文档文本内容
【第12 讲：对数函数的图像与性质】
一．对数函数的定义（共3 小题）
二．求对数函数的定义域（共4 小题）
三．求对数型复合函数的定义域（共4 小题）
四．求对数函数的值域（共5 小题）
五．求对数型复合函数的值域（共4 小题）
六．对数函数图象特征与底数的关系（共7 小题）
七．对数函数及对数型复合函数的图象（共7 小题）
八．求对数函数及对数型复合函数的单调性（共7 小题）
九．求对数函数及对数型复合函数的最值（共2 小题）
十．对数值大小的比较（共5 小题）
十一．指数函数与对数函数的关系（共3 小题）
十二．对数函数图象与性质的综合应用（共2 小题）
【知识点清单】
1．求对数函数的定义域
【知识点的认识】
对数函数的定义域是使对数有意义的自变量取值范围，对于y＝logax，定义域为x＞0．
【解题方法点拨】
﹣分析对数函数的形式，确定自变量x 的取值范围．
﹣确保对数运算中底数a 满足a＞0 且a≠1．
﹣验证定义域的准确性．
2．求对数型复合函数的定义域
【知识点的认识】
对数型复合函数的定义域是使整个复合函数有意义的自变量取值范围．
【解题方法点拨】
﹣分析内层函数的定义域，确保内层函数有意义．
﹣分析外层对数函数的定义域，确保整个复合函数有意义．
﹣结合内外层函数的定义域，确定复合函数的定义域．
3．求对数函数的值域
【知识点的认识】
题型梳理
总览
一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是
（0，+∞），值域是R．
定点：函数图象恒过定点（1，0）
【解题方法点拨】
﹣分析对数函数的形式，确定其值域．
﹣利用对数函数的性质，验证值域的准确性．
4．求对数型复合函数的值域
【知识点的认识】
一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是
（0，+∞），值域是R．
对数型复合函数的值域是指复合函数输出值的范围．
【解题方法点拨】
﹣确定内层函数的值域．
﹣将内层函数的值域代入外层对数函数，分析外层函数的值域．
﹣结合内外层函数的值域，确定复合函数的值域．
5．对数函数图象特征与底数的关系
【知识点的认识】
对数函数的图象特征与其底数a 有关，不同底数的对数函数图象形态不同．
0＜a＜1
a＞1
图像
【解题方法点拨】
﹣当0＜a＜1 时，对数函数单调递减，图象从左上到右下．
﹣当a＞1 时，对数函数单调递增，图象从左下到右上．
﹣分析底数a 的取值，确定图象特征．
6．对数函数及对数型复合函数的图象
【知识点的认识】
对数函数的图象特征与其底数a 有关，不同底数的对数函数图象形态不同．
0＜a＜1
a＞1
图像
【解题方法点拨】
﹣分析对数函数的解析式，确定其图象形态．
﹣对于复合函数，先分析内层函数的图象，再结合外层对数函数，确定复合函数的整体图象．
﹣利用图象分析函数的性质和应用．
7．求对数函数及对数型复合函数的单调性
【知识点的认识】
对数函数的单调性
当a＞1 时，y＝logax 在（0，+∞）上为增函数
当0＜a＜1 时，y＝logax 在（0，+∞）上为减函数
【解题方法点拨】
﹣分析对数函数的解析式，确定其单调性：当a＞1 时，对数函数单调递增；当0＜a＜1 时，对数函数单调
递减．
﹣对于复合函数，分析内层函数的单调性，再结合外层对数函数确定复合函数的整体单调性．
﹣验证单调性的准确性．
8【知识点的认识】
对数函数及其复合函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值．
【解题方法点拨】
﹣分析对数函数的解析式，确定其最值：对数函数在无穷远处取极大值或极小值，具体取决于底数a 的取
值．
﹣对于复合函数，首先分析内层函数的最值，再结合外层对数函数确定复合函数的最值．
﹣验证最值的准确性．
9．对数值大小的比较
【知识点的认识】
1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．
2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较
3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图
的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）
10．指数函数与对数函数的关系
【知识点的认识】
指数函数和对数函数的关系：
（1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x 对称．
（2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l 时，它们是增函数；当O＜a＜l 时，它们是减函数．
（3）指数函数与对数函数的联系与区别：
11．对数函数图象与性质的综合应用
【知识点的认识】
1、对数函数的图象与性质：
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
（
0 ，
+ ∞）
值域
R
定点
过点（
1 ，
0 ）
单调性
在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数
函数值正
负
当x＞1 时，y＞0；当0＜x
＜1，y＜0
当x＞1 时，y＜0；当0＜x
＜1 时，y＞0
2、由对数函数的图象确定参数的方法
已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的
单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．
【解题方法点拨】
1、4 种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法
（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；
（2）将同底对数的和、差、倍合并；
（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；
（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．
2、3 个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点
（1）当a＞1 时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1 时，对数函数的图象“下降”．
（2）对数函数y＝log ax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（1
a，﹣1）函数
图象只在第一、四象限．
（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．
【命题方向】
（1）比较对数式的大小：
①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨
论．
②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．
③若底数与真数都不同，则常借助1，0 等中间量进行比较．
（2）解对数不等式：
形如log ax＞log ab 的不等式，借助y＝log ax 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a＞1 与0＜a
＜1 两种情况讨论．形如log ax＞b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式．
一．对数函数的定义（共3 小题）
1．已知函数f ( x +1)=lo g2 x +2
x−3，则f（2）＝（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
2．函数y＝loga（2x﹣1）+3（a＞0，a≠1）的图象恒过点（m，n），函数f ( x)=( n
m )
x的定义域为[0，
2]，g（x）＝f（2x）+f（x），则函数g（x）的值域为（ ）
A．[2，90]
B．[2，6]
C．[2，12]
D．[2，20]
3．对数表达式log（x﹣1）（5﹣x）中的x 的取值范围是 ．
二．求对数函数的定义域（共4 小题）
4．若函数y = loga( x
2−ax +1)的定义域为R，则实数a 的取值范围是（ ）
A．0＜a＜1
B．0＜a＜2 且a≠1
知识讲解与常考题型
题型分类
C．1＜a＜2
D．a≥2
5．已知集合A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{x|y＝log2（x﹣1）}，则A∩B＝（ ）
A．[0，2]
B．[1，2]
C．（1，2）
D．（1，2]
6．已知集合A ={x| y = ❑√2 x +3}，B＝{x|y＝ln（x2+3x+2）}，则A∩∁RB＝（ ）
A．（﹣1，+∞）
B．[−3
2 ，−1]
C．[−3
2 ，+∞)
D．[−3
2 ，−1)
7．设集合A＝{x∈N|y=
❑√6−x
ln( x−2)}，B＝{x|﹣1＜x≤6}，则A∩B＝（ ）
A．{4，5，6}
B．{3，4，5，6}
C．{4，5}
D．{3，4，5}
三．求对数型复合函数的定义域（共4 小题）
8．函数y = ❑√lo g1
2
tanx的定义域是（ ）
A．{x| x ≤π
4 + kπ ，k ∈Z }
B．{x|2kπ ＜x ≤π
4 +2kπ ，k ∈Z }
C．{x|kπ ＜x ≤π
4 + kπ ，k ∈Z }
D．{x|2kπ −π
2 ＜x ≤π
4 +kπ ，k ∈Z }
9．已知函数f ( x)= ❑√x + 4+ ln(1−x)，则f（2x）的定义域为（ ）
A．[﹣4，1）
B．[﹣4，1]
C．[−2，1
2 )
D．[﹣8，2）
10．函数f ( x)= ln[2cos( 3 π
2 + x)−1]的定义域为 ．
11 ．已知函数f ( x)=lo g2[a x
2+(a−2)x + 3
4 ]．若定义域为R ，则实数a 的取值范围为
．
四．求对数函数的值域（共5 小题）
12．已知函数f ( x)={
(a−1)x +5−3a，x＜2，
lo g2 x，x ≥2
)的值域为R，则实数a 的取值范围为（ ）
A．（2，3]
B．（1，2]
C．（1，3]
D．[2，+∞）
13．“函数f（x）＝ln（x2﹣2ax+2）的值域为R”的一个充分不必要条件是（ ）
A．[−❑√2，❑√2]
B．(0，❑√2]
C．(−∞，❑√2]∪[ ❑√2，+∞)
D．[ ❑√2，+∞)
14．已知函数f（x）＝log2x 的值域是[1，2]，则函数ϕ（x）＝f（2x）+f（x2）的定义域为（ ）
A．[❑√2，2]
B．[2，4]
C．[4，8]
D．[1，2]
15．已知函数f（x）＝logm（x﹣m）+logm（x﹣2m）（m＞0 且m≠1）．
（1）若m= 1
2，求不等式f（x）⩽1 的解集；
（2）若1
2 ⩽m＜1，是否存在α ，β ∈( 5
2 m，+∞)，使得f（x）在区间[α，β]上的值域是[logmβ，
logmα]，若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．
16．已知函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）．
（1）若函数f（x）的图象与函数h（x）的图象关于直线y＝x 对称，且点P（2，16）在函数h（x）的
图象上，求实数a 的值；
（2）若a＝2，求函数g( x)= f ( x
2 )f ( x
8 )，x∈[ 1
2 ，8]的值域．
五．求对数型复合函数的值域（共4 小题）
17．已知函数f（x）＝2x+1（x≥2）的值域为[a，+∞），g( x)=lo g3( x
2−8 x +5b)的值域为[2，+∞），
则a﹣b＝（ ）
A．0
B．1
C．3
D．5
18．已知函数f ( x)={
lo g2( x
2+2 x +a)，x ≥0
4−( 1
3 )
x
，x＜0 )
的值域是R，则实数a 的最大值是 ．
19．已知函数f（x）＝x﹣alnx（a＞0），记函数y＝f（x），y＝f（f（x））的值域分别为M，N，若
N⫋M，则a 的取值范围是 ．
20．函数y =(2+lo g2 x)⋅lo g2
x
2
64 的值域为 ．
六．对数函数图象特征与底数的关系（共7 小题）
21．若2a＝3＝logb9，c =e
ln 2
3，则实数a，b，c 的大小顺序为（ ）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞c＞a
D．b＞a＞c
22．下列不等式正确的是（ ）
A．log34＜1
B．lo g2
1
3 ＞0
C．log25＞log35
D．2﹣0.6＜0
23．已知lga+lgb＝0（a＞0，b＞0，且a≠1，b≠1），则函数f（x）＝a﹣x与g（x）＝logbx 的图象可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
24．若0＜c＜1＜b＜a，则（ ）
A．bc＞ac
B．ca＞cb
C．ca＞logba
D．logac＞logbc
25．已知2a+a＝0，log2b+b＝0，则（ ）
A．a＜1＜b
B．1＜a＜b
C．b＜a＜1
D．a＜b＜1
26．已知0.3m＝2n＝0.4，则（ ）
A．mn＜m+n＜0
B．m+n＜mn＜0
C．m+n＜0＜mn
D．0＜mn＜m+n
27．某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质3H 含量非常高，它可以进入生物体已知A
（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝lnx 的图象上两个不同的点，则（ ）
A．e
y1+ y2
2 ＞❑√x1 x2
B．e
x1+ x2
2 ＞x1+ x2
2
C．e
y1+ y2
2 ＜❑√x1 x2
D．e
y1+ y2
2 ＜x1+ x2
2
七．对数函数及对数型复合函数的图象（共7 小题）
28．函数f ( x)= 1−4
x
1+ 4
x ln| x|的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
29．已知函数f（x）＝log3|ax﹣1|（a≠0）的图象关于直线x＝2 对称，则a＝（ ）
A．2
B．1
C．1
3
D．1
2
30．已知实数m＞0 且m≠1，函数y＝logm（x+n）的大致图象如下，则m，n 的取值范围可能为（ ）
A．m＞1，n＞1
B．m＞1，0＜n＜1
C．0＜m＜1，n＞1
D．0＜m＜1，0＜n＜1
31．已知函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能为（ ）
A．f ( x)= e
x−e
−x
x
B．f ( x)=sin2 x⋅ln x
2+1
x
2
C．f ( x)= e
x+e
−x
x
D．f ( x)=cos2 x⋅ln x
2+1
x
2
（多选）32．已知函数f ( x)=lo g2(4
x+1)+kx(k ∈R)为偶函数，g( x)=lo g2(a⋅2
x−4
3 a)，其中a＞
0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，则（ ）
A．k＝﹣1
B．a＝1
C．a＞1
D．a∈（0，1）∪（3，+∞）
（多选）33．已知函数f（x）＝|ln（2+x）|﹣|ln（2﹣x）|，则下列判断正确的是（ ）
A．函数y＝f（x）是奇函数
B．函数y＝f（x）的最大值是ln3
C．函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1 对称
D．函数y＝f（x）的图象与直线y＝﹣x 有三个交点
34．已知两条水平直线l1：y＝a 和l2：y = 16
a+1 (a∈(0，7
2 ))，l1与函数y＝|lnx|的图形从左到右相交于
A，B 两点；l2与函数y＝|lnx|的图形从左到右相交于C，D 两点．记AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别
为m，n．当a 变化时，n
m的最小值为 ．
八．求对数函数及对数型复合函数的单调性（共7 小题）
35．已知f ( x)=lo g2(1+ 4
−x)+ x，则满足f（2m﹣3）＜f（m）的实数m 的取值范围为（ ）
A．（1，3）
B．( 3
2 ，3)
C．（﹣∞，3）
D．（3，+∞）
36．若1
3
m −1
3
n ＜log5m−log5n，则（ ）
A．ln（m﹣n+1）＞0
B．ln（n﹣m+1）＞0
C．
1
m−1 ＜
1
n−1
D．
1
m−1 ＞
1
n−1
37．已知函数f（x）＝ln|x+1|﹣ln|x﹣1|，则f（x）（ ）
A．是偶函数，且在区间（1，+∞）上单调递增
B．是奇函数，且在区间（﹣1，1）上单调递减
C．是偶函数，且在区间（﹣∞，﹣1）上单调递增
D．是奇函数，且在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减
38．已知函数f ( x)=lo g2(4
x+1)−x−1，则f（2x﹣1）＜f（x﹣3）的解集为（ ）
A．(−2，4
3 )
B．(−4
3 ，+∞)
C．(−∞，−2)∪( 4
3 ，+∞)
D．(−∞，−2)∪(−4
3 ，+∞)
39．若函数f（x）＝logax+loga+1x 是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A．(0，
❑√5−1
2
)
B．(
❑√5−1
2
，1)
C．[ 1
2 ，1)
D．(0，1
2 ]
40．已知函数y =lo g1
2
( x
2−2ax +5a)在[2，+∞）上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2]
B．[2，+∞）
C．（﹣4，2]
D．[﹣1，2]
41．已知函数f（x）＝loga（ax﹣1）（a＞0，a≠1）在[2，+∞）上单调递减，则实数a 的取值范围为（
）
A．( 1
2 ，1)
B．（0，1）
C．( 1
2 ，+∞)
D．（1，+∞）
九．求对数函数及对数型复合函数的最值（共2 小题）
42．已知函数f（x）＝log2（x2﹣2ax）在[2，4]上的最小值是1，则a＝ ．
43．已知函数f ( x)=lo g3(9
x+1)+ax是偶函数．
（1）求实数a 的值；
（2）若函数g（x）＝9x+9﹣x+m•3f（x）的最小值为﹣3，求实数m 的值．
十．对数值大小的比较（共5 小题）
44．设a＝30.1，b＝sin3，c＝log0.13，则（ ）
A．c＞b＞a
B．a＞b＞c
C．b＞a＞c
D．a＞c＞b
45．若a= ln(sin 1
9 )，b＝﹣ln9，c＝ln（﹣ln0.9），则（ ）
A．c＜a＜b
B．c＜b＜a
C．a＜b＜c
D．a＜c＜b
46．若实数x，y，z 满足2+log2x＝3+log3y＝5+log5z，则x，y，z 的大小关系不可能是（ ）
A．x＞y＞z
B．x＞z＞y
C．y＞x＞z
D．y＞z＞x
47．已知0＜m＜n＜1，x＝lognm，y＝mn，z＝nm，则（ ）
A．x＜y＜z
B．y＜x＜z
C．z＜y＜x
D．y＜z＜x
48．设a= 5
2，b＝log38，c＝log25，则（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a
十一．指数函数与对数函数的关系（共3 小题）
49．已知x1+2x1＝4，x2+log2x2＝4，则x1+x2的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
50．已知直线y＝﹣x+2 分别与函数y＝ex和y＝lnx 的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论
错误的是（ ）
A．x1+x2＝2
B．e
x1+e
x2＞2e
C．x1lnx2+x2lnx1＞0
D．x1 x2＜
❑√e
2
（多选）51．已知直线y＝﹣x+2 分别与函数y＝ex和y＝lnx 的图像交于A（x1，y1），B（x2，y2），则下
列说法正确的是（ ）
A．x1+x2＝2
B．e
x1+e
x2＞2e
C．e
x1+ ln(2 x2)＜2
D．x1﹣lnx1＝lnx2﹣ln（lnx2）
十二．对数函数图象与性质的综合应用（共2 小题）
52．若定义在R 上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x，则函数y＝f（x）
﹣log6|x|的零点个数是（ ）
A．6
B．10
C．14
D．18
53．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足关系式m1﹣m2
= 1
2 lg E2
5−1
2 lgE1
5，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）．已知牛郎星的星等是0.75，织女星的
星等是0，则牛郎星与织女星的亮度的比值为（ ）
A．10
3
10
B．10
−3
10
C．lg 3
10
D．lg 10
3
一、单选题
1．设点A，B 在曲线
上两点，且
中点
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
2．若
且
，则下列不等式成立的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
3．设
，如果
，且
，则有（ ）
课后针对训练
A．
B．
C．
D．
4．函数
的图象和函数
的图象的交点个数是（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
5．已知函数
的图象上两点
的横坐标分别为
，又知点
的坐标为
，
则
面积的最值及相应的
值为（ ）
A．当
时，
有最大值
B．当
时，
有最大值
C．当
时，
有最小值
D．当
时，
有最小值
6．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知
，实数b 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
在区间
上是增函数，则
的取值范围是（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
9．若函数
与
图象上存在关于y 轴对称的点，则t 的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．若关于
的不等式
对任意的正实数
恒成立，则
的最小值是（ ）
A．7
B．9
C．10
D．
12．已知函数
是偶函数，函数
的最小值为
，则实数
的值
为（ ）
A．3
B．
C．
D．
二、多选题
13．已知函数
，若
包含于
的值域，则满足条件的实数m 可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
14．已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的图象是轴对称图形
B．
在
上单调递增
C．
的值域为
D．
恰有两个零点
15．已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．不存在实数a，使
的定义域为R
B．
时，函数
为偶函数
C．若函数
在区间
上单调递增，则实数a 的取值范围是
D．函数
一定有最小值
16．函数
为奇函数，函数
（ ）
A．实数的值
的值为2
B．函数
为
上的单调递增函数
C．不等式
的解集为
D．若对
，总
，使得
成立，则实数
的取值范围是
三、填空题
17．已知函数
，若
，则
.
18．设函数
（
且
）在
上是增函数，则实数
的取值范围为
．
19．已知函数
若
各不相同，且
，则
的取
值范围为 ．
20．已知函数
的值域为
，则实数
的值为 .
21．（1）
的单调递增区间为 ，值域为 ；
（2）
的单调递增区间为 ，值域为 ．
22．若函数
的值域是
，则
的取值范围是 ．
四、解答题
23．已知定义在
上的函数
满足当
时，
，当
时，
，求
的解析式.
24．已知函数
的图象关于直线
对称．
(1)求
的值；
(2)若关于
的方程
有解，求
的取值范围．
