃗CD)=2|⃗AD)，则|⃗CD)
2= 4|⃗AD)
2，
即(
4
3⃗AB−2
3⃗AC)
2
= 4(
4
3⃗AB+ 1
3⃗AC)
2
.
整理得(⃗AB)
2+⃗AB⋅⃗AC =0，即c
2+c⋅bcos A =0，也即c(c−1
2 b)=0.
因为c≠0，所以c−1
2 b=0，即b=2c.
在△ABC中，由余弦定理知，a
2=b
2+c
2−2bc cos A =(2c)
2+c
2−2⋅2c⋅c⋅(−1
2)=7c
2，
所以b
2+c
2
a
2
= (2c)
2+c
2
7c
2
= 5
7 .
角平分线相关
1.（山东济宁市2026 年高考第一次模拟）在△ABC中，内角A ,B ,C所对的边分别为
a,b,c ,∠BAC =120
∘, AD为∠BAC的角平分线，且AD =2.
(1)若sin B =2sinC，求a的大小；
(2)当b+c取得最小值时，求△ABC的面积.
【答案】(1)3 ❑√7 (2)4 ❑√3
【解析】（1）因为sin B =2sinC，由正弦定理得b=2c，
因为∠BAC的角平分线交BC 于点D，所以∠BAD =∠CAD =60°，
由S△ABC = S△ADB+ S△CDA，得
1
2 bcsin∠BAC = 1
2 c⋅ADsin∠BAD+ 1
2 b⋅ADsin∠CAD，
则1
2 ×2×bsin60
°+ 1
2 ×2×c×sin60
°= 1
2 ×bcsin120
°，
即bc =2c +2b，所以c =3,b=6，
在△ABC中，由余弦定理得a
2=b
2+c
2−2accos120°=36+9−2×3×6×(−1
2)=63，
即a= ❑√63=3 ❑√7；
（2）由S△ABC = S△ADB+ S△CDA，
得1
2 bcsin∠BAC = 1
2 c⋅ADsin∠BAD+ 1
2 b⋅ADsin∠CAD，
得1
2 ×2×bsin60
°+ 1
2 ×2×c×sin60
°= 1
2 ×bcsin120
°，
化简得bc =2c +2b，即2
b + 2
c =1，
所以b+c =(b+c)(
2
b + 2
c)=2+ 2b
c + 2c
b +2≥2❑√
2b
c × 2c
b + 4 =8，
当且仅当b=c = 4时等号成立，b+c取得最小值，
此时，△ABC面积为1
2 ×b×c×sin120°= 1
2 ×4×4×
❑√3
2 = 4 ❑√3．
2.（湖北省智学联盟2026 届高三上学期12 月联考）已知点M（sinxcosx,sin2x），N（2,2
❑√3），O 为坐标原点，函数f（x）=⃗OM∙⃗ON
（1）求f（x）的解析式及最小正周期
（2）三角形ABC 中，角A，B，C 所对的边分别a，b，c, AD 为∠BAC 的角平分线，
AB=2AC，BD=2 若f（A）=2❑√3，求△ACD 的面积
【答案】(1)π (2)
❑√3
2 或3
5
【解析】(1)f(x)=2sinxcosx-2❑√3sin2x=sin 2 x+❑√3(1−cos2 x)=❑√3+2sin(2 x−π
3)
∴ f(x)的最小正周期为π
（2） ∵f（A）=2❑√3，∴❑√3+2sin(2 A −π
3)=2❑√3,∴sin(2 A −π
3)=
❑√3
2
∴2A −π
3 =π
3 或2π
3 ∴A=π
3 或π
2
∵AB=2AC,设AC=m，则AB=2m，又∵BD=2·
由角平分线定理得:CD=1 ∴BC=3
当A=π
3 时，由余弦定理得 :m
2+(2m)
2-2·m·2mcos π
3 =3
2 解得：m=❑√3
,S△ACD=1
3 S△ABC=1
3 · 1
2 m·2m·sin π
3 =
❑√3
2
当A=π
2 时，m
2+(2m)
2=3
2，∴m
2=9
5 ，∴,S△ACD=1
3 S△ABC=1
3 m
2
=3
5
∴三角形ABC 的面积为
❑√3
2 或3
5
3.（辽宁省大连市2026 年高三双基模拟考试）已知
与
，点C 与点
在直线
的同侧，且边
与边
相交于点
，
为
中点，
，
，
.
(1)若
平分
，求
；
(2)若
，求
.
【答案】（1）
(2)
【解析】（1）因为
平分
，所以
，
又因为
为
中点，且边
与边
相交于点
，
所以在
中，
是
的平分线且过对边
的中点，
故
是等腰三角形，即
，
在
中，由余弦定理得：
，
，
所以
，
，
则在
中，
，
，
，由余弦定理得：
，解得
，
又因为
，则
，
所以
，
同理，在
中，
，
，
，由余弦定理得：
，
，
所以
.
（2）以
为原点，
所在直线为
轴，垂直于
的直线为
轴建立平面直角坐标系，如
下图所示：
由图可知
坐标为
，
因为
，
，得
坐标为
，
又因为
为
中点，由中点坐标公式得出
点坐标为
，
设
点坐标为
，由
和
，得出
点坐标为
,
所以
，
，
则
，
所以
，
所以
.
面积、周长问题
1.（湖北宜昌市2026 届高三下学期3 月调研）在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别是
a,b,c ,tan(
A
2 −π
4)+tan(
A
2 + π
4)=2❑√3．
(1)求A的值；
(2)若b=2c，a=3，求△ABC的面积．
【答案】(1)π
3 (2)3 ❑√3
2
【解析】（1）因为tan(
A
2 −π
4)+tan(
A
2 + π
4)=
tan A
2 −tan π
4
1+ tan A
2 tan π
4
+
tan A
2 + tan π
4
1−tan A
2 tan π
4
=
tan A
2 −1
1+ tan A
2
+
tan A
2 +1
1−tan A
2
=
4 tan A
2
1−tan
2 A
2
，
且tan(
A
2 −π
4)+tan(
A
2 + π
4)=2❑√3，
所以
4 tan A
2
1−tan
2 A
2
=2❑√3，整理得2❑√3 tan
2 A
2 + 4 tan A
2 −2❑√3=0，
即(2❑√3 tan A
2 −2)(tan A
2 + ❑√3)=0.
所以tan A
2 =
❑√3
3 或tan A
2 =−❑√3.
因为A ∈(0,π )，所以A
2 ∈(0, π
2)，所以tan A
2 >0.
所以tan A
2 =
❑√3
3 ，所以A
2 = π
6 ，A = π
3 .
（2）因为b=2c，a=3，A = π
3 ，
所以由余弦定理b
2+c
2−2bc cos A =a
2，得
4 c
2+c
2−2×2c×c× 1
2 =9，即3c
2=9，c
2=3，所以c = ❑√3.
所以b=2❑√3.
所以△ABC的面积为S△ABC = 1
2 bc sin A = 1
2 ×2❑√3×❑√3×
❑√3
2 = 3 ❑√3
2
.
2.（四川省字节精准教育联盟2025-2026 学年高二下学期3 月阶段检测）在△ABC中，内
角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，bcosC +ccosB =2acosC，sinC =
❑√6
2 sin B.
(1)求B；
(2)若a=2，求△ABC的面积.
【答案】(1)B =π
4 (2)3−❑√3
【解析】（1）因为bcosC +ccosB =2acosC，由正弦定理可得
sin BcosC +sinC cosB =2sin A cosC，
且sin BcosC +sinC cosB =sin (B+C)=sin A，即sin A =2sin A cosC，
又因为A ∈(0,π)，则sin A ≠0，可得cosC = 1
2，
且C ∈(0,π)，所以C =π
3 ；
则sinC =
❑√6
2 sin B =
❑√3
2 ，可得sin B =
❑√2
2 ，
又因为0<B< 2π
3 ，所以B =π
4 .
（2）因为C =π
3 ，B =π
4 ，
则sin A =sin(B+C)=sin BcosC +cos BsinC =
❑√6+ ❑√2
4
，
又因为
a
sin A =
c
sinC ，则c = asinC
sin A =
2×
❑√3
2
❑√6+ ❑√2
4
= ❑√3(❑√6−❑√2)，
所以S△ABC = 1
2 acsin B = 1
2 ×2×❑√3(❑√6−❑√2)×
❑√2
2 =3−❑√3.
3.（贵州省名校协作体2025-2026 学年高三质量监测（二））在△ABC中，内角A、B、C
所对的边分别是a，b，c，且bsin B+C
2
=asin B．
(1)求A；
(2)已知a=2❑√3，sin B+sinC = ❑√3，求△ABC的面积.
【答案】(1)A = π
3 (2)S△ABC =3 ❑√3
【解析】（1）∵bsin B+C
2
=asin B，由正弦定理：
b
sin B =
a
sin A
可得sin Bsin B+C
2
=sin A sin B；而sin B>0，故sin B+C
2
=sin A；
又∵sin A =sin[ π −(B+C )]=sin(B+C )，∴sin B+C
2
=sin(B+C )
∵B+C
2
∈(0, π
2)，(B+C )∈(0,π )，
∵sin B+C
2
=sin(B+C )且B+C
2
≠B+C，
∴B+C
2
+(B+C )= π，
B+C = 2
3 π，∴A = π
3 .
（2）方法1：由正弦定理：
b
sin B =
c
sinC =
a
sin A = 2❑√3
❑√3
2
= 4
∴b+c = 4(sin B+sinC )= 4 ❑√3，
由余弦定理：a
2=b
2+c
2−2bc⋅cos A，
故a
2=(b+c)
2−2bc−2bc⋅1
2 = 48−3bc =12；
解得bc =12由（1）可知A = π
3 ，∴sin A =
❑√3
2 ，
∴S△ABC = 1
2 bc⋅sin A
∴S△ABC = 1
2 bc⋅sin A = 1
2 ×12×
❑√3
2 =3 ❑√3.
方法2：sin B+sinC =sin(π −A −C )+sinC =sin( A +C )+sinC，
∵A = π
3 ，∴sin( A +C )+sinC =sin(
π
3 +C)+sinC =
❑√3
2 cosC + 3
2 sinC，
∴sin B+sinC =
❑√3
2 cosC + 3
2 sinC = ❑√3sin(C + π
6)= ❑√3得sin(C + π
6)=1，
∵C ∈(0, 2
3 π)，
∴C + π
6 ∈(
π
6 , 5
6 π)，∴C + π
6 = π
2 ,C = π
3 ，
∴B = π −A −C = π −π
3 −π
3 = π
3 ，即A = B =C = π
3 ，
△ABC等边三角形，a=b=c =2❑√3
∴S△ABC = 1
2 bc sin A = 1
2 ×2❑√3×2❑√3×
❑√3
2 =3 ❑√3.
4.（Z20 名校联盟2026 届高三第二次联考）在ΔABC 中，角A，B，C 对应边分别是a，b，
c.已知a，b，c 成等差数列，且3sinA=2sinC
（1）求cosA 的值；
（2）若ΔABC 的外接圆半径为4 ❑√7
7
，求ΔABC 的面积。
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由
成等差数列知
，又
得
，
于
是
，
设
，
则
，
所
以
.
（2）由（1）知
，
由
得
，所以
,
所以
的面积
.
5.（湖南省联考2025-2026 学年高三上学期期末）在∆ABC中，内角A，B，C所对的边
分别为a，b，c，已知c
2−a
2=bc。
（1）证明：2C = A + π；
（2）若∆ABC的面积为2+2❑√3，A = π
6 ，求b。
【答案】（1）证明见详解 (2)4
【解析】（1）由余弦定理得c
2=a
2+b
2−2abcosC，
又c
2−a
2=bc，所以b
2-2abcosC=bc，于是b-2acosC=c，
由正弦定理得sinB−2sinAcosC = sinC，
再结合sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA，
可得sinC=sinCcosA-sinAcosC=sin(C-A)，
由A,C∈(0,π)，知C+C-A=π，即2C=A+π
（2）当A=
π
6 时，2C=
7 π
6 ，C=
7 π
12 ，B=π-A-C=
如图，不妨作CD⊥AB，垂足为D。
设CD = x，则BD = x，AD = ❑√3 x，
由2+23=12x(3x+x)，得x=2，
故b=
+
=2x=4
6.（山东潍坊市2026 届2 月高考模拟）记
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)若点
为
的外心，求
的周长.
【答案】（1）
(2)
【解析】（1）在
中，由
，得
，
所以
，所以
，又
,所以
，
因为
，由正弦定理得
，
由
，则
所以
；
（2）由（1）知
，
因为点
为
的外心，所以
的外接圆半径
，
在
中
，所以
，
所以
，解得
（舍去）或
，
所以
的周长为
.
7.（山东省烟台市2026 届高三下学期高考诊断性测试）已知
的内角
的对边
分别为
，
，且
的面积为
．
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由余弦定理得
，
因为
，所以
.
由三角形面积公式得
，
又因为
，所以
，
所以
，
因为
，所以
.
（2）由（1）知，
，得
，
而
，得
，又
，
得
为等边三角形，得
，
故
.
8.（山东省名校考试联盟2026 届高三下学期2 月份核心素养评估）在
中，
，点
在
延长线上，
．
（1）求
；
（2）若
的面积为
，求线段
的长度．
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）因为
，如下图：
设
，则
，可得
，
所以
，.
设
，则
，
在
中，由正弦定理得，
，则
，
因为
，所以
，
所以
.
（2 ）方法一：由（1 ）知，
，则
，所以
.
在
中，由余弦定理得，
所以
．
方法二：由（1）知，
，则
，所以
，.
所以
，在
中，由勾股定理得
．
9.（河南省郑州市2026 届高三上学期第一次质量预测）已知
的三个内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
，
，
.
(1)求角
；
(2)若
为锐角三角形，且
，求
的面积.
【答案】(1)
或
(2)
【解析】（1）在
中，由
得
，
，
，
，
，
又
，
，
，
，
由正弦定理得
或
，
，
，两个解均符合题意.
（2）因为
为锐角三角形，所以
，
，
，
是
的重心，
，
所以
的面积为
.
取值范围问题
1.（山东淄博市2025-2026 学年高三下学期模拟）已知锐角△ABC的三个内角A，B，C
所对的边分别为a，b，c，且满足acosB+bcos A = 2
❑√3 csinC.
(1)求角C；
(2)求sin A +sin B+sinC的取值范围.
【答案】(1)C =π
3 (2)(
3+ ❑√3
2
, 3 ❑√3
2 )
【解析】（1）由正弦定理，a=2 R sin A，b=2 R sin B，c =2 R sinC可得：
acos B+bcos A =2 R(sin A cos B+sin Bcos A )=2 R sin( A + B)=2 R sin(π−C ) ，
又acosB+bcos A = 2
❑√3 csinC，
所以2 R sin(π−C )=2 R sinC = 2
❑√3 ×2 R sinC ⋅sinC，因为sinC ≠0，
化简可得：sinC =
❑√3
2 ，
因为△ABC是锐角三角形，C ∈(0,π
2 )，
故C =π
3 ；
（2）由C =π
3 得A + B = 2π
3 ，即B = 2π
3 −A，
因为△ABC是锐角三角形，所以{
0<B = 2π
3 −A <π
2
0< A <π
2
)
¿
¿
，
解得π
6 < A <π
2 ，
sin A +sin B+sinC =sin A +sin(
2π
3 −A)+
❑√3
2
=sin A +
❑√3
2 cos A + 1
2 sin A +
❑√3
2 = 3
2 sin A +
❑√3
2 cos A +
❑√3
2 = ❑√3sin(A +π
6 )+
❑√3
2
由A ∈(
π
6 ,π
2 )得A +π
6 ∈(
π
3 , 2π
3 )，
故sin(A +π
6 )∈(
❑√3
2 ,1)，
代入得： 3+ ❑√3
2
<❑√3sin(A +π
6 )+
❑√3
2 ≤3 ❑√3
2
，
因此sin A +sin B+sinC的取值范围为(
3+ ❑√3
2
, 3 ❑√3
2 ).
2.（九师联盟2025-2026 学年高三上学期第五次质量检测（1 月））记
的内角A、
B、C 的对边分别是a，b，c，已知
，B 为锐角．
(1)求角B 的大小；
(2)若
，求
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，
所以
，
即
．
因为
，所以
，
，又已知
，所以
．
（2）方法一：在
中，由余弦定理得
，
又因为
，
，所以
，
所以
，即
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的面积
，即
的面积的最大值为
．
方法二：由
，
及正弦定理，得
，
所以
，
，
所以
的面积
，
因为
，所以
，
当
，即
时，
取得最大值1，
取得最大值
，
即
面积的最大值为
．
3.（甘肃省2026 届高三第一次模拟考试）如图，△ABC中，角A ,B ,C的对边分别为
a,b,c ,C =π
3 ,a=3b.
(1)求tan B；
(2)若⃗BC = λ⃗CD (λ>0)，求sin∠ADC +sin∠CAD的取值范围.
【答案】(1)
❑√3
5 (2)(
❑√3
2 ,1)
【解析】（1）因为a=3b，所以sin A
sin B = a
b =3，
又因为C =π
3 ，所以sin(
π
3 + B)
sin B
=3，
化简得
❑√3
2 cosB+ 1
2 sin B
sin B
=3，即
❑√3
2tan B = 5
2，解得tan B =
❑√3
5 ；
（2）因为⃗BC = λ⃗CD (λ>0)，
所以D在BC的延长线上，
如图，故∠ADC +∠CAD =π
3 ，
所以sin∠ADC +sin∠CAD =sin∠ADC +sin(
π
3 −∠ADC)
=sin∠ADC +
❑√3
2 cos∠ADC −1
2 sin∠ADC = 1
2 sin∠ADC +
❑√3
2 cos∠ADC
=sin(∠ADC +π
3 ).
因为∠ADC ∈(0,π
3 )，所以∠ADC +π
3 ∈(
π
3 , 2π
3 )，
解得sin(∠ADC +π
3 )∈(
❑√3
2 ,1)，
所以sin∠ADC +sin∠CAD的取值范围为(
❑√3
2 ,1).
4.（黑龙江齐齐哈尔市2026 届高三第一次模拟）在锐角△ABC中，角A ,B ,C所对的边分
别是a,b,c，且a+c =2bsin(C +π
6 ).
(1)求B；
(2)求a
2−2b
2
c
2
的最大值.
【答案】(1)B =π
3 (2)−1
【解析】（1）因为a+c =2bsin(C +π
6 )，
由正弦定理可得sin A +sinC =2sin Bsin(C +π
6 )= ❑√3sin BsinC +sin BcosC，
在△ABC中，sin A =sin(B+C)=sin BcosC +cosBsinC，
代入整理可得cosBsinC +sinC = ❑√3sin BsinC，
又C ∈(0,π
2 )，则sinC >0，可得❑√3sin B−cosB =1，即sin(B−π
6 )= 1
2，
又B∈(0,π
2 )，则B−π
6 ∈(−π
6 ,π
3 )，则B−π
6 =π
6 ，可得B =π
3 .
（2）由余弦定理可得a
2−2b
2
c
2
= a
2−2(a
2+c
2−2ac cos B)
c
2
= a
2−2(a
2+c
2−ac)
c
2
=−(
a
c)
2
+2⋅a
c −2=−(
a
c −1)
2
−1.
因为△ABC为锐角三角形，且B =π
3 ，所以C ∈(
π
6 ,π
2 )，A =2π
3 −C，
所以a
c = sin A
sinC =
sin(
2π
3 −C)
sinC
=
❑√3
2 cosC + 1
2 sinC
sinC
=
❑√3
2tanC + 1
2.
由C ∈(
π
6 ,π
2 )，所以tanC >
❑√3
3 ，所以
❑√3
2tanC + 1
2 ∈(
1
2 ,2)，即a
c ∈(
1
2 ,2).
所以当a
c =1，即a=c时，即ABC为等边三角形时，a
2−2b
2
c
2
取得最大值−1.
5.（安徽省合肥市2026 届高三教学检测）记
的内角
的对边分别为
，已
知
．
(1)证明：
；
(2)求内角
的最大值．
【答案】（1）证明见详解 (2)
【解析】（1）证明：因为
，
所以由题得
，即
，
由余弦定理可得
，所以
．
（2）由（1）知
，所以
，
所以
，
当且仅当
即
时等号成立，
所以
的最小值为
，
，
所以内角
的最大值为
．
6.（湖北省部分市州2026 届高三上学期1 月联考）记
内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，且外接圆直径为
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）易得
，
由正弦定理得
，
而
，
故
，
易知
，
故
，
即
，
又因为
，
所以
，
所以
，
解得
；
（2）因外接圆直径为
，
则由正弦定理可知
，
故
，
，
因为
是锐角三角形，
所以
，
得
，
，
则
，
所以
，
由对勾函数的性质可知，
在
上单调递减，
故
的取值范围为
.
7.（江苏省镇江市2025-2026 学年高三上学期期中考试）已知△ABC的面积记为S.请在以
下三个条件中，选择一个合适的条件，补充完成下题（只要写序号），并解答该题.
①2a=c +2bcosC；②❑√3⃗AB⋅⃗BC +2S =0；③(a+b+c)(a−b+c)=3ac
△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知__________.
(1)若b=7，c =5，求a；
(2)若△ABC为锐角三角形，b=2，求a+c的取值范围.
【答案】(1)8 (2)(2❑√3,4)
【解析】（1）选①在△ABC中，由2a=c +2bcosC及正弦定理，得
2sin A =sinC +2sin BcosC，
2sin(B+C)=sinC +2sin BcosC，即
2sin BcosC +2cosBsinC =sinC +2sin BcosC，2cosBsinC =sinC，又
sinC >0，
因此cosB = 1
2，又B∈(0,π)，所以B =π
3 .
选②由❑√3⃗AB⋅⃗BC +2S =0，得−❑√3accosB+2⋅1
2 acsin B =0，
因为cosB≠0，所以tan B = ❑√3，又B∈(0,π)，所以B =π
3 .
选③由(a+b+c)(a−b+c)=3ac，得到a
2+c
2−b
2=ac，所以cosB = a
2+c
2−b
2
2ac
= 1
2，又
B∈(0,π)，所以B =π
3 .
根据余弦定理b
2=a
2+c
2−2accosB，得7
2=a
2+5
2−2×a×5×cosπ
3 .即
49=a
2+25−5a，整理得a
2−5a−24 =0.得a=8或a=−3（舍去）.所以a=8.
（2）a= 4 ❑√3
3
sin A，c = 4 ❑√3
3
sinC，
a+c = 4 ❑√3
3
(sin A +sinC)= 4 ❑√3
3 [sin A +sin(
2π
3 −A))，
= 4 ❑√3
3 (
3
2 sin A +
❑√3
2 cos A)= 4(
❑√3
2 sin A + 1
2 cos A)= 4sin(A +π
6 )，
因为△ABC为锐角三角形，所以{
0< A <π
2
0<2π
3
−A <π
2 )
则π
6 < A <π
2 ，
2❑√3<4sin(A +π
6 )≤4，即a+c取值范围为(2❑√3,4).
8.（阜阳市2025—2026 学年度高三教学质量监测）在锐角
中，角
所对的边
分别是
，已知
.
（1）求
；
（2）记
的面积为
，周长为，求
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）由正弦定理得：
，
又
.又
为锐角三角形，
.
（2）由余弦定理可知，
，即
，
.
.
由正弦定理得
，又
，
所以
.
又
，
，可得
，则
.
9.(江苏南京市中华中学2026 届高三模拟预测)△A BC的内角A，B，C的对边分别为a，b，
c，已知(c−2b)cos A + a
2+b
2−c
2
2b
=0.
(1)若a= 4，b+c =8，求△ABC的面积；
(2)若角C为钝角，求c
b的取值范围.
【答案】(1)4 ❑√3 (2)(2,+∞)
【解析】（1）因为(c−2b)cos A + a
2+b
2−c
2
2b
=0，
所以由余弦定理：(c−2b)cos A +acosC =0，
所以由正弦定理(sinC −2sin B)cos A +sin A cosC =0，
又因为sinC cos A +sin A cosC =sin ( A +C)=sin (π −B)=sin B，
所以sin B(1−2cos A )=0，因为0<B<π，所以cos A = 1
2，
因为0< A <π，所以A = π
3 ，
由余弦定理b
2+c
2−bc =16，
因为a= 4，b+c =8，所以(b+c)
2−3bc =16，所以bc =16，
所以△ABC的面积S = 1
2 bc sin A = 1
2 ×16×
❑√3
2 = 4 ❑√3.
（2）因为角C为钝角，所以{
0<B< π
2
2π
3 −B> π
2)
，所以0<B< π
6 ，
因为
b
sin B =
c
sinC ，所以c
b = sinC
sin B ，
代入C = 2π
3 −B得c
b = sinC
sin B =
❑√3
2 cos B+ 1
2 sin B
sin B
=
❑√3
2tan B + 1
2
,
因为0<tan B<
❑√3
3 ，所以
❑√3
2tan B > 3
2，即c
b >2，
所以c
b 的取值范围为(2,+ ∞).
