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“8+3+3”73 分三轮冲刺保分强化训练(4)
(时间：45 分钟分值：73 分)
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2026·江苏·一模）设集合
，
，若
含有4 个元素，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【解题思路】根据集合元素的互异性及并集的概念求解即可.
【解析】根据集合元素的互异性可知，
，
.
因为
含有4 个元素，所以
仅含有1 个元素，
若
，则
或
，所以
或
.
若
，则
.
结合集合元素的互异性可知
或
.
当
时，
，
，
，符合题意.
当
时，
，
，
，不符合题意.
综上，
.
2．（2026·北京密云·一模）已知数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．35
B．11
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，即
，
可知数列
是以首项为
，公差为
的等差数列，
则
，所以
.
3．（2026·山西晋中·模拟预测）若随机变量
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】结合正态分布曲线的对称性，得到
，结合
，即可求解.
【解析】由随机变量
，可得正态分布曲线关于
对称，
因为
，所以
，
又因为
，所以
，
所以
.
4．（2026·山东滨州·一模）在
中，已知
，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解题思路】利用正弦定理进行边角互化，结合同角三角函数关系式，求得
，再根据余弦定理求得
的长.
【解析】因为
，所以由正弦定理
，
得
，所以
.
因为
，所以
.
所以
，即
.
又
，所以
，
整理得，
，即
因为
，所以
，所以
.
所以
，所以
.
由余弦定理
，
得
，解得
.
因为
，所以
.
5．（2026·河北保定·一模）已知函数
在区间
上的值域为
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】B
【解题思路】依题意构造函数
，利用函数的奇偶性定义判断其为奇函数，即得函数
的图象关
于点
对称，结合题意即可求得答案.
【解析】由题意，
，
,
令函数
，
则
，
所以
为奇函数，图象关于
对称，故
的图象关于点
对称，
因函数
在对称区间
上的值域为
，故
．
6．（2026·山东济宁·一模）四面体
中，平面
平面
，
，
，
则该四面体外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】先由正弦定理求出
的外接圆半径
，作
于点
，求得
，证明
，先后求得
，得
，求出
，进而
，推得点
为该四面体外接球的球心，
即可求得其表面积.
【解析】如图，设
的外心为点
，过点
作
于点
，连接
，
取
边的中点为点
，连接
，则
.
因平面
平面
平面
平面
，
平面
，
则
平面
又
平面
故
.
因为
，
，所以
，
在
中，由正弦定理，
，解得
，
在
中，
，则
，
在
中，由面积相等可得
，解得
，
则
，
，
在
中，
，在
中，
，
即
，故点
为该四面体外接球的球心，故其表面积为
.
7．（2026·天津河东·一模）已知双曲线
与抛物线
有相同的焦点
，
抛物线的准线与双曲线交于
，
两点，三角形
为等边三角形，双曲线的一条渐近线与抛物线交于原点
与
另一点
，三角形
的面积为
，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】通过双曲线与抛物线的定义找出
，将抛物线的准线方程代入双曲线方程解出
两点坐标，
联立双曲线渐近线方程与抛物线方程，找出
的关系求解.
【解析】双曲线的右焦点为
，抛物线的焦点为
，
由焦点相同得
，即
，
将抛物线的准线
代入双曲线方程，得
，
，
故
，
，则
，
为等边三角形，
，
双曲线的渐近线方程为：
，
根据对称性，不妨取其中一条渐近线
与抛物线方程联立：
，消元得
，对应
，即
，
，即
，
，得
所以双曲线的方程为：
8．（2026·安徽合肥·一模）已知函数
有且仅有三个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解题思路】令
，利用导函数研究其单调性画出图象，将问题转化为一元二次方程
的根的问题即可求解.
【解析】因为
有且仅有三个零点，则方程
有且仅有三个根，
令
，则
，
由
得
；
得
；
则
在
单调递增，在
上单调递减，则
，
因为
时
；
时
，且
时
，
所以
的函数图象如图：
因为
不是
的根，
所以
有两个根，其中一个根位于
，另一根位于
或另一根是
，
但方程
的两根的乘积为
，
所以
一个根位于
，另一根位于
，
则
，得
，
故
的取值范围是
.
故选：C
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（2026·宁夏银川·一模）某市气象部门对本市的温度
（单位：℃）与相对湿度
进行研究，记录了五组数据
如表所示：
温度
28
25
22
19
16
相对湿度
41
48
62
65
70
已知
与
线性相关，根据表中的数据计算得经验回归方程为
，则（ ）
A．
与
负相关
B．经验回归直线一定经过点
C．当温度为10℃时，相对湿度大约为87.2%
D．样本相关系数
【答案】AC
【解析】A.由表格可知，温度
越小，
越大，所以
与
负相关，故A 正确；
B.
，
，所以经验回归直线一定经过点
，故B
错误；
C.
，得
，所以
，当
时，
，
所以当温度为
时，相对湿度大约为
，故C 正确；
D.因为
与
负相关，所以样本相关系数
，故D 错误.
10．（2026·江西·一模）在
中，三个内角
所对的边分别为
，若
，
，
的面积为1，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解题思路】由
及
结合降幂公式、和差化积公式得到
，即
可判断C；进而得到
即可判断B；再结合
及三角形的面积公式可求解判断A；结合
求出
，再结合正弦定理求解判断即可.
【解析】由
知，
，
化简可得
，
根据和差化积公式可得：
，
则
，即
，
由
知，
，
所以
，即
，故C 正确；
由
，得：
，所以
，故B 不正确；
在
中，由
，知
，故A 正确；
由
知，
，
又
，则
，又
，
由正弦定理得，
，故D 不正确.
11．（25-26 高三下·湖南长沙·开学考试）已知
（
且
），若
，且
（e 为自然对数的
底数），则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解题思路】首先判断
，令
，利用导数说明函数的单调性，即可判断A；令
，
即可判断B；令
，利用导数说明函数的单调性，得到
，即可判断C；令
，
，利用导数说明函数的单调性，即可判断D.
【解析】由
，可知
或
，
又
，因
同正，两边同除以
可得
，
令
，则
，
所以当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
且
，此时
与题意不符合；
当
且
时，
，故
．
令
，则
，
当
时，
，
在
上单调递减，
又
，所以
，所以
，
所以
，故A 正确；
令
，则
，
所以当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
因为
，所以当
时，
，
即
，即
，故B 错误；
令
，则
，
记
，则
，
所以
，则
，所以
在
上单调递增，
所以
，即
，即
，
所以
，即
，故C 正确；
令
，
，
则
，
令
，
，则
，即
在
上单调递增，
所以
，
，
在
上单调递增，
所以
，即
，故D 正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（2026·广东·模拟预测）已知
，
，若
，则
的最小值为
__________.
【答案】
【解题思路】根据复数的几何意义将问题转化为平面向量问题，再结合点到直线的距离公式求解即可.
【解析】将复数转至复平面上进行研究，则复数
对应的向量为
，复数
对应的向量为
，
若复数
，则其所对应的向量
，故复数
在复平面上对应的点
在
直线
上.
直线
的斜率
，所以直线
的方程为
，即
，
因为
,所以
的最小值为原点到该直线的距离
.
故答案为：
.
13．（2026·江西·模拟预测）直线
的倾斜角为________．
【答案】
【解题思路】根据给定方程，求出该直线斜率，结合诱导公式求出倾斜角.
【解析】设直线
的倾斜角为
，则
，
而
，所以
.
故答案为：
14．（2026·天津河东·一模）篮球有不同的型号，比如男篮和女篮的比赛用球无论是质量还是大小均不相同，儿童
一般用3 号球，半径约9 厘米.一款儿童篮球为标准球体，半径9 厘米，球面上有三点
、
、
，它们相互之间
的直线距离均为9 厘米，球面上有一动点
，则点
到平面
的距离的最大值为__________厘米.
【答案】
【解题思路】求出球心到平面
的距离
，点
到平面
的距离的最大值为
，即可求出答案.
【解析】如图，
为球心，
为
的中心，
为
中点，
设球
半径为
，
由题意知
为等边三角形，
，
，
则
，
，
在
中，
，
即球心
到平面
的距离
，
当
三点共线时，点
到平面
的距离最大，最大值为
.
