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强化训练 6 数列中的综合问题
1．(2020·东三省四市模拟)等比数列{a}中，a ，a 是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则
n 5 7
a·a 等于( )
3 9
A．－3 B．3 C．－4 D．4
答案 B
解析 ∵a ，a 是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，∴a ，a 是方程x2－4x＋3＝0的两个根，
5 7 5 7
∴a·a＝3，由等比数列的性质可得a·a＝a·a＝3.
5 7 3 9 5 7
2．已知等差数列{a}的前n项和为S ，公差为－2，且a 是a 与a 的等比中项，则S 的值
n n 7 3 9 10
为( )
A．－110 B．－90 C．90 D．110
答案 D
解析 ∵a 是a 与a 的等比中项，
7 3 9
∴a＝aa，
3 9
又数列{a}的公差为－2，
n
∴(a－12)2＝(a－4)(a－16)，解得a＝20，
1 1 1 1
∴a＝20＋(n－1)×(－2)＝22－2n，
n
∴S ＝＝5×(20＋2)＝110.
10
3．若等差数列{a}的公差d≠0且a，a，a 成等比数列，则等于( )
n 1 3 7
A. B. C. D．2
答案 A
解析 设等差数列的首项为a，公差为d，
1
则a＝a＋2d，a＝a＋6d.
3 1 7 1
因为a，a，a 成等比数列，
1 3 7
所以(a＋2d)2＝a(a＋6d)，
1 1 1
解得a＝2d.所以＝＝.
1
4．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建
费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构
成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验
室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1 700万元．则该研究所改
建这十个实验室投入的总费用最多需要( )
A．3 233万元 B．4 706万元C．4 709万元 D．4 808万元
答案 C
解析 设每个实验室的装修费用为x万元，设备费为a 万元(n＝1,2,3，…，10)，
n
则所以
解得故a ＝aq9＝1 536.
10 1
依题意x＋1 536≤1 700，即x≤164.
所以总费用为10x＋a＋a＋…＋a ＝10x＋＝10x＋3 069≤4 709.
1 2 10
5．(2021·重庆模拟)某食品加工厂2019年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计
划从2020年开始每年比上一年获利增加20%，则从( )年开始这家加工厂年获利超过60
万元，已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1( )
A．2024年 B．2025年
C．2026年 D．2027年
答案 C
解析 由题意，设从2019年开始，第n年的获利为a(n∈N*)万元，
n
则数列{a}为等比数列，其中2019年的获利为首项，即a＝20.
n 1
2020年的获利为a＝20·(1＋20%)＝20×(万元)，
2
2021年的获利为a＝20×(1＋20%)2＝20·2(万元)，
3
∴数列{a}的通项公式为a＝20·n－1(n∈N*)，
n n
由题意可得a＝20·n－1>60，即n－1>3，
n
∴n－1> ＝＝＝＝≈≈6.031 6>6，
∴n≥8，
∴从2026年开始这家加工厂年获利超过60万元．
6．(多选)已知数列{a}是公差不为0的等差数列，前n项和为S ，满足a ＋5a ＝S ，下列选
n n 1 3 8
项正确的有( )
A．a ＝0 B．S 最小
10 10
C．S＝S D．S ＝0
7 12 20
答案 AC
解析 根据题意，数列{a}是等差数列，若a＋5a＝S，
n 1 3 8
即a＋5a＋10d＝8a＋28d，变形可得a＝－9d，
1 1 1 1
又由a＝a＋(n－1)d＝(n－10)d，
n 1
则有a ＝0，故A一定正确；
10
不能确定a 和d的符号，不能确定S 最小，故B不正确；
1 10
又由S＝na＋＝－9nd＋＝×(n2－19n)，
n 1
则有S＝S ，故C一定正确；
7 12则S ＝20a＋d＝－180d＋190d＝10d，∵d≠0，∴S ≠0，则D不正确．
20 1 20
7．(2021·泰安模拟)数列{a}满足a＝2，a ＝，则a ＝________.
n 1 n＋1 2 021
答案 2
解析 由a＝2，a ＝，
1 n＋1
得a＝－3，a＝－，a＝，a＝2，
2 3 4 5
所以{a}是周期为4的数列，
n
因为2 021＝505×4＋1，
所以a ＝a＝2.
2 021 1
8．(2021·江苏海头中学月考)已知数列{a}的前n项和为S ，a ＝1，a ＋2S S ＝0，则S
n n 1 n＋1 n＋1 n n
＝________.
答案
解析 因为a ＝S －S，
n＋1 n＋1 n
则a ＋2S S＝0，可化简为S －S＋2S S＝0，
n＋1 n＋1 n n＋1 n n＋1 n
等式两边同时除以S S，
n＋1 n
可得－＋2＝0，即－＝2，
所以数列为等差数列，首项＝＝1，公差d＝2，
所以＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
即S＝.
n
9．若数列{a}中，a＝，n∈N*，则数列{a}中的项的最小值为________．
n n n
答案 4
解析 a －a＝－＝，
n＋1 n
当n≥2时，a －a>0，即a >a，
n＋1 n n＋1 n
当n＝1时，a－a<0，
2 1
∴数列{a}中，从a 开始是递增的，
n 2
又a0，b>0，n∈N*)．
n
(1)当a＝2，b＝3时，求u；
n
(2)若a＝b，求数列{u}的前n项和S.
n n
解 (1)当a＝2，b＝3时，u＝2n＋2n－1·3＋2n－2·32＋…＋2·3n－1＋3n(n∈N*)，
n
两边除以2n，得
＝1＋＋2＋…＋n－1＋n
＝＝＝－2，
所以u＝3n＋1－2n＋1.
n
(2)若a＝b，则u＝(n＋1)an，
n
所以S＝2a＋3a2＋4a3＋…＋(n＋1)an，①
n
当a＝1时，S＝2＋3＋…＋(n＋1)＝；
n
当a>0，a≠1时，在①的两边同乘以a，得aS＝2a2＋3a3＋4a4＋…＋(n＋1)an＋1，
n
与①式作差，得(1－a)S＝2a＋a2＋a3＋…＋an－(n＋1)an＋1＝a＋－(n＋1)an＋1，
n
所以S＝＋－.
n
综上，S＝
n
13．已知数列{a}，{b}的前 n 项和分别为 S ，T ，且 a>0，2S ＝a＋a ，b ＝
n n n n n n n n
，若k>T 恒成立，则k的最小值为( )
n
A. B. C．1 D.
答案 C
解析 ∵2S＝a＋a，①
n n
且a>0，
n∴当n＝1时，2S＝a＋a，
1 1
解得a＝1或a＝0(舍去)．
1 1
当n≥2时，2S ＝a＋a ，②
n－1 n－1
①－②得2a＝a＋a－(a＋a )，
n n n－1
a－a－a－a ＝0，
n n－1
即(a＋a )(a－a －1)＝0，
n n－1 n n－1
∵a>0，∴a－a ＝1，
n n n－1
∴{a}是以1为首项，1为公差的等差数列，
n
∴a＝n，
n
∴b＝ ＝＝－，
n
∴T＝－＋－＋…＋－＝－＝1－<1，
n
∵k>T 恒成立，
n
∴k≥1，即k的最小值为1.
14．(2020·长治质检)各项均为正数且公比q＞1的等比数列{a}的前n项和为S ，若aa ＝
n n 1 5
4，a＋a＝5，则的最小值为________．
2 4
答案 8
解析 由题意aa＝aa＝4，
1 5 2 4
又a＋a＝5，公比q＞1，
2 4
∴a＝1，a＝4，故q2＝＝4，
2 4
故q＝2，a＝.
1
∴a＝2n－2，
n
S＝＝(2n－1)．
n
∴＝，
令t＝2n－1∈{1,2,22，23，……}，
则原式＝＝t＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当t＝2n－1＝2，即n＝2时取等号．
15.(2021·江苏丰县中学模拟)如图所示，正方形ABCD的边长为5 cm，取正方形ABCD各边
的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，
K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．如果这个作图过程可以一直继续下
去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于________ cm2.答案 50
解析 记第1个正方形的面积为S ，第2个正方形的面积为S ，…，第n个正方形的面积为
1 2
S，
n
设第n个正方形的边长为a，则第n个正方形的对角线长为a，
n n
∴第n＋1个正方形的边长为a ＝a，
n＋1 n
∴＝，
即数列{a}是首项为a＝5，公比为的等比数列，
n 1
∴a＝5·n－1，
n
数列{S}是首项为S＝25，公比为的等比数列，
n 1
∴S＋S＋S＋…＋S＝＝50·，
1 2 3 n
∴如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于50 cm2.
16．已知数列{a}的首项为1，S 为数列{a}的前n项和，S ＝xS＋1，其中x>0，n∈N*.
n n n n＋1 n
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)证明：函数F(x)＝S －2在内有且仅有一个零点(记为x)，且x＝＋x，n∈N*，n≥2.
n n＋1 n n
(1)解 S ＝xS＋1，①
n＋1 n
S＝xS ＋1(n≥2)，②
n n－1
①－②得a ＝xa，
n＋1 n
又当n＝1时，a＋a＝xa＋1，a＝1⇒＝x，
1 2 1 1
故数列{a}为等比数列，首项为1，公比为x，
n
则a＝xn－1.
n
(2)证明 F(x)＝S －2＝1＋x＋x2＋…＋xn－2，
n n＋1
可得F(1)＝n＋1－2＝n－1>0，
n
F＝1＋＋2＋…＋n－2＝－2＝－<0，
n
∴F(x)在内至少存在一个零点，
n
又F′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1>0，
n
∴F(x)在内单调递增，
n
∴F(x)在内有且仅有一个零点x，
n n
∵x 是F(x)的一个零点，
n n
∴F(x)＝0，
n n
即－2＝0，故x＝＋x.
n
