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小题限时卷 01（A 组+B 组+C 组）
（模式：8+3+3 满分：73分 限时：50分钟）
一、单选题
1．（2024·湖南长沙·模拟预测）在复平面内，若 是虚数单位，复数 与 关于虚轴对称，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的几何意义得答案．
【详解】∵ ，
由复数 与 对应的点关于虚轴对称，
∴ ．
故选：C.
2．（24-25高三上·贵州·阶段练习）下列四个条件中，使 成立的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用赋值法易判断ABC，利用函数 在 上单调递增，可判断D.
【详解】对于A，由 ，得 ，
反之，当 时，不能推出 ，
故 是 成立的充分不必要条件，故A错误；
对于B，当 时， 不成立，故 不是 成立的充分条件，
反之，当 时， 成立，故 是 成立的必要不充分条件，故B错误；
对于C，当 时， 成立，但 不成立，所以 是 成立的不充分条件，
反之 ，满足 成立，但 不成立，所以 是 成立的不必要条件，
所以 是 的既不充分也不必要条件，故C错误；
对于D，由 在 上单调递增，可得 是 的充要条件，故D正确.
故选：D．
3．（24-25高三上·云南·阶段练习）在 展开式中，含 的项的系数是6，则 （ ）
A． 6 B． 3 C．3 D．6
【答案】B
【分析】先由乘法法则求出展开式中含 的项，再结合 的项的系数是6即可求出a.
【详解】由题可得含 的项为 ，
所以 .
故选：B.
4．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知数列 满足 ，且 ，则 （ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】列出数列的前几项，即可得到数列 是周期为 的周期数列，根据周期性计算可得.
【详解】由题意数列 满足 ，由 ，
得 ， ， ， ，
由此可知数列 是周期为 的周期数列，所以 .
故选：C
5．（2024·浙江温州·一模）若方向向量为 的直线 与圆 相切，则直线 的方程可以是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据直线的方向向量得出斜率，设点斜式方程，再由圆心到直线距离等于半径求解.
【详解】由直线 的方向向量为 知，直线的斜率 ，
设直线 方程为 ，
则由直线与圆相切知，圆心 到直线的距离 ，
解得 或 ，
所以直线 的方程为 或 ，
即 或 ，
故选：B6．（2024·重庆·模拟预测）正三棱台 三侧棱的延长线交于点 ，如果 ，三棱台
的体积为 ， 的面积为 ，那么侧棱 与底面所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过 作 面 于 ，交面 于 ，连接 ，则 为侧棱 与底面所成的角，
根据条件得到 ，利用棱台的体积公式得到 ，进而得到 ，再利用三棱锥
为正三棱锥，求得 ，即可求解.
【详解】过 作 面 于 ，交面 于 ，连接 ，
正三棱台 三侧棱的延长线交于点 ，所以三棱锥 为正三棱锥，
又因为 ，则 ，所以 ，又 的面积为 ，
所以 ，则 ，
解得 ，所以 ，设 的边长为 ，则 ，解得 ，
又三棱锥 为正三棱锥，所以 是 的中心，
又易知 边上的高线长为 ，所以 ，
又 面 ，所以 为侧棱 与底面所成的角，则 ，
故选：D.
7．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知 在 上单调递增，若 为偶函数， ，
， ，则（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】根据 为偶函数得到 关于 对称，即有 ，构造函数 ，
利用导数判断函数 的单调性，可判断 和 的大小，将 两边同时取对数可判断 和 的大
小，最后根据 在 上单调递增比较大小即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，
所以 关于 对称，所以 ，
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在(1,+∞)上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 ，
当x>1时，由 得， ，则 ，
由上可得 ，又 在(1,+∞)上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 .
故选：A．
8．（23-24高三下·浙江·阶段练习）在等边三角形 的三边上各取一点 ， ， ，满足 ，
， ，则三角形 的面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先求出 ，设 ， ，在 、 分别利用正弦定理表示出 、 ，
由 ，利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出 的最大值，即可求出三角形面积最大值.
【详解】因为 ， ， ，所以 ，
设 ， ，则 ， ， ，
在 中由正弦定理 ，即 ，
所以 ，
在 中由正弦定理 ，即 ，
所以 ，
所以
（其中 ），
所以 ，
则 ，
即三角形 的面积的最大值是 .
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题关键是用含 的式子表示出 、 ，再利用三角恒等变换公式及辅助角公式
求出 的最大值，进而求出三角形面积最大值.
二、多选题
9．（2024·安徽安庆·三模）已知单位向量 ， 的夹角为 ，则下列结论正确的有（ ）
A． B． 在 方向上的投影向量为
C．若 ，则 D．若 ，则【答案】AB
【分析】对于A,只需验证 和 的数量积是否为0即可;对于B, 在 方向上的投影向量表示为
;对于C,先求平方，再利用数量积即可求夹角;对于D,对式子进行化简，进而判断.
【详解】对于A，因为 ， 是单位向量，
所以 ，
所以 ，故A正确；
对于B，因为 ， 是单位向量，
所以 在 方向上的投影向量为 ，故B正确；
对于C，因为 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，故C错误；
对于D，因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，故D错误；
故选：AB．
10．（2024·辽宁·二模）关于函数 ，下列说法正确的有（ ）
A． 的定义域为 B． 的函数图象关于y轴对称
C． 的函数图象关于原点对称 D． 在 上单调递增
【答案】ACD
【分析】由对数型复合函数的定义域即可判断A，由函数的奇偶性即可判断BC，由复合函数的单调性即
可判断D
【详解】因为 ，则 ，解得 ，
所以 的定义域为 ，故A正确；
因为 ，即 为奇函数，所以 的图像关于原点对称，故B错误，C正确；
因为 在 上单调递增， 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，故D正确；
故选：ACD
11．（2024·四川雅安·一模）已知各项都是正数的数列 的前n项和为 ，且 ，则
下列结论中正确的是（ ）
A． 是单调递增数列 B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】应用 与 的关系，将 中的 消掉，求出 判断符号即可判断A项的正误；
判断数列 是等差数列，进而求出 ，再利用作差法判断B项的正误；应用放缩法与裂项相消求出
，再与 比较即可；构造函数 ，并利用导数研究函数的最
小值，再取 即可判断D项的正误.
【详解】因为 ，所以当 时， ，
两式相减，可得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 是单调递减数列，故A错误；
当 时， ，所以 ；
当 时， ，化简整理得 ，
所以数列 是等差数列，其首项为4，公差为4，
所以 ，所以
，
所以 ，故B正确；
因为 ，
所以
所以 ，故C正确；
设函数 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，
取 ， ,所以 ，即
又因为 ，所以 .故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
12．（2024·河北·模拟预测）双曲线 ： 的左焦点为 ，右顶点为 ，点 到渐近
线的距离是点 到渐近线距离的2倍，则 的离心率为 .
【答案】2
【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式，得到 ，结合离心率的定义，即可求解.【详解】由双曲线 ： ，可得右焦点 ，右顶点 ，
其中一条渐近线的方程为 ，即 ，
则顶点 到 的距离为 ，
焦点 到 的距离为 ，
由题可得 ，即 ，
所以 ，所以双曲线 的离心率为 .
故答案为：2.
13．（2024·河南濮阳·模拟预测）设实数x，y，z满足 ，则 的最大值是
．
【答案】 /0.75
【分析】根据给定条件，消去 并变形，借助二次函数最值求解即得.
【详解】实数x，y，z满足 ，则 ，
于是
，
当且仅当 且 时取等号，所以当 时， .
故答案为：
14．（2024·广东广州·三模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为 的四个外观相同的空箱子中随机
选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某
个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择
以便增加中奖概率．现在已知甲选择了 号箱，用 表示 号箱有奖品（ ），用 表示主持人打
开 号箱子（ ），则 ，若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为 ．
【答案】 /0.375
【分析】根据主持人可打开的箱子号码可确定 ；分别考虑奖品在 号箱、不在 号箱的情况，
根据此时更改选择，结合全概率公式求解即可.【详解】奖品在 号箱，甲选择了 号箱，主持人可打开 号箱，则 ；
若奖品在 号箱，其概率为 ，抽奖人更改了选择，则其选中奖品所在箱子的概率为 ；
若奖品不在 号箱，其概率为 ，主持人随机打开不含奖品的两个箱子中的 个，
若此时抽奖人更改选择，其选中奖品所在箱子的概率为 ；
若抽奖人更改选择，其中奖的概率为 .
故答案为： ； .
【点睛】关键点点睛：本题考查条件概率的求解、决策类问题，解题关键是能够根据根据奖品所在箱子号
码，确定主持人可打开的箱子数，由此确定选中中奖箱子的概率.
（模式：4+2+1 满分：37分 限时：25分钟）
一、单选题
1．（2024·广东佛山·一模）印度数学家卡普列加在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边写有3025
的一块牌子被劈成了两半，一半上写着30，另一半上写着25.这时，他发现 ， ，即将
劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字.数学家将3025等符合上述规律的数字称之为雷劈数
（或卡普列加数）.则在下列数组：92，81，52，40，21，14中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈
数的概率是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【分析】找出这6个数中的雷劈数，结合组合数公式求相应的概率.
【详解】因为 ，所以 是雷劈数.其余的不是雷劈数.
记： “从6个数中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数”为事件 ，
则 .
故选：C
2．（2024·贵州贵阳·三模）设数列 的前 项之积为 ，满足 ，则 （ ）
A． B．4049 C． D．
【答案】C【分析】根据条件先证明出 为等差数列，然后求解出 的通项公式，由此可求结果.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 是公差为 的等差数列，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
故选：C.
3．（2024·江西新余·模拟预测）双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过 作斜率为正且与
的某条渐近线垂直的直线 与双曲线 在第一象限交于 ， ，则 的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，过点 作 于 ，结合点到直线的距离公式及双曲线定义求出 的关系，
即可求出双曲线的离心率.
【详解】令双曲线 的半焦距为 ，则 ，
令直线 与双曲线 的渐近线 垂直的垂足为 ，
于是 ， ，
过点 作 于 ,则 ，而 为线段 的中点,
所以
因为 ，所以 ，
由双曲线定义得 ，即 ，解得 .
所以该双曲线的离心率为 .
故选：B.4．（2024·山东威海·一模）在 中， ， ， 是 所在平面内一点，
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的数量积以及基本不等式求解即可.
【详解】 ， ，
，
，
，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
所以 的最大值为 .
故选：D.二、多选题
5．（2024·湖北·模拟预测）已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18
个样本数据的方差为 ，平均数 ；去掉的两个数据的方差为 ，平均数 ；原样本数据的方差为 ，平
均数 ，若 ，则（ ）
A．
B．
C．剩下18个数据的中位数大于原样本数据的中位数
D．剩下18个数据的 分位数不等于原样本数据的 分位数
【答案】AB
【分析】根据平均数的计算方法判断A；根据方差的计算方法判断B；根据中位数的概念判断C，根据百
分位数的计算方法判断D.
【详解】对A：因为 ，且 ，所以 ，故A正确；
对B：设20个数据按从小到大的顺序排列为： ，则
， ，
因为 ，
所以
.故B正确；
对C：剩下18个数据的中位数和原样本数据的中位数均为 ，是相等的，故C错误；
对D:因为 ，则剩下18个数据的 分位数为 ；又 ，所以原样本数据的
分位数也是 ，故D错误.
故选：AB
三、填空题
6．（2024·江苏常州·三模）集合 ， ，若 ，则
实数m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】结合B是否为空集进行分类讨论可求 的范围．【详解】由 ，且 ，
当 时， ，则 ，即 ，
当 时，若 ，则 ，解得 ，
综上，实数 的取值范围为 ．
故答案为： ．
7．（2024·上海徐汇·一模）设 ，若函数 存在两个不同的极值点，则 的
取值范围为 .
【答案】
【分析】函数y=f (x)存在两个不同的极值点等价于y=f′(x)在 内有两个异号零点，进而转化为
在 内有两个不等根即可求解.
【详解】解：易知函数 的定义域为 ，
，
因为函数y=f (x)存在两个不同的极值点，
所以 在 内有两个不等根，
设 ， ，
则只需 ，即 ，
所以 ，则 的取值范围为 .
故答案为：
（模式：1+1+1 满分：16分 限时：15分钟）
一、单选题
1．（2024·吉林长春·模拟预测）已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上，
， ，则球 的表面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用正弦、余弦定理，求得 的外接圆的半径，记 的外心为 ，证得
平面 ，求得 ，结合球的截面圆的性质，列出方程求得球的半径，利用球的表面积公
式，即可求解.
【详解】设 的外接圆半径为 ，因为 ， ，
由余弦定理得 ， ，
所以 ，
由正弦定理得 ，所以 ，
记 的外心为 ，连接 ， ， ，则 ，
取 ， 的中点分别为 ， ，则 ， ，
又因为 ，可得 ， ，
因为 ， ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，可得 ，
由题意可得外接球的球心在 上，或在 的延长线上，设外接球的半径为 ，
则球心到 的距离为 ，
则有 ，解得 ，
所以球 的表面积 ，
故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键在于先确定 所在截面小圆的半径 ，再通过几何关系确定球心所在
直线，进而确定球心位置，将球心到 的距离表示出来，再用勾股定理解出球半径，进而得到结果.
二、多选题
2．（2024·吉林·三模）已知函数 ，则（ ）
A．当 时，函数 单调递增
B．当 时，函数 有两个极值
C．过点 且与曲线 相切的直线有且仅有一条
D．当 时，若b是a与c的等差中项，直线 与曲线 有三个交点 ，
， ，则 .
【答案】AC
【分析】对于A，由题意可得当 时， 单调递增，即可判断；对于B，由题意可得当 时，
单调递增，从而可判断B；对于C，设过点 的直线与 切于点 ，利
用导数可得切线的方程，再代入点 ，通过判断 的解的个数，即可判断切线的条数从而判断C；对于
D，由等差中项的定义可得直线过定点 ，且此点在曲线 上，再判断出点 是函数的对
称中心，即可得 的值，即可判断D．
【详解】因为 ，所以 ，
对于A，当 时， ， ，
所以当 时， ， 单调递增，故A正确.
对于B，当 时，令 ，则 ，
所以当 时， ，
所以 单调递增，此时函数没有两个极值，故B错误；
对于C，设过点 的直线与 切于点 ，则切线方程为 ，
代入 得 ，
整理得： ，令 ，
则 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
又 ，所以 只有一个零点，
即方程 只有一个解，
所以过点 且与曲线 相切的直线有且仅有一条，故C正确；
对于D，当 时， ，又因为 是 与 的等差中项，
所以直线 即为直线 ，
所以直线过定点 ，且此点在曲线 上，
设函数 的对称中心为 ,则有 ，
即 ，
整理得： ，
所以 ，解得 ，
所以函数的关于点 对称，设 ，
则有 ，所以 ，故D错误；
故选：AC.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在D选项中，判断出直线过定点 ，且函数关于此点对称.
三、填空题
3．（2024·云南大理·一模）设函数 是 的导函数，函数 是 的导函数，经过研究发现，任意一个三次函数 的图象都有对称中心 ，其中
满足 .已知函数 ，当函数 图象的对称中心为 时， ，
当函数 图象的对称中心为 时， .
【答案】
【分析】根据三次函数的图象都有对称中心 ，且 ，可求出 ，函数 图象的对
称中心为 ，即 ，可得 ，利用倒序相加法即可求解.
【详解】因为 ，且 图象的对称中心为 ，
所以 ，解得 ，
而 ，解得 ；
因为函数 图象的对称中心为 ，即 ，
所以 ，
同理
设 ①
②
由①+②得 ，所以 .
故答案为： ； .
【点睛】方法点睛：倒序相加法求和：当有多个数相加，且每两个相邻加数的差值为定值时，可以将整体
颠倒顺序，再与原式相加，如本题中满足 ，
①
②
将两式相加除以2即可求和.
