文档文本内容
【第10 讲：指数对数运算】
一．有理数指数幂与根式的互化（共5 小题）
二．有理数指数幂及根式化简运算求值（共9 小题）
三．对数的概念（共2 小题）
四．指数式与对数式的互化（共18 小题）
五．对数的运算性质（共5 小题）
六．对数运算求值（共6 小题）
【知识点清单】
1．有理数指数幂及根式
【知识点的认识】
根式与分数指数幂
规定：a
m
n =
n√a
m（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
a
−m
n = 1
a
m
n
= 1
n√a
m（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义
有理数指数幂
（1）幂的有关概念：
①正分数指数幂：a
m
n =
n√a
m（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
②负分数指数幂：a
−m
n = 1
a
m
n
= 1
n√a
m（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
③0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂无意义．
（2）有理数指数幂的性质：
①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；
②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；
③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．
2．对数的概念
【知识点的认识】
1．对数的定义
题型梳理
总览
如果ax＝N（a＞0 且a≠1），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x＝logaN，其中a 叫做对数的底数，N
叫做真数．
（2）几种常见对数
对数形式
特点
记法
一般对数
底数为a（a＞0 且
a≠1）
log
a N
常用对数
底数为10
lg
N
自然对数
底数为e
ln
N
3．指数式与对数式的互化
【知识点的认识】
ab＝N⇔logaN＝b；
alogaN＝N；logaaN＝N
指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
（1）af（x）＝b⇔f（x）＝logab；logaf（x）＝b⇔f（x）＝ab（定义法）
（2）af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；logaf（x）＝logag（x）⇔f（x）＝g（x）＞0（同底法）
（3）af（x）＝bg（x）⇔f（x）logma＝g（x）logmb；（两边取对数法）
（4）logaf（x）＝logbg（x）⇔logaf（x）=
1
lo gab lo ga g( x)；（换底法）
（5）\;Alog4{a}^{2}$x+Blogax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（设t＝logax 或t＝ax）（换元法）
4．对数的运算性质
【知识点的认识】
对数的性质：①a
lo ga N =
N ；②logaaN＝
N （a＞0 且a≠1）．
loga（MN）＝logaM+logaN； loga M
N =logaM﹣logaN；
logaMn＝nlogaM； loga
n√M = 1
nlogaM．
5．对数运算求值
【知识点的认识】
对数的性质：①a
lo ga N =
N ；②logaaN＝
N （a＞0 且a≠1）．
loga（MN）＝logaM+logaN；loga M
N =logaM﹣logaN；
logaMn＝nlogaM；loga
n√M = 1
nlogaM．
【解题方法点拨】
﹣利用对数定义直接求值．
﹣利用换底公式lo gab= lo gcb
lo gc a进行换底运算．
﹣结合对数运算性质，如loga（mn）＝logam+logan、lo ga( m
n )=lo gam−lo gan、lo ga(m
n)=nlo gam进
行化简求值．
一．有理数指数幂与根式的互化（共5 小题）
1．已知a＞0，则❑√a
1
3 ❑√a
1
2 ❑√a化为（ ）
A．a
7
12
B．a
5
12
C．a
5
6
D．a
1
3
2．
3√a
−2可化为（ ）
A．a
−2
3
B．a
−3
2
C．a
2
3
D．−a
2
3
（多选）3．下列各式中正确的是（ ）
A．❑√a
4=|a|
B．2﹣2＝﹣4
C．(
3√a
2⋅❑√a)÷
6√a=a
D．
10√(❑√2−1)
5= ❑√
❑√2−1
4．将❑√a
2❑√a(
a
其中＞0)化为有理数指数幂的形式为 ．
5．计算化简A，B：
（1）已知a＞0，b＞0，化简：A=(3a
2
3 b
1
2 )(−8a
1
2 b
1
3 )÷(−6a
1
6 b
5
6 )；
（2）化简：B =
3√a ❑√a
❑√a
+
❑√1−2a+a
2(a＞1)．
二．有理数指数幂及根式化简运算求值（共9 小题）
6．设a＞0，下列计算中正确的是（ ）
A．a
3
2 ⋅a
2
3 =a
B．(a
3
2 )
2
3 =a
知识讲解与常考题型
题型分类
C．a﹣4•a4＝0
D．a
3
2 ÷ a
2
3 =a
7．(❑√3)
❑√2•(❑√3)
❑√2的值是（ ）
A．3
B．3
❑√2
C．9
D．81
8．某放射性物质在衰减过程中，其质量y 与年数t 满足关系式y =m0e
−kt（m0为初始质量，m0＞0，k 为常
数，e≈2.718）．已知该放射物质经过4 年，其质量变为初始质量的1
3，若再经过8 年，该放射性物质
的质量变为初始质量的（ ）
A．1
3
B．1
9
C．1
27
D．1
36
9．某食品的保鲜时间y（单位：天）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y＝ekx+m（e 为自然对数的底
数，k，m 为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是14 天，在10℃的保鲜时间是7 天，则该食品在20℃
的保鲜时间是（ ）
A．48 小时
B．60 小时
C．72 小时
D．84 小时
10．已知a2x＝3，则ax+a﹣x＝（ ）
A．4 ❑√3
3
B．
❑√30
3
C．16
3
D．10
3
11．某放射性物质在衰变过程中，其质量m（单位：克）与年数t 满足关系式m=m0e
−kt（m0为初始质量，
k 为常数，e≈2.718）．已知经过3 年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6 年，该放射
性物质的质量变为初始质量的（ ）
A．1
3
B．1
4
C．1
6
D．1
8
12．若5m＝2，5n＝3，则5
3m−2n
2
的值为（ ）
A．
❑√2
3
B．2❑√2
3
C．2❑√3
9
D．2❑√2
9
13．计算0.027
1
3 −(π −4)
0+16
3
4 +0.4 9
1
2 = ．
14．计算：( 27
8 )
−2
3 −2×(❑√π +3)
0+10×
3√0.008= ．
三．对数的概念（共2 小题）
15．在对数式b＝log（a﹣3）（5﹣a）中，实数a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，3）∪（5，+∞）
B．（3，5）
C．（3，4）
D．（3，4）∪（4，5）
16．对数式log（a﹣2）（5﹣a）中实数a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，5）
B．（2，5）
C．（2，3）∪（3，5）
D．（2，+∞）
四．指数式与对数式的互化（共18 小题）
17．历史上数学计算方面的三大发明分别是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明大大缩短了计算
时间，为人类进行科学研究和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势．
已知lg2≈0.301，lg5≈0.699，则2.51051的估算值为（ ）
A．10418
B．10419
C．10420
D．10421
18．已知2a＝3b＝t，且2
a + 1
b =2，则t＝（ ）
A．❑√3
B．2❑√3
C．±2❑√3
D．12
19．当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用I D= I 0e
−KD表示其总衰减规律，其
中K 是消光系数，D（单位：米）是海水深度，ID（单位：坎德拉）和I0（单位：坎德拉）分别表示在
深度D 处和海面的光强．已知某海域6 米深处的光强是海面光强的40%，则该海域消光系数K 的值约
为（ ）
（参考数据：ln2≈0.7，ln5≈1.6）
A．0.2
B．0.18
C．0.15
D．0.14
20．已知2x＝3y＝5z（x，y，z≠0），且1
x + 1
y = a
z ，则a＝（ ）
A．log23
B．log25
C．log35
D．log56
21．已知实数a，b 满足a﹣1＝ln（4﹣a），beb＝e3，其中e 是自然对数的底数，则a+b＝（ ）
A．2
B．e
C．3
D．4
22．历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时
间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势．已知
lg2≈0.301，则2.51000的估算值为（ ）
A．10365
B．10379
C．10389
D．10398
23．关于x 的方程x+lgx＝3，x+10x＝3 的两根分别是α，β，则α+β＝（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
24．已知ax＝2，loga6＝y，a＞0，且a≠1，则ax+y＝（ ）
A．5
B．6
C．7
D．12
25．把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是θ′℃，空气的温度是θ0℃，则tmin 后该物体的温度
θ℃满足θ =θ0+(θ′ −θ0)e
−t
4．若θ0，θ′不变，在t1min，t2min 后该物体的温度分别为θ1℃，θ2℃，且
θ1＞θ2，则下列结论正确的是（ ）
A．t1＞t2
B．t1＜t2
C．若θ′＞θ0，则t1＞t2；若θ′＜θ0，则t1＜t2
D．若θ′＞θ0，则t1＜t2；若θ′＜θ0，则t1＞t2
26．设a＞0，a≠1，已知m＝ax，n＝ay，m
y n
x =a
4
z，则xyz 的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
27．已知正数x，y，z，满足3x＝4y＝6z，则下列说法不正确的是（ ）
A．1
x + 1
2 y = 1
z
B．x＞y＞z
C．1
x + 1
z ＜2
y
D．3x＜4y＜6z
28．如图，假定两点P，Q 以相同的初速度运动．点Q 沿直线CD 做匀速运动，CQ＝x；点P 沿线段AB
（长度为107单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（PB＝y）．令P 与Q 同时分
别从A，C 出发，那么，定义x 为y 的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x 与y 的对应关系就是
y =10
7( 1
e )
x
10
7，其中e 为自然对数的底．当点P 从线段AB 的三等分点移动到中点时，经过的时间为（
）
A．ln2
B．ln3
C．ln 3
2
D．ln 4
3
29．嫦娥六号是中国计划进行的一次月球采样返回任务．假设嫦娥六号在接近月球表面时，需要进行一系
列的减速操作，其减速过程可以近似地看作是一个指数衰减过程，其速度v（t）（单位：米/秒）随时
间t（单位：秒）的变化关系可以表示为：v(t )= v0⋅e
−λt，其中v0是初始速度，λ 是一个减速过程相关
的常数．已知嫦娥六号在t＝0 时的初始速度为v0＝1000m/s，经过t＝10s 后，速度变为v（10）＝
500m/s．若嫦娥六号需要在t＝Ts 时将速度减至月球表面的安全着陆速度v（T）＝1m/s，则T＝
（ ）
（精确到小数点后一位，参考数值：lg2≈0.301）
A．99.7
B．99.8
C．99.3
D．96.3
（多选）30．若实数a，b 满足2a＝3b＝6，则（ ）
A．1
a + 1
b =1
B．logab＞logba
C．a＞b
D．aa＞ab＞bb
（多选）31．若6a＝2，6b＝3，则下列判断正确的是（ ）
A．a+b＝1
B．a
2+b
2＜1
2
C．ab＜1
4
D．a＞1
3
32．若正实数m，n，t 满足5m＝7n＝t，且1
m + 1
n =2，则t＝ ．
33．已知a＞0 且a≠1，若loga2＝m，loga3＝n，则am+n＝ ．
34．放射性物质原子核数的衰变规律是：N = N 0⋅( 1
2 )
t
T ，其中N0指初始时刻的原子核数，t 为衰变时间，
T 为半衰期，N 为衰变后剩余的原子核数．已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为T1、T2（单位：
天），若两种物质的初始原子核数相同，512 天后发现甲的原子核数是乙的原子核数的4 倍，则
1
T 2
−1
T 1
= ．
五．对数的运算性质（共5 小题）
35．已知a＞1，且loga8×loga2＝1﹣loga4，则a＝（ ）
A．2 或8
B．1
2或8
C．8
D．64
36．已知a＝lg2，b＝lg3，则lg12 可以表示为（ ）
A．a2b
B．2ab
C．a+2b
D．2a+b
37．在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述．视星等m 是在地球上看到的星体亮度
等级，视星等受恒星距离影响．绝对星等M 是假设把恒星放在距离地球10 秒差距（10 秒差距≈32.6 光
年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度．视星等m 和绝对星等M 满足m−M =5lg( d
10 )，
其中d 是与地球的距离，单位为秒差距．若恒星A 距离地球约32.6 光年，恒星B 距离地球约326 光年，
恒星A，B 的视星等满足mB﹣mA＝4，则（ ）
A．MB＝MA+4
B．MB＝MA+6
C．MA＝MB+1
D．MA＝MB+6
38．若2lg（x﹣2y）＝lgx+lgy，则x，y 的关系是（ ）
A．x＝y
B．x＝2y
C．x＝4y
D．x＝y 或x＝4y
39．（1）❑√(3−π )
2+8
1
3 +( 8
27 )
−2
3 −0．5
2+(❑√3−1)
0；
（2）(lo g43+lo g83)(lo g32+lo g92)+lo g3
4√27−2
lo g25．
六．对数运算求值（共6 小题）
40 ．2023 年，深度求索（DeepSeek ）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为
1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek 的算力每年增长50%．截止至
2025 年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek 的算力预计在
哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ）
（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg5≈0.699）
A．2026 年
B．2027 年
C．2028 年
D．2029 年
41．已知a＞b＞1，若lo gab+lo gba= 10
3 ，ab＝ba，则ab＝（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
42．化简（log62）2+log62•log63+2log63−6
lo g62的值为（ ）
A．﹣log62
B．﹣log63
C．log63
D．﹣1
43．若logam＝2，b3＝m，则logm（ab）＝（ ）
A．1
6
B．1
5
C．5
6
D．6
5
44．已知a=lo g52，2
b=3，则log215＝（ ）
A．1
a +b
B．1
b +a
C．b
a
D．a
b
45．若a＞1，b＞1，且log3a•log3b＝4，则ab 的最小值为 ．
一、单选题
1．已知
，若
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．已知
，
且
，
，
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若对数式
有意义，则实数的取值范围是（ ）
课后针对训练
A．
B．
C．
D．
5．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．18
6．在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N 个单位的数据量所需要时间
（单位：小时），
其中k 为常数，在此条件下，已知训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，训练时间增加20
小时；当训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，训练时间增加（单位：小时）
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
7．已知
，将
表示成分数指数幂的形式，其结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．某地大气压强p（单位：kPa）与海拔h（单位：m）之间的关系可以由
近似描述，其中
为
标准大气压强，k 为常数．已知某季节该地海拔为5000m，8000m 两处的大气压强分别为54kPa，36kPa．
下表为该地不同季节平均标准大气压强的范围，则此时该地为（ ）
季节
春季
夏季
秋季
冬季
（参考数据：
，
）
A．春季
B．夏季
C．秋季
D．冬季
10．按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内二氧化碳最高容许浓度不高于
．经测定，刚下课
时，教室内含有
的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为
，且
随时间（单位：
）的变化规律可以用函数
描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要
的时间的最小整数值为（ ）
参考数据：
．
A．1
B．3
C．7
D．8
二、多选题
11．下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
13．设
，则下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
14．
.
15．
．
16．
，则用
和
表示
的结果为
四、解答题
17．（1）已知
，试用
表示
；
（2）已知
，求
的值．
18．求解下列问题：
(1)在①
，②
中任选一个求值；
(2)已知
，
，试用a，b 表示
．
19．计算：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
20．（1）计算：
；
（2）已知
，
，求
的值；
（3）已知
，求
的值
