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强化训练 8 空间位置关系中的综合问题
1．(2021·保山模拟)下列叙述错误的是( )
A．若P∈α∩β，且α∩β＝l，则P∈l
B．若直线a∩b＝A，则直线a与b能确定一个平面
C．三点A，B，C确定一个平面
D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α则l⊂α
答案 C
解析 选项A，点P是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；选项B，由公理的推论可
知，两相交直线确定一个平面，故正确；选项C，只有不共线的三点才能确定一个平面，故
错误；选项D，由公理1得，直线上有两点在一个平面内，则整条直线都在平面内．
2．(2021·资中模拟)若l，l 为异面直线，直线l 与l 平行，则l 与l 的位置关系是( )
1 2 3 2 1 3
A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交
答案 D
解析 将直线l，l，l 放在正方体中，作为正方体的棱，可知D选项正确．
1 2 3
3．(2021·潍坊模拟)已知a，b为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论正确的是(
)
A．若a⊥α，b⊥a，则b∥α
B．若a，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β
C．若a∥α，b⊥β，a∥b，则α⊥β
D．若α∩β＝b，a⊂α，a⊥b，则α⊥β
答案 C
解析 A选项，若 a⊥α，b⊥a，则 b∥α或b⊂α，A错；B选项，若 a，b⊂α，a∥β，
b∥β，当a∥b时，α与β可能相交，故B错；C选项，若a∥b，b⊥β，根据线面垂直的性
质，可得a⊥β，又a∥α，根据面面垂直的判定定理，可得 α⊥β，故C正确；D选项，若
α∩β＝b，a⊂α，a⊥b，垂直于交线，并不能推出垂直于另一平面，因此不能得出 a⊥β，即
不能推出α⊥β，故D错．
4.(2021·合肥模拟)如图，在直三棱柱ABC－ABC 中，D为AB 的中点，AB＝BC＝2BB ＝
1 1 1 1 1 1
2，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为( )A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 C
解析 如图，取BC 的中点E，连接BE，DE，则AC∥AC ∥DE，
1 1 1 1
所以∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角或其补角，
由已知可得BD＝DE＝BE＝，△BDE为正三角形，所以∠BDE＝60°，
所以异面直线BD与AC所成的角为60°.
5．(多选)如图，在正方体ABCD－ABC D 中，下面结论正确的是( )
1 1 1 1
A．BD∥平面CB D
1 1
B．AC ⊥BD
1
C．平面ACC A⊥CB D
1 1 1 1
D．异面直线AD与CB 所成的角为60°
1
答案 ABC
解析 对于A，∵ABCD－ABC D 为正方体，
1 1 1 1
∴BD∥BD，由线面平行的判定可得BD∥平面CB D，A正确；
1 1 1 1
对于B，连接AC，
∵ABCD－ABC D 为正方体，
1 1 1 1
∴BD⊥AC，且CC ⊥BD，由线面垂直的判定可得BD⊥平面ACC ，∴BD⊥AC ，B正确；
1 1 1
对于C，由上可知BD⊥平面ACC ，
1
又BD∥BD，∴BD⊥平面ACC ，
1 1 1 1 1
则平面ACC A⊥CB D，C正确；
1 1 1 1对于D，异面直线AD与CB 所成的角即为直线BC与CB 所成的角为45°，D错误．
1 1
故选ABC.
6．(多选)如图，棱长为1的正方体ABCD－ABC D 中，P为线段AB上的动点，则下列结
1 1 1 1 1
论正确的是( )
A．平面DAP⊥平面AAP
1 1 1
B．∠APD 的取值范围是
1
C．三棱锥B－DPC的体积为定值
1 1
D．DC ⊥DP
1 1
答案 ACD
解析 在A中，因为AD⊥平面AAP，
1 1 1
AD 平面DAP，
1 1 1 1
所以⊂平面D
1
A
1
P⊥平面A
1
AP，故A正确；
在B中，当P与A 重合时，∠APD ＝，故B错误；
1 1
在C中，因为△BDC的面积是定值，
1 1
AB∥平面BDC，
1 1 1
所以点P到平面BDC的距离是定值，
1 1
所以三棱锥B－DPC的体积为定值，故C正确；
1 1
在D中，因为DC ⊥DC，DC ⊥BC，DC∩BC＝C，DC，BC 平面BCD A，
1 1 1 1 1 1 1
所以DC
1
⊥平面BCD
1
A
1
，又D
1
P 平面BCD
1
A
1
，所以DC
1
⊥D
1
P⊂，故D正确．
7．如图所示，在三棱锥 A－BCD中，截面EFG平行于底面，且 AE∶AB＝1∶3，已知
⊂
△BCD的周长是18，则△EFG的周长为________．
答案 6
解析 由已知得EF∥BD，EG∥BC，FG∥DC，
∴△EFG∽△BDC，
∴＝，
又∵＝＝，∴＝，
∴△EFG的周长＝18×＝6.
8．(2020·天津模拟)如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，底面△ABC为边长为1的
等边三角形，SA＝AB，则A与平面SBC的距离为________．
答案
解析 因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AB，
又因为SA＝AB＝1，所以SB＝，
同理SC＝，又因为BC＝1，
所以S ＝×1×＝，
△SBC
因为△ABC为边长为1的等边三角形，
所以S ＝×1×＝，
△ABC
设A与平面SBC的距离为h，
则S ×h＝×S ×SA＝S ⇒h＝＝.
△SBC △ABC △ABC
9．(2021·湛江模拟)在棱长为4的正方体ABCD－ABC D 中，E，F分别是BC和C D 的中
1 1 1 1 1 1
点，经过点A，E，F的平面把正方体ABCD－ABC D 截成两部分，则截面与平面BCC B
1 1 1 1 1 1
的交线段的长为________．
答案
解析 如图，过点F作FH∥AE交AD 于H，
1 1
易知DH＝1，所以点H为AD 的四等分点，
1 1 1
连接AH，过点E作EP∥AH交CC 于点P，
1
所以＝，解得CP＝，
故截面与平面BCC B 交线段
1 1
PE＝＝＝.
10．(2021·海淀模拟)已知正四面体A－BCD的棱长为2，点E是AD的中点，点F在线段BC
上，则下面四个命题中：①∃F∈BC，EF∥AC；
②∀F∈BC，EF≤；
③∃F∈BC，EF与AD不垂直；
④∀F∈BC，直线EF与平面BCD夹角正弦的最大值为.
所有不正确的命题序号为________．
答案 ①③
解析 如图，
对∀F∈BC，EF与AC异面或相交，故①错误；
当点F为BC的中点时，EF为异面直线AD和BC的公垂线段，此时EF取得最小值，当F
与B，C重合时，EF取得最大值，故②正确；
因为AD⊥BE，AD⊥CE，BE∩CE＝E，所以AD⊥平面BEC，故AD⊥EF，故③错误；
因为E到平面BCD的距离为定值d，设直线EF与平面BCD的夹角为θ，则sin θ＝，当F
为BC的中点时，易知EF为异面直线AD和BC的公垂线段，此时EF取得最小值，sin θ＝
有最大值，此时DF＝，DE＝1，故EF＝＝，由Rt△EFD可知，EF·DE＝DF·d，解得d＝，
所以sin θ＝＝，故④正确．
11.(2020·长春模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠BAD＝
90°，点E为PB的中点，且CD＝2AD＝2AB＝4，点F在CD上，且DF＝FC.
(1)求证：EF∥平面PAD；
(2)若平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD且PA⊥PD，求三棱锥P－CEF的体积．
(1)证明 如图所示，取PA的中点M，连接DM，EM，
因为点E为PB的中点，且CD＝2AD＝2AB＝4，
所以EM∥AB且EM＝AB＝1，
因为DF＝FC，所以DF＝DC＝1，所以EM＝DF＝1，
又因为AB∥DC，所以EM∥DF，
所以四边形EMDF为平行四边形，
所以EF∥DM，
又DM⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
(2)解 S ＝(1＋2)×2＝3，
梯形ABFD
S ＝×3×2＝3，
△BCF
所以S ＝S ，
△BCF 梯形ABCD
因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA＝PD，取AD的中点N，连
接PN，
则PN⊥平面ABCD，
因为PA⊥PD，所以PN＝AD＝1，
所以V ＝V ＝V ＝××S ×PN＝×6×1＝.
P－CEF P－BCF P－ABCD 梯形ABCD
12.如图，在三棱锥A－BCD中，AB＝BD＝AD＝AC＝2，△BCD是以BD为斜边的等腰直角
三角形，P为AB的中点，E为BD的中点．
(1)求证：AE⊥平面BCD；
(2)求直线PD与平面ACD所成角的正弦值．
(1)证明 由题图可知，△ABD是边长为2的等边三角形，
∵E为BD的中点，∴AE⊥BD，且AE＝，
如图，连接CE，
∵△BCD是斜边长为2的等腰直角三角形，∴CE＝BD＝1，
在△AEC中，AC＝2，EC＝1，AE＝，
∴AC2＝AE2＋EC2，∴AE⊥EC.
∵BD∩EC＝E，BD⊂平面BCD，EC⊂平面BCD，
∴AE⊥平面BCD.(2)解 方法一 取CD的中点F，连接AF，EF，
∵AC＝AD，∴CD⊥AF.
由(1)可知，AE⊥CD，
∵AE∩AF＝A，AE⊂平面AEF，AF⊂平面AEF，
∴CD⊥平面AEF，
又CD⊂平面ACD，∴平面AEF⊥平面ACD.
设PD，AE相交于点G，则点G为△ABD的重心，
∴AG＝DG＝AE＝.
过点G作GH⊥AF于H，则GH⊥平面ACD，
连接DH，则∠GDH为直线PD与平面ACD所成的角．
易知△AGH∽△AFE，EF＝BC＝，AF＝，
∴GH＝·EF＝×＝，
∴sin∠GDH＝＝，
即直线PD与平面ACD所成角的正弦值为.
方法二 由(1)可知AE⊥平面BCD，且CE⊥BD，∴可作如图所示的空间直角坐标系 E－
xyz，
则A(0,0，)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，P，
AD＝(0,1，－)，CD＝(－1,1,0)，
DP＝，
设平面ACD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
∴即
取x＝y＝1，则z＝，
∴n＝为平面ACD的一个法向量，
设PD与平面ACD所成的角为θ，则
sin θ＝＝，
故直线PD与平面ACD所成角的正弦值为.
13.(2021·太原模拟)如图，在正四面体D－ABC中，P∈平面DBA，则在平面DAB内过点P与直线BC成60°角的直线共有( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
答案 C
解析 在平面DAB内过P点与DB或AB平行的直线都与BC成60°的角，实际上只要求得在
平面DAB内过点B且与直线BC成60°角的直线的条数．在空间过点B与直线BC成60°角的
直线构成以BC为轴，BD为母线的圆锥侧面，此圆锥侧面与平面DAB只有两条交线．因此
满足题意的直线只有2条．
14.(2020·阳泉期末)如图，在直角梯形SABC中，∠ABC＝∠BCS＝90°，过点A作AD⊥SC交
SC于点D，以AD为折痕把△SAD折起，当几何体S－ABCD的体积最大时，则下列命题中
正确的个数是( )
①AC⊥SB；
②AB∥平面SCD；
③SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角；
④AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角．
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 D
解析 当体积最大时，平面SAD⊥平面ABCD，如图所示，
对①，若AC⊥SB又根据题意，AC⊥SD，故AC⊥平面SDB，又BD⊂平面SDB，故可得
AC⊥BD，而根据题意，无法得知两直线位置关系，故不正确；
对②，AB∥CD，由CD⊂平面SCD，故AB∥平面SCD，正确；
对③，因为无法得知底面ABCD的边长关系，所以无法确定，故错误；
对④，AB与SC所成角度为∠SCD，而DC与SA所成角度为∠SAB，两个角度显然不相等，
故错误．
综上所述，正确的只有②.15.《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为底面为矩形，一棱垂直于底面的
四棱锥．现有阳马S－ABCD，SA⊥平面ABCD，AB＝1，AD＝3，SA＝.BC上有一点E，使
截面SDE的周长最短，则SE与CD所成角的余弦值等于________．
答案
解析 要使截面SDE的周长最短，则SE＋ED最短，
将底面ABCD沿BC展开成平面图形A′BCD′(如图)，连接SD′，交BC于E，
则SE＋ED＝SE＋ED′≥SD′，
当S，E，D′共线时等号成立，
此时，由AB＝1，SA＝，得SB＝2，
故SA′＝3，A′D′＝AD＝3，故BE＝2，
作EF∥CD交AD于F，连接SF，
则SE与CD所成角为∠SEF，
易得SF⊥EF，由SE＝2，EF＝1，
得cos∠SEF＝＝＝.
16．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠BAD＝，AB＝BC＝2AD＝4，E，F分别是
AB，CD上的点，EF∥BC，AE＝x，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如
图).
(1)当x＝2时：
①证明：EF⊥平面ABE；
②求二面角D－BF－E的余弦值；
(2)三棱锥D－FBC的体积是否可能等于几何体ABE－FDC体积的？并说明理由．
(1)①证明 在直角梯形ABCD中，因为∠ABC＝∠BAD＝，故DA⊥AB，BC⊥AB，
因为EF∥BC，故EF⊥AB.所以在折叠后的几何体中，有EF⊥AE，EF⊥BE，
而AE∩BE＝E，故EF⊥平面ABE.
②解 如图，在平面AEFD中，过D作DG⊥EF交EF于G.
在平面DBF中，过D作DH⊥BF交BF于H，连接GH.
因为平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF＝EF，DG⊂平面AEFD，故DG⊥平
面EBCF，
因为BF⊂平面EBCF，故DG⊥BF，而DG∩DH＝D，
故BF⊥平面DGH，又GH⊂平面DGH，故GH⊥BF，
所以∠DHG为二面角D－BF－E的平面角，
在平面AEFD中，因为AE⊥EF，DG⊥EF，
故AE∥DG，
又在直角梯形ABCD中，EF∥BC且EF＝(BC＋AD)＝3，
故EF∥AD，故四边形AEGD为平行四边形，
故DG＝AE＝2，GF＝1，
在Rt△BEF中，tan∠BFE＝，
因为∠BFE为三角形的内角，
故sin∠BFE＝，故GH＝1×sin∠BFE＝，
故tan∠DHG＝＝，
因为∠DHG为三角形的内角，
故cos∠DHG＝.
所以二面角D－BF－E的平面角的余弦值为.
(2)解 若三棱锥D－FBC的体积等于几何体ABE－FDC体积的，
则V ＋V ＝V ，
B－ADFE D－BFC D－BFC
即V ＝V .
B－ADFE D－BFC
由(1)的证明可知，DG⊥平面BEFC，
同理可证BE⊥平面AEFD，AE＝DG.
故V ＝×BE×S，其中S 为直角梯形ADFE的面积．
B－ADFE 1 1
而V ＝×DG×S ＝×AE×S ，
D－BFC △BCF △BCF
在直角梯形ABCD中，过D作BC的垂线，与EF，BC分别交于M，N，则＝，故FM＝，
所以FE＝＋2，
所以S＝×x＝.
1
所以V ＝×(4－x)×＝×(4－x)×.
B－ADFE
又S ＝×BE×BC＝2(4－x)，
△BCF
故V ＝×x×2(4－x)，
D－BFC
所以×(4－x)×＝××x×2(4－x)，
解得x＝2，
故当AE＝2时，三棱锥D－FBC的体积等于几何体ABE－FDC体积的.
