文档文本内容
【第15 讲：任意角和弧度制及任意角的三角函数】
【新高考课程标准要求】
1.了解任意角的概念：明确角是平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形，理解正角、负角和零角的
定义。掌握终边相同的角的集合表示，即所有与角
终边相同的角，连同角
在内，可构成集合
。同时，能判断象限角和轴线角。
2.了解弧度制概念并能进行弧度与角度的互化：理解1 弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角，掌
握弧度制的定义。熟练运用角度与弧度的换算公式，如
rad，
rad， rad
，体会引入弧度制对于简化运算和解决相关几何问题的必要性。
3.借助单位圆理解任意角三角函数的定义：若任意角
的终边与单位圆交于点
，则
，
，
。能运用此定义求任意角的三角函数值，判断三角函数值在各象限内的符
号，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，并能解决与三角函数定义相关的综合问题。
【知识梳理】
1.角的推广（任意角）
1. 定义（动态视角）
一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
旋转开始的射线叫做始边，旋转结束的射线叫做终边，端点仍为顶点。
2. 正角、负角与零角
正角：按逆时针方向旋转形成的角（如30°、400°）。
负角：按顺时针方向旋转形成的角（如-30°、-390°）。
零角：射线未作旋转（始边与终边重合），度数为0°。
3. 终边相同的角
定义：具有相同始边和终边的角（旋转方向或圈数不同，但终边位置一致）。
表示：与角α 终边相同的角的集合为
（k 为整数）。
示例：30°、390°（30°+360°）、-330°（30°-360°）终边相同。
4. 象限角
背景：将角的顶点与平面直角坐标系原点重合，始边与x 轴正半轴重合。
定义：终边落在第几象限，就称这个角为第几象限角；若终边落在坐标轴上，则不属于任何象限（称
为“轴线角”）。
范围（k∈Z）：
第一象限角：
第二象限角：
第三象限角：
第四象限角：
二.弧度制
一、弧度制的定义
1. 基本概念
在单位圆（半径为1 的圆）中，弧长等于半径的弧所对的圆心角，叫做1 弧度的角，用符号“rad”表示
题型梳理
总览
（通常可省略）。
示例：单位圆中，弧长为1 的弧对应的圆心角是1 rad；弧长为2 的弧对应的圆心角是2 rad。
二、弧度与角度的换算
1. 核心关系
整个圆周的弧长为
（r 为半径），对应圆心角为360°。
在单位圆（r=1）中，圆周角对应的弧长为
，因此：
2. 换算公式
角度转弧度：
弧度转角度：
3. 常用换算表
| 角度 | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|------|-----|-----|-----|-----|------|------|------|
| 弧度 |
|
|
|
|
|
|
|
三、弧度制下的弧长与扇形面积公式
1. 弧长公式
设圆的半径为r，圆心角为
（弧度制），则该角所对的弧长为：
（推导：单位圆中
对应的弧长为
，半径为r 时按比例放大为
）
2. 扇形面积公式
设扇形的半径为r，圆心角为
（弧度制），则扇形面积
为：
（推导：扇形面积是圆面积的
倍，即
）
3.任意角的三角函数
1. 坐标定义（重点）
设角
终边上一点
，到原点距离为
，则：
（
）
2. 单位圆定义（简化与图像关联）
当
（单位圆上点
）时：
，
，
（
）
二、定义域与值域（高频考点）
| 函数 | 定义域（弧度制） | 值域 |
|------------|---------------------------------|----------------------|
|
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|
|
|
|
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|
|
三、符号规律（解题关键）
由角
终边所在象限决定（
，符号由
、
正负确定）：
| 象限 |
（
） |
（
） |
（
） |
|------|-----------------------|-----------------------|-----------------------|
| 一 | + | + | + |
| 二 | + | - | - |
| 三 | - | - | + |
| 四 | - | + | - |
记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。
【课前自测】
1．已知
，
，则
的终边一定不在（ ）
A．第一、二象限
B．第二、三象限
C．第一、三象限
D．第二、四象限
2．角
对应的弧度制大小和终边所在象限分别是（ ）
A．
，第一象限
B．
，第一象限
C．
，第二象限
D．
，第二象限
3．已知扇形的圆心角为
，弧长为2
，则该扇形的面积为（ ）
A．3
B．6
C．5
D．4
4．已知
，若将角
的终边顺时针旋转
所得的角的终边与角
的倍角的终边重合，则角
= ．
知识讲解与常考题型
题型分类
5．已知角
终边经过点
，求角
的六个三角函数值．
【课堂突破*关键能力】
【考点一：角及其表示】
一、单选题
1．角
的终边与
的终边关于
轴对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角
的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列命题：
①第四象限的角可表示为
；
②第二象限角大于第一象限角；
③将表的分针拨快10 分钟，则分针转过的角为
；
④若
是第二象限角，则
的终边在第一象限．
其中真命题的个数是（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
4．下列说法正确的是（ ）
A．两个角的终边相同，则它们的大小相等
B．若角
为第二象限角，则
是第四象限角
C．第一象限角都是锐角
D．终边在直线
上的角的集合是
5．若
为第四象限角，且
，则
为第 象限角.
【解题感悟】
一、象限角的判定方法
1. 范围法
将角化为
（
）或
（
），根据
的范围（如第一象
限
等）判断。
2. 符号法
利用三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦。根据
的正
负反推象限。
二、确定角终边位置的方法
1. 终边相同角的集合
角度制：
弧度制：
，通过基准角（
或
）确定位置。
2. 特殊角直接记
轴线角（如终边在
轴正半轴：
）和常见特殊角的终边位置直接记忆。
【考点二：弧度制及其应用】
【例题精选】
1.已知一个扇形的中心角是
，所在圆的半径是R．
(1)若
，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为
，面积为
，求扇形圆心角的弧度数；
(3)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角
．
【解题策略】
一、用弧度制解决扇形弧长与面积的方法
1. 核心公式（圆心角为
弧度，半径为
）
弧长公式：
（
取绝对值，因长度非负）
扇形面积公式：
直接用圆心角：
结合弧长：
（与三角形面积公式类似，可类比记忆）
2. 步骤
确定已知量（如半径
、圆心角
或弧长），统一单位为弧度（若给出角度，先换算：）代入对应
公式计算（优先选含已知量的公式，减少换算）。
二、注意事项
1. 单位一致性：公式仅适用于圆心角为弧度制的情况，若用角度需先换算，否则结果错误（如误将角度
代入
）。
2. 圆心角的取值范围：扇形中圆心角
需满足
（超出时需取等效的小角，如
等效于
，但弧长和面积需按实际旋转角度计算）。
3. 绝对值的必要性：圆心角可正可负（表示旋转方向），但弧长和面积为非负数，需加绝对值。
4. 公式选择技巧：已知半径和圆心角用
、
；已知半径和弧长用
更简便。
【针对训练】
1．已知扇形的圆心角为
，弧长为2
，则该扇形的面积为（ ）
A．3
B．6
C．5
D．4
2.在北纬
纬线上有甲、乙两地，它们在纬线上的弧长为
是地球半径，求甲、乙两地的球面距离．
3.扇形的圆心角为
，弦长为
，试求弧长.
3.如图，已知扇形的周长为
，当扇形的圆心角
为多大时，它的面积达到最大值？
【考点三:三角函数的定义】
【角度1：三角函数定义及其应用】
【例题1】（1）已知第二象限角
的终边上的点
横坐标与纵坐标之比是
.求
的值；
（2）已知第四象限角
的终边上的点
到
轴的距离与到
轴的距离之比是
，求
的值；
（3）已知
，求使其成立的
的集合.
【针对训练】
1.角
的终边落在射线
上，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.已知点
是角
终边上的一点，且
，则
的值为（ ）
A．2
B．
C．
或2
D．
或
3.已知角
的顶点与原点重合，始边与
轴非负半轴重合，若
是角
终边上的一点，且
，则
.
【解题策略】
利用三角函数的定义求三角函数值，核心是基于角
终边上任意一点
（非原点），结合该点到原
点的距离
，通过定义式
、
、
（
）计算，具体两种
方法如下：
1. 已知终边上一点坐标（
）直接计算
步骤：
1. 由点
求出
；
2. 代入定义式：
、
、
（
）。
示例：若角
终边过点
，则
，故
，
，
。
2. 已知终边所在直线（或象限），取特殊点计算
适用场景：仅知角的终边在某条直线（如
）或某个象限，未给出具体点。
步骤：
1. 在终边上任取一特殊点（如含整数坐标的点，简化计算），确定
的符号（根据象限判断）；
2. 计算
，再代入定义式求解。
示例：角
终边在直线
且在第二象限，取点
，则
，故
，
，
。
两种方法的本质均是通过终边上点的坐标与距离的比值计算，核心是确定
的数值及符号。
【角度2：三角函数值的符号判定】
【例题1】点
在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【针对训练】
1.已知
是第四象限的角，则点
在第 象限．
2.已知
，则
可能为（ ）
A．第一或二象限角
B．第二或三象限角
C．第一或三象限角
D．第三或四象限角
3.若
， 则
的终边在（ ）
A．第一、三象限
B．第二、四象限
C．第一、三象限或在
轴的非负半轴上
D．第二、四象限或在
轴的非负半轴上
【解题策略】
三角函数值的符号判定可通过象限规律和坐标轴位置快速确定，核心是依据三角函数定义（
，
，
，其中
），由终边上点的坐标
符号推导：
一、按象限判定（“一全正，二正弦，三正切，四余弦”）
第一象限（
）：
，
，
（全正）。
第二象限（
）：
（仅正弦正），
，
。
第三象限（
）：
（仅正切正），
，
。
第四象限（
）：
（仅余弦正），
，
。
二、按终边在坐标轴上判定（轴线角）
终边在
轴正半轴：
，
，
。
终边在
轴负半轴：
，
，
。
终边在
轴正半轴：
，
，
不存在。
终边在
轴负半轴：
，
，
不存在。
总结：先确定角的终边所在象限或坐标轴，再根据对应象限的
符号（或坐标轴上的
值），结合三
角函数定义判断符号。
一、单选题
1．点
在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．已知
是第二象限的角，
为其终边上的一点，且
，则
（ ）
A．-6
B．
C．
D．
3．下列各角中，与角
终边相同的角为（ ）
A．
B．
C．
D．
课后针对训练
4．下列命题中，真命题为（ ）
A．若点
为角
终边上一点， 则
B．同时满足
的角有且只有一个
C．
的解集为
D．如果角
满足
那么角
是第二象限的角
5．已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60°的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．第一象限角一定是锐角
B．若
是钝角，则
是第一象限角
C．大于
的角一定是钝角
D．若
是锐角，则
是第二象限角
7．若角
的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．终边在直线
上角的集合是
B．若角
的终边落在第二象限，则角
是钝角
C．若角
是第一象限的角，则
在第一、二、三象限的角
D．周长为定值
的扇形中，面积最大时扇形的半径为
10．下列说法正确的是（ ）
A．
的值是
．
B．若角
的终边上一点
的坐标为
，则
．
C．经过4 小时时针转了
．
D．若角
与
终边关于
轴对称，则
，
．
三、填空题
11．若
，则
的大小关系为 ．
12．设角
终边上一点
，
，则
的值为 .
13．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，折扇的扇面可看作从一个圆面中前下扇形制作而成如图，扇面
的两条弧长分别为
，
的长度为
，则扇环
的面积为 ．
14．已知扇形的弧长是
，面积是
，则该扇形的圆心角（弧度制）大小= .
四、解答题
15．已知扇形的面积为，当扇形的圆心角为多大时，它的周长达到最小值？
