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专项突破 11 解直角三角形模型
【思维导图】
◎突破一 背靠背型
例．（2021·甘肃武威·中考真题）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535
年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平
凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图2，宝塔 垂直于地面，在地面上选取 两处分别测得 和 的度数（
在同一条直线上）．
数据收集：通过实地测量：地面上 两点的距离为 ．
问题解决：求宝塔 的高度（结果保留一位小数）．
参考数据： ， ．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
【答案】
【分析】设 ，再利用锐角三角函数用含 的代数式表示 再列方程，解方程可得答案．【详解】解： 设 ，
在 中， ，
在 中， ，
，
解得， ．
答：宝塔的高度约为 ．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用直角三角形中的锐角三角函数建立边与边之间的关
系是解题的关键．
专训1．（2021·上海杨浦·一模）如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B、C两点，对岸岸边有一块
石头A，在 中，测得 ， ， 米，求河宽（即点A到边 的距离）（结果精
确到0.1米）．
（参考数据： ， ， ， ）
【答案】河宽约为33.6米
【分析】过A作AD⊥BC于D，并设AD=x米，则由已知条件可以得到关于x的方程，解方程即可得到河的
宽度．
【详解】解：如图，过A作AD⊥BC于D，并设AD=x米，
∵ ∠C=45°，∴∠DAC=90°-45°=45°，∴CD=AD=x，
∵∠B=64°，
∴BD= ，
∵BC=50 米，∴ ，
解之得：x≈33.6，
答：河宽约33.6米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义并结合方程思想求解是解题关键．
专训2．（2021·四川攀枝花·九年级期末）如图，从一个建筑物的A处测得对面楼BC的顶部B的仰角为
32º，底部C的俯角为45º，观测点与楼的水平距离AD为31m，则楼BC的高度大约为多少米？（结果取整
数）．（参考数据： ， ， ）
【答案】50．
【分析】在R△ABD中，根据正切函数求得BD=AD•tan32°=31×0.6=18.6，在R△ACD中，求得
t t
BC=BD+CD=18.6+31=49.6m．结论可求．
【详解】解：在Rt△ABD中，
∵AD=31,∠BAD=32°，
∴BD=AD⋅tan32°=31×0.6=18.6，
在Rt△ACD中，
∵∠DAC=45°，
∴CD=AD=31，
∴BC=BD+CD=18.6+31≈50m．
答：楼BC的高度大约为50米．
【点睛】本题考查了仰角与俯角的知识，注意能借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题
的关键．
专训3．（2021·全国·九年级专题练习）为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温监测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测
温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表．
名称 红外线体温检测仪
安装示意图
探测最大角：∠OBC=73.14°
技术参数
探测最小角：∠OAC=30.97°
本设备需安装在垂直于水平地面AC的支架
安装要求
CP上
根据以上内容，解决问题：
学校要求测温区域的宽度AB为4m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin73.14°≈0.957，cos73.14°≈0.290，tan73.14°≈3.300，sin30.97°≈0.515，
cos30.97°≈0.857，tan30.97°≈0.600）
【答案】该设备的安装高度OC约为2.9m．
【分析】根据题意可得OC⊥AC，∠OBC=73.14°，∠OAC=30.97°，AB=4m，所以得AC=AB+BC=4+BC，
根据直角三角形锐角三角函数列式计算即可．
【详解】根据题意可知：
OC⊥AC，∠OBC=73.14°，∠OAC=30.97°，AB=4m，
∴AC=AB+BC=4+BC，
∴在Rt△OBC中，BC= ，
在Rt△OAC中，OC=AC•tan∠OAC≈(4+BC)×0.6，
∴OC=0.6 (4+ )，
解得OC≈2.9（m）．
答：该设备的安装高度OC约为2.9m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据三角函数得到关于OC的方程是解题的关键．◎突破二 子母型
例．（2021·安徽马鞍山·三模）如图，在数学综合实践活动中，某小组想要测量某条河的宽度 ，小组成
员在专业人员的协助下利用无人机进行测量，在 处测得 ， 两点的俯角分别为45°和30°（即
， ）．若无人机离地面的高度 为120米，且点 ， ， 在同一水平直线上，
求这条河的宽度 ．（结果精确到1米）．（参考数据： ， ）
【答案】88米
【分析】在Rt△APQ和Rt△BPQ中，利用锐角三角函数，用PQ表示出AQ、BQ的长，然后计算出AB的
长．
【详解】解： ，
， ，
在Rt△APQ中， ，
，
（米），
在Rt△BPQ， ，
（米），
（米），
答：这条河的宽度 约为88米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题．解决本题的关键是用含PQ的式子表示出AQ
和BQ．
专训1．（2020·河南师大附中九年级阶段练习）某校九年级数学兴趣小组的活动课题是“测量物体高度”．
小组成员小明与小红分别采用不同的方案测量同一个底面为圆形的古塔高度，以下是他们研究报告的部分记录内容：
课题：测量古塔的高度
小明的研究报告 小红的研究报告
图示
用距离地面高度为1.6m的测角器测出
测量方案 在点A用距离地面高度为1.6m的测角器测出古
古塔顶端的仰角为35°，再用皮尺测得测
与测量数 塔顶端的仰角为17°，然后沿AD方向走58.8m
角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离
据 到达点B，测出古塔顶端的仰角为45°．
为30m．
sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.30，
参考数据 sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70
≈1.41
计算古塔
高度（结
30×tan35°+1.6≈22.6（m）
果精确到
0.1m）
（1）写出小红研究报告中“计算古塔高度”的解答过程；
（2）数学老师说小红的结果较准确，而小明的结果与古塔的实际高度偏差较大．针对小明的测量方案分
析测量发生偏差的原因；
（3）利用小明与小红的测量数据，估算该古塔底面圆直径的长度为 m．
【答案】（1）见解析；（2）小明测量的只是测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离，不是测量测角
器所在位置与底面圆心的最短距离；（3）12．
【分析】（1）设CH＝x，在Rt△CHF中根据∠CFH＝∠FCH＝45°，可知CH＝FH＝x，在Rt△CHE中根
据tan∠CEH＝ 可得出x的值，由CD＝CH+DH即可得出结论；
（2）小明测量的只是测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离，不是测量测角器所在位置与底面圆心
的最短距离；
（3）根据小明与小红的计算结果得出古塔底面的半径，进而可得出结论．
【详解】解：（1）设CH＝x，
在Rt△CHF中，∵∠CFH＝∠FCH＝45°，
∴CH＝FH＝x，在Rt△CHE中，
∵tan∠CEH＝ ，
∴ ＝tan17°＝0.30，
∴x＝25.2，即CH＝25.2（m），
∴CD＝CH+DH＝25.2+1.6＝26.8（m），
答：古塔CD的高度为26.8m；
（2）原因：小明测量的只是测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离，不是测量测角器所在位置与底
面圆心的最短距离．
（3）如图，在EH上取一点P使∠CPH＝35°，则PG＝30，
在Rt△CHP中，CH＝25.2，
∴PH＝ ＝ ＝36，
∴GH＝PH﹣PG＝6，
∴该古塔底面圆直径的长度＝2×6＝12（m）．
故答案为：12．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
专训2．（2020·山东青岛·九年级期末）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌 ，小明在斜坡的坡脚 处
测得宣传牌底部 的仰角为 ，沿斜坡 向上走到 处测得宣传牌顶部 的仰角为 ，已知斜坡
的坡度 ， 米， 米，求宣传牌 的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：
， ，【答案】宣传牌 的高度为2米．
【分析】过E分别作CD、AC的垂线，设垂足为F、C，则CF=EG，CG=EF，然后在 、 、
中解直角三角形即可．
【详解】解：过 分别作 、 的垂线，设垂足为 、 ，
则 ， ，
在 中，
斜坡 的坡度 ， 米，
设 米， 米，
，
，
米， 米，
在 中， ，
米，
（米），
在 中， （米），
（米）．
答：宣传牌 的高度为2米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题，正确作出辅助线、构建直角三角形，将实
际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
专训3．（2020·四川凉山·九年级阶段练习）四川省委书记杜青林、国家旅游局副局长张希钦2006年12月
16日向获得“中国优秀旅游城市”称号的西昌市授牌，并修建了标志性建筑——马踏飞燕，如图．某学习
小组把测量“马踏飞燕”雕塑的最高点离地面的高度作为一次课题活动，制定了测量方案，并完成了实地
测量，测得结果如下表：
课题 测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度如图，雕塑的最高点B到地面的高度为 ，
在测点C用仪器测得点B的仰角为α，前进一
测量示意图 段距离到达测点E，再用该仪器测得点B的仰
角为β，且点A，B，C，D，E，F均在同一竖
直平面内，点A，C，E在同一条直线上．
仪器 （ ）
的度数 的度数 的长度
的高
测量数据
31° 42° 3米 1.65米
请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留到十分
位）．（参考数据： ， ， ， ， ，
）
【答案】 米
【分析】在两个直角三角形中，用BG表示DG、FG，进而用 DG−FG＝DF＝3列方程求出BG即可．
【详解】如图，延长DF与AB交于点G，
设BG＝x米，在Rt BFG中，
△
FG＝ ，
在Rt BDG中， ，
△由DG−FG＝DF得， ，
即 ，
解得，x＝5.4，
∴AB＝AG＋BG＝1.65＋5.4＝7.05 7.1（米），
答：这座“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度为7.1米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，用BG表示DG、FG是列方程求解的关键．
◎突破三 拥抱型
例．（2021·黑龙江大庆·一模）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼
AB的高度进行测量，先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶
端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°，已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N
距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到1m）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，
tan55°≈1.43）．
【答案】30米
【分析】过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，可得AE＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC＝35，再根据
锐角三角函数可得BE的长，进而可得AB的高度．
【详解】解：过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，
则AE＝MN＝CF＝1.6，
EF＝AC＝35，
∠BEN＝∠DFN＝90°，
EN＝AM，NF＝MC，则DF＝DC﹣CF＝16.6﹣1.6＝15，
在Rt△DFN中，
∵∠DNF＝45°，
∴NF＝DF＝15，
∴EN＝EF﹣NF＝35﹣15＝20，
在Rt△BEN中，
∵tan∠BNE＝ ，
∴BE＝EN•tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43≈28.6，
∴AB＝BE+AE＝28.6+1.6≈30．
答：居民楼AB的高度约为30米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
专训1．（2020·河南省实验中学九年级阶段练习）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中
高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高54m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再
沿AC方向前进22m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°．
（1）求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.5，cos34°≈0.8，tan34°≈0.6， 1.73）
（2）“景点简介”显示，“炎帝”塑像高度为63m，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差
的合理化建议．
【答案】（1）64m；（2）误差为0.36，减小误差的合理化建议：多次测量，求平均值．
【分析】（1）根据正切的定义用x表示出BC，再根据正切的定义求出AC，结合图形列出方程，解方程
即可得到答案；
（2）根据平均数的性质即可题出建议即多次测量，求平均值．
【详解】（1）解：设DE=xm，则DC=（x+54）m．
在Rt△DCB中，tan∠DBC ，∴BC （x+54）．
在Rt△ECA中，tanA ，
∴AC 90，
由题意得：90 （x+54）=22，
解得：x≈64，
答：炎帝塑像DE的高度约为64m．
（2）由（1）知 ，误差为
减小误差的合理化建议：多次测量，求平均值．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数
的定义是解题的关键．
专训2．（2021·云南师大附中九年级期末）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）
的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高54m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC
方向前进22m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：
sin34°≈0.5，cos34°≈0.8，tan34°≈0.6， ≈1.73）
【答案】炎帝塑像DE的高度约为64m．
【分析】根据正切的定义用x表示出BC，再根据正切的定义求出AC，结合图形列出方程，解方程得到答
案．
【详解】解：设DE=xm，则DC=(x+54)m，
在Rt△DCB中，tan∠DBC= ，∴BC= = = (x+54)，
在Rt△ECA中，tanA= ，
∴AC= ≈ =90，
由题意得，90﹣ (x+54)=22，
解得，x≈64，
答：炎帝塑像DE的高度约为64m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义
是解题的关键．
专训3．（2020·山西太原·模拟预测）山西大学主校区内有一座毛主席塑像，落成于1969年12月26日．
是山西大学的标志性建筑之一，目前已被列入保护文物．综合与实践小组的同学们开展了测量这一毛主席
塑像高度的活动．他们在该塑像底部所在的平地上，选取一个测点，测量了塑像顶端的仰角，调高测倾器
后二次测量了塑像顶端的仰角．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数及测倾器高度时，都分别测量
了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表．
课
题
成
员 测量毛主席塑像的高度组长：XXX 组员：XXX，XXX，XXX
测倾器，皮尺等
测
量
工
具
测
说明：线段 的长表示塑像从最高点到地面之间的距离， 为测
量
点，线段 ， 表示测倾器（点 在 上），点 ， ， ，
示
， 都在同一竖直平面内，且 ， ； 、
意
图 表示两次测量的仰角，点 ， 在 上．
测量项目 第一次 第二次 平均值
测
量
数 的度数据 的度数
测倾器 的高
测倾器 的高
任务：
（1）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出毛主席塑像的高度；（参考数据：
， ， ， ， ，
）
（2）该综合与实践小组在制定方案时，讨论“用已知高度的侧倾器 测出仰角 ，再测出 的长
来计算塑像高度 ”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）
【答案】（1）毛主席塑像的高度为 ；（2）因为塑像下半部分为底座，其底部不可直接到达，不能
准确测出 ．
【分析】（1）根据题意AB BC，CE BC，AB EG，AB DF，可推得四边形BCEG与四边形DEGF
都是矩形，其中BG=CE=1.70m， ，EG=DF，在 AEG和 ADF分
别用正切函数写出对应边的式子，即可求得AG的长度，则AB的长度可求；
（2）因为塑像下半部分为底座，其底部不可直接到达，不能准确测出BC．
【详解】解：（1）由题意，得AB BC，CE BC，AB EG，AB DF，
∴ ，
∴四边形BCEG与四边形DEGF都是矩形，
∴BG=CE=1.70m， ，EG=DF，
在 AEG中，∠AEG=33.5°，∠AGE=90°，
且 ，即 ，
在 ADF中，∠ADF=35.0°，∠AFD=90°，
，即 ，∴ ，即 ，
解得：AG=10.56m，
∴AB=AG+BG=10.56+1.70=12.26m，
答：毛主席塑像的高度为12.26米．
（2）因为塑像下半部分为底座，其底部不可直接到达，不能准确测出BC．
【点睛】本题主要考察了三角函数的实际应用，解题的关键是找出两个直角三角形，并运用正切函数写出
对应边的比例式子．
