2026 年新高考第14 题分类训练
三角函数图像性质
考点
3 年考题
考情分析
三角函数图
像性质
2025 年新高考Ⅰ卷第4 题
2024 年新高考Ⅰ卷第7 题
2024 年新高考Ⅱ卷第9 题
2023 年新高考Ⅰ卷第15 题
2023 年新高考Ⅱ卷第16 题
三角函数会以单选题、多选题、填空题、解答题 4 类
题型进行考查，其中与图形结合的题型分布于填空难度
多为中档或较难，纵观近 3 年的新高考试题，该类题
型重点考查三角函数的图象特征分析、图象与几何图形
的综合应用、三角函数模型的实际几何建模等内容。可
以预测 2026 年新高考命题方向将继续以三角函数图象
与几何条件的结合、几何模型下的三角函数解析式构
建、图象交点与几何图形性质的关联考查等问题展开命
题。
1.（2025·新高考Ⅰ卷高考真题第4 题）一若点
是函数
的图象的
一个对称中心，则a 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解.
【解析】根据正切函数的性质，
的对称中心横坐标满足
，
即
的对称中心是
，即
，
又
，则
时
最小，最小值是
，即
.
故选：B
2．（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第7 题）当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【分析】画出两函数在
上的图象，根据图象即可求解
【解析】因为函数
的的最小正周期为
，
函数
的最小正周期为
，
所以在
上函数
有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6 个交点.
故选：C
3.（多选）（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第9 题）对于函数
和
，
下列正确的有（ ）
A．
与
有相同零点
B．
与
有相同最大值
C．
与
有相同的最小正周期
D．
与
的图像有相同的对称轴
【答案】 BC
【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【解析】A 选项，令
，解得
，即为
零点，
令
，解得
，即为
零点，
显然
零点不同，A 选项错误；
B 选项，显然
，B 选项正确；
C 选项，根据周期公式，
的周期均为
，C 选项正确；
D 选项，根据正弦函数的性质
的对称轴满足
，
的对称轴满足
，
显然
图像的对称轴不同，D 选项错误.
故选：BC
4.（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第15 题）已知函数
在区间
有且仅有3 个零点，则
的取值范围是________．
【答案】[2,3)
【分析】令
，得cosωx =1有3 个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【解析】因为0≤x ≤2π，所以0≤ωx ≤2ωπ，
令f ( x)=cosωx −1=0，则cosωx =1有3 个根，
令t =ωx，则cost =1有3 个根，其中t ∈[0,2ωπ]，
结合余弦函数
图像性质可得
，故
，
故答案为：[2,3).
5.（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第16 题）已知函数
，如图A，B 是直线
与曲线
的两个交点，若
，则
______．
【答案】
【分析】设
，依题可得，
，结合
的解可得，
，从而得到
的值，再根据
以及
，即可得
，进而求得
．
【解析】设
，由
可得
，
由
可知，
或
，
，由图可知，
，即
，
．
因为
，所以
，即
，
．
所以
，
所以
或
，
又因为
，所以
，
．
故答案为：
．
1.正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
(k∈Z)上是递增函数，
(k∈Z)上是递减函数
在[2kπ－π2kπ]
(k∈Z)上是递增
函数，在[2kπ，
2kπ＋π](k∈Z)上
是递减函数
在(k∈Z)
上是递增函数
周期性
周期是2kπ(k∈Z 且
k≠0)，最小正周期是2π
周期是2kπ(k∈Z
且k≠0)，最小正
周期是2π
周期是kπ(k∈Z 且k≠0)，最小
正周期是π
对称性
对称轴是
x ＝＋
kπ(k∈Z)，对称中心是
(kπ，0)(k∈Z)
对称轴是x ＝
kπ(k∈Z) ，对称
中心是
(k∈Z)
对称中心是(k∈Z)
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)
振幅
周期
频率
相位
初相
(A>0，ω>0)
A
T＝
f＝＝
φ
3.三角函数值域或最值的3 种求法
（1）形如y＝asin x＋bcos x＋k 的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式，确定ωx＋φ
的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)；
（2）形如y＝asin2x＋bsin x＋k 的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t 的二次函数求值
域
（3）形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c 的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关
于t 的二次函数求值域(最值)
4.求三角函数单调区间的2 种方法
就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数
的单调性列不等式求解；
5.已知单调区间求参数范围的3 种方法
求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；
6.三角函数周期的求解方法
（1）三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x 的最小正周期分别为2π，2π，π；
（2）y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为；
7.与三角函数奇偶性相关的结论
（1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
（2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．
（3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
8.三角函数的复合函数性质求法
把
视为一个“整体”，例分别与正弦函数
，余弦函数
的单调递
增（减）区间对应解出
，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由
2kπ−π
2 ≤ωx+ϕ≤2kπ+ π
2 (k ∈Z )
解出x 的范围所得区间即为增区间，由
2kπ+ π
2 ≤ωx+ϕ≤2kπ+ 3 π
2 (k ∈Z )
解出x 的范围，所得区间即为减区间
9.函数y＝sin x 的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
三角函数基本性质
1.（九江市2026 届第一次高考模拟统一考试）下列函数中，在
上单调递增的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当
时，
.
由余弦曲线知
在
上单调递减，又
是增函数，由复合函数单调性的
“同增异减”原则知
在
上单调递减，故A 不符合题意；
由正弦曲线知
在
上先单调递增再单调递减，又
是增函数，由复合
函数单调性的“同增异减”原则知
在
上先单调递增再单调递减，
故C 不符合题意；
当
时，
，由正弦曲线知
在
上单调递增，又
是增函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知
在
上
单调递增，故B 符合题意；
当
时，
，由正切曲线知
在
上单调递增，又
是减函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知
在
上单调递减，故D 不符合题意.
故选：B.
2.（2026 届江苏省G4 联考12 月）先将函数
图象上所有点的横坐标伸长为原来
的2 倍，纵坐标不变；再将图象上的所有点向左平移
个单位；所得图象的解析式为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】将函数
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），可
得函数
；再将所得的图象向左平移
个单位，得到的图象对应的解析式是
的图象．
故选：D
3.（湖南名校大联盟2026 届高三月考卷）将函数f (x)=sin(2 x−π
3 )的图象向左平移π
4
个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)图象的一条对称轴方程为（ ）
A．x = 5π
24
B．x = 7π
24
C．x =π
3
D．x =π
6
【答案】D
【解析】因为将函数f (x)=sin(2 x−π
3 )的图象向左平移π
4 个单位长度后得到函数g(x)的
图象，
所以g(x)=sin[2(x +π
4 )−π
3 )=sin(2 x +π
6 ).
(法一)当x = 5π
24 时，g(x)=sin(2×5π
24 +π
6 )=sin7π
12 ≠±1，A 不正确；
当x = 7π
24 时，g(x)=sin(2×7π
24 +π
6 )=sin3π
4 ≠±1，B 不正确；
当x =π
3 时，g(x)=sin(2×π
3 +π
6 )=sin5π
6 ≠±1，C 不正确；
当x =π
6 时，g(x)=sin(2×π
6 +π
6 )=sinπ
2 =1，D 正确.
故选：D.
（法二）令2 x +π
6 =π
2 +k π,k ∈Z，解得x =π
6 + k π
2 ,k ∈Z，即函数g(x)图象的
对称轴方程为x =π
6 + k π
2 ,k ∈Z.
当k =0时，x =π
6 ；当k =1时，x =2π
3 ；当k =2时，x =7π
6 ，
所以g(x)的图象在(0,π)上只有两条对称轴，分别为x =π
6 和x =2π
3 ，
故选：D.
4.（湖南怀化市2026 届高三下学期第一次模拟）已知函数
的两个相
邻零点间的距离为
，则
__________.
【答案】
或
【解析】令
，可得
，
因为函数
的两个相邻零点间的距离为
，则
，解得
，
若
，则
，可得
；
若
，则
，可得
；
综上所述：
或
5.（安徽省合肥市2026 届高三教学检测）已知函数
为偶
函数，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
的定义域为
，令函数
，
，即函数
是奇函数，
而函数
是偶函数，则函数
是奇函数，
因此
，解得
，又
，
所以当
时，
取得最小值
.
故选：C
6.（安徽省黄山市2026 届高三第一次质量检测）函数
的图象向
左平移
后关于
轴对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
向左平移
后解析式为
，
若其图象关于
轴对称，则
，则
，又因为
，则当
时，
取得最小值，为
.
故选：C.
取值范围
1.（湖南省名校联考联合体2025-2026 学年高三联考）函数
的
图象关于直线
对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】A
【解析】函数
的图象关于直线
对称，所以
，
，得
，
，因为
，所以当
时，
取最小值，为
，
故选：A.
2.（山东济宁市2026 年高考第一次模拟）将函数f (x)=sin(ωx +π
3 )(ω>0)的图象向左
平移π
6 个单位长度后，得到函数y = g(x)的图象，若g(x)图象的一个对称中心为(
π
2 ,0)，
则ω的最小值为（ ）
A．1
2
B．1
C．3
2
D．2
【答案】B
【解析】因为g(x)图象的一个对称中心为(
π
2 ,0)，故f (x)图象的对称中心为(
2π
3 ,0)，
故ω× 2π
3 +π
3 =k π,k ∈Z，故ω= 3k −1
2
,k ∈Z，而ω>0，故ωmin=1.
3. （湖南省联考2025-2026 学年高三上学期期末）已知ω>0，函数
f ( x)=cosωx + ❑√3 sinωx在区间(0, π
3)
上单调递增，则ω的最大值为________。
【答案】1
【解析】本题考查三角函数的图象与性质.f ( x)=cosωx + ❑√3 sinωx =2sin(ωx + π
6)，由
正弦函数的图象与性质可知ωπ
3 + π
6 ⩽π
2 ，得ω⩽1.
4.（江西省部分省示范高中2025-2026 学年高三一轮复习摸底）函数
在
上的值域是
，则
的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
，
，则
，
要使f(x)在
上的值域是
，
则
.
故选：C.
5.（广东省2026 年1 月普通高等学校招生适应性测试）已知函数
在
上单调递增，在
上单调递减，则
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
在
上递增，且
，故
，得
，即
，
在
上递减，且
，而
，
，
只需
，得
，综上，
.
故选：C
6.（吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026 学年高三上学期第三次摸底考试）已
知函数f (x)=sin ωx + ❑√3cosωx −❑√3(ω>0)在[0,π
2 )上有且仅有三个零点，则ω的取值
范围是（ ）
A．[
10
3 , 14
3 )
B．[
10
3 , 14
3 )
C．[4 , 14
3 )
D．[4 , 14
3 )
【答案】D
【解析】因为f (x)=sin ωx + ❑√3cosωx −❑√3=2(
1
2 sin ωx +
❑√3
2 cosωx)−❑√3，
故可得f (x)=2sin(ωx +π
3 )−❑√3，
由x∈[0,π
2 )，故可得ωx +π
3 ∈[
π
3 ,π
2 ω+π
3 )，
令f (x)=0，可得sin(ωx +π
3 )=
❑√3
2 ，
则ωx +π
3 =π
3 或2π
3 或7π
3 或8π
3 ，⋯，
因为sin(ωx +π
3 )=
❑√3
2 在[0,π
2 )上有且仅有三个解，
∴ 7π
3 ≤ωπ
2
+π
3 < 8π
3 ，解得ω∈[4 , 14
3 )．
故选：D.
取值范围，定义域有关m 的取值范围
1.（山东潍坊市2026 届2 月高考模拟）若函数
在区间
有且仅有两个零点，则实数
的最大值为 .
【答案】
【解析】
，当
时，
，
由题意可得
，即
，故实数
的最大值为
.
故答案为：
.
2.（湖北省部分市州2026 届高三上学期1 月联考）将函数
的图象向左平移
个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
的图象向左平移
个单位长度，
可得
，若图象关于原点对称，
则满足
，得
，
因为
，故当
时，
取得最小值
，
故选：C.
3.（宁波市2025 学年第一学期期末考试）将函数
的图象向左
平移
个单位长度，得到函数
的图象，若
在区间
上单调递增，则
的
最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
，
则
的单调递增区间满足
，
解得
，而
在区间
上单调递增，则必有
，解得
，也即
，又因为
，
所以
，
取最小值，所以
．
故选：C．
4.（江西省2026 届高中毕业班二月诊断考试）已知函数
.若方
程
在
上恰有85 个解，则
的取值范围为 .
【答案】
【解析】函数
的周期
，每个周期内
有2
个解，
在区间
内包含
（余
）个完整周期，
在完整周期内有
个解，故余下区间
内有1 个解，
设
，则
，
即
在区间
内有1 个解，
由任意角可得
在区间
内有1 个解，
解得
或
，
，
因为
，易得
，则有：
①区间
包含
但不包含
，
即
，且
，解得
，
②区间
包含
但不包含
，
即
，且
，解得
，
综上，
的取值范围为
.
图像几何有关问题
1.（山东淄博市2025-2026 学年高三下学期模拟）若函数
f (x)= A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π
2 )的部分图象如图所示，则关于x的不等式
f (x)≥❑√3的解集为______.
【答案】[
π
12 + k π,π
4 + k π),k ∈Z
【解析】由图象得A =2，f (0)=1，即sin φ = 1
2，而0<φ<π
2 ，则φ=π
6 ，
f (x)=2sin(ωx +π
6 )，又f ( 5π
12 )=0，则ω× 5π
12 +π
6 =2k π+π,k ∈Z，
解得ω= 24 k
5
+2,k ∈Z，函数f (x)的最小正周期T = 2π
ω ，由图象知π
ω > 5π
12 ，
则0<ω< 12
5 ，所以ω=2，f (x)=2sin(2 x +π
6 )，
由f (x)≥❑√3，得sin(2 x +π
6 )≥
❑√3
2 ，则π
3 +2k π≤2 x +π
6 ≤2π
3 +2k π,k ∈Z，
解得π
12 +k π≤x ≤π
4 +k π,k ∈Z，
即关于x的不等式f (x)≥❑√3的解集为[
π
12 +k π,π
4 + k π),k ∈Z.
2.（福建厦门大学附属科技中学2026 届高三下学期数学3 月限时训练）函数
y =sin (π x +φ)（φ>0）的部分图像如图所示，设P是图象的最高点，A ,B是图象与x轴
的交点，记∠APB =θ，则tanθ =________.
【答案】8
【解析】过P作PM ⊥x轴，如图所示：
由P是图象的最高点，所以|PM )=1，
又T = 2π
ω = 2π
π
=2，所以函数的最小正周期为2，
因为A ,B之间的距离为一个周期的长度，所以|AB)=2，
设∠PAM =α ,∠PBM = β，
所以在直角△PMA与直角△PMB中有：
tan α =|PM )
1
4 T
=
1
1
4 ×2
=2,tan β =|PM )
3
4 T
=
1
3
4 ×2
= 2
3，
在△PAB中，
∠APB+∠PAB+∠PBA =θ+α + β =π
¿
¿
，所以θ =π−(α + β)，
所以tanθ = tan[π−(α + β))=−tan (α + β)=−tan α + tan β
1−tan α tan β =−
2+ 2
3
1−2× 2
3
=8.
3.（江西省重点中学协作体2026 届高三第一次联考）已知
，函数
与
的图象相交，若相邻的三个交点恰好能构成一个等腰直角三角形的三个
顶点，则
________．
【答案】
【解析】由
，得
，整理得
，
解得
，则
，
不妨取函数
图象相邻的三个交点为
，
依题意，
是等腰直角三角形，由对称性得
，则
，
所以
.
故答案为：
4.（江西赣州市2025-2026 学年高三下学期摸底）已知函数
的图象如图所示，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由图可得
，
，
所以
，故
①，
又因为
，可得
，
又因为函数
在
附近单调递增，所以
②，
①
②得
，
令
，则
，则
，可得
，
由图可知，函数
的最小正周期
满足
，可得
，
即
，所以
，即
，
又因为
，则
，所以
，则
，
所以
，可得
，
因为
，所以
，则
，故
，
故
.
5.（湖北武汉市2026 届高中毕业生三月调研）如图，已知ω>0，在函数
f (x)=sin (ωx +φ)的部分图象中，其图象上的点A ,B ,C是同一直线上的三点，且该直线与
x轴交于点D，若|AD)=|DB)=|BC)=1，则ω=__________.
【答案】
❑√5π
4
【解析】因为|AD)=|DB)=|BC)=1，
点A ,B ,C是图象上的同一直线上的三点，直线与x轴交于点D，
A ,B两点关于D点对称.，C , D两点关于B点对称.，
设D( x0,0)，A( x0−a,b)，B( x0+a,−b)，C (x0+2a,−2b)，且a
2+b
2=1，a,b>0，
所以{
sin(ω x0−ωa+φ)=b
sin(ω x0+ωa+φ)=−b
sin(ω x0+2ωa+φ)=−2b)
①，则sin(ω x0−ωa+φ)+sin(ω x0+ωa+φ)=0，
所以2sin(ω x0+φ)cos(ωa)=0，故sin(ω x0+φ)=0或cos(ωa)=0，
若sin(ω x0+φ)=0，即D( x0,0)是f (x)的一个零点，不符合题意，
所以cos(ωa)=0，则ωa=π
2 +k π,k ∈Z，而2a<T = 2π
ω ⇒0<ωa<π，
所以ωa=π
2 ，结合①有2sin(ω x0+π
2 +φ)=sin(ω x0+π+φ)，所以
2cos(ω x0+φ)=−sin(ω x0+φ)，
而sin(ω x0−π
2 +φ)=−cos(ω x0+φ)=b，所以cos(ω x0+φ)=−b<0，
sin(ω x0+φ)=2b，
所以sin
2(ω x0+φ)+cos
2(ω x0+φ)=5b
2=1⇒b= 1
❑√5，a= 2
❑√5 ，
所以ω=π
2a =
❑√5π
4
.
三角函数综合
1.（2026 届T8 联考）图 1 是古书《天工开物》中记载的简车图. 简车是我国古代发明的
一种水利灌溉工具. 在农业上得到广泛应用. 在图 2 中,一个半径为 2m 的筒车按逆时针
方向每分钟转 1.5 圈,简车的轴心 O 距水面的高度为 ❑√3m . 设筒车上的某个盛水桶 P
(看作点)到水面的距离为 d (单位: m ) (若在水面下则 d 为负数),若以盛水桶 P 刚浮出
水面时开始计时, d
与时间 t ( 单位:s)
之间的关系为
d = A sin (ωt +φ)+ K(A >0,ω>0,−π
2 <φ< π
2)
,则 φ =
图 1 图 2
A. −π
3
B. −π
6
C. π
6
D. π
3
【答案】A
【解析】由题得筒车半径为 2m ,转动一圈需要 40 s,且轴心 O 距水面高度为 ❑√3m ,
∴A = (2+ ❑√3)−(❑√3−2)
2
=2,ω= 3 π
60 = π
20 , K = (2+ ❑√3)+(❑√3−2)
2
= ❑√3(m).
又以盛水桶 P 刚浮出水面时开始计时, ∴d (0)=0,∴sin φ =−
❑√3
2 . 又
−π
2 <φ< π
2 ,∴φ=−π
3 .
2.（黑龙江齐齐哈尔市2026 届高三第一次模拟）已知函数
f (x)=sin(x +φ)+sin x(0<φ<π)，若f (x)的图象关于直线x =π
4 对称，f (θ)=
❑√2
2 ，则
sin2θ的值为______.
【答案】−1
2/−0.5
【解析】函数f (x)=sin(x +φ)+sin x =2sin(x + φ
2)cos φ
2 ，因为函数f (x)图象关于直线
x =π
4 对称，
所以π
4 + φ
2 =π
2 + k π,k ∈Z，即φ=π
2 +2k π,k ∈Z，因为0<φ<π，所以φ=π
2 ，
所以f (x)= ❑√2sin(x +π
4 )，
又f (θ)=
❑√2
2 ，所以sin(θ+π
4 )= 1
2，
所以sin 2θ =sin[2(θ+π
4 )−π
2 )=−cos[2(θ+π
4 ))=−[1−2sin
2(θ+π
4 ))
=2sin
2(θ+π
4 )−1=2×( 1
2 )
2
−1= 1
2 −1=−1
2
.
3.（福建省福州市2026 届高三三月质量检测）已知向量
，
，
，
.若
（其中
表示不超过
的最大整数，如：
，
，则
的取值范围为______.
【答案】
【解析】因为
，所以
，
当
时，
，显然不成立；
当
时，
，显然成立，
当
时，
，显然不成立；
当
时，
，显然不成立；
当
时，
，显然不成立；
当
时，
，显然不成立；
当
时，
，显然不成立；
当
时，
，显然不成立；
所以
，
，
，
，
，
因为
，
所以
.
所以
的取值范围为
.
