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专题11 不等式中的恒成立问题的求解策略（一题多变）
【典例展示】（1）已知
，当
时，
恒成立，则a 的
取值范围是______．
（2）已知对于任意的
，都有
，则实数a 的取值
范围是______．
【思路分析】 第（1）小题，有两种不同的思路：①寻找使不等式恒成立的充分条件，
通过解不等式来完成；②分离参数，通过构造函数寻求函数的最大值或最小值（即归结为
【追根溯源】题型三）来完成．第（2）小题，同样可有两种不同的思路：①化简多项式分
离参数a，换元转化为不等式“恒成立”题型进行求解；②根据一元二次函数性质，利用
判别式分类讨论进行求解．
【精细解析】（1）解法一 由已知得
在
上恒成立，
即
或
解得
．
解法二
，此二次函数图像的对称轴为
．
i 当
时，结合图像知
在
上单调递增，
．
要使
恒成立，只需
，即
，解得
．又
，∴
．
ii 当
时，
，由
，解得
．又
，
∴
．
综上所述，实数a 的取值范围为
．
（2）解法一 若
恒成立，则问题等价于
恒成立．
令
，则
，从而
．
当
时，
恒成立，故
，即
；
当
时，
恒成立，故
，而
∴
，即实数a 的取值范围是
．
解法二 令
，当
，即
时，有
满足题意．
当
时，
或
，若
，符合题意，若
，符合题意．
当
，即
或
时．
需满足
∴
符合题意．
综上所述，a 的取值范围为
．
【题后反思】
本例是比较典型的含参一元二次不等式恒成立问题，它所提供的解法，也是基本解法.事实
上，在诸多高考题目中，含参数不等式恒成立问题并不局限于含参数一元二次不等式．还
有许多其他形式的含参数不等式恒成立问题，求解时除了通过转化向常见基本题型靠拢之
外，还需要注意运用一些解题方法和技巧．其他解法有：换元法、分离参数法、主参换位
法、数形结合法、函数最值法、构建函数法，尤其是含参数不等式成立问题常与其他数学
知识相交汇，需要在知识的联系与转化中寻找解题途径．在下面的变式及训练题中，将展
示与其它知识的交汇以及解题的多种方法.
【追根溯源】
含参数不等式恒成立问题典型题型：
题型一：设
，若
在
上恒成立
且
，若
在
上恒成立
且
．若a 的取值未指明，则必须对
的情况加以
讨论．
题型二：设
．
（1）当
时，
在
上恒成立
或
或
在
上恒成立
（2）当
时，
在
上恒成立
在
上恒成立
或
或
题型三：
对
恒成立
．
对一切
恒成立
．
题型四：
对一切
恒成立
在
，
的图像在
的图像
的上方．
题型五：分清含参数不等式恒成立与能成立的差异，相对于题型三，下面的题型是能成立
问题．
若存在
，使
成立
．
若存在
，使
成立
．
【变化角度】变含参二次函数为含参分段函数，增加恒成立问题求参数范围的难度.
（2018·天津·高考真题）已知
，函数
若对任意x∈［–
3，+
），f（x）≤
恒成立，则a 的取值范围是 ．
【思路分析】针对分段函数均是二次函数，需分两类讨论
和
的情况，结合恒成
立的条件，按参变分离思想，应用二次函数的图像和性质整理计求得最终结果.
【详解】
【详解】分类讨论：①当
时，
即：
，
整理可得：
，
由恒成立的条件可知：
，
结合二次函数的性质可知：
当
时，
，则
；
②当
时，
即：
，整理可得：
，
由恒成立的条件可知：
，
结合二次函数的性质可知：
当
或
时，
，则
；
综合①②可得
的取值范围是
，故答案为
.
点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）a≥f（x）恒成立⇔a≥f（x）max；
（2）a≤f（x）恒成立⇔a≤f（x）min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探
求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值
符号四个方面分析．
【变换角度】与函数的奇偶性、单调性、指数函数相结合，转化成根据一元二次不等式恒
成立求参数范围.
（重庆高考题）已知定义域为R 的函数
上是奇函数．
（1）求a、b 的值．
（2）若对任意的
，不等式
恒成立，求k 的取值范围．
【思路分析】 第（1）问，由
是R 上的奇函数，由
确定b 的值，由
确定a 的值．并注意检验符合题意.第（2）问，两种转化思路，一是计算函
数值，应用指数函数的性质，二是利用函数单调性转化为【追根溯源】中的题型一求解．
【详解】（1）∵
是R 上的奇函数，∴
，即
，解得
．
从而有
．又由
知
，解得
．
经检验，
，
符合题意．∴
，
．
（2）解法一 由（1）知
．
又由题设条件得
．
即
，
整理得
．∵底数
，故
①
①式对一切
均成立．其判别式
，解得
，即k 的取值范围为
．
解法二 由（1）知
．①
由①式易知
在R 上为减函数，又因为
是奇函数，
从而不等式
等价于
．②
∵
是R 上的减函数，由②式可推得
．
即对一切
有
恒成立，
故其判别式
，解得
，
即k 的取值范围为
．
【变换角度】与三角函数相结合，转化成一元二次不等式恒成立问题，或利用“参变分离
法”结合函数的性质求参数范围.
对于
，
恒成立，求实数m 的取值范围．
【思路分析】 二次型三角函数不等式在某区间上恒成立，一般有两种解题途径：一是通
过换元构造二次函数，借助数形结合，得到确定图像位置的不等式或不等式组，解之求得
参数m 的范围．二是通过参变分离转化为求三角函数的最值，为使解题过程简捷，也需结
合换元法求解．
【详解】
解法一 原不等式变形为：
，即
．
令
，
，∴
，令
，
∴原题转化为
在
上恒成立．
∴
或
或
解得
或
或
，∴
．即m 的取值范围为
．
解法二 原不等式变形为
．
当
时，不等式恒成立．
当
时，
，即
．
令
，则
，
，则
．
在
上单调递减，
．
，∴
，即m 的取值范围为
．
【变换角度】与等差数列相结合，通过构造函数转化成一元二次不等式恒成立问题.
（2024·湖北·二模）已知等差数列
的前n 项和为
，且
，
，若对于任
意的
，不等式
恒成立，则实数x 可能为（ ）
A．
B．0 C．1 D．2
【思路分析】由
与
的关系且
为等差数列，求出
，由
，得
，构造函数
，由
在
时
恒成立，求实数x 的取值范围.
【详解】
因为
，
时，
，
时，
，
所以
，
，
，
因为
为等差数列，所以
，
，
从而
，
，
所以
，即
，
则当
时，
恒成立，
，解得
或
，
只有选项A 符合题意，
故选：A
（22-23 高一下·江苏·开学考试）
1．已知
，
，若
时，关于
的不等式
恒成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】注意到原题条件等价于当
时，
恒成立，当
时，
恒成立，故当
时，
，从而得
，由此结合基本
不等式即可求解.
【详解】设
，
，
因为
，所以当
时，
；
当
时，
；
时，
；
由不等式
恒成立，得
或
，
即当
时，
恒成立，
当
时，
恒成立，
所以当
时，
，
则
，即
，
则当
时，
，当且仅当
，即
时等号
成立，
故
的最小值为
．
故选：C．
（23-24 高一下·山东·期中）
2．已知菱形
的边长为1，设
，若
恒成立，则向量
在
方向上投影向量的模的取值范围是 .
【答案】
【分析】由已知条件可知向量
在
方向上的投影为
，令
，将
恒成立转化为
恒成立，利用
即可求出参数的取值范围，即可求
解.
【详解】因为菱形
的边长为1，所以
，
且向量
在
方向上的投影为
，
若
恒成立，则
恒成立，
所以
，即
.
令
，则
，即
，
要使
恒成立，
则
，解得
，
又向量
在
方向上的投影向量为
，
故其模的取值范围为：
.
故答案为：
（2024 高三下·全国·专题练习）
3．已知
，若
对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值
范围为 ．
【答案】
【分析】思路一：移向转换为
对一切实数x 恒成立，对
分类讨论
即可求解；思路二：移向构造函数，对
分类讨论，转换为函数最小值大于0 求参数即可；
思路三：分离参数，构造函数，利用导数求最值即可求解.
【详解】解法一（运用判别式）：由已知可得
，
即
对一切实数x 恒成立．
当
时，
不可能恒成立，
从而由二次函数的性质可得，只能
，解得
．
因此实数a 的取值范围为
．
解法二（利用二次函数图像与性质）：原不等式整理得
，
令
，则原问题转化为
对
恒成立．
当
时，抛物线开口向下，显然不合题意；
当
时，
，其图像是一条直线，也不合题意；
当
时，抛物线开口向上，只要
，即
．
解得
或
，∴
，因此实数a 的取值范围为
．
解法三（参变分离，构造新函数，运用导数求解函数的单调性及最值）：
∵
恒成立．
∴问题转化为
对
恒成立，从而
．
令
，则
，
令
，则
或
．
从而
在
，
上单调递增，在
上单调递减．
又
，且当
时，
，故
．
于是
，因此实数a 的取值范围为
．
故答案为：
.
（23-24 高一上·吉林延边·期中）
4．已知函数
，且
.若
时，
恒成
立，则m 的取值范围为
【答案】
【分析】根据
，即可由对数运算求出
，再根据一元二次不等式与二
次函数的性质即可求解.
【详解】因为
，
所以
，
又因为
，所以
，即
，
所以
.
因为
恒成立，
等价于
恒成立，
令
，则
，
原不等式等价于
在
恒成立，
则
，解得
,
故
的取值范围为
.
故答案为：
.
（2024·全国·模拟预测）
5．已知函数
，且
的解集为
．
(1)求
和
的值；
(2)若
在
上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据绝对值不等式的性质即可求解，
（2）将问题转化为
在
上恒成立，即可利用二次函数零点分
布求解.
【详解】（1）由
得
，
易知
，则
，解得
，
由于
的解集为
，则
，解得
．
（2）由（1）知
，由
得
，
得
在
上恒成立，
，故
．
令
，若
在
上恒成立，
则
，即
，解得
或
，
故实数的取值范围为
．
（上海·高考真题）
6．设函数
．
（1）在区间
上画出函数
的图象；
（2）设集合
，
．试判断集合
和
之间的关
系，并给出证明；
（3）当
时，求证：在区间
上，
的图象位于函数
图象的上方．
【答案】（1）图象见解析；（2）
，证明见解析；（3）证明见解析．
【分析】（1）先做
的图象，再将
轴下方的图象翻折到
上方即可；（2）
先求出方程
的三个解，再结合图象观察单调性可得
；（3）先求
，再对
和
进行讨论可得：在区间
上，
的图象位于函数
图象的上方．
【详解】（1）函数
在区间
上画出的图象如下图所示：
（2）方程
的解分别是
，
和
，由于
在
和
上单
调递减，在
和
上单调递增，
因此
，
由于
，
，
．
（3）当
时，
，
，
，
，又
，
①当
，即
时，取
，
．
因为
，
，则
；
②当
，即
时，取
，
．
由①②知，当
时，
，
．
因此，在区间
上，
的图象位于函数
图象的上方．
【点晴】本题考查导函数的图象与性质、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、
等价转化能力、运算求解能力、函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想与转化思
想．第二小题先求出方程
的解，再利用数形结合思想，观察函数图象可得
；第
三小题利用转化思想，将命题转化为证明
在区间
上恒成立．
