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强化训练 10 圆锥曲线中的综合问题
1．(2021·山西大学附属中学模拟)椭圆＋＝1的长轴长为( )
A．4 B．5 C．10 D．8
答案 C
解析 由题意知，椭圆＋＝1，即a2＝25，
所以其长轴长为2a＝10.
2．(2021·重庆一中模拟)若椭圆C：＋＝1的右焦点为F，过左焦点F′作倾斜角为60°的直
线交椭圆C于P，Q两点，则△PQF的周长为( )
A．6 B．8
C．6 D．8
答案 B
解析 由椭圆方程可知a2＝8⇒a＝2，
根据椭圆的定义可知|PF|＋|PF′|＝2a，|QF|＋|QF′|＝2a，
△PQF的周长为|PQ|＋|PF|＋|QF|＝|PF′|＋|QF′|＋|PF|＋|QF|＝4a＝8.
3．(2020·怀化质检)“m>1”是“曲线＋＝1表示椭圆”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由曲线＋＝1表示椭圆，
得解得m∈(1,2)∪(2,3)，
由于(1,2)∪(2,3)⊆(1，＋∞)，
所以“m>1”是“曲线＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件．
4．已知点A(0，－)，B(2,0)，点P为函数y＝2图象上的一点，则|PA|＋|PB|的最小值为(
)
A．1＋2 B．7 C．3 D．不存在
答案 B
解析 由y＝2，得－x2＝1(y>0)．
设点A′(0，)，即点A′(0，)，A(0，－)为双曲线－x2＝1的上、下焦点．
由双曲线的定义得|PA|－|PA′|＝4，
则|PA|＋|PB|＝4＋|PA′|＋|PB|≥4＋|BA′|＝7.
5．(多选)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F，F 在y轴上，短轴长等于2，离心率为，
1 2过焦点F 作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是( )
1
A．椭圆C的方程为＋x2＝1
B．椭圆C的方程为＋y2＝1
C．|PQ|＝
D．△PFQ的周长为4
2
答案 ACD
解析 由已知得，2b＝2，b＝1，＝，
又a2＝b2＋c2，解得a2＝3.
∴椭圆方程为x2＋＝1.
如图．
∴|PQ|＝＝＝，
△PFQ的周长为4a＝4.
2
故选ACD.
6．(多选)已知双曲线C过点(3，)且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是( )
A．C的方程为－y2＝1
B．C的离心率为
C．曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点
D．直线x－y－1＝0与C有两个公共点
答案 AC
解析 因为渐近线方程为y＝±x，所以可设双曲线方程为－＝λ，代入点(3，)，得λ＝，所以
双曲线方程为－y2＝1，选项A正确；该双曲线的离心率为，选项B不正确；双曲线的焦点
为(±2,0)，曲线y＝ex－2－1经过双曲线的焦点(2,0)，选项C正确；把x＝y＋1代入双曲线方
程，得y2－2y＋2＝0，解得y＝，故直线x－y－1＝0与曲线C只有一个公共点，选项D不正
确．
7．已知双曲线C：－＝1，且圆E：(x－2)2＋y2＝1的圆心是双曲线C的右焦点．若圆E与
双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为________．
答案 －y2＝1
解析 ∵c＝2⇒a2＋b2＝4.①
取渐近线方程为bx－ay＝0，
又＝1⇒a2＝3b2.②由①②可得a2＝3，b2＝1，
∴双曲线C的方程为－y2＝1.
8．(2021·重庆一中模拟)抛物线 y2＝4x的焦点为 F，准线为 l，点 P为抛物线上一点，
PA⊥l，垂足为A，若直线AF的斜率为－，则|PF|＝________.
答案 4
解析 ∵抛物线方程为y2＝4x，
∴焦点F(1,0)，准线l的方程为x＝－1，
∵直线AF的斜率为－，
∴直线AF的方程为y＝－(x－1)，
当x＝－1时，y＝2，
可得A点坐标为(－1,2)．
∵PA⊥l，A为垂足，
∴P点纵坐标为2，代入抛物线方程，得P点坐标为(3,2)，
∴|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4.
9．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F关于一条渐近线的对称点
恰好落在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为________．
答案 2
解析 设F(－c,0)关于直线y＝x的对称点为P(x，y)，
0 0
则
解得x＝，y＝－，
0 0
所以P，
因为直线PF与直线y＝x互相垂直，
则·＝－1，即b2＝3a2，
又b2＝c2－a2，所以c2＝4a2，
解得e＝2.
10．(2021·福州第一中学模拟)已知F ，F 是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，点A在椭圆
1 2
E上，且∠FAF＝120°，|AF|＝2|AF|，则椭圆离心率是________．
1 2 1 2
答案解析 因为点A在椭圆E：＋＝1(a>b>0)上，
所以|AF|＋|AF|＝2a，
1 2
又|AF|＝2|AF|，所以
1 2
因为|FF|＝2c，
1 2
又在△AFF 中，∠FAF＝120°，
1 2 1 2
所以根据余弦定理可得
cos∠FAF＝＝＝－e2＝－，
1 2
解得e＝(负值舍去)．
11.如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满
足PA，PB的中点均在C上．
(1)设AB的中点为M，证明：PM垂直于y轴；
(2)若P是半椭圆x2＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
(1)证明 设P(x，y)，A，B.
0 0
因为PA，PB的中点在抛物线上，
所以y，y 为方程2＝4·，
1 2
即y2－2yy＋8x－y＝0的两个不同的实根．
0 0
所以y＋y＝2y，所以PM垂直于y轴．
1 2 0
(2)解 由(1)可知
所以|PM|＝(y＋y)－x＝y－3x，
0 0
|y－y|＝2.
1 2
所以△PAB的面积
S ＝|PM|·|y－y|＝(y－4x) .
△PAB 1 2 0
因为x＋＝1(－1≤x<0)，
0
所以y－4x＝－4x－4x＋4∈[4,5]，
0 0
所以△PAB面积的取值范围是.
12．已知椭圆L：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆L的标准方程；(2)过点Q(0,2)的直线l与椭圆L交于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好过坐标原点，求直
线l的方程及|AB|的大小．
解 (1)由e2＝＝＝1－＝，得a2＝4b2，
又短轴长为2，可得b＝1，a2＝4，
∴椭圆L的标准方程为＋y2＝1.
(2)易知直线l的斜率存在且不为零，
设直线l的斜率为k(k≠0)，
则直线l的方程为y＝kx＋2，
则联立
消元得(4k2＋1)x2＋16kx＋12＝0，
Δ＝16×16k2－48(4k2＋1)＝16(4k2－3)>0，即k2>.
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
∴x＋x＝，x·x＝，
1 2 1 2
由题意可知OA⊥OB，即OA·OB＝0，
∴x·x＋y·y＝(1＋k2)x·x＋2k(x＋x)＋4＝0，
1 2 1 2 1 2 1 2
∴－＋4＝0，
解得k2＝4>，
∴|AB|＝|x－x|＝·＝·＝.
1 2
综上，直线l的方程为2x－y＋2＝0或2x＋y－2＝0，|AB|＝.
13．焦点为F的抛物线C：y2＝4x的对称轴与准线交于点E，点P在抛物线C上，在△EFP
中，sin∠EFP＝sin∠FEP，则|EP|的值是( )
A．2 B．4 C．2 D．1
答案 A
解析 如图所示，过点P作PH垂直于准线于点H，
设|PE|＝m，则|PF|＝|PH|＝mcos∠FEP，
在△EFP中，由正弦定理知＝，
即＝，所以cos∠FEP＝，
又∠FEP∈(0，π)，所以∠FEP＝，
则sin∠EFP＝sin∠FEP＝1，
又∠EFP∈(0，π)，所以∠EFP＝，
在Rt△EFP中，|EF|＝2，∠FEP＝，
所以|PE|＝2.
14．(2020·潍坊模拟)抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行
于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦
点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上
的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则△ABM的周长为( )
A.＋ B．9＋ C.＋ D．9＋
答案 D
解析 抛物线方程中，令y＝1可得x＝，即A，
结合抛物线的光学性质，AB经过焦点F，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，
与抛物线方程联立可得：k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，
据此可得x x ＝1，∴x ＝＝4，且|AB|＝x ＋x ＋p＝，
A B B A B
将x＝4代入y2＝4x可得y＝±4，故B(4，－4)，
故|MB|＝＝，
故△ABM的周长为|MA|＋|AB|＋|BM|＝＋＋＝9＋.
15．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F且斜率大于0的动直线l交抛物线C于A，B
两点，其中B在x轴上方，P，Q分别为圆(x－1)2＋y2＝1上的两个动点，当4|AP|＋|BQ|最小
时，直线l的斜率为________．
答案 2
解析 设直线l：y＝k(x－1)(k>0)，
当4|AP|＋|BQ|最小时，即|AP|，|BQ|分别取最小值，
则|AP| ＝|AF|－1，|BQ| ＝|BF|－1，
min min
所以(4|AP|＋|BQ|) ＝4|AF|＋|BF|－5，
min
联立化简得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x，y)，B(x，y)，则xx＝1，
1 1 2 2 1 2
由抛物线的定义得|AF|＝x＋1，|BF|＝x＋1，
1 2
故＋＝＋＝＝＝＝1，
得4|AF|＋|BF|－5＝(4|AF|＋|BF|)·－5≥4，当且仅当|BF|＝2|AF|时取等号，
此时|AF|＝，|BF|＝3，
则x＝，x＝2，则x＋x＝＝，
1 2 1 2
解得斜率k＝2(舍负)．
16．顺次连接椭圆C：＋＝1(a>b>0)的四个顶点，恰好构成了一个边长为且面积为2的菱形．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M(－3,0)，过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆C于A，B两点，若对满足条件的任意
直线l，不等式MA·MB≤λ(λ∈R)恒成立，求λ的最小值．
解 (1)由已知得
又a>b>0，所以a＝，b＝1,
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
MA·MB＝(x＋3，y)·(x＋3，y)＝(x＋3)(x＋3)＋yy，
1 1 2 2 1 2 1 2
当直线l垂直于x轴时，x＝x＝1，y＝－y，且y＝，
1 2 1 2
此时MA＝(4，y)，MB＝(4，y)，
1 2
∴MA·MB＝；
当直线l不垂直于x轴时，设直线l：y＝k(x－1)，
由
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0
Δ＝(－4k2)2－4(2k2－2)(1＋2k2)>0，
∴x＋x＝，xx＝，
1 2 1 2
∴MA·MB＝xx＋3(x＋x)＋9＋k2(x－1)(x－1)
1 2 1 2 1 2
＝(1＋k2)xx＋(3－k2)(x＋x)＋k2＋9＝
1 2 1 2
＝<，
要使不等式MA·MB≤λ(λ∈R)恒成立，
只需λ≥(MA·MB) ＝.
max
即λ的最小值为.
