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“8+3+3”73 分三轮冲刺保分强化训练(5)
(时间：45 分钟分值：73 分)
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2026·山西晋中·模拟预测）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】结合指数函数的单调性，判断“
”和“
”之间的逻辑推理关系，即可判断答案.
【解析】由于
在R 上单调递增，故由
，可得
，则
显然成立；
取
，满足
，但是
，即
不成立，
故“
”是“
”的充分不必要条件.
2．（2026·山东东营·一模）在复平面内，把复数
对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转
，则旋转后的向量
对应的复数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】法一：根据复数与复平面内向量的关系，结合三角函数关系计算即可得；法二：借助复数的三角形
式及其乘法的几何意义计算即可得.
【解析】法一：复数
对应的向量为
，则
，
向量
与
轴正半轴夹角为
，
设该向量绕原点沿顺时针方向旋转
后所得向量坐标为
，
则
，
，
即所得向量坐标为
，故旋转后的向量对应的复数为
；
法二：复数
对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转
后的向量对应的复数为：
.
3．（2026·重庆·一模）已知平面向量
，
满足
，
，则向量
在
方向上的投影向量为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因
，
.
则向量
在
方向上的投影向量为
.
4．（2026·河南南阳·模拟预测）已知角
的终边经过点
，则
（ ）
A．7
B．
C．17
D．
【答案】B
【解题思路】根据三角函数定义得
，再结合二倍角公式得
，
，最
后根据诱导公式化简求值即可.
【解析】因为角
的终边经过点
，
，
所以
，
所以
，
，
所以
.
故选：B
5．（2026·山东·模拟预测）当
时，满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】先由指数函数的单调性确定
，再结合对数函数的图象和性质分两类讨论可得.
【解析】因为
，函数
在
单调递增，所以
.
当
时，因为
，所以
，故不等式不成立；
当
时，函数
在
单调递减，要使不等式成立，只需
，
得
，解得
（
舍去），又因为
，所以
.
故选：B
6．（2026·安徽马鞍山·一模）若
，则
（ ）
A．-56
B．-28
C．28
D．56
【答案】C
【解题思路】根据给定条件，利用换元法及二项式定理求出指定项的系数.
【解析】令
，则原等式化为
，
所以
.
故选：C
7．（2026·山东潍坊·模拟预测）已知双曲线
的右焦点为
，左右顶点分别为
､
为
上一点，且
轴，点
在线段
上，直线
分别交
轴于
两点，
为坐标原点，若
，则
的离心率为（ ）
A．2
B．3
C．
D．
【答案】A
【解题思路】不妨设点
在第一象限，求出点
的方程，再根据
即可求出.
【解析】不妨设点
在第一象限，
由题意得，
，
设
，则
，
故直线
的方程为
，令
，则
，故
；
直线
的方程为
，令
，则
，故
，
因为
，则
，得
，
则
的离心率为
.
故选：A
8．（2026·贵州安顺·一模）已知数列
满足
，
．若对于任意
，都有
成立，则
实数c 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因
，
，且对于任意
，都有
成立，
则
，可得
，
由
可得
，即得
，即
.
又由
及
可得
，则
，
易知
为递增数列，则
，且
，
因函数
在
上为增函数，则
，
由题意可知数列
单调递增且有上界2，故极限存在，设
，则
.
对
取极限得
，即
.
函数
在
上单调递增，故
，解得
，
故实数c 的取值范围是
.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（2026·江苏·一模）已知函数
，
，则下列结论正确的有（ ）
A．曲线
与曲线
存在相同的对称中心
B．曲线
与曲线
存在相同的对称轴
C．曲线
向左平移
个单位得到曲线
D．曲线
与曲线
关于
轴对称
【答案】AC
【解析】选项A，因为
，
令
，
得
，所以
的对称中心为
.
因为
，令
，得
，所以
的对称中心为
.
假设存在相同对称中心，则
，
化简得
，当
时，
，所以存在相同对称中心
，A 正确.
选项B，
：令
，得
，对称轴为
.
：令
，得
，对称轴为
.
假设存在相同对称轴，则
，化简得
，
左边为偶数，右边为奇数，无整数解，所以曲线无相同对称轴，B 错误.
选项C，
，平移
个单位，得：
，C 正确.
选项D，若
与
关于
轴对称，则需满足
.
因为
，而
，
显然
与
不能恒相等，所以两曲线不关于
轴对称，D 错误.
10．（2026·广东佛山·一模）已知正方体
的棱长为2，
为
的中点，
为
上的动点，则下
列说法正确的是（ ）
A．
B．
平面
C．直线
与平面
所成角的正切值为
D．三棱锥
的体积为定值
【答案】AD
【解题思路】对A，利用
判断；对B，平面
即平面
，由
与平面
关系可判断；对
C，直接找到线面角对应的直角三角形，计算边长得到正切值；对D，由
，解题思路动点
到平面
的距离是否为定值，结合
的面积是否为定值判断体积.
【解析】对于A：以
为原点，分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，
则
，
由题意得
，设
，
向量
，
，
故
，A 正确；
对于B：平面
即平面
，直线
过平面内一点
且
不在平面内，直线
与平面相交，不平行，B
错误；
对于C：因为
平面
，则
为
在平面
上的射影，
所以
即直线
与平面
所成角，在
中，
（
是中点），
，故
，C 错误；
对于D：
因为
，
平面
，
平面
，故
平面
，
上所有点到平面
的距离恒为正方体棱长
（定值），
因此
为定值，而
，D 正确.
11．（2026·陕西榆林·一模）已知函数
的定义域为
，其图象是一条连续不断的曲线，且对于任意实数
，
恒有
，若
，则（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
是
的必要不充分条件
D．
的零点个数为3
【答案】ABD
【解题思路】抽象函数的性质，通过取特殊值解决前三个选项，选项D 将抽象函数具体化.
【解析】 对于A，令
，得
，所以
，
再令
，
，得
，所以
，故A 正确；
对于B，首先定义域关于原点对称，其次令
，得
，
即
，所以
是奇函数，故B 正确；
对于C，令
，得
，令
，得
，
所以
，由
，得
，解得
或
，
即
只是解集的一部分，则
是
的充分不必要条件，故C 错误；
对于D，设
，
不难验证
，
所以
，所以
，将
代入，可得
，
所以
，
的零点为0，
，2，故D 正确．
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（2026·广东佛山·一模）记
为等比数列
的前
项和，若
，
，
成等差数列，则等比数列
的公
比为________．
【答案】
【解题思路】设出公比，根据题意得到
，化简得到
，从而求出公比.
【解析】设公比为
，由题意得
，
即
，
所以
，故
，又
，
解得
.
13．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在平面四边形ABCD 中，
，
，
，
，
，则
的面积是______.
【答案】15
【解题思路】利用余弦定理及三角形面积公式求解.
【解析】在
中，由余弦定理得
，
即
，解得
，
，
而
，则
，又
，因此
，
所以
的面积是
.
14．（2025·上海普陀·一模）在
中，
，
，
，
为
边上的一点，且
，现将
沿
边折起，使得点
至点
的位置，且满足平面
平面
，如图所示，则直线
与平面
所成的角的正弦值为___________．
【答案】
【解题思路】由
、
、
得到
为等边三角形，取
的中点
，
的中点
，得到
，从而得到
，由平面
平面
得到
平面
，过
作
的平行线作
为
轴，以
为原点，
为
轴，
为
轴，建系，写坐标，求出
和平面
的法向量
， 设直线
与
平面
所成的角为
，利用数量积求出
即可得解.
【解析】
，
，
，
为等边三角形，
取
的中点
，
的中点
，连接
，则
，
现将
沿
边折起，使得点
至点
的位置，则
，
平面
平面
，平面
平面
，
，
平面
，
过
作
的平行线作为
轴，以
为原点，
为
轴，
为
轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
平面
的法向量为
，
，
设直线
与平面
所成的角为
，
则
，
故直线
与平面
所成的角的正弦值
.
