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【第17 讲：两角和差的正弦，余弦和正切公式】
【新高考课程要求】
1.推导公式：经历推导两角差余弦公式的过程，知道其意义。并能从两角差的余弦公式推导出两角和与差
的正弦、余弦、正切公式，以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
2.掌握公式：掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，即
，
，
，并能熟练运用这些公式进行相关
计算。
3.简单应用：能运用公式进行简单的恒等变换，包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式
不要求记忆，但要了解推导过程，能在变换过程中合理运用。同时，能将公式应用于三角函数的化简、求
值、证明等问题，解决与三角函数相关的实际问题或综合问题。
【知识梳理】
一、核心公式（必须熟记）
1. 两角和与差的余弦公式
*记忆要点：余弦“余余正正，符号相反”（和角为减，差角为加）*
2. 两角和与差的正弦公式
*记忆要点：正弦“正余余正，符号相同”（和角为加，差角为减）*
3. 两角和与差的正切公式
*适用条件：
（
），否则正切无意义*
二、公式间的内在联系
推导逻辑：以两角差的余弦公式为基础（可通过单位圆或向量推导），利用诱导公式（如
）推导出正弦公式，再由
推导出正切公式。
与二倍角公式的关联：当
时，两角和公式可直接转化为二倍角公式（如
），体现“特殊与一般”的关系。
三、常用变形公式（高频应用）
1. 正切公式的变形（角的拆分）
*用途：已知
和
时，求
，或化简含
与
的表达式。*
2. 辅助角公式（正弦型合一）
，其中
（
的象限由
符号确定）。
* 推导：利用
，对比系数得
，
。*
*用途：将形如
的式子化为单一正弦函数，便于求最值、周期等。*
3. 角的拆分技巧（“凑角”法）
，
* 用途：已知
的三角函数值，求
或
的三角函数值（如
）。*
4. 余弦公式的逆用与变形
（积化和差，不要求记忆，但需会推导）
（积化和差）
*用途：化简含三角函数乘积的式子，如
可通过积化和差逐步化简。*
5. 正弦公式的逆用
（积化和差）
（积化和差）
*用途：与正弦相关的乘积式化简，如
可转化为和角形式。*
四、易错点提醒
1. 正切公式的定义域：使用
时，需确保
均不等于
（
），否则公式
不成立。
2. 符号错误：两角差的余弦公式是“
”，而和角是“
”，易混淆。
3. 凑角时的角的范围：拆分角后，需明确新角的象限，避免三角函数值符号判断错误（如
为钝角，
为锐角，则
可能为锐角或直角）。
【课前自测】
1．计算：
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】D
【分析】根据两角和的正切公式化简即可．
【详解】因为
，
所以
，
所以
，
故选：D．
2．已知
，
，
，则
；
．
【答案】 3
/1.2
【分析】第一空：先求出
，再由
的两角差的正切公式求解；第二空：由诱
导公式及三角恒等变换化简为
，进行求解．
【详解】因为
，
，则
，
所以
，
则
；
．
故答案为：3；
.
3．已知在
中，
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】D
【分析】由同角三角函数的平方关系及商数关系得出
，再根据诱导公式及两角和的正切公式即可求
解．
【详解】由已知得
，则
，
所以
，
故选：D．
4．计算：
．
【答案】
【分析】根据和差的余弦公式和积化和差角公式对原式进行化简即可求得结果.
【详解】因为
，
.
同理，由积化和差角公式可得，
，
则
.
所以
.
故
.
故答案为：
.
5．若
、
都是锐角，且
，
，则
．
【答案】
【分析】利用同角三角函数的基本关系计算
，由
，利用两角差的正弦公式
即可求解.
【详解】由题意有
，所以
，又
，
，
所以
，
所以
，又
，所以
，
故答案为：
.
6．
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用诱导公式及和角的正弦求解.
【详解】
.
故选：C
7．已知
，
，且
，则
．
【答案】
/
【分析】利用和差公式化简可得
，即
，再根据同角三角函数求值即可.
【详解】
，
，
联立得
，
由
，
得
，
可得
，
，
所以
或
（舍）．
故答案为：
8．下列式子运算正确的有 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据同角的平方关系计算即可判断A；根据两角和的余弦公式计算即可判断B；根据二倍角的正
切公式计算即可判断C；根据两角和正切公式计算即可判断D.
【详解】A：
，故A 正确；
B：
，故B 错误；
C：由
得
所以
，故C 正确；
D：
，
，
，故D 正确.
故选：ACD
9．已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据条件关系及两角和余弦公式条件
可化简为
，结合诱导公
式结合余弦函数性质及角的范围可得
，由此可得结论.
【详解】因为
，所以
，即
，
整理得
，即
；
因为
，
由于
，
，
所以
，即
，
故选：C．
10．在
中，
为锐角，且
，
，求
．
【答案】
．
【分析】根据
的三角函数值，结合
为锐角判断出
为钝角，再利用同角平方关系和两角差的余弦
公式求解.
【详解】依题意
，所以
，
，则
或
，
因为
为锐角，知
为钝角．
，
，
．
又
，
，从而
，
所以
．
【考点一：公式的基本应用】
【例题】1．已知角
的终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
知识讲解与常考题型
题型分类
【分析】由任意角的三角函数的定义结合和角公式求解即可.
【详解】因为角
的终边经过点
，则
，
.
所以
.
故选：B
2．已知
，
，
，
，则
．
【答案】
【分析】根据同角关系以及余弦的和差角公式即可求解.
【详解】由
以及
可得
，故
，
由
以及
可得
，故
，
故
，
，
故
，
故答案为：
3．（1）已知
，且
，求
的值；
（2）已知
，且
及
，求
的值.
【答案】（1）
，（2）
【分析】（1）根据同角关系以及余弦的和差角公式求解，
（2）根据同角关系以及正弦的和角公式即可求解.
【详解】（1）由
，
可得
，
由
，可得
，
则
，
，
（2）由
，
可得
，
由
，
则
，
，
由于
，故
【针对训练】
4．已知
为第一象限角，
为第二象限角，且
，
(1)求
的值；
(2)求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出
，再根据两角差的余弦公式计算即可；（2）首先求出
，
，
再利用两角和的正切公式计算即可.
【详解】（1）因为
为第一象限角，
，则
，
所以
，
则
；
（2）由
为第一象限角，
，则
，所以
，
由于
为第二象限角，
，则
，
所以
，则
.
5．已知
，则
.
【答案】
【分析】由两角和正弦公式及切化弦得到
，进而可求解.
【详解】由
，
可得
，
由
，可得：
，
即
，
联立可得：
，
所以
，
故答案为：
6．已知角
的终边上一点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由三角函数定义求出
，
，再利用两角和的正弦公式求出
的值即可.
【详解】由角
的终边上一点
，
则
，
，
则
，
故选：C.
【解题策略】
一、“给值求值”问题：明确已知与未知的角关系
核心思路：通过“角的拆分”将未知角表示为已知角的和、差或倍数，再代入公式计算。
步骤与技巧：
1. 分析角的联系：观察未知角与已知角的关系，常用拆分方式：
如求
，若已知
和
的三角函数值，直接用和角公式；
若已知
和
，则
；
若已知
和
，则
，
。
2. 确定三角函数值的符号：根据角的范围（如“
为第二象限角”“
”）判断待求三角函数
值的符号（正或负），避免漏解。
3. 代入公式计算：优先选择包含已知角的公式，若涉及正切，需先确认角是否使正切有意义（即不为
）。
二、“给值求角”问题：先求角的三角函数值，再定范围
核心思路：通过公式求出未知角的某个三角函数值（优先选择正弦、余弦，因其在
内单调性明确），
结合角的范围确定唯一解。
步骤与技巧：
1. 选择合适的三角函数：
若角的范围在
，选正弦或正切；
若在
，选余弦（余弦在此区间单调递减，便于唯一确定角）；
避免选择正切在角范围包含
时使用。
2. 缩小角的范围：根据已知条件（如“
为锐角”“
”）进一步缩小角的可能区间，确保三
角函数值对应的角唯一。
3. 对比特殊角的值：计算出三角函数值后，与特殊角（如
）的函数值对比，确定角的大小。
三、化简与证明问题：逆用公式+角的重组
核心思路：利用公式的逆用（如
）或变形，将式子转化为更简洁的
形式（如“一角一函数”）。
常用技巧：
1. 逆用和差公式：观察式子结构是否符合公式右边的形式，直接转化为左边的和差角函数。
例：化简
。
2. “1”的代换：利用
，将正切相关式子转化为和差公式形式。
例：证明
，左边可化为
。
3. 辅助角公式化简：将
化为
或
，便于分析最值、周期等。
例：化简
（因
，
即
）。
四、含参数或范围问题：分类讨论+公式约束
核心思路：若问题中涉及参数（如“已知
，求
”）或角的范围不确定，需结合公式
的定义域和三角函数值的有界性（如
）分类讨论。
注意点：
正切公式的定义域约束：若
存在，则
，需排除使分母为0 的情况（如
时，正切和角公式不适用，需用诱导公式分析）。
三角函数值的有界性：若化简后出现
，则无解（因正弦值最大为1）。
五、总结：解题的“三步法”
1. 看角：分析已知角与未知角的关系，确定是否需要拆分、组合角（如
）。
2. 选公式：根据角的关系和待求目标（求值、求角、化简）选择合适的和差公式（正弦、余弦或正切），
优先使用能直接关联已知条件的公式。
3. 定符号/范围：根据角的象限或范围，确定三角函数值的符号或缩小角的可能区间，避免多解或错解。
【考点二：公式的逆用与变形】
【角度1：公式的活用】
【例题】1．已知
，且
，则
．
【答案】
/
【分析】利用两角和的余弦公式可求得
，进而利用同角间的三角函数的关系可求得
.
【详解】因为
，
所以
，
所以
，即
，
又因为
，所以
，
所以
.
故答案为：
.
2．
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式及和正弦和角公式化简即可.
【详解】
.
故选：D
3．利用和（差）角公式计算下列各式的值：
(1)
；
(2)
；
(3)
【答案】(1)
(2)0
(3)
【分析】（1）利用两角差的正弦公式求解即可.
（2）利用两角和的余弦公式求解即可.
（3）利用两角和的正切公式求解即可.
【详解】（1）由题意可得
.
（2）由题意可得
.
（3）由题意可得
.
【针对训练】4．在
中，若
，则
.
【答案】
【分析】利用两角和的正切公式的变形形式求值.
【详解】首先因为
，所以
.
这是因为：若
，则
，
又因为
为三角形内角，所以
互补，这是不能成立的.
所以
.
因为
，所以
.
又
，
所以
.
所以
.
故答案为：
5．已知
，
是第三象限角，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先根据两角差的正弦公式得
，再根据同角三角函数关系式以及两角和的正弦公式，
即可求解.
【详解】
，
，又
是第三象限角，
．
从而
.
故选：B
6．
.
【答案】
【分析】根据诱导公式及两角和的余弦公式求解即可.
【详解】
.
故答案为：
.
【角度2：辅助角公式的运用】
【例题】1．求
的值.
【答案】
.
【分析】先通过切化弦公式将三角函数名化为正弦余弦，再通过辅助角公式及诱导公式得到.
【详解】
故
的值为
.
【多选题】2．下列式子化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】对于A，由诱导公式和逆用两角和的余弦公式可得结果；对于B，由诱导公式和逆用二倍角的正
弦公式可得结果；
对于C，由辅助角公式可得结果；对于D，逆用两角和的正切公式可得结果.
【详解】对于A，由诱导公式可知
，逆用两角和的余弦公式可得
，
故A 错误；
对于B，由诱导公式可知
，逆用二倍角的正弦公式可得
，故B 正确；
对于C，由辅助角公式可知，
故C 正确；
对于D，逆用两角和的正切公式可得
，故D 正确.
故选：BCD.
【多选题】3．下列化简中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据辅助角公式即可求解AB，根据二倍角公式可求解C，根据正切的和角公式求解D.
【详解】对于A，
，A 正确，
对于B，
，故B 错误，
对于C，
，C 正确，
对于D，
，故D 正确，
故选：ACD
【针对训练】
4．求值：
．
【答案】
【分析】由同角三角函数关系，二倍角公式，辅助角公式可得答案.
【详解】
．
5．若
，则实数
的值为（ ）
A．4
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由三角恒等变换直接可得出.
【详解】由已知可得
.
故选：A.
6．化简：
．
【答案】1
【分析】先切化弦，再利用和角公式、倍角公式化简求值.
【详解】原式
．
【解题策略】
1. 核心公式回顾（逆用形式）
设
为任意角，则：
正弦逆用：
；
余弦逆用：
；
正切逆用：
；
2. 逆用解题关键策略
策略1：观察结构，直接匹配公式
若式子中出现“正弦乘余弦±余弦乘正弦”“余弦乘余弦±正弦乘正弦”“正切和差除以1
正切
∓
积”的形式，直接逆用对应公式化简。
策略2：拆分角，构造和差关系
当角的形式复杂时，通过“角的拆分”将未知角表示为已知角的和或差（如
，
），再逆用公式。
策略3：正切逆用注意符号与角的范围
正切逆用需保证
均不等于
，且结果需结合角的范围确定最终值，避免多解
错误。
二、辅助角公式的解题策略
辅助角公式用于将“
”（
为常数，且不同时为0）化为“单角三角函数”形式，核心
是简化表达式，方便求最值、周期、单调区间等。
1. 辅助角公式的基本形式
对
，可化为：
其中辅助角
满足：
，
（或
）；
的象限由
的符号确定（如
时，
在第一象限）。
2. 辅助角公式解题关键策略
策略1：化简表达式，转化为单三角函数
通过辅助角公式将式子化为
（或
），利用正弦、余弦函数的有界性（值域
）解决最值问题。
策略2：确定辅助角的象限
辅助角
的象限由
和
的符号共同决定，需根据“
与
同号，
与
同号”判断，避免象
限错误导致结果偏差。
策略3：结合三角函数性质分析问题
转化为单角三角函数后，可直接利用正弦（或余弦）函数的周期性、单调性、奇偶性等性质，快速求
解相关问题（如单调区间、对称轴、对称中心等）。
【考点三：角的变换问题】
【例题】1．已知
，
，则
.
【答案】
或
/
或
【分析】令
，则
，
，
.由同角三角函数的平方关系可得
或
，结合两角差的余弦公式即可求解.
【详解】令
，则由
可得
，
则原题目变为：已知
，
，求
.
∵
，
，
∴当
时，
；当
时，
.
由两角差的余弦公式可得
，
∴当
时，
；
当
时，
，
即
或
.
故答案为：
或
.
2．已知
，
，且
，
，求
，
及
的值.
【答案】
，
，
【分析】由题中条件及同角三角函数的平方关系可求得
和
的值，利用两角和与差的余
弦公式即可求解
，
的值，结合角
即可求解
的值.
【详解】因为
，且
，所以
.
因为
，且
，所以
.
所以
，
.
又因为
，
，所以
，所以
，即
.
3．已知
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】B
【分析】根据已知求得
、
，结合差角正弦公式求
，注意
的范围，即
可得.
【详解】因为
且
，则
，所以
，
又
，所以
，又
，
所以
，而
当
时，
，
因为
，则
，所以
不符合，舍去；
当
时，
符合，
综上所述，
.
故选：B
【点睛】方法点睛：（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形
式；
（2）当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱
导公式把“所求角”变成“已知角”；
（3）常见的角的变换：
，
，
等.
【针对训练】4．在钝角
中，已知
，
，则
．
【答案】
/
【分析】由三角恒等变换即可求解.
【详解】解法1：由
，
，则
，
有
，
则
，
所以
．
又
，
从而有
．
,
又因为
，所以
，
所以
．
解法2：由
得
，又
，
则
，
即
，
从而有
．
已知
，则
，
得
，解得
．
故答案为：
.
5．若
，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据正切函数的差角公式，由
，可得答案.
【详解】
．
故选：C．
6．若
，
，
，
，则
．
【答案】
/
【分析】求出
、
的值，然后利用两角差的正弦公式可求得
的值.
【详解】因为
，
，则
，
所以
，
，
因此，
.
故答案为：
.
【解题策略】
1. 基础变换：用“和差”表示未知角
典型形式：
策略：
若问题中出现角
、
及
，可通过上述关系将其中一个角用另外两个角的和差表示，再代入公
式展开。例如，要求
，可转化为
，再用正弦差角公式展开。
2. 利用“特殊角”拆分非特殊角
典型形式：
（或
）
策略：
对于非特殊角（如
、
等），可拆分为两个特殊角的和或差，直接应用两角和差公式计算三角
函数值。
3. 结合“倍角”或“半角”的变换
典型形式：
（倍角与半角关系）
（复杂半角的拆分）
策略：
当涉及倍角或半角时，可通过“整体代换”将其视为新的角，结合两角和差公式与倍角公式综合应用。
例如，
与
的和差可转化为
或
，即：
4. 利用“角的范围”辅助变换
策略：
角的变换需结合角的取值范围确定三角函数值的符号（如正余弦的正负、正切的定义域等）。例如，
已知
、
为锐角，且
，
，求
时，需先确定
的范围（钝角），
进而得到
的正值，再通过
展开计算。
三、角的变换通用步骤
1. 识别已知角与未知角：明确问题中给出的角（如
、
）和需要求解的角（如
、
）。
2. 构造角的关系：通过和、差、倍、半等关系，将未知角表示为已知角的组合。
3. 选择对应公式：根据构造的角的关系，选用正弦、余弦或正切的和差公式展开。
4. 结合范围验证：根据角的取值范围判断三角函数值的符号，确保结果的唯一性。
通过角的变换，可将复杂的三角函数问题转化为已知角的运算，核心在于灵活运用角的和差关系，结合公
式逐步化简。
一、单选题
1．已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
2．已知
是方程
的两个根，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
，且
为第三象限角，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．化简计算
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知
，则
（ ）
A．
B．5
C．
D．
7．
的值等于（ ）
课后针对训练
A．
B．
C．
D．
8．设
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
10．已知
，且
，若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
11．已知
，则
.
12．已知
，
，则
.
四、解答题
13．（1）已知
是第二象限角，
，求
的值；
（2）设
，且
，求角
的值.
14．（1）求值：
；
（2）已知
都是锐角，
，求
的值.
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
D
D
B
A
A
A
A
AD
1．B
【分析】将给定的两个等式平方相加，再逆用差角的余弦公式即得.
【详解】由
，
，得
，
整理得
，所以
.
故选：B
2．A
【分析】根据韦达定理与两角和的正切公式结合
求解即可.
【详解】由韦达定理可得，
，
，
又
，故
.
故选：A
3．D
【分析】应用两角差的正弦结合同角三角函数关系求出
，最后应用半角公式结合诱导公式计算
求值即可.
【详解】
，
，结合
为第三象限角，可得
，
，
则
.
故选：D.
4．D
【分析】根据诱导公式及两角和的正弦公式即可求解．
【详解】
，
故选：D．
5．B
【分析】由三角恒等变换求解即可.
【详解】
.
故选：B.
6．A
【分析】结合和差角公式及同角基本关系进行化简即可求解．
【详解】因为
，
所以
，
所以
，
即
，
所以
，即
故选：A.
7．A
【分析】逆用两角和、差的正弦公式即可求解.
【详解】原式
.
故选：A.
8．A
【分析】根据两角和的余弦公式、二倍角的正弦公式化简后，由正余弦函数的性质可得
，
即可得解.
【详解】因为
，
所以
，
则
．
因为
，
，
所以只有
时成立，解得
，
故
，
．
故选：A
9．A
【分析】由同角三角函数的基本关系求出
的值，再利用两角差的正弦公式可求得
的值.
【详解】因为
，则
，
所以
，
因此
.
故选：A.
10．AD
【分析】A 选项，利用同角三角函数关系和正弦和角公式得到
；B 选项，计算出
，展开后代入求解；C 选项，得到
，结合角的范围得到
；D
选项，在C 基础上，得到
，结合
求出
.
【详解】A 选项，由
，得
，
所以
，则
，
所以
，A 正确；
B 选项，由
，得
，
即
，又
，
解得
，B 错误；
C 选项，
，
又
，故
，所以
，C 错误；
D 选项，由
，得
，
所以
，
与
联立，得
，D 正确.
故选：AD.
11．
/0.5
【分析】根据两角和的正切公式
，代入已知值，解方程即可求得
.
【详解】由
，得
，又
，所以
，
解得
.
故答案为：
.
12．
/
【分析】令
，则
，
，原题目变为：已知
，
，求
的值.因为
，
，利用同角三角函数的平方关系及商数关系可求得
和
的值，结合两角差的余弦公式及诱导公式即可求解.
【详解】令
，则
，
，
原题目变为：已知
，
，求
的值.
因为
，
，所以
，
所以
.
故答案为：
.
13．（1）
，
；（2）
【分析】（1）结合角的象限，利用同角三角函数关系求得
，进而求得
；
（2）结合角的象限，利用同角三角函数关系求得
，
，进而利用两角差的余弦
公式求得
，然后结合角的范围即可求解角
.
【详解】（1）因为
是第二象限角，
，
所以
，
；
（2）
，且
，
，
因为
，
，
，
又因为
，所以
.
14．（1）
；（2）
【分析】（1）由两角和的正切公式计算即可；
（2）由同角的三角函数结合两角和的正弦计算即可；
【详解】（1）原式
.
（2）由
是锐角，
得
.
因为
是锐角，所以
.
又因为
，所以
，
所以
.
