第 02 讲 二次函数 y=ax ²与 y=ax ²+c 的图像和性质
知识点1：二次函数y=ax²的图像和性质
知识点2：二次函数y=ax²+c的图像和性质
1. y=ax²的图像画法：
（1）应先列表，（2）再描点，（3）最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选
取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。
【问题1】在平面直角坐标系中画出y＝x2的图象并简单描述其性质。
【解答】解：（1）列表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 4 1 0 1 4 …
（2）描点、连线：
．
二次函数y＝x2 的性质：（1）y＝-x2 图像是一条抛物线（2）关于y轴对称
（3）开口向上（4）顶点（0，0）（5）当x＜0时，y随x的增大而减少，
当x＞0时，y随x的增大而增大；（6）有最低点.
【问题2】在平面直角坐标系中画出y＝﹣x2函数的图象．
【解答】解：列表得：
﹣2 ﹣1 0 1 2﹣4 ﹣1 0 ﹣1 ﹣4
y＝﹣x2
描点、连线可得图象为：
．
二次函数y＝-x2 的性质：（1）y＝-x2图像是一条抛物线（2）关于y轴对
称（3）开口向下（4）顶点（0，0）（5）当x＜0时，y随x的增大而增大，
当x＞0时，y随x的增大而减少；（6）有最高点.
2. y=ax²的图像的性质
小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线 来说， 越大，抛物线的开口越
小 y = ax²
【题型1：二次函数y=ax²的性质】
【典例1】（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）已知抛物线y=x2，则以下说法中，错误
的是（ ）
A．开口向上 B．顶点坐标是(0,0)C．对称轴是直线x=0 D．当x=0时，y有最大值为0
【变式1】（24-25九年级上·湖北恩施·期末）下列关于抛物线y=5x2的说法正确的是
（ ）
A．图象开口向下 B．对称轴是y轴
C．有最高点 D．y随x的增大而增大
【变式2】（24-25九年级下·浙江温州·期末）已知二次函数y=−2x2，则该函数图象一定
经过点（ ）
A．(2,4) B．(−2,8) C．(−2,−8) D．(2,−4)
【变式3】（24-25九年级上·山东淄博·期末）抛物线y=−2x2的顶点坐标为 ．
【题型2：二次函数y=ax²的图像】
【典例2】（24-25九年级上·河南周口·期末）已知二次函数 ， ，
y =a x2 y =a x2
1 1 2 2
， 的图象如图所示，则 ， ， ， 的大小关系是（ ）
y =a x2 y =a x2 a a a a
3 3 4 4 1 2 3 4
A．a <a <a <a B．a <a <a <a
3 4 1 2 4 3 1 2
C．a <a <a <a D．a <a <a <a
4 3 2 1 3 4 2 1
【变式1】（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，杜老师在黑板上画出了二次函数
的图象，则 的取值范围是（ ）
y=(2−a)x2 aA．a<2 B．a>2 C．a>0 D．a<0
【变式2】（九年级·安徽滁州·阶段练习）如图，各抛物线所对应的函数解析式为：①
y =ax2
；②
y =bx2
；③
y =cx2
；④
y =dx2
，比较
a,b,c,d
的大小，用“>”连接为
1 2 3 4
（ ）．
A．a>b>d>c B．b>a>c>d C．a>b>c>d D．b>a>d>c
【变式3】（24-25九年级上·贵州黔南·期中）二次函数y=2x2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【题型3：二次函数y=ax²的中的y值大小比较】
【典例3】（24-25九年级上·河南郑州·期中）点 ( 1 ) 都在二次函数
(−1,y ), − ,y ,(2,y )
1 2 2 3
y=−x2的图象上，则y ,y ,y 的大小（ ）
1 2 3
A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
3 2 1 1 2 3 2 1 3 2 3 1
【变式1】（24-25九年级上·河北保定·期末）已知 ，且点 ， ，
a>1 (a−1,y ) (a,y )
1 2都在函数 的图象上，则（ ）
(a+1,y ) y=−x2
3
A．y <y <y B．y <y <y C．y <y <y D．y <y <y
1 2 3 1 3 2 3 2 1 2 3 1
【变式2】（24-25九年级上·山东淄博·期末）若点 ， ， 都在二次函数
(0,y ) (−1,y ) (2,y )
1 2 3
y=x2的图象上，则（ ）
A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
3 2 1 2 1 3 1 3 2 3 1 2
【变式3】（24-25九年级上·贵州·阶段练习）已知抛物线y=ax2（a<0）过点M(2,m)，
N(−1,n)两点，则下列关系式一定正确的是（ ）
A．m<0<n B．n<0<m C．m<n<0 D．n<m<0
【题型4：二次函数y=ax²图像及性质的实际应用】
【典例4】（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，菱形OABC的顶点O，A，C在抛
1
物线y= x2上，其中点O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB=2．则菱形
3
OABC的面积是（ ）
A．2❑√2 B．4❑√2 C．2❑√3 D．4❑√3
1
【变式1】（2024·广东清远·模拟预测）如图，正方形OABC与抛物线y=− x2相交于点
4
B(m,−1)，则正方形OABC面积为（ ）
3 5
A．1 B． C． D．3
2 2【变式2】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，A，B为抛物线y=x2上两点，且线段
AB⊥y轴．若AB=6，则点A的坐标为（ ）
A．(3,3) B．(3,9) C．(−3,3) D．(−3,9)
【变式3】（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知抛物线y=2x❑ 2，正方形
ABCD的顶点A、B在抛物线上，顶点C、D在x轴上，求点A的坐标．
【问题1】画出函数y＝x2﹣1的图象．
【解答】解：∵次函数y＝x2﹣1的顶点坐标为：（0，﹣1），当y＝0时x＝1或x＝﹣
1，
∴此图象与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣1，0），
∴其图象如图所示：
二次函数y＝x2﹣1的性质：（1）y=x2﹣1 图像是一条抛物线（2）关于y
轴对称（3）开口向上（4）顶点（0，-1）（5）当x＜0时，y随x的增大而减少，当x＞0时，y随x的增大而增大；（6）有最低点.
【问题2】画出函数y＝﹣x2+1的图象．
【解答】解：列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣8 ﹣3 0 1 0 ﹣3 ﹣8 …
描点、连线如图．
二次函数y＝-x2+1的性质：（1）y=-x2+1 图像是一条抛物线（2）关于y轴
对称（3）开口向下（4）顶点（0，1）（5）当x＜0时，y随x的增大而增
大，当x＞0时，y随x的增大而减少；（6）有最高点.
总结：
1.y=ax²+c的图像的性质
【题型5：二次函数y=ax²+c的性质】
【典例5】（24-25九年级上·吉林·期中）对于抛物线 y=−3x2+1，下列说法不正确的是
（ ）
A．图象开口向下 B．最小值是1C．顶点坐标为(0,1) D．对称轴为y轴
【变式1】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）抛物线y=−x2−2的顶点坐标是（ ）
A．(−2,0) B．(2,0) C．(0,2) D．(0,−2)
【变式2】（24-25九年级下·广东湛江·阶段练习）下列关于抛物线y=−x2−9的说法，正
确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．向右平移3个单位得到
y=−(x+3) 2−9
C．抛物线的对称轴是直线x=0
D．抛物线的顶点坐标为(1,−9)
【变式3】（2025·广东潮州·模拟预测）关于二次函数y=2x2+1，下列说法错误的是
（ ）
A．y的最大值为1 B．图象与y轴的交点坐标为(0,1)
C．当x<0时，y的值随x值的增大而减小 D．图象的对称轴是y轴
【题型6：二次函数y=ax²+c的图像】
【典例6】（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数
y=ax2+k（a≠0，k>0）的图象可能是下图中的（ ）．
A． B． C． D．
【变式6-1】（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数
y=mx2−m的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ）
A．D点 B．C点 C．B点 D．A点
【变式6-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知二次函数y=ax2+b的大致图象如图所示，则y=bx2+a的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
【题型7：二次函数y=ax²+c中y值大小比较】
【典例7】（2025·广东珠海·三模）若点 都在二次函数
(0,y )，(1,y )，(2,y ) y=x2+1
1 2 3
图象上，则（ ）
A．y <y <y B．y <y <y C．y <y <y D．y <y <y
1 2 3 2 3 1 3 1 2 2 1 3
【变式1】（2025·河南驻马店·二模）点 是抛物线 上
A(x ,y ),B(x ,y ) y=−2x2−2
1 1 2 2
的点，且 ，则 与 的大小关系为（ ）
|x )>|x ) y y
1 2 1 2
A．y = y B．y >y C．y <y D．无法确定
1 2 1 2 1 2
【变式2】（24-25九年级上·河南郑州·期末）二次函数y=−2x2+1的图象经过点A(1,a)，
B(2,b)，则a b．（填“>”、“<”或“=”）
【变式3】（24-25九年级上·广东阳江·期末）点 ， 都在二次函数
A(1,y ) B(2,y ) y=x2+1
1 2
的图象上，则y y ．（填“>”、“=”或“<”）．
1 2
一、单选题
1．（2025八年级下·全国·专题练习）下列函数中，y随x增大而减小的是（ ）
A．y=5x B．y=−x2C．y=−2x+1 D．y=2x+1
2．（24-25九年级上·广西梧州·期末）二次函数y=2x2的图象是（ ）
A．直线 B．双曲线 C．抛物线 D．不确定
3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）抛物线y=−x2+2024的对称轴是（ ）
A．直线x=2024 B．直线x=−2024
C．x轴 D．y轴
4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线y=−x2−2的顶点坐标是（ ）
A．(−2,0) B．(2,0) C．(0,2) D．(0,−2)
5．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）抛物线y=−x2−3开口方向是（ ）
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
6．（24-25九年级上·北京·期中）抛物线y=2x2不具有的性质是（ ）
A．开口向上 B．与x轴不相交
C．对称轴是y轴 D．最低点是坐标原点
7．（24-25九年级上·山东临沂·期末）若点(0,y )，(1,y )，(2,y )都在二次函数
1 2 3
y=x2+2的图象上，则（ ）
A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
2 1 3 3 2 1 1 3 2 3 1 2
8．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，二次函数y=−2x2+1的图象是（ ）
A． B．
C． D．
1 1
9．（24-25九年级上·北京通州·期末）关于函数y=−2x2，y= x2，y=3x2，y=− x2
3 3
的图象的共同点，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．都有最低点C．y随x增大而增大 D．对称轴是y轴
10．（23-24九年级上·河北·阶段练习）当−2≤x≤1时，函数y=−2x2的最大值与最小值
的和为（ ）
A．3 B．−10 C．−8 D．−2
二、填空题
11．（24-25九年级上·广西南宁·期中）拋物线y=3x2的对称轴是 轴．
12．（24-25九年级上·山东淄博·期末）抛物线y=−2x2的顶点坐标为 ．
1
13．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）若抛物线y=ax2与y=− x2形状相同，开口方
2
向相反，则抛物线的解析式为 ．
14．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知二次函数y=x2的图象经过点A(2,b)，则b=
．
15．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）对于二次函数y=−5x2+3，当−2≤x≤1时，
y的取值范围是 ．
16．（24-25九年级上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,2)和点
，若抛物线 与线段 恰有一个公共点，则a的取值范围是
B(−1,2) y=ax2(a≠0) AB
．
三、解答题
17．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知抛物线y=ax2经过点(−1,2)，(2,m)．
(1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标：
(2)求m的值；
18．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）已知抛物线y=ax2经过点A(−2,−8)．
(1)求此抛物线的函数表达式；(2)判断点B(1,4)是否在此抛物线上．
19．（24-25九年级上·河南三门峡·阶段练习）如图，已知点A(−2,4)在抛物线
上，过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B．
y=ax2(a≠0)
(1)求a的值和点B的坐标；
(2)若点P是抛物线上一点，当以点A，B，P为顶点构成的△ABP的面积为2时，求点
P的坐标．
