高一数学指数函数与对数函数
知识点+题型归纳全解析
4.1 指数..................................................................................................... 5
模块一：基础知识.................................................................5
考点一：n 次方根、n 次根式......................................................... 5
考点二：根式的性质................................................................ 5
考点三：分数指数幂的意义.......................................................... 5
考点四：有理数指数幂的运算性质.................................................... 5
考点五：无理数指数幂.............................................................. 6
考点六：实数指数幂的运算性质...................................................... 6
模块二：题型分类.................................................................6
题型一：利用根式的性质化简或求值.................................................. 6
题型二：指数幂的运算.............................................................. 7
题型三：分数指数幂与根式的互化.................................................... 8
题型四：指数幂的化简、求值........................................................ 9
题型五：分数指数幂运算的综合应用................................................. 11
模块三：综合巩固................................................................12
4.2 指数函数..............................................................................................14
模块一：基础知识................................................................14
考点一：指数函数的定义........................................................................................................................14
考点二：两类指数模型............................................................................................................................14
考点三：指数函数的图象和性质............................................................................................................14
考点四：比较幂的大小............................................................................................................................14
考点五：解指数方程、不等式................................................................................................................14
考点六：指数型函数的单调性................................................................................................................14
模块二：题型分类................................................................15
题型一：指数函数的判定与求值............................................................................................................15
题型二：根据指数函数求参数................................................................................................................15
题型三：求指数函数解析式....................................................................................................................16
题型四：判断指数函数图形形状............................................................................................................16
题型五：根据指数函数图像求参数范围............................................................................................... 17
题型六：指数函数图像过定点问题........................................................................................................17
题型七：指数函数定义域........................................................................................................................18
题型八：指数型复合函数定义域............................................................................................................18
题型九：指数函数值域............................................................................................................................18
题型十：判断指数函数单调性................................................................................................................20
题型十一：由指数型的单调性求参数....................................................................................................21
题型十二：判断指数型复合函数的单调性........................................................................................... 22
题型十三：比较指数幂的大小................................................................................................................22
题型十四：由指数函数的单调性解不等式........................................................................................... 22
题型十五：求已知指数型函数的最值....................................................................................................23
题型十六：根据指数函数的最值求参数............................................................................................... 23
题型十七：含参指数函数的最值............................................................................................................24
题型十八：指数函数最值与不等式的综合问题................................................................................... 25
题型十九：指数函数综合应用................................................................................................................25
模块三：综合巩固............................................................................................................................................27
4.3 对数及其运算........................................................................................31
模块一：基础知识................................................................31
考点一：对数的有关概念........................................................................................................................31
考点二：对数与指数的关系....................................................................................................................31
考点三：对数的性质................................................................................................................................31
考点四：对数运算性质............................................................................................................................31
考点五：换底公式....................................................................................................................................31
模块二：题型分类................................................................32
题型一：指数式与对数式的互化............................................................................................................32
题型二：对数的运算................................................................................................................................32
题型三：对数运算性质的应用................................................................................................................34
题型四：运用换底公式化简计算............................................................................................................34
题型五：运用换底公式证明恒等式........................................................................................................35
题型六：对数及其运算的综合应用........................................................................................................36
模块三：综合巩固................................................................38
4.4 对数函数.............................................................................................41
模块一：基础知识................................................................41
考点一：对数函数的概念........................................................................................................................41
考点二：对数函数的图象和性质............................................................................................................41
考点三:不同底的对数函数图象的相对位置......................................................................................... 41
考点四：反函数的概念............................................................................................................................41
考点五：三种常见函数模型的增长差异............................................................................................... 41
模块二：题型分类................................................................42
题型一：对数函数的概念与解析式........................................................................................................42
题型二：求对数函数的定义域................................................................................................................42
题型三：求对数型复合函数的定义域....................................................................................................43
题型四：求对数函数在区间上的值域....................................................................................................44
题型五：求对数型复合函数的值域........................................................................................................45
题型六：根据对数函数值域求参数或范围........................................................................................... 45
题型七：判断对数函数的图像形状........................................................................................................46
题型八：根据对数函数图像判断参数范围........................................................................................... 47
题型九：对数函数图像过定点问题........................................................................................................48
题型十：对数函数图像的应用................................................................................................................48
题型十一：对数函数的单调性................................................................................................................48
题型十二：对数型复合函数的单调性....................................................................................................49
题型十三：由对数（型）单调性求参数............................................................................................... 50
题型十四：由对数函数的单调性解不等式........................................................................................... 50
题型十五：比较对数式的大小................................................................................................................51
题型十六：对数函数的单调性应用........................................................................................................51
题型十七：求对数函数的最值................................................................................................................52
题型十八：根据对数函数的最值求参数或范围................................................................................... 53
题型十九：对数函数的最值与不等式综合问题................................................................................... 54
题型二十：反函数....................................................................................................................................54
模块三：综合巩固................................................................55
4.5 函数的零点...........................................................................................57
模块一：基础知识................................................................57
考点一：函数的零点................................................................................................................................57
考点二：函数零点的判定........................................................................................................................57
考点三：零点个数的判断方法................................................................................................................58
考点四：判断函数零点所在区间............................................................................................................58
考点五：已知函数零点个数，求参数取值范围的方法....................................................................... 58
模块二：题型分类................................................................58
题型一：求函数的零点............................................................................................................................58
题型二：函数零点的个数........................................................................................................................59
题型三：判断零点所在的区间................................................................................................................60
题型四：根据零点求函数解析式的参数............................................................................................... 62
题型五：根据零点所在区间求参数范围............................................................................................... 63
题型六：已知零点个数求参数范围........................................................................................................64
题型七：一次函数零点分布求参数范围............................................................................................... 64
题型八：二次函数零点分布求参数范围............................................................................................... 65
题型九：指对幂函数零点分布求参数范围........................................................................................... 65
题型十：比较零点大小............................................................................................................................67
题型十一：求零点的和............................................................................................................................68
模块三：综合巩固................................................................69
4.6 二分法求方程的近似解.............................................................................74
模块一：基础知识................................................................74
考点一：二分法........................................................................................................................................74
考点二：用二分法求函数零点的一般步骤........................................................................................... 74
考点三：关于精确度................................................................................................................................75
考点四：运用二分法求函数的零点应具备的条件............................................................................... 75
考点五：利用二分法求方程的近似解的步骤....................................................................................... 75
模块二：题型分类................................................................75
题型一：二分法概念的理解....................................................................................................................75
题型二：用二分法求近似解的条件........................................................................................................77
题型三：用二分法求方程近似解的过程............................................................................................... 78
题型四：用二分法求方程的近似解........................................................................................................80
模块三：综合巩固................................................................82
4.7 指数函数对数函数常考习题综合应用........................................................... 86
模块一：题型分类................................................................86
题型一：常见指数函数的定义域和值域问题....................................................................................... 86
题型二：对数函数的定义域和值域问题............................................................................................... 86
题型三：指数函数的图像........................................................................................................................87
题型四：指数函数的单调性问题............................................................................................................88
题型五：指数函数比较指数幂大小........................................................................................................88
题型六：指数函数的最值问题................................................................................................................89
题型七：对数函数的图像问题................................................................................................................89
题型八：对数函数比较对数大小............................................................................................................90
题型九：对数函数的单调性问题............................................................................................................90
题型十：对数和指数函数的综合问题....................................................................................................91
模块二：综合巩固................................................................92
4.8 函数模型的应用..................................................................................... 98
模块一：基础知识................................................................98
考点一：几种常见的函数模型................................................................................................................98
考点二：解答应用问题的基本思想和步骤........................................................................................... 98
考点三：指数函数模型问题的求解策略............................................................................................... 99
考点四：对数函数应用题的基本类型和求解策略............................................................................... 99
考点五：建立拟合函数与预测的基本步骤........................................................................................... 99
考点六：解答函数应用题应注意的问题............................................................................................... 99
模块二：题型分类...............................................................100
题型一：根据实际问题增长率选择合适的函数模型......................................................................... 100
题型二：一次函数与二次函数模型的应用......................................................................................... 102
题型三：指数型函数模型......................................................................................................................105
题型四：对数型函数模型......................................................................................................................106
题型五：分段函数模型的应用..............................................................................................................108
题型六：指数、对数、幂函数模型的增长差异................................................................................. 110
题型七：拟合函数模型的应用问题..................................................................................................... 112
模块三：综合巩固...............................................................114
4.9 指数函数与对数函数必刷检测题（基础）....................................................120
4.10 高一数学指数函数与对数函数必刷检测题（提高）.......................................127
4.11 对数运算专题练习...............................................................................132
【基础知识】...................................................................132
【基础练习】...................................................................132
高一数学指数函数与对数函数
知识点+题型归纳全解析
4.1 指数
模块一：基础知识
考点一：n 次方根、n 次根式
1．a 的n 次方根的定义
一般地，如果x
n＝a，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n>1，且n∈N
*.
2．a 的n 次方根的表示
n 的奇偶性
a 的n 次方根的表示符号
a 的取值范围
n 为奇数
n
a
a∈R
n 为偶数
±
n
a
[0，＋∞)
3.根式
式子
n
a叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
考点二：根式的性质
1.
n
0＝0(n∈N
*，且n>1)．2．(
n
a)
n＝a(a≥0，n∈N
*，且n>1)．
3.
n
a
n＝a(n 为大于1 的奇数)．4.
n
a
n＝|a|＝
a，a≥0，
－a，a<0
(n 为大于1 的偶数)．
考点三：分数指数幂的意义
分数指数
幂
正分数指数幂
规定：
m
n
a ＝
n
a
m(a>0，m，n∈N
*，且n>1)
负分数指数幂
规定：
1
m
n
m
n
a
a
＝
1
n
a
m(a>0，m，n∈N
*，且n>1)
0 的分数指数
幂
0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂
无意义
考点四：有理数指数幂的运算性质
(1)a
ra
s＝a
r＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(a
r)
s＝a
rs(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)
r＝a
rb
r(a>0，b>0，r∈
Q)．
考点五：无理数指数幂
一般地，无理数指数幂a
α(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质
同样适用于无理数指数幂．
考点六：实数指数幂的运算性质
1．a
ra
s＝a
r＋s(a>0，r，s∈R)．2．(a
r)
s＝a
rs(a>0，r，s∈R)．3．(ab)
r＝a
rb
r(a>0，b>0，r∈
R)．
模块二：题型分类
题型一：利用根式的性质化简或求值
1．化简算式
1
1
2
1
3
2
等于（
）
A．1
B．1
2 2
3
C．2 3
2
D．
3
2
2．化简：
2
3
3
π
4
π
3
（
）
A．1
B．1
C．7
2
D．2
7
3．已知实数,a b 满足
2
2
(
1)(
1)
1
a
a
b
b
，则a
b
（
）
A．1
B．1
C．1
D．0
4．化简下列式子：
（1）
3
3
2
2
3
；（2）
4 2
2 6
；（3）
3
2
3
2
x
2x
1
x
3x
3x
1
5.（1）已知,a b 是方程
2
6
4
0
x
x
的两个根，且
0
a
b
，求
a
b
a
b
的值．
（2）已知
1
1
2
2
3
a
a
，求下列各式的值：①
1
a
a
；
②
2
2
a
a
．
6．(多选)下列各组函数中表示同一个函数的是（
）
A．
2
f x
x
，
3
g x
x
B．
1
f x
x
，
3
3
1
g x
x
C．
2x
f x
x
，
g x
x
D．
1
f x
x
，
2
1
g x
x
7．若
2
0
3
5
x
x
，化简
2
2
25
30
9
(
2)
3
x
x
x
的结果为
．
8．求值：
(1)
0.5
2
3
2
0
27
49
2
(0.2)
(0.081)
8
9
25
；
(2)π0－
2
2
3
8
＋5 2 ×
1
2
5
4
.
题型二：指数幂的运算
1．已知
0
a
，化简
a
a a
（
）
A．a
B．
5
2
a
C．
5
4
a
D．
3
8
a
2．下列运算结果中正确的为
A．
2
3
6
a
a
a
B．
3
2
2
3
a
a
C．
0
1
1
a
D．
3
2
6
a
a
3．下列结论中，正确的是（
）
A．设
0,
a
则
4
3
3
4
a
a
a
B．若
8
2
m
，则m
8 2
C．若
1
3
a
a
，则
1
1
2
2
5
a
a
D．
4
4 2
2
4．(多选)下列运算正确的是（
）
A．
7
1
7
7 (
0,
0)
m
m
n
m
n
n
B．
4
3
12
4
12 3
( 3)
3
C．
3
4
3
4
3
(
) (
0,
0)
x
y
x
y
x
y
D．
3
3
9
3
5．已知
1x 和
2x 是方程
2
9
3
3
0
x
x
的两根，则
1
2
1
2
9
9
x
x
x
x
.
6．计算化简：
(1)
1
1
2
3
2
3
27
7
0.027
2
125
9
；
(2)
2
2
3
1
1
3
1
3
2
a
b
a
b
b a
a
b
.
7.化简（式中的字母均为正实数）：
(1)
1
1
3
4
a
a
；(2)
3
1
2
2
3
a b
ab
；(3)
1
3
3
1
2
15
25
a b c
abc
；(4)
1
8
2
6
4
9
a
b
；(5)
1
1
3
3
3
2
3
2
x
x
x
；
(6)
2
1
3
1
1
3
3
2
4
2
2
x
y
x y
x
y
；(7)
2
1
1
2
2
x
x
；(8)
1
1
1
1
3
3
2
2
2
2
x
y
x
y
．
题型三：分数指数幂与根式的互化
1．化简
8
4
4 16
0
0
x y
x
,y
得（
）
A．
2
2x y
B．2xy
C．
2
4x y
D．
2
2x y
2．若
3
3 ,
x
x
则x=（
）
A．
2
7
9
B．
2
7
3
C．
2
3
9
D．
2
3
3
3．已知
0
a
,将
2
3
2
a
a
a
表示成分数指数幂,其结果是
A．
1
2
a
B．
3
4
a
C．
7
6
a
D．
3
2
a
4．(多选)下列命题正确的是（
）
A．
7
8 (
0)
a a a
a
a
B．函数
f x
x
与
3
3
( )
g t
t
表示同一个函数
C．若
2
log 3
a
，则
6
3
log 9
1
a
a
D．函数
3
2
( )
2
1
x
x
f x
x
在区间[
, ](
0)
a a a
上的最大值与最小值之和为4
5．已知
8
17
,
27
71
a
b
，则
2
1
1
2
1
3
3
3
3
3
4
1
3
3
3
3
3
3
3
27
a
a b
b
a
a
b
a
a b
．
6．化简：
(1)
1
1
1
1
1
1
1
3
5
3
6
6
2
2
6
2
2
6
3
4
a b
a b
a b
a b
；
(2)
2
3
6
5
3
4
0,
0
xy
x
y
x
y
；
(3)
2
3
6
3
3
0,
0
y
x
y
x
y
x
y
x
．
7．化简3
3
2
1
3
8 3
15
3
1
a
a
a
a
a
a
的结果为（
）
A．
1
a
B．
2
a
C．1
D．a
8．已知a ､
R
b
，下列各式中总能成立的是（
）
A．
6
6
6
a
b
a
b
；
B．
2
2
2
2
n
n a
b
a
b
C．
4
4
4
4
a
b
a
b
；
D．
10
10 a
b
a
b
题型四：指数幂的化简、求值
1．已知
1
1
2
2
3
a
a
，则
2
2
a
a
（
）
A．7
B．9
C．47
D．49
2．若
4
( )
4
2
x
x
f x
，则
1
2
1000
(
)
(
)
(
)
1001
1001
1001
f
f
f
（）
A．1000
B．600
C．550
D．500
3．计算
1 2
2
1
2
1
(2
)
( )
2
4
8
n
n
n
(n∈N*)的结果为（
）
A．
4
1
6
B．22n
＋5
C．2n2－2n＋6
D．1
( )
2
2n
－7
4．(多选)若实数x ，y 满足
1
2
2
1
x
y
，m
x
y
，
1
1
1
2
2
x
y
n
，则（
）
A．
0
x
且
1
y
B．m 的最小值为3
C．n的最小值为7
D．
2
2
m
n
5．已知正实数x ，y 满足
1
16
3
2
3
8
y
x
x
y
，则
2
2
3
y
x
x
x
y
的最小值为
.
6．（1）求值：
2
1
2
6
1
3
2
3
4
9
8
125
16
25
27
；
（2）已知
0,
0
a
b
，化简：
1
1
2
5
3
3
3
3
6
4
5
4
2
a b
a b
a b
7.已知
1
4,(0
1)
x
x
x
，则
2
2
1
1
2
2
x
x
x
x
的值等于（
）
A．
6
B．6
C．4 2
D．8
8.化简求值：
(1)计算
4
0
1
3
3
2
1
1
4
0.25
2
2
；
(2)计算
2
1
1
5
1
0
3
3
3
6
6
2
2
6
3
8
2
a
b
ab
a b
a
b
b
（式中字母均是正数）
(3)已知
1
3
x
x
，求
1
3
3
2
x
x
x
x
的值.
9.求下列各式的值.
(1)若3
2,3
5
a
b
，求
23 a b
；
(2)已知3
1
2
a
b
，求9
3
3
a
b
a
的值；
(3)若
1
3,
1
2
2
a
b
，求
1
2
2
3
2
a
b ab
a
；(4)若
,
2.5
20
a
b
，求
1
1
12
1
3
3
4
2
3
3
8
2
1
3
1
3
12
4
4
2
a
a
b
a
b
b
a
b
.
题型五：分数指数幂运算的综合应用
1.用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中
0
a
，
0
b
）：
(1)
2
3
2
a
a
a
；(2)
3
5
2
a
b
；(3)
2
2
3
3
6
9
6
9
a
b
；(4)
1
1
1
3
4
4
2
1
3
2
4
3
6
a
a b
a
b
.
2.化简求值：
(1)
1
0.5
0
3
2
2
1
8
2
2
0.75
6
4
27
3
；
(2)若
1
3
x
x
，求下列各式的值：
①
2
2
x
x
②
1
1
2
2
x
x
3.已知
1
3
0
x
x
x
，求下列各式的值：
(1)
1
1
2
2
x
x
；(2)
1
1
2
2
x
x
；(3)
3
3
2
2
x
x
；(4)
3
3
2
2
x
x
模块三：综合巩固
1.已知10
3
m
，10
4
n
，则
3
2
2
10
m
n
（
）
A．4
9
B．4
27
C．4 3
3
D．3 3
4
2．（多选）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（
）
A．
1
3
3
x
x
（
0
x
）
B．
3
3
4
4
x
y
y
x
（
0
xy
）
C．
2
2
1
3
3
2
y
x
y
x
（
0,
0
x
y
）
D．
1
2
x
x
（
0
x
）
3.下列等式中正确的是（
）
A．
6
5
3 2
2
2
B．
3
3
9
3
C．
4
3
12
3
3
D．
1
a
a
a
4.已知a R ，n
N ，给出下列4 个式子：①
2
6 ( 3) n
；②5
2
a ；③
2
1
6 ( 5) n
；④9
2
a
，其中无意义
的有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．0 个
5.若
3
2
1
x
x
x
，则
28
27
2
1
1
2
27
28
1
x
x
x
x
x
x
x
x
的值是（
）
A．2
B．0
C．1
D．1
6.计算
2
3
1
2
3
2
3
6
a b
a b
a b
的结果为（
）
A．
2
b
B．
2
b
C．1
D．2
b
7.已知
0
a
，
0
b
，且
1
a
b
，a
b
¹ ，则下列不等式成立的是（
）
A．
1
1
2
2
2
a
b
a
b
B．
1
1
2
2
2
a
b
a
b
C．1
1
2
2
2
a
b
a
b
D．1
1
2
2
2
a
b
a
b
8．（多选）若3a·9b＝1
3 ，则下列结论不正确的是（
）
A．a＋b＝－1
B．a＋b＝1
C．a＋2b＝－1
D．a＋2b＝1
9.化简
3
2
3
2
3
2
3
2
.
10.若
*
,
m nR ，且2
4
2
m
n
，则2
1
m
n
的最小值为
.
11.计算下列各式的值.
(1)
0
1
3
4
3
4
1
0.064
16
81
9
(2)
1
1
3
2
0
25
8
1
(π
e)
9
27
4
(3)
π
2
π
2 2
5
1
3
2
1
3
(4)
2
0.5
3
2
0
7
10
37
2
0.1
2
3π
9
27
48
；
(5)
4
2
3
3
6
3
8
0.
1
1
3
5
6
81
.
(6)计算：
4
0
1
1
3
0.75
3
3
2
7
0.064
2
16
0.01
8
；
(7)
3
1
1
2
1
2
3
3
2
4
1
4
0.1
ab
a b
（
0
a
，
0
b
）.
4.2 指数函数
模块一：基础知识
考点一：指数函数的定义
一般地，函数y＝a
x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R.
考点二：两类指数模型
1．y＝ka
x(k>0)，当a>1 时为指数增长型函数模型．
2．y＝ka
x(k>0)，当0<a<1 时为指数衰减型函数模型．
考点三：指数函数的图象和性质
指数函数y＝a
x(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点
过定点(0,1)，即x＝0 时，y＝1
函数值的变化
当x>0 时，y>1；
当x<0 时，0<y<1
当x>0 时，0<y<1；
当x<0 时，y>1
单调性
在R 上是增函数
在R 上是减函数
考点四：比较幂的大小
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断；
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．
考点五：解指数方程、不等式
(1)形如a
f(x)>a
g(x)的不等式，可借助y＝a
x的单调性求解；
(2)形如a
f(x)>b 的不等式，可将b 化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助y＝a
x的单调性求解；
(3)形如a
x>b
x的不等式，可借助两函数y＝a
x，y＝b
x的图象求解．
考点六：指数型函数的单调性
一般地，有形如y＝a
f(x)(a>0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝a
f(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．
(2)当a>1 时，函数y＝a
f(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1 时，函数y＝a
f(x)与函数y＝f(x)的单
调性相反．
模块二：题型分类
题型一：指数函数的判定与求值
1．若指数函数
( )
f x 的图象经过点(2,9) ，则
( 1)
f
A．1
3
B．
1
3
C．2
D．2
2．已知函数
f
x 是R 上的偶函数，且
f
x 的图象关于点
1,0 对称，当
0,1
x
时，
2
2x
f
x
，则
0
1
2
2024
f
f
f
f
的值为（
）
A．-2
B．-1
C．0
D．1
3．给出下列函数：①
3x
y
；②
1
3x
y
；③
3x
y
；④
3
y
x
；⑤
2
x
y
．其中，指数函数的个数
是（
）
A．0
B．1
C．2
D．4
4．已知函数f(x)=
2 ,
0,
2 ,
0
x
x
a
x
x
(a∈R)，若
( ( 1))
1
f
f
，则a=（
）
A．1
4
B．
1
2
C．1
D．2
题型二：根据指数函数求参数
1．若4 a ＋
0
(
2)
a
有意义，则a 的取值范围是(
)
A．
0
a
B．
2
a
C．
2
a
D．
0
a
且
2
a
2．函数f（x）=（2a–3）ax 是指数函数，则f（1）=
A．8
B．3
2
C．4
D．2
3．若函数
2
2
2
x
y
m
m
m
是指数函数，则m 等于（
）
A．1
或3
B．1
C．3
D．1
3
4．若指数函数
x
y
b a
在
,2
b
上的最大值和最小值的和是6,则
a
（
）
A．2 或3
B．-3
C．2
D．3
题型三：求指数函数解析式
1．指数函数
0
x
f x
a
a
且
0
a
图像经过点
3,27 ，则
2
f
（
）
A．3
B．6
C．9
D．12
2．下列函数中，满足
1
1
2
f
x
f
x
的是（
）
A．
4x
f x
B．
4 x
f x
C．
2x
f x
D．
2 x
f x
3．放射性核素锶89 的质量M 会按某个衰减率衰减，设初始质量为
0
M ，质量M 与时间t（单位：天）的
函数关系为
0
1
2
t
h
M
M
（其中h 为常数），若锶89 的半衰期（质量衰减一半所用的时间）约为50 天，
那么质量为
0
M 的锶89 经过30 天衰减后质量大约变为（
）（参考数据
0.6
2
1.516
）
A．0.72
0
M
B．0.70
0
M
C．0.68
0
M
D．0.66
0
M
4．若指数函数
f
x 的图象过点
3,8 ，则
f
x 的解析式为（
）
A．
3
f x
x
B．
1
3
f x
x
C．
1
2
x
f
x
D．
2x
f x
题型四：判断指数函数图形形状
1．已知函数
1
2
x
y
a
b
的图象过原点，且无限接近直线
2
y
但不与该直线相交，则（
）
A．
2
a ，
2
b
B．
2
a
，
2
b
C．
1
a ，
2
b
D．
2
a
，
1
b
2．函数
1
x
y
a
a
（
0
a
，且
1
a ）的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
题型五：根据指数函数图像求参数范围
1．设函数
3x
f
x
b
，函数
f
x 的图像经过第一､三､四象限，则
1
g b
f b
f b
的取值范围为（
）
A．
2
0, 9
B．
2
, 9
C．
2
, 3
D．
2
0, 3
2．已知实数a，b 满足等式3
6
a
b
，则下列关系式中不可能成立的是（
）
A．a
b
B．0
b
a
C．
0
a
b
D．0
a
b
3．已知
1
x
y
a
，
2
x
y
b
是指数函数，
3
c
y
x
，
4
d
y
x
是幂函数，它们的图象如图所示，则a ，b ，c ，d
的大小关系为（
）
A．a
b
c
d
B．c
b
a
d
C．c
a
b
d
D．b
a
c
d
题型六：指数函数图像过定点问题
1．函数
1
1
x
y
a
恒过定点（
）
A．
2,1
B．
1,2
C．
0,1
D．
1,1
2．函数
2
1
x
y
a
0
a
且
1
a
的图象过定点（
）
A．( 1,1)
B．(2,1)
C．( 2,2)
D．(2, 2)
题型七：指数函数定义域
1．函数
3
27
x
y
的定义域为（
）
A．
, 3
B．
, 3
C．
3,
D．
3,
2．若集合
2
A
x
x
，
3
3
x
B
x
，则A
B
（
）．
A．
,4
B．
1
, 2
C．
1
0, 2
D．1 ,4
2
3．已知集合
1
2
1
x
A
x
，
2
{ |
2
0}
B
x x
x
，则A
B
（
）
A．
1,2
B．
1,2
C．
0,3
D．
1,2
题型八：指数型复合函数定义域
1．若
2
3
3
1
x
f x
a
为奇函数，则
a
（
）
A．1
B．0
C．
1
2
D．1
3
2．已知集合
2
1
A
y y
x
，
4
2x
B
x y
，则A
B
（
）
A．
0,2
B．
0,2
C．
0,2
D．
0,2
3．若函数
2
2
( )
2
1
x
ax a
f x
的定义域为R，则a 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
题型九：指数函数值域
1．(多选)已知集合
0
2
M
x
x
，
0
4
N
y
y
，则下列表达式能建立从集合M 到集合N 的函数
关系的有（
）
A．
2
1
y
x
B．
2x
y
C．
ln
y
x
D．
3
1
2
y
x
2．(多选)已知函数
2 2
2
( )
x
x
f x
，则下列命题中，正确的有（
）
A．函数
( )
f x 的值域为(0,
)
；
B．函数
( )
f x 的单调增区间为[1,
)
；
C．方程
( )
4
f x
有两个不同的实数解；
D．函数
( )
f x 的图象关于直线
1
x 对称．
3．(多选)若
( )
3
1
x
f x
，则下列选项中不正确的是（
）
A．
( )
f x 在[ 1,1]
上单调递减
B．
3
1
x
y
与
1
1
3
x
y
的图象关于y 轴对称
C．
( )
f x 的图象过点(0,1)
D．
( )
f x 的值域为[1,
)
4．(多选)下列说法中正确的是（
）
A．若函数
f
x 的定义域为
0,2 ，则函数
2
f
x 的定义域为
0,4
B．若
1
2
1
f
x
x
，则
2
2
4
3
f x
x
x
，
1,
x
C．函数
4
2
1
x
x
y
的值域为
1,
D．
1
1
f
x
x
在
,1
1,
上单调递减
5．(多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并
列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR ，用
x 表示不超过x 的最大整数，则
y
x
称为高斯函数，例如：
3.5
4
，
2.1
2
，已知函数
2e
1
1 e
2
x
x
f x
，
g x
f
x
，则下列叙述正
确的是（
）
A．
g x 是偶函数
B．
f
x 在R 上是增函数
C．
f
x 的值域是
1 ,
2
D．
g x 的值域是
1,0,1
6．(多选)下列各结论中正确的是（
）
A．“
0
ab
”是“
0
a
b
”的充要条件；
B．函数
2
2
1
2
2
y
x
x
的最小值为2；
C．命题“
1
x
，
2
0
x
x
”的否定是“
0
1
x
，
2
0
0
0
x
x
”；
D．函数
| |
1
2
x
y
的值域为(0,1].
7．(多选)已知函数
2
1
( )
2
2
2
x
x
f x
，定义域为M ，值域为
1,2 ，则下列说法中一定正确
．．．．的是（
）
A．
0,2
M
B．
,1
M
C．0
M
D．1
M
题型十：判断指数函数单调性
1．下列函数中，在
0,
上单调递增的是（
）
A．
2
1
y
x
B．
1
y
x
C．
3
y
x
D．
2 x
y
2．下列函数在
0,
上为增函数的是（
）
A．
1
2
f
x
x
B．
2 x
f x
C．
2
1
f
x
x
D．
f
x
x
3．(多选)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（
）
A．
2
y
x
B．
3
y
x
C．
|
|
y
x
D．
2
2
x
x
y
4．(多选)已知
( )
f x 定义域为R ，其函数图象关于直线
3
x 对称，且
(
3)
(
3)
f x
f x
，若当
[0,3]
x
时，
( )
2
2
1
x
f x
x
=
+
- ，则下列结论正确的是（
）
A．
( )
f x 为偶函数
B．
( )
f x 的图象关于
3
x
对称
C．
( )
f x 在[ 6, 3]
上单调递减
D．
(2023)
3
f
5．(多选)已知函数
( )
f x 和( )
g x 分别为奇函数和偶函数，且
( )
( )
2 x
f x
g x
，则（
）
A．
( )
( )
2 x
f x
g x
B．
( )
f x 在定义域(
,
)
上单调递增
C．
( )
f x 的导函数
( )
1
f
x
D．( )
1
g x
6．(多选)已知偶函数
( )
f x 的定义域为R，
(
4)
f x
也是偶函数，当
[0,4]
x
时，
2
( )
2
1
x
x
a
f x
．若
( 1)
(5)
1
f
f
，则（
）
A．
(5)
( 1)
f
f
B．
( 3)
( 6)
f
f
C．
(5)
( 3)
f
f
D．
( 1)
( 6)
f
f
题型十一：由指数型的单调性求参数
1．已知函数
2
3
x
x a
f x
在区间
,1
上单调递减，则a 的最小值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．已知函数
2
,
1
2
,
1
x
a
a x
x
f x
a
x
，是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（
）
A．
1,2
B．
2
0, 3
C．
1,2
D．4 ,2
3
3．(多选)已知函数
1
2
1
1,
0
2
,
0
x
x
f x
x
x
，则下列结论中错误的是（
）
A．
f
x 的值域为
0,
B．
f
x 是单调函数
C．
f
x 是偶函数
D．
f
x 的图像与直线
2
y
有两个交点
题型十二：判断指数型复合函数的单调性
1．已知
g x 为偶函数，
h x 为奇函数，且满足
2x
g x
h x
.若对任意的
1
1, 2
x
都有不等式
0
m g x
h x
成立，则实数m 的最大值为（
）.
A．1
3
B．1
C．1
D．
3
5
-
2．若
e
e
x
x
f
x
a
为奇函数，则
1
e
e
f x
的解集为（
）
A．
,2
B．
,1
C．
2,
D．
1,
3．(多选)已知函数
2
1
2
1
x
x
f x
，则（
）
A．函数
f
x 的图象关于原点对称
B．函数
f
x 的图象关于y 轴对称
C．函数
f
x 的值域为
1,1
D．函数
f
x 是减函数
题型十三：比较指数幂的大小
1．设
0.1
0.8
0.5
2 ,
(0.5)
,
(0.5)
a
b
c
，则a，b，c 的大小顺序为（
）
A．a
c
b
B．a
b
c
C．c
a
b
D．b
c
a
2．设
1.5
0.9
0.48
1
4
,
8
,
2
a
b
c
，则（
）
A．c
a
b
B．b
a
c
C．a
b
c
D．a
c
b
题型十四：由指数函数的单调性解不等式
1．若不等式
2
1
1
3
3
ax
ax
恒成立，则实数a 的取值范围是（
）
A．
4,0
B．
4,0
C．
0,4
D．
0,4
2．集合
2
2x
A
x y
，
2
3
0
B
x x
x
，则A
B
（
）
A．
0,1
B．
1,3
C．
0,3
D．
,3
3．(多选)已知3
1
a b
，则下列不等式成立的有（
）
A．a
b
B．
2
2
ac
bc
C．
2
2
a
b
≥
D．a a
b b
题型十五：求已知指数型函数的最值
1．已知
f
x ，
g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足
2x
f x
g x
．若
0
g f x
a
恒
成立，则实数a 的取值范围为（
）
A．
,1
B．
,1
C．
1,
D．
1,
2．函数
2x
f x
在区间
1,2 上的最大值是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．(多选)若函数
2
3
1
3
x
ax
f x
的图像经过点
31，，则（
）
A．
2
a
B．
f
x
在
1
，上单调递减
C．
f
x
的最大值为81
D．
f
x
的最小值为1
81
题型十六：根据指数函数的最值求参数
1．当x>0 时，函数
2
1
x
f x
a
的值总大于1，则实数a 的取值范围是（
）
A．1<|a|<2
B．|a|<1
C．|a|>
2
D．|a|<
2
2．已知函数
1 2
( )
2
2
x
x
f x
a
．若函数
( )
f x 的最大值为1，则实数
a
（
）
A．
7
8
B．7
8
C．
9
8
D．9
8
3．(多选)已知函数
2
( )
2
1, ( )
2
x
f x
g x
x
x
，下列结论正确的是（
）
A．
[0,3], ( )
x
g x
a
，则实数a 的取值范围是
1
a
B．
[0,3], ( )
x
g x
a
恒成立，则实数a 的取值范围是
1
a
C．
[ 2,2],
[0,3],
( )
( )
x
t
f x
g t
D．
[ 2,2],
( )
x
f x
a
，则实数a 的取值范围是
3
3
4
a
题型十七：含参指数函数的最值
1．钟灵大道是连接新余北站和新余城区的主干道，是新余对外交流的门户之一，而仰天岗大桥就是这一
条主干道的起点，其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，被广大市民们美称为“彩虹桥”，是我市的标志性建
筑之一，函数解析式为
e
e
(
0)
2
x
x
a
a
f x
a
a
，则下列关于
f
x 的说法正确的是（
）
A．
0
a
，
( )
f x 为奇函数
B．
0
a
，
( )
f x 在(0,
)
上单调递增
C．
0
a
，
( )
f x 在(
,0)
上单调递增
D．
0
a
，
( )
f x 有最小值1
2．已知
2(
0
x
f x
a
a
且
1)
a
，且在区间
1 2
，上有
1
8
f
x
恒成立，则实数a 的取值范围是（
）
A．
3
4
2
,
B．
3
4
0,2
1,
C．
3
4
2
,1
1,
D．
3
4
0,2
1,
3．(多选)已知函数
e
e
2
x
x
f x
，则（
）
A．
2
2
f
x
y
f x
为偶函数
B．
2
y
f
x
f
x
是增函数
C．
sin
1
y
f
x
不是周期函数
D．
1
y
f
x
f x
的最小值为1
题型十八：指数函数最值与不等式的综合问题
1．已知函数
3
3
1
x
x
m
f x
，若对任意
1
x 、
2
x 、
3
R
x
，总有
1
f x
、
2
f x
、
3
f x
为某一个三角形的边
长，则实数m 的取值范围是（
）
A．1 ,1
2
B．
0,1
C．
1,2
D．1 ,2
2
2．已知
0
a
b
且
1
ab ，若把2b
a ，
2
a b
，2a
b 按照从大到小的顺序排列，则排在中间的数是（
）
A．2b
a
B．
2
a b
C．2a
b
D．无法确定
3．(多选)下列关于函数
1
2
4
x
x
f
x
的描述正确的是（
）
A．
f
x 是减函数
B．若
f x
a
恒成立，则
1
a
4
C．若方程
f x
k
有两个不相等的根，则
1
0
4
k
D．
2,3
a
，
x
y
a
f x
为奇函数
题型十九：指数函数综合应用
1．一个口罩厂今年12 月份的产量是去年12 月份产量的
1
m m
倍，则该口罩厂这一年中产量的月平均
增长率是（
）
A．11
1
m
B．12
1
m
C．11
m
D．12
m
2．据2002 年3 月5 日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001 年国内生产总值达到95933 亿元，比上
年增长7.3%”，如果“十·五”期间（2001 年－2005 年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”
末我国国内年生产总值约为（
）
A．115000 亿元
B．120000 亿元
C．127000 亿元
D．135000 亿元
3．(多选)如图，某湖泊的蓝藻的面积y （单位：
2
m ）与时间t （单位：月）的关系满足
t
y
a
，则下列说
法正确的是（
）
A．蓝藻面积每个月的增长率为100%
B．蓝藻每个月增加的面积都相等
C．第6 个月时，蓝藻面积就会超过
2
60m
D．若蓝藻面积蔓延到
2
2
2
2
,3
,6
m
m
m 所经过的时间分别是1
2
3
, ,
t t t ，则一定有1
2
3
t
t
t
4．已知函数
2
2
,
3
3
27
( )
1
,
3
3
x m
mx
x
x
f x
x
，
0
m
(1)若
1
m ，求
( (2))
f
f
的值；
(2)若对任意
1
[3,
)
x
，总存在
2
(
,3)
x
使得
1
2
f x
f x
成立，求m 的取值范围.
5．已知函数
1
2
2
x
f x
.
(1)求
0
f
与
2
f
，
1
f
与
3
f
的值；
(2)由（1）中求得的结果，猜想
f
x 与
2
f
x
的关系并证明你的猜想；
(3)求
2020
2019
0
1
2
2021
2022
f
f
f
f
f
f
f
的值.
6．一片森林原来面积为2014 万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐的面积
的一半时，所用时间是10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的1
4 ，已知到今年为止，森
林剩余面积为原来的
2
2
．
（1）求每年砍伐面积的百分比；
（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（3）今后最多还能砍伐多少年？
7．牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数，若牛奶
放在0℃的冰箱中，保鲜时间约是192h，而在22℃的厨房中则约是42h.
(1)写出保鲜时间y（单位：h）关于储藏温度x（单位：℃）的函数解析式；
(2)利用（1）中结论，指出温度在30℃和16℃的保鲜时间；（参考数据
15
11
0.125
7
32
，
8
11
7
0.328
32
，精确
到1h）
(3)运用上面的数据，作此函数的图象.
8．已知函数
f
x 、
g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数且
ex
f x
g x
；
(1)若对任意的正实数m 、
n m
n
都有
1
0
f m
f n
，求4
1
m
n
最小值；
(2)若
2
2
4
e
e
2
k
k
g x
x
对任意的
0
x
恒成立，求实数k 的取值范围．
模块三：综合巩固
1.如果函数
1
x
f x
a
a
的图象经过点
3,8
A
，那么实数a 的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．24
2.已知函数
2
,
1
2
,
1
x
a
a x
x
f x
a
x
，是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（
）
A．
1,2
B．
2
0, 3
C．
1,2
D．4 ,2
3
3.已知函数
f
x 是定义在R 上的偶函数，且在区间
0,
单调递增.若实数a 满足
2
4
1
0
x
x
f a
f
，
则a 的取值范围是（
）
A．
2 2
,
B．
0,2
C．
0,2
D．
,2
4.已知幂函数
( )
(
2)
a
f x
a
x
，则( )
1(
1)
x a
g x
b
b
过定点（
）
A．(1,1)
B．(1,2)
C．( 3,1)
D．( 3,2)
5.下列大小关系正确的是（
）
A．
2.5
3
1.7
1.7
B．
0.3
3.1
1.7
0.9
C．
2.5
3.2
1.5
1.5
D．
1.2
1.5
0.6
0.6
6.已知函数
( )
x
f x
a
b
的图象如图所示，则函数( )
(
)(
)
g x
x
a x
b
的大致图象为（
）
A．
B．
C．
D．
7.已知函数
2
( )
3
2 3
3
x
x
f x
.
(1)若
( )
0
f m
，求m 的值；
(2)求函数的值域.
8.已知曲线
1
1(
0
x
y
a
a
且
1)
a
过定点
,k b ，若m
n
b
k
且
0
0
m
n
，
，则9
1
m
n
的最小值为（
）
A．9
B．9
2
C．16
D．5
2
9.已知函数
1
( )
2
1
3
x
f x
x
，则不等式
( )
0
f x
的解集为（
）
A．
0,1
B．
1,0
C．
, 1
0,
D．
,0
1,
10.已知函数
x
f
x
a
（
0
a
且
1
a ），若
3
4
f
f
，则不等式
2
2
3
f
x
x
f
的解集为（
）
A．
1,3
B．
1,3
C．
, 1
3,
D．
1,0)
0,2
(2,3
11.(多选)已知函数
1
x
x
f
x
a
a
，其中
0
a
且
1
a ，则下列结论正确的是（
）
A．函数
f
x 是奇函数
B．函数
f
x 的图象过定点
0,1
C．函数
f
x
0
在其定义域上有解
D．当
1
a 时，函数
f
x 在其定义域上为单调递增函数
12.已知定义域为R 的函数
2
( )
2
1
x
x
a
f x
是奇函数且为减函数.
(1)求实数a 的值；
(2)若对任意的
1,2
t
，不等式
2
2
(
2 )
(2
)
0
f t
t
f
t
k
恒成立，求实数k 的取值范围.
13.已知函数
1
e
1
x
a
f x
为奇函数.
(1)求a 的值，并用函数单调性的定义证明函数
f
x 在R 上是增函数；
(2)求不等式
4
4
5 2
0
x
x
f
f
的解集.
4.3 对数及其运算
模块一：基础知识
考点一：对数的有关概念
对数的概念：
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x＝logaN，其中a
叫做对数的底数，N 叫做真数．
常用对数与自然对数：
通常将以10 为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，log10N
可简记为lg N，logeN 简记为ln N.
考点二：对数与指数的关系
一般地，有对数与指数的关系：
若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x.
对数恒等式：
logaN
a
＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)．
考点三：对数的性质
1．1 的对数为零．2．底的对数为1.3．零和负数没有对数．
考点四：对数运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaM
N＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
考点五：换底公式
1．logab＝logcb
logca(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
2．对数换底公式的重要推论：
(1)logaN＝
1
logNa(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；
(2)log
n
m
a b ＝m
nlogab(a>0，且a≠1，b>0)；
(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
模块二：题型分类
题型一：指数式与对数式的互化
1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)
3
2
8
；
(2)
5
10
100000
；
(3)3
7
x
；
(4)
2
log 32
5
；
(5)
3
1
log
3
27 ；
(6)log
2
x b
．
2.将
3
1
1
2
8
化为对数式正确的是（
）
A．
1
2
1
log 3
8
B．
1
2
1
log
3
8
C．
1
8
1
log
3
2
D．
3
1
1
log 2
8
3.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（
）
A．
0e
1
与ln1
0
B．
1
3
1
8
2
与
8
1
1
log 2
3
C．
3
log 9
2
与
1
2
9
3
D．
7
log 7
1
与
17
7
题型二：对数的运算
1.求值：
(1)
2
lne
lne
；
(2) lg8
lg125
；
(3)
3
3
2log 6
log 4
；
(4)
2
2
log
log 16 ；
(5)
8
4
log 27
log 9 ；
(6)
2
3 log 5
2
；
(7)
2
lg5 lg20
lg2
；
(8) 1
32
4
lg
lg
8
lg
245
2
49
3
．
2.求下列各式的值：
(1)lg0.01；
(2)
4
3
2
log
2
4
；
(3) lg 2
lg5
；
(4)
3
3
3
27
2
6
log
log
log
5
3
5
；
(5)
2
2
2
7
1
log
log 12
log 42
1
48
2
；
(6)
2
lg2
lg2 lg50
lg25
.
3.计算：
3
27
8
2
(log 4
log
8)(log 9
log 3)
．
4．已知10
3,10
5
x
y
，则用,x y 表示
9
lg 2 为（
）
A．2
1
x
y
B．3x
y
C．2
1
x
y
D．2
1
x
y
5．已知5
10
a
b
，则b
a （
）
A．1
2
B．2
C．
5
log 10
D．1 lg2
6．李明开发的小程序发布经过t 天后，用户人数
500ekt
A t
，其中k 为常数.已知小程序发布经过10 天后
有2000 名用户，则用户超过500000 名至少经过的天数为（
）( 取lg2
0.3
）
A．31
B．32
C．40
D．50
7．已知
2
log 6
a
，3
36
b
，则1
2
a
b
（
）
A．1
2
B．1
C．2
D．4
8．计算
6
6
3
3
1
(
log 4
log 3)(log 12
2log 2)
2
（
）
A．0
B．1
C．2
D．4
题型三：对数运算性质的应用
1．正数,x y 满足
8
xy
y
，则
4
2
log
log
x
y
的最大值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
2.已知
8
2
15,log 3
a
b
，则
3
2a
b
（
）
A．25
B．5
C．25
9
D．5
3
3.若
2lg
2
lg
lg
x
y
x
y
，则y
x 的值为（
）
A．4
B．1或1
4
C．1或4
D．1
4
4.已知0
1
m
，0
1
n
，且
4
2
2log
log
1
m
n
，则1
9
m
n
的最小值是（
）
A．18
B．16
C．10
D．4
题型四：运用换底公式化简计算
1．已知
2
log 6
a
，3
36
b
，则1
2
a
b
（
）
A．1
2
B．1
C．2
D．4
2．（2023·全国·高一专题练习）
4
8
3
9
log 3
log 3
log 2
log 2
（
）
A．5
4
B．4
5
C．15
D．12
3．
2
2
log 3
3
5
8
2
lg
2lg 2
2
（
）
A．6
B．8
C．9
D．7
4．若实数a 、b 、c 满足25
403
2015
2019
a
b
c
，则下列式子正确的是
A．1
2
2
a
b
c
B．2
2
1
a
b
c
C．1
1
2
a
b
c
D．2
1
2
a
b
c
5.已知0
1
a
，且
3
2log
81 3
a
a
，则
9
2
1
log a
a
（
）
A．105
4
B．83
3
C．67
3
D．33
2
6.已知
1
a ，
1
b ，且ln
4ln
2
a
b
，则
4
log
lo
e
e
g
a
b
的最小值为（
）
A．9lg2
B．21
2
C．25
2
D．12
7．已知
2
log 5
m
．
(1)求
2
5
2
log 2
4
m
m
的值；
(2)用m 表示
25
log 20 ．
8．（1）已知正实数a ，b 满足
1
a
b
，求1
1
a
b
的最小值，并求出此时a ，b 的值.
（2）已知lg 2
a
，lg3
b
，试用a ，b 表示
2
log 3，
12
log 5
题型五：运用换底公式证明恒等式
1．设a，b，c 均为不等于1 的正实数，则下列等式中恒成立的是（
）
A．logab·logcb＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logac
2．下列计算恒成立的是
A．
2
log
2log
a
a
x
x
B．
log
log (
)
log
a
a
a
x
x
y
y
C．log
log
log (
)
a
a
a
x
y
x
y
D．
5
3
10
10
3
log
log
5
x
x
3．（多选）设, ,
a b c 是均不等于1 的正实数, 则下列等式中恒成立的是（
）
A．log
log
log
a
c
c
b
a
b
B．log (
)
log
log
a
a
a
bc
b
c
C．log (
)
log
log
a
a
a
b
c
b
c
D．log
log
c
c
a
a
b
b
4．求满足下列条件的各式的值
(1)若
3
log 4
1
x
，求4
4
x
x
的值；
(2)设3
4
6
x
y
z
，求证：1
1
1
2
x
y
z
.
5．设
0
a
，
0
b
，
0
，且
1
a ，
1
b ，利用对数的换底公式证明：
(1)
1
log
log
a
b
b
a
；
(2) log
log a
a b
b
．
6.证明：
（1）log
log
log
1
a
b
c
b
c
a
；
（2）
m
log
log
n
a
a
n
b
b
m
.
题型六：对数及其运算的综合应用
1．已知
4
8
2
3,log 3
x
y
，则
2
x
y
的值为（
）
A．3
2
B．5
C．4
D．3
2．白细胞是一类无色、球形、有核的血细胞，正常成人白细胞总数为
9
4.0
10.0
10 /L
，可因每日不同
时间和机体不同的功能状态而在一定范围内变化.若白细胞计数因为感染产生病理性持续升高，则需进一步
探查原因，进行药物干预.研究人员在对某种药物的研究过程中发现，在特定实验环境下的某段时间内，可
以用对数模型：
0 ln
W m
W
Km
描述白细胞数量
W m （单位：
9
10 /L ）随用药量m（单位：mg）的
变化规律，其中
0
W 为初始白细胞数量，K 为参数.已知
0
20
W
，用药量为50 时，在规定时间后测得白细胞
数量为14，若使白细胞数量达到正常值，则需将用药量至少提高到（
）（参考数据：
5
1
e
1.221
）
A．58
B．59
C．60
D．62
3．垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存､投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做
好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率v 与时间t（月）近似地满足关系
t
v
a b
（其
中,a b 为正常数），经过5 个月，这种垃圾的分解率为5%，经过10 个月，这种垃圾的分解率为10% ，那么
这种垃圾完全分解大约需要经过（
）个月.（参考数据：lg2
0.3
）
A．20
B．24
C．26
D．27
4．已知
5
log 2
a
，
8
log 3
b
，3
2
c
，则下列判断正确的是（
）
A．c
b
a
B．b
a
c
C．a
c
b
D．a
b
c
5．下列结果正确的是（
）
A．n
n
a
a
B．log
)
log
lo
(
g
a
a
a
MN
M
N
＋
C．
1
1
3
2
2
2
a
a
a
a
D．
3
9
4
8
5
log 2
log 2
log 3
lo
(
)
g 3
(
4
)
6．已知
5
3
0.2,
log 0.3
a
b
，则（
）
A．
2
ab
B．1
2
ab
C．0
1
ab
D．1
0
ab
7．若2
3
12
1
x
y
z
，则
4
8
x
y
z
xy
的取值范围是（
）
A．
1,4
B．
1,
C．
2 2,
D．
4,
8．（多选）已知函数
2
log
,
0
2 ,
0
x
x x
f
x
x
，若
1
2
f a
，则
a
（
）
A．1
B．1
C．
2
D．
2
9.求值：
(1)
2
3
lg3
lg9
lg
27
lg 3
5
5
lg81 lg27
；
(2)
5
5
5
5
7
log 35
2log
log 7
log 1.8
3
．
10．求下列各式中x 的值：
(1)
lg 10
1
3lg
x
x
；
(2)3ln
6
ln
x
x
；
(3) lg
2
2lg
10
x
x
；
(4)
1
log
2
2
x
x
．
11.已知log 3
a
m
，log 2
a
n
（
0
a
且
1
a ）．
(1)求
2
m
n
a
的值；
(2)若
3
log 2 1
m
n
，解关于x 的不等式：
2
(
1)
6
0
tx
at
x
a
（其中
R
t
）．
模块三：综合巩固
1．求值：
(1)
5
log 25；
(2)
3
1
log 243 ；
(3)
1
16
log
2；
(4)
3
log
9 ；
(5) lg100；
(6)
0.1
log
10 ；
(7)
15
1
log
225 ；
(8)
3
7
log
49 ．
2．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式：
(1)
lg xyz ；
(2)
2
3
lg x yz
；
(3)
2
3
lg x y
z
；
(4)
2
1
3
2
lg x
yz
．
3.若
0
a
，
2
3
4
9
a
，则
2
3
log a ＝（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
4.二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21 大小的，即441 个点，根据0 和1 的二进制编
码，一共有2441 种不同的码，假设我们1 万年用掉3×1015 个二维码，那么大约可以用（
）（lg 2
0.301
，
lg3
0.477
）
A．
117
10
万年
B．
118
10
万年
C．
119
10
万年
D．
200
10
万年
5.（1）已知a ，b ，c是不等于1 的正数，且
x
y
z
a
b
c
，1
1
1
0
x
y
z
，求abc ；
（2）已知3
5
a
b
c
，且1
1
2
a
b
，求c ．
6．(多选)下列运算正确的是（
）
A．
3
2
1
4
2
3
0
x
x
x
B．
3
4
1
5
6
4
a
a
a
a
a
a
C．
27
3
log 16
4
log 8
9
D．若
1
x
xe ,则
ln
0
x
x
7．(多选)已知
10
lg
log
1
x
y
，则（
）
A．
2
2
10
lg
log
2
x
y
B．
10
x y
C．
10
lg 10
log
10
4
x
y
D．当
1,
1
x
y
时，log 10
log
10
x
y
的最小值为4
8．若
1
x
xe ，ln
1
e
y
y
，则xy （
）
A．3
B．e
C．1
e
D．1
9.已知
0
a
，
0
b
，则“
1
a
b
”是“lg
lg
0
a
b
”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
10.已知
3
4
log 3
a
，
1
2
8.8
b
，
8
log 2
c
，则（
）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．b
a
c
D．c
a
b
11.设
ln3
m =
，
lg3
n
，则（
）
A．m
n
mn
m
n
＞
＞
B．m
n
m
n
mn
＞
＞
C．m
n
mn
m
n
＞
＞
D．m
n
m
n
mn
＞
＞
12.(多选)下列各式正确的是（
）
A．设
0
a
，
1
a 则
1
2
3
2
2
a
a
a
B．已知3
1
a
b
，则81 3
3
3
a
b
a
C．若log 2
a
m
，log 5
a
n
，则
2
20
m n
a
D．
4
5
1
1
2
log 9
log 3
13.正数
,a b 满足
2
3
6
3
log
2
log
1
log
a
b
a
b
，则a
b
的最小值为
．
14.已知
0,
1, ,
a
a
x y
为正实数，且
log
log
log
3
4
a
a
a
x
y
x
y
，则
y
x
的值为
.
15．已知
5
5
log 3
,log 4
a
b
，求证：
25
1
log 12
(
)
2 a
b
.
4.4 对数函数
模块一：基础知识
考点一：对数函数的概念
一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
考点二：对数函数的图象和性质
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
y＝logax (a>0，且a≠1)
底数
a>1
0<a<1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
共点性
图象过定点(1,0)，即x＝1 时，y＝0
函数值特点
x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；
x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)
x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；
x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]
对称性
函数y＝logax 与y＝
1
log
a
x 的图象关于x 轴对称
考点三:不同底的对数函数图象的相对位置
一般地，对于底数a>1 的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x 轴；对于底数0<a<1 的对数函
数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x 轴．
考点四：反函数的概念
一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
(1)y＝ax 的定义域R 就是y＝logax 的值域；而y＝ax 的值域(0，＋∞)就是y＝logax 的定义域．
(2)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x 对称．
(3)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的单调性相同．但单调区间不一定
相同．
考点五：三种常见函数模型的增长差异
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化
随x 的增大逐渐变“陡”
随x 的增大逐渐趋于稳定
随x 的增大匀速上升
增长速度
y＝ax 的增长快于y＝kx 的增长，y＝kx 的增长快于y＝logax 的增长
增长后果
会存在一个x0，当x>x0 时，有ax>kx>logax
模块二：题型分类
题型一：对数函数的概念与解析式
1．若某对数函数的图象过点
4,2 ，则该对数函数的解析式为（
）
A．
2
log
y
x
B．
4
2log
y
x
C．
2
log
y
x
或
4
2log
y
x
D．不确定
2．已知对数函数
( )
f x 的图像经过点
1 , 3
8
A
与点
(16, )
B
t ，
0.1
log
a
t
，
0.2t
b
，
0.1
c
t
，则（
）
A．c<a<b
B．b
a
c
C．a
b
c
D．c
b
a
3．(多选)已知函数
2
log
,
0
2 ,
0
x
x x
f
x
x
，若
1
2
f a
，则
a
（
）
A．1
B．1
C．
2
D．
2
4.下列函数中，是对数函数的有
①
loga
y
x
(
R)
a
；②
8
log
y
x
；③
ln
y
x
；④
log (
2)
x
y
x
；⑤
4
2log
y
x
.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
题型二：求对数函数的定义域
1．已知集合
2
2
0
A
x x
x
，
ln
B
x y
x
，则A
B
（
）
A．
0,1
B．
0,2
C．
0,1
D．
0,2
2．函数
2
ln( 2
3)
y
x
x
的定义域为（
）
A．
3 ,1
2
B．
3
(
, 1)
,
2
C．
3
,
(1,
)
2
D．
3
1, 2
3．(多选)条件p：
1
log a
f x
x
是
0,
上的增函数；条件q：2
0
3
a
a
；条件r：
3
a
；条件s：
2
lg
2
y
x
x
a
定义域为R ．则以下正确的是（
）
A．p 是q 的必要不充分条件；
B．p 是s 的充分不必要条件；
C．r 是q 的必要不充分条件；
D．r 是s 的充分不必要条件；
4．求下列函数的定义域：
(1)
2
3
log
y
x
(2)
log (4
)(
0,
1)
a
y
x a
a
题型三：求对数型复合函数的定义域
1．函数
3
1
log
2
1
1
f
x
x
x
的定义域为（
）
A．
0,1
1,
B．
0,1
1,
U
C．
1 ,1
1
2
,
D．
1 ,1
1
2
,
2．设全集U＝R，若集合
2
2
3
2
x x
M
y y
，
3
lg 2
x
N
x y
x
，则
U M
N
ð
（
）
A．
3,2
B．
3,0
C．
1
4,
，
+
D．
3,1
3．(多选)下列说法正确的是（
）
A．若函数
( )
f x 的定义域为[0,2] ，则函数
(2 )
f
x 的定义域为[0,1]
B．
2 1
1
2
x
y
的最大值为1
2
C．
1
2
x
y
x
的图象关于( 2,1)
成中心对称
D．
2
2
( )
log (
4
5)
f x
x
x
的递减区间是(
,2)
4．（2023·全国·高一专题练习）函数
0.5
1
log
4
3
y
x
的定义域为（
）
A．3 ,1
4
B．3 ,
4
C．
1,
D．
3 ,1
1,
4
题型四：求对数函数在区间上的值域
1．已知函数
2
1
3,
1
ln ,
1
a
x
a
x
f x
x x
的值域为R ，那么实数a 的取值范围是（
）
A．
,1
B．
, 1
C．
1,
D．
, 1
2,
2．已知集合
2
P
x
x
，
1
3
1
log
,
3
9
Q
y y
x
x
，则P
Q
（
）
A．
1,2
B．
0,2
C．
1,4
D．
0,4
3.函数
5
2
log
1
y
x x
的值域为（
）
A．
2,
B．
,2
C．
2,
D．
3,
4.已知
2
4
2
16
log
log
f x
x
x
，
1 ,8
2
x
，则
f x 的值域为（
）
A．
3,1
B．
1,3
C．
0,1
D．
3,0
5．(多选)下列说法正确的有（
）
A．实数
0
x
y
是1
1
x
y
成立的充分不必要条件
B．已知
( )
f x 的定义域为
0,2 ，则
(
2)
f x
的定义域为
2,0
C．
1
3
1
1
0,
,
log
3
2
x
x
x
D．函数
1 2
1
x
y
x
在区间
1,内是减函数
题型五：求对数型复合函数的值域
1．已知集合
2
2
0
A
x x
x
，集合
2
2
log
2
B
y y
x
，则A
B
（
）
A．
0,1
B．
,1
C．
,2
D．
0,2
2．关于函数
2
ln
1
y
x
x
有如下命题：
①函数的定义域为R；
②函数是增函数；
③函数的值域为R；
④函数图象关于直线
1
2
x
对称.其中正确命题的个数是(
)
A．4
B．3
C．2
D．1
3．(多选)若函数
f
x 的定义域与值域相同，则
f
x 的解析式可能为（
）
A．
ln
2 x
f x
B．
2
log
1
f x
x
C．
2
1
f
x
x
D．
7
1
7
x
f x
x
题型六：根据对数函数值域求参数或范围
1．已知函数
lg
f x
x
，若
f a
f b
且a
b
¹ ，则
9
a
b
的最小值为（
）
A．2
B．3
C．6
D．9
2．已知命题p：函数
2
1
2
log (
2
)
y
x
x
a
的值域为R；命题q：函数
(5
2 )
y
a x
是减函数．若p 为假命题，
q 为真命题，则实数a 的取值范围是
A．
5
2
a
B．
1
a
C．
5
1
2
a
D．
5
1
2
a
3．(多选)已知
2
0
ax
bx
c
的解集是( 2,3)
，则下列说法中正确的是（
）
A．若c 满足题目要求，则有2023
2022
c
c
成立
B．
12
3
4
a
b
的最小值是4
C．函数
2
lg
1
y
bx
ax
的值域为R ，则实数b 的取值范围是[4,
)
D．当
2
c
时，
2
( )
3
6
f x
ax
bx
，
[ , ]
x
m n
的值域是[ 3,1]
，则n
m
的取值范围是[2,4]
题型七：判断对数函数的图像形状
1．函数
ln
e
e
x
x
x
x
f x
的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
2．若0
1
b
a
，则函数
logb
y
x
a
的图象不经过（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．(多选)在同一坐标系中，函数
x
y
a
与
log
(
0,
a
y
x a
且
1)
a
的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
4.函数
2
2
ln
1
( )
1
x
x
f x
x
的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
5.如图是三个对数函数的图象，则a、b、c 的大小关系是（
）
A．a＞b＞c
B．c＞b＞a
C．c＞a＞b
D．a＞c＞b
题型八：根据对数函数图像判断参数范围
1．已知函数
,
,
log
a
x
c
y
x
y
b
y
x
的图象如图所示，则（
）
A．
2
1
lg
2
a
c
b
B．
2
1
lg
2
a
b
c
C．
2
1
lg
2
a
b
c
D．
2
1
lg
2
a
c
b
2．若函数
loga
f x
x
b
的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数
x
g x
a
b
的大致图象是（
）
A．
B．
C．
D．
3．(多选)设a 与b 为实数，
0
a
，且
1
a ，已知函数
loga
f x
x
b
的图像如图所示，则下列结论正
确的是（
）
A．
3
a
B．
3
b
C．函数的定义域为
0,
D．函数
loga
f x
x
b
在
0,
为增函数
题型九：对数函数图像过定点问题
1．函数
( )
log (
1) 1
a
f x
x
（
0
a
且
1
a ）的图象恒过定点（
）
A．(2,2)
B．(2,1)
C．(3,2)
D．(2,0)
2．已知幂函数
2
2
1
m
f
x
m
x
的图象过函数
log
1
(
0
a
g x
x
b a
且
1)
a
的图象所经过的定点，
则b 的值等于（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
题型十：对数函数图像的应用
1．已知函数
2
log
1
f x
x
x
，则不等式
0
f x
的解集是（
）
A．
1,1
B．(
)
0,1
C．(
)
1,0
-
D．
2．函数
1
( )
lg
( 1
1)
1
x
f x
x
x
的图象的对称点为（
）
A．( 1,1)
B．(0,0)
C．(1, 1)
D．(1,1)
3．(多选)已知函数
2
2
1,
0,
log
1,
0,
x
x
f
x
x
x
则下列选项正确的是（
）
A．函数
f
x 在区间
0,
上单调递增
B．函数
f
x 的值域为
1,
C．方程
1
8
f x
f
f
有两个不等的实数根
D．不等式
0
f
f x
解集为
1
2
,
2 2,8
8
4
题型十一：对数函数的单调性
1．下列函数中，对定义域内任意两个自变量的值x，y 都满足
f
x
y
f
x
f
y
，且在定义域内为单
调递减函数的是（
）
A．
1
3
log
f
x
x
B．
3
log
f x
x
C．
1
3
x
f x
D．
3x
f x
2．下列函数中，在区间
0,
上单调递增的是（
）
A．
1
y
x
B．
0.5
log
y
x
C．
3
y
x
D．
3
y
x
3．(多选)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（
）
A．
x
y
e
B．
3
y
x
C．
ln
y
x
D．y
x
题型十二：对数型复合函数的单调性
1．函数
2
1
2
log
4
5
y
x
x
的单调递增区间是（
）
A．
, 5
B．
, 2
C．
2,
D．
1,
2．已知函数
ln
2
ln 4
f
x
x
x
，则（
）．
A．
f
x 的图象关于直线
3
x
对称
B．
f
x 的图象关于点
3,0 对称
C．
f
x 在
2,4 上单调递增
D．
f
x 在
2,4 上单调递减
3．(多选)某数学课外兴趣小组对函数
2
1
lg
0,
R
x
f x
x
x
x
的性质进行了探究，得到下列四个命题，
其中正确的命题有（
）
A．函数
f
x 的图象关于y 轴对称
B．当
0
x
时，
f
x 是增函数，当
0
x
时，
f
x 是减函数
C．函数
f
x 的最小值是lg2
D．函数
f
x 与
2
x
有四个交点
题型十三：由对数（型）单调性求参数
1．已知
3
2
4 ,
1
log
,
1
a
x
a
x
f x
x
x
（
0
a
且
1
a ）在R 上单调，则实数a 的取值范围是（
）
A．
1,
B．
2
0, 3
C．2 ,1
3
D．
1,2
2．设
1
a ，若函数
2
( )
loga
f x
ax
x
在1 ,4
2
上是增函数，则实数a 的取值范围是（
）
A．(2,
)
B．[2,
)
C．(4,
)
D．[4,
)
3．(多选)下列命题为真命题的是（
）
A．若a
b
，则
2
2
a
b
B．若1
1
0
a
b
，则
1
1
a
b
a
b
C．若关于x 的不等式
2
2
0
ax
bx
的解集为
1
1
|
3
2
x
x
，则
10
a
b
D．函数
2
1
2
( )
log (
4
5)
f x
x
x
在区间(3
2,
2)
m
m
内单调递增，则实数m 的取值范围为4 ,3
3
题型十四：由对数函数的单调性解不等式
1．已知函数
2
2
log
f x
x
x
，则不等式
ln
ln
2
f
x
f
x
的解集为（
）
A．1 ,1
e
B．1 ,e
e
C．
1,e
D．
1 ,1
1,e
e
2．已知集合
2
3,
Ζ
A
x
x
x
，
2
log
2
1
B
x
x
，则A
B
=（
）
A．
2,3
B．
2,3
C．
2,3
D．
3
3．(多选)已知函数
2
2
log
2
1
f
x
mx
x
m
，
R
m
，则下列说法正确的是（
）
A．若函数
f
x 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是
1
5 ,
2
B．若函数
f
x 的值域为R ，则实数m 的取值范围是1
5 1
5
,
2
2
C．若函数
f
x 在区间
2,上为增函数，则实数m 的取值范围是
0,
D．若
0
m
，则不等式1
f x 的解集为
3
2
x x
题型十五：比较对数式的大小
1．已知
3
0.5
3
log
,
log
2,
2
6
a
b
c
,则, ,
a b c 的大小关系为（
）
A．c
a
b
B．a
b
c
C．c
b
a
D．a
c
b
2．函数
( )
(
2)
f x
f x
、
均为偶函数，且当
[0,2]
x
时，( )
f x 是减函数，设
8
1
log 2
a
f
，
(7.5),
( 5)
b
f
c
f
，
则a、b、c 的大小是（
）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．b
a
c
D．c
a
b
3．(多选)已知,
R
a b
，且
0
a
b
，则（
）
A．
2
2
2
2
a
a
b
b
B．
5
3
2log
log
a
b
C．
1
1
2
5
2
5
a
b
D．
2
2
1
1
6
2
6
2
a
b
题型十六：对数函数的单调性应用
1．声强级
IL （单位：dB）由公式
12
10lg 10
I
I
L
给出，其中I 为声强（单位：
2
W / m ）．若学校图书规
定：在阅览室内，声强级不能超过40dB，则最大声强为（
）
A．
6
2
10
W / m
B．
7
2
10 W / m
C．
8
2
10 W / m
D．
9
2
10 W / m
2．已知函数
2 ,
1,
1 ,
1
x x
f
x
f
x
x
则
2
log 9
f
的值为（
）
A．9
B．9
2
C．9
4
D．9
8
3．(多选)已知函数
2
y
f x
的图象关于直线
2
x
对称，在
,0
x
时
f
x 单调递减，且
1
0
f
.
若
0.9
0.7
1
3
,
3
a
f
b
f
，
0.7
log
0.8
c
f
，则下列正确的有（
）
A．b
a
B．
1
c
a
b
C．c
c
b
a
D．b
a
c
4．在函数
log
0
1,
1
a
y
x
a
x
的图象上有A，B，C 三点，它们的横坐标分别是,
2,
4
t t
t
.
(1)若ABC
的面积为S，求
S
f t
；
(2)判断
S
f t
的单调性；
(3)求
S
f t
的最大值．
5．已知函数
4
4
log
2
x
x
m
f x
为偶函数.
(1)解关于x 的不等式
2
2
0
x
mx
；
(2)若
4
log
2x
f
x
a
a
在区间
1,2 上恒成立，求a 的取值范围.
题型十七：求对数函数的最值
1．函数
2
2
log (
1)
x
y
x
在区间[0,1] 上的最大值和最小值之和为
A．2
B．3
C．4
D．5
2．函数
2
2
4
log
log
4
4
x
f x
x
的最小值为（
）
A．
9
4
B．2
C．
3
2
D．0
3．(多选)已知函数
lg
1
lg 3
f x
x
x
，则（
）
A．
f
x 在
1,3 单调递增
B．
f
x 在
1,2 单调递增，在
2,3 单调递减
C．
f
x 的图象关于直线
2
x
对称
D．函数
f
x 的最小值为0
题型十八：根据对数函数的最值求参数或范围
1．若函数
2
( )
log
3
4
1
a
f x
x
ax
有最小值，则实数a 的取值范围是（
）
A．
3 ,1
2
B．(1, 3)
C．
3
0, 2
D．( 3,
)
2．已知a>1，函数
loga
y
x
在区间[ ,3 ]
a
a 上的最大值与最小值的差为2，则a=（
）
A．9
B．3
C．2
D．
3
3．(多选)关于函数
2
lg(
1)
f x
ax
ax
，则下列说法正确的是（
）
A．函数
f
x 的图像可能关于原点对称
B．若函数
f
x 有最小值，则a 的范围是[0,4)
C．若函数
f
x 有最大值，则a 的范围是(
,0)
D．函数
f
x 有可能是单调函数
题型十九：对数函数的最值与不等式综合问题
1．已知函数
2
e
e
( )
ln( 1
)
2
x
x
f x
x
x
，若不等式
(2
4 )
(
2
2)
0
x
x
x
f
f m
对
R
x
恒成立，则实
数m 的取值范围为（
）
A．(
,2 2
1)
B．( 2 2
1,
)
C．( 2 2
1,2 2
1)
D．(
,2 2
1)
2．若不等式
2
1
loga
x
x
（
0
a
，且
1
a ）在
1,2
x
内恒成立，则实数a 的取值范围为（
）
A．
1,2
B．
1,2
C．1, 2
D．
2,
2
3．(多选)已知函数
2
2
2
ln
1
1
( )
1
ax
a
x
x
f x
x
a
，其中
0
a
，若
( )
f x 的最大值为M，最小值为N，则
当a 的值变化时（
）
A．M
N
为定值B．M
N
为定值
C．
4
M
N
D．
ln 2
M
N
题型二十：反函数
1．
2
log
f x
x
的反函数是（
）
A．
x
y
a
B．
2x
y
C．
log 2
x
y
D．
4x
y
2．函数
y
f x
的图象与函数
3x
y
的图象关于直线y
x
对称，则
1
9
3
f
f
（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．(多选)下列说法正确的是（
）
A．函数
3
log
y
x
与
3
log
y
x
的图象关于y 轴对称.
B．函数
3x
y
与
3
log
y
x
的图象关于y
x
对称.
C．
0x
R ，当
0
x
x
时，恒有2
2
x
x
.
D．用二分法求方程3
3
8
0
x
x
在
1,2
x
内的近似解的过程中得到
1
0
f
，
1.5
0
f
，
1.25
0
f
，
则方程的根落在区间
1.25,1.5 上.
模块三：综合巩固
1.当
1
a 时，在同一平面直角坐标系中，函数
x
y
a
与
loga
y
x
的图象是（
）．
A．
B．
C．
D．
2.设
1.2
0.2
2
log
0.3,
log 3,
2
b
c
a
，则, ,
a b c 的大小关系为（
）.
A．a
b
c
B．b
a
c
C．c
b
a
D．c
a
b
3.函数
0.5
1
log
(4
3)
y
x
的定义域为（
）
A．3 ,1
4
B．3 ,
4
C．
1,
D．
3 ,1
1,
4
4.已知函数
1
0 ,
1
log
(
0)
k
x
f x
x
x
k
x
在定义域上是单调函数，则实数k 的取值范围是（
）
A．
0,1
B．
1,
C．
1,3
D．
1,3
5.已知函数
log
,0
1
( )
,(
0,
1)
2,
1
a x
m
x
f x
a
a
x
x
在定义域内单调递减，若
2
0
f
m
f a
，则实数m 的
取值范围是（
）
A．
1,3
B．
1,3
C．
3,
D．
3,
6.已知函数
f
x 是定义在R 上的偶函数，且在
,0
上单调递增，设
4
log 5
a
f
，
2
1
log 3
b
f
，
0.5
0.2
c
f
，则a ，b ，c 的大小关系（
）
A．c
b
a
B．b
a
c
C．b<c<a
D．a
b
c
7.已知函数( )
2
2
2
log
log
f
x
x
x
=
-
．
(1)解不等式
2
f x
；
(2)求函数
f
x 的单调递增区间．
8.已知指数函数
2
4
4
(
0)
x
f
x
b
b
a
b
的图象过点1 ,
2
2
．
(1)求,a b的值；
(2)求关于x 的不等式
log
3
2
log
1
a
a
x
x
的解集．
9.已知函数
2
( )
log
4
2 2
3
x
x
f x
.
(1)求方程
1
f x 的根；
(2)求
f
x 在
0,2 上的值域.
4.5 函数的零点
模块一：基础知识
考点一：函数的零点
（1）一般地，如果函数
( )
y
f x
在实数处的值等于零，即
( )
0
f
，则a 叫做这个函数的零点.
知识点诠释：
①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；
②函数的零点也就是函数
( )
y
f x
的图象与x 轴交点的横坐标；
③函数
( )
y
f x
的零点就是方程
( )
0
f x
的实数根．
归纳：方程
( )
0
f x
有实数根函数
( )
y
f x
的图象与x 轴有交点函数
( )
y
f x
有零点．
（2）二次函数的零点
二次函数
2
y
ax
bx
c
的零点个数，方程
2
0
ax
bx
c
的实根个数见下表.
判别式
方程的根
函数的零点
0
两个不相等的实根
两个零点
0
两个相等的实根
一个二重零点
0
无实根
无零点
（3）二次函数零点的性质
①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.
②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.
引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.
考点二：函数零点的判定
（1）利用函数零点存在性的判定定理
如果函数
( )
y
f x
在一个区间
a
b
，
上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即
0
f a f b
，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点
0x
a
b
，
，使
0
0
f x
，这个
0x 也就是方程
( )
0
f x
的根.
知识点诠释：
①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一
个；若不单调，则个数不确定．
②若函数
( )
f x 在区间
,a b 上有
( )
( )
0
f a
f b
，( )
f x 在( , )
a b 内也可能有零点，例如
2
( )
f x
x
在
1,1
上，
2
( )
2
3
f x
x
x
在区间
2,4
上就是这样的．故
( )
f x 在
,a b 内有零点，不一定有
( )
( )
0
f a
f b
．
③若函数
( )
f x 在区间
,a b 上的图象不是连续不断的曲线，
( )
f x 在
,a b 内也可能是有零点，例如函
数
1
( )
1
f x
在
2,2
上就是这样的．
（2）利用方程求解法
求函数的零点时，先考虑解方程
( )
0
f x
，方程
( )
0
f x
无实根则函数无零点，方程
( )
0
f x
有实根
则函数有零点．
（3）利用数形结合法
函数
( )
( )
( )
F x
f x
g x
的零点就是方程
( )
( )
f x
g x
的实数根，也就是函数
( )
y
f x
的图象与
( )
y
g x
的图象交点的横坐标．
【方法技巧与总结】
1、函数
f x 在区间
,a b 上的图象是一条连续不断的曲线，
0
f a
f b
，且
f x 具有单调性，
则函数
f x 在区间
.a b 内只有一个零点.
2、函数
f x 在区间
,a b 上的图象是一条连续不断的曲线，函数
f x 在区间
.a b 内有零点，且函数
f x 具有单调性，则
0
f a
f b
考点三：零点个数的判断方法
（1）直接法：直接求零点，令
0
f x
，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.
（2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间
,a b 上是连续不断的曲线，且
0
f a
f b
，
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
（3）数形结合法：
①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数
f x 的图象，函数
f x 的图象与x 轴交点的个数
就是函数
f x 的零点个数；
②两个函数图象：将函数
f x 拆成两个函数
h x 和
g x 的差，根据
0
f x
h x
g x
，则函
数
f x 的零点个数就是函数
y
h x
和
y
g x
的图象的交点个数.
考点四：判断函数零点所在区间
（1）将区间端点代入函数求函数的值；
（2）将所得函数值相乘，并进行符号判断；
（3）若符号为正且在该区间内是递增或递减，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连
续，则函数在该区间内至少一个零点。
考点五：已知函数零点个数，求参数取值范围的方法
（1）直接法：利用零点存在的判定定理建立不等式；
（2）数形结合法：转化为两个函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
（3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域问题．
模块二：题型分类
题型一：求函数的零点
1.函数
2
6
1
y
x
x
的零点是（
）
A．1
1
,0 ,
,0
3
2
B．1
1
,0 ,
,0
3
2
C．1
1
,
3
2
D．
1 1
,
3 2
2.函数
1 lg 3
2
x
f x
的零点为（
）
A．
3
log 8
B．2
C．
3
log 7
D．
2
log 5
3.若,
是二次函数
2
3
6
y
x
x
的两个零点，则
2
3
的值是（
）
A．3
B．15
C．3
D．15
4.函数
2
1
4
f
x
x
x
的零点为（
）
A．1 2
，
B．2, 1,2
C．2,1,2
D．无零点
5.函数
e
1
( )
e
x
x
x
f x
x
的零点为（
）
A．0
B．1
C．
0,0
D．
1,0
6.已知二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
图象如图所示，那么二次函数
2
y
ax
bx
c
的零点是
．
7.设
1
2
,
x x 是函数
2
6
2
y
x
x
的两个零点，则
1
2
1
1
x
x 的值为（
）
A．2
B．2
C．1
2
D．
1
2
8.若
( )
f x 是奇函数，且
0x 是函数
( )
ex
y
f x
＝
的一个零点，则
0x
一定是下列哪个函数的零点（
）
A．
(
)e
1
x
y
f
x
B．
( )e x
y
f x
1
C．
( )e
1
x
y
f x
D．
( )e
1
x
y
f x
题型二：函数零点的个数
1.方程
ln
3
x
x
解的个数为
.
2.函数
( ) | 2
1| 3
x
x
f x
的零点个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3.讨论方程
2
2
log
x
x
的解的个数与分布情况．
4.设
( )
f x 是定义在R 上的周期为5 的奇函数，
(3)
0
f
，则
( )
f x 在[0,10]内的零点个数最少是（
）
A．4
B．6
C．7
D．9
5.函数
2
2
3,
0
2
ln ,
0
x
x
x
f x
x x
的零点个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
6.设函数
( )
f x 是定义在R 上的奇函数，当
0
x
时，
( )
2
3
x
f x
x
，则
( )
f x 的零点个数为
.
7.已知
f
x 是定义在
4,4
上的偶函数，且
f
x 在
4,0
上的图象如图所示.
(1)在答题卡中作出
f
x 在
0,4 上的图象；
(2)求函数
2
log 5
g x
f
x
的零点的个数.
8.已知函数
lg
1,
0
1
1,
0
2
x
x
x
f x
x
，则函数
2
3
2
y
f
x
f x
的零点个数是（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
题型三：判断零点所在的区间
1.函数
4
2x
f x
x
的零点所在区间是（
）
A．
0,1
B．
1,2
C．
2,3
D．
3,4
2.
2
( )
log
5
f x
x
x
的零点所在区间为（
）
A．
1,2
B．
2,3
C．
3,4
D．
4,5
3.函数
3
6
x
f x
x
的零点所在的区间是（
）
A．
0,1
B．
1,2
C．
2,3
D．
3,4
4.函数
2
1
( )
log
f x
x
x
的零点所在区间是（
）
A．
1
0, 2
B．
1 ,1
2
C．(1,2)
D．(2,3)
5.设函数
( )
2
3
x
x
f x
的零点为
0x ，则
0x 所在的区间是（
）
A．( 4, 2)
B．( 2, 1)
C．(1,2)
D．(2,4)
6.函数
( )
e
2
x
f x
x
零点所在的区间是（
）
A．(1,2)
B．( 1,0)
C．
3, 2
D．( 2, 1)
7.函数
1
3
y
x
x
的一个零点在
0,1 内，另一个零点在（
）内.
A．
4,5
B．
3,4
C．
2,3
D．
1,2
8.方程
1
3
1
2
x
x
的根所在区间是（
）
A．2 ,1
3
B．1 2
,
2 3
C．1 1
,
3 2
D．
1
0, 3
9.方程
3
log
2
x
x
的根所在区间是（
）
A．
0,1
B．
1,2
C．
2,3
D．
3,4
10.(多选)已知函数
f
x 的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
x
1
1
3
5
7
f
x
24
13
5
1
5
则一定包含
f
x 的零点的区间是（
）
A．
1,1
B．
1,3
C．
3,5
D．
5,7
11.(多选)若函数
f
x 图象是连续不断的，且
0
0
f
，
1
2
4
0
f
f
f
，则下列命题不正确的是（
）
A．函数
f
x 在区间(0,1)内有零点
B．函数
f
x 在区间(1,2) 内有零点
C．函数
f
x 在区间(0,2) 内有零点
D．函数
f
x 在区间(0, 4) 内有零点
题型四：根据零点求函数解析式的参数
1.关于x 的函数
2
2
2
8
(
0)
y
x
ax
a
a
的两个零点为
1
2
,
x x ，且
2
1
15
x
x
，则a ＝（
）
A．5
2
B．7
2
C．15
4
D．15
2
2.函数
2
6
1
y
mx
x
有且只有一个零点，则实数m 的值为（
）
A．9
B．12
C．0 或9
D．0 或12
3.若函数
( )
(
0)
f x
ax
b a
的零点为2，则函数
2
( )
g x
bx
ax
=
-
的零点是（
）
A．0，
1
2
B．0，
1
2
C．0，2
D．2，
1
2
4.已知2 是函数
( )
8
n
f x
x
（n 为常数）的零点，且
( )
56
f m
，则m 的值为（
）
A．3
B．4
C．4
D．3
5.若实数，满足
e
2
，
ln
2
，则（
）
A．e
B．1
C．1
2
D．2
题型五：根据零点所在区间求参数范围
1.函数
2
( )
2 x
f x
a
x
的一个零点在区间(1,2) 内，则实数a 的取值范围是（
）
A．0 <
< 3
a
B．1
3
a
C．1
2
a
D．
2
a
2.若函数
2
2x
f
x
a
x
存在1 个零点位于
1,2 内，则a 的取值范围是（
）
A．
0,3
B．
3,3
C．
3,3
D．
3,0
3.函数
1
3
2
x
f x
a
x
的一个零点在区间
1,2 内，则实数a 的取值范围是（
）
A．
1,
B．
5 ,1
2
C．
5
,
1,
2
D．
5
2
,
4.已知函数
2
1,
1
2
,
1
x
x
f x
x
a
x
a
x
，若
f
x 恰有两个零点，则正数a 的取值范围是（
）
A．
1
0 2
，
B．1 ,2
2
C．1 ,1
2
D．
1,2
5.已知函数12
lg
f x
x
x
在区间
,
1
n n
上有唯一零点，则正整数n （
）
A．8
B．9
C．10
D．11
6.函数
2
2
1
1
1
f
x
k
x
k
x
只有一个零点，则k 的取值集合为
7.已知函数
,
0
2
3 ,
0
x x
f x
x
x
，
1
2
g x
f x
x
a
，若
g x 存在3 个零点，则实数a 的取值范围
为
．
题型六：已知零点个数求参数范围
1.已知函数
2
1
1,
0
2
2,
0
x
x
x
f x
x
，若函数
g x
f x
a
有两个零点，则实数a 的取值范围是
.
2.若函数
2
2
1
f x
ax
x
在区间
0,1 上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是
．
3.已知函数
2
lg
1 ,
1
6
5,
0
x
x
f
x
x
x
x
，若函数
2
( )
[ ( )]
( )
5
g x
f x
bf x
有7 个零点，则实数b 的取值范围
是
．
4.函数
2
( )
2
f x
x
x
a
有两个不同零点，则实数a 的取值范围是
.
5.函数
2
2
1
1
1
f
x
k
x
k
x
只有一个零点，则k 的取值集合为
6.已知函数
e ,
0
ln ,
0
x x
f x
x x
，
g x
f x
x
a
.若
g x 有且只有1 个零点，则a 的取值范围是
.
7.若二次函数
2
2
y
x
x
m
在区间
1,有且仅有一个零点，则m 的取值范围为（
）
A．
,1
B．
,1
C．(1,
)
D．
1,
题型七：一次函数零点分布求参数范围
1.若函数
( )
y
f x
的表达式
( )
2
1
f x
ax
a
在( 1,1)
内有零点，则实数a 的取值范围
．
2.若方程3
0
x
m
的根在
1,0
内，则m 的取值范围是
．
3.若函数
( )
3
4
f x
mx
在[ 2,0]
上存在
0x ，使
0
0
f x
，则实数m 的取值范围是
.
4.若函数
( )
1
f x
ax
在区间(1,2) 上有零点，则实数a 的取值范围是.
题型八：二次函数零点分布求参数范围
1.已知函数
2
2
1
,
0,
,
0.
x
x
f
x
x
a
x
若关于x 的方程
1
2
f x
恰有3 个实数解，则实数a 的取值范围为
.
2.设集合
2
1 0
|
A
x ax
x
，
,0
A
，则实数a 的取值范围是
.
3.已知函数
2
2 ,
0
( )
1 ,
0
x
x x
f x
x
x
，若关于x 的方程
( )
(
3)
f x
a x
有四个不同的实数根，则实数a 的取值
范围是
．
4.已知点
,
A B 的坐标分别为
1,0 ，
2,0 ，若二次函数
2
3
3
y
x
a
x
的图像与线段AB 有且只有一个
公共点，则实数a 的取值范围是
.
5.函数y＝x2＋x＋m 的两个零点都是负数，则m 的取值范围为
．
6.若函数
2
6
2
1
0
f x
ax
x
a
在
0,2 内有且只有一个零点，则a 的取值集合是
.
7.若方程
2
3
1
0
x
ax
的两根分别在区间( 1,0)
和(0,1)内，则实数a 的取值范围是
．
题型九：指对幂函数零点分布求参数范围
1.已知函数
2
2
log
,
0 ,
3
1
,
0
x x
f x
g x
f x
f x
x
x
，若方程
g x
a
有3 个不同的实根
1
2
3
1
2
3
,
,
x x x
x
x
x
，则
2
1
2
3
x x x 的取值范围为（
）
A．
, 4 6
B．
4 6,
C．
,8
D．
,0
2.已知函数
2
lg
,
0,
( )
6
1,
0.
x
x
f x
x
x
x
若函数
g x
f x
a
有四个不同的零点
1
x ，
2
x ，
3x ，
4x ，且
1
2
3
4
x
x
x
x
，则下列结论中正确的是（
）
A．
2
1
1
10
x
B．1
0
a
C．
1
2
1
10
x x
D．
3
4
3
x
x
3.已知函数
1
2
2
1,
2
log
2 ,
2
x
x
f x
x
x
若关于x 的方程
2
8
0
f
x
a
f x
a
有6个不同的实数根，则实
数a 的取值范围为（
）
A．
15
4,
4
B．
15,0
4
C．
4,0
D．
7
4,
2
4.函数
2
log
4
f x
x
x
的零点为
1
x ，函数
log
1
5
1
a
g x
x
x
a
的零点为
2
x ，若
2
1
1
x
x
，则
实数a 的取值范围是（
）
A．
1,
2
B．
1,2
C．
2,
D．
2,
5.函数
2
2
log
,0
4
( )
2
70
8
,
4
3
3
x
x
f x
x
x
x
，若a b c d
, ,
,
互不相同，且
f a
f b
f c
f d
，则abcd 的取值范
围是（
）
A．
32,34
B．
32,34
C．
32,35
D．
32,36
6.已知函数
2016
1
1
2
,0
1
2
log
,
1
x
x
f
x
x x
，若a ，b ，c互不相等，且
f a
f b
f c
，则a
b
c
的取值范
围是（
）
A．
1,2016
B．
1,2016
C．
2,2017
D．
2,2017
7.已知函数
2
1 ,
0
( )
log
,
0
x
x
f x
x x
，若方程
R
f x
a a
有四个不同的解
1
2
3
4
,
,
,
x x x x ，且
1
2
3
4
x
x
x
x
，
则
1
2
4
x
x
x
的取值范围是（
）
A．[ 4, 2)
B．[ 4, 2]
C．( 4, 2)
D．( 4, 2]
题型十：比较零点大小
1.已知：
( )
(
)(
)
2
f x
x
a x
b
的零点,
，那么a，b，,
大小关系可能是（
）
A．
a
b
B．a
b
C．a
b
D．
a
b
2.(多选)已知函数
10 (
1)
1
x
x
f
x
x
x
，
lg (
1)
1
x
g x
x x
x
的零点分别为
1
x ，
2
x ，则（
）
A．
1
2
lg
x
x
B．
1
2
1
1
1
x
x
C．
1
2
4
x
x
D．
1
2
10
200
x x
3.已知
1
2
2
x
f x
x
，
1
2
log
2
g x
x
x
，
3
2
h x
x
x
的零点分别是a ，b ，c ，则a ，b ，c 的
大小顺序是（
）
A．a
b
c
B．c
b
a
C．b
c
a
D．b
a
c
4.函数
1
2
( )
2
log
x
f x
x
，
1
2
1
log
2
x
g x
x ，
2
1
log
2
x
h x
x
的零点分别为a，b，c，则（
）
A．a
b
c
B．c
b
a
C．< <
c a b
D．b
a
c
5.设
2
1
log
3
a
a
，
1
3
2
log
b
b
，1
5
4
c
，则a 、b 、c 的大小关系是（
）
A．b
a
c
B．c
b
a
C．a
b
c
D．b<c<a
6.(多选)已知函数
1
ln
e
x
y
x
的两个零点分别为
1
2
,
x x ，且
1
2
x
x
，则（
）
A．
1
1
2
1
1
x
x
x
B．
2
1
2
1
1
x
x
x
C．
2
1
2
1
1
x
x
x
D．
2
1
2
1
1
x
x
x
题型十一：求零点的和
1.函数
2
,
2
log
2 ,
2
x x
f x
x
x
，则函数
y
f
f x
的所有零点之和为（
）
A．0
B．3
C．10
D．13
2.已知定义域为R 的函数
f
x 满足
2
f
x
f
x
，且曲线
y
f x
与曲线
1
1
y
x
有且只有两个交
点，则函数
1
1
g x
f x
x
的零点之和是（
）
A．2
B．－2
C．4
D．－4
3.函数
f
x 是定义在R 上的奇函数，当
0
x
时，
1
2
1,0
2
1
2 ,
2
2
x
x
f x
f x
x
，则函数
1
g x
xf x
在
6,8
上的所有零点之和为（
）
A．32
B．32
C．16
D．8
4.(多选)已知函数
2
4
1
,
0
( )
log
,
0
x
x
f x
x x
，若
( )
f x
a
有四个不同的解
1
2
3
4
,
,
,
x x x x 且
1
2
3
4
x
x
x
x
，则
4
1
2
2
3
4
3
(
)
x
x
x
x x
可能的取值为（
）
A．
33
4
B．
29
4
C．
27
4
D．
31
4
5.(多选)设函数
2
ln ,
0
8 ,
0
x x
f x
x
x x
，若函数
g x
f
x
m
有四个零点分别为
1
2
3
4
,
,
,
x x x x ，且
1
2
3
4
x
x
x
x
，则下列结论正确的是（
）
A．0
16
m
B．
1
2
4
x
x
C．
3
4
1
x
x
D．
16
3
4
16
1
2,e
e
x
x
6.已知函数
2
2
1 ,
0
log
,0
4
12
35,
4
x
x
f
x
x
x
x
x
x
，若互不相等的实数
1
x ，
2
x ，
3x ，
4x ，
5x ，
6x 满足
1
2
3
4
5
6
f x
f x
f x
f x
f x
f x
，则
1
2
3
4
5
6
x
x
x
x
x
x
的取值范围是
.
7.已知函数
2
2
log
,0
2
8
13,
2
x
x
f x
x
x
x
，若
f x
a
有四个解
1
2
3
4
,
,
,
x x x x ，则
1
2
3
4
x
x
x
x
的取值范围
是
．
模块三：综合巩固
1．若二次函数
2
2
y
x
x
m
在区间
1,有且仅有一个零点，则m 的取值范围为（
）
A．
,1
B．
,1
C．(1,
)
D．
1,
2．已知函数
2
,
0
( )
1
,
0
x x
f x
x x
x
，
( )
( )
g x
f x
x
a
．若( )
g x 有2 个零点，则实数a 的取值范围是（
）
A．[ 1,0)
B．[0,
)
C．[ 1,
)
D．[1,
)
3．二次函数.
²
3
2
y
x
m
x
m
的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为
1
2
,
x x ，且
1
2
0
2
x
x
，如图
所示，则m 的取值范围是（
）
A．
0
m
B．
1
2
m
C．
1
0
2
m
或
5
m
D．
1
0
2
m
4．函数
3
6
x
f x
x
的零点所在的区间是（
）
A．
0,1
B．
1,2
C．
2,3
D．
3,4
5．如果关于x 的方程
2
2
3
0
x
ax
a
至少有一个正根，那么实数a 的取值范围是（
）
A．2
2
a
B．3
2
a
C．
3
2
a
D．
3
2
a
6．设函数
2
2
f x
x
x
a
，若函数
[ ( )]
y
f f x
有且只有2 个不同的零点，则a 的取值范围是（
）
A．
1
5, 1
5
B．
1
5
1
5
,
2
2
C．
1
3, 1
3
D．
1
3
1
3
,
2
2
7．方程
2
2
0
x
ax
a
在区间
0,1 和
1,2 各有一个根的充要条件是（
）
A．
, 1
a
B．
4 , 1
3
a
C．
4 ,0
3
a
D．
2, 1
a
8．（函数
1
2
( )
2
log
x
f x
x
，
1
2
1
log
2
x
g x
x ，
2
1
log
2
x
h x
x
的零点分别为a，b，c，则（
）
A．a
b
c
B．c
b
a
C．< <
c a b
D．b
a
c
9．(多选)设函数
1
1,
0
2
,
1
1,
0
1
x
x
f
x
x
x
则下列结论中正确的是（
）
A．函数
f
x 的定义域为R
B．函数
f
x 的值域为
1,
C．函数
f
x 的零点是0,2
D．若
0
f m
，则m 的取值范围是
2,
10．(多选)已知一元二次方程
2
3
0
x
mx
有两个实数根
1
x ，
2
x ，且
1
2
0
2
4
x
x
，则m 的可能值为
（
）
A．4
B．4.5
C．4.6
D．5
11．(多选)某同学用二分法求函数
( )
2
3
7
x
f x
x
的零点时，计算出如下结果：
(1.5)
0.33
f
，
(1.25)
0.87
f
，
(1.375)
0.28
f
，
(1.4375)
0.02
f
，
(1.40625)
0.13
f
.下列说法正确的有（
）
A．
( )
f x 的零点在区间(1.375,1.40625) 内B．
( )
f x 的零点在区间(1.40625,1.4375) 内
C．精确到0.1 的近似值为1.4
D．精确到0.1 的近似值为1.5
12．(多选)已知二次函数
2
4
3
2
0
y
ax
ax
a
a
有两个零点
1
x ，
2
x ，且
1
2
x
x
，则（
）
A．
1
2
4
0
x
x
B．
1
2
3
0
x x
C．
2
1
2 7
x
x
D．
1
2
1
9
2
2
x
x
13．若函数
2
2
5
f
x
x
m
x
m 有两个小于2 的不同零点，则实数m 的取值范围是
．
14．设
0x 为方程2
8
x
x
的解，若
+
0
,
1
x
n n
n
N
，则n 的值为
.
15．已知函数
2
2,
0,
( )
1 ln ,
0,
x
x
x
f x
x x
则函数
( )
f x 的零点为
16．已知函数
2
0.5
2
1,
0,
log
,
0,
x
x
x
f
x
x x
若方程
f x
a
有四个不同的解
1
2
3
4
,
,
,
x x x x ，且
1
2
3
4
x
x
x
x
，
则a 的最小值是
.
17．已知关于x 的方程
2
2
3
2
0
x
mx
m
.
(1)若方程有两个正根，求实数m 的取值范围.
(2)若方程有实数根，并且一个根大于1，一个根小于1，求实数m 的取值范围.
18．（1）已知函数
2
4
y
x
mx
的其中一个零点为1，求函数的另一个零点；
（2）当1
2
x
时，不等式
2
4
0
x
mx
恒成立，求m 的取值范围.
19．已知函数
2
f
x
x
ax
b
，若
1
1
f
f
，且函数
f
x 有一个零点为2．
(1)求实数,a b的值；
(2)若
g x
f
x
kx
在
0,3 上的最小值为－5，求实数k 的值．
20．已知
2
2
f
x
x
n
（n 为常数），且
1
4
f
.
(1)求
f
x 的解析式并证明
f
x 的奇偶性；
(2)关于x 的方程
f x
kx
有两个不相等的实数根，求实数k 的取值范围.
21．已知函数
R
y
f x
x
是偶函数.当
0
x
时，
2
4
f x
x
x
.
(1)若函数
f
x 在区间
,
3
a a
上单调，求实数a 的取值范围；
(2)已知
h x
m
f x
，试讨论
h x 的零点个数，并求对应的m 的取值范围.
22．已知二次函数
2
2
3
f
x
x
x
.
(1)令
g x
f x
a
，若函数
g x 的图象与x 轴无交点，求实数a 的取值范围；
(2)设函数
25
h x
x
b
x
，若对任意的
1
1,4
x
，总存在
2
1,5
x
，使得
1
2
f x
h x
，求实数b 的取值
范围.
.
4.6 二分法求方程的近似解
模块一：基础知识
考点一：二分法
对于区间
,a b 上图象连续不断且
0
f a
f b
的函数
f x ，通过不断把它的零点所在区间一分为
二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法．
考点二：用二分法求函数零点的一般步骤
已知函数
y
f x
定义在区间D 上，求它在D 上的一个零点x0 的近似值x，使它满足给定的精确度．
第一步：在D 内取一个闭区间
0
0
,
a b
D
，使
0
f a
与
0
f b
异号，即
0
0
0
f a
f b
，零点位于区
间
0
0
,
a b
中．
第二步：取区间
0
0
,
a b
的中点，则此中点对应的坐标为
0
0
0
0
0
0
1
1
2
2
x
a
b
a
a
b
．
计算
0
f x
和
0
f a
，并判断：
①如果
0
0
f x
，则
0x 就是
f x 的零点，计算终止；
②如果
0
0
0
f a
f x
，则零点位于区间
0
0
,
a x
中，令
1
0
1
0
,
a
a b
x
；
③如果
0
0
0
f a
f x
，则零点位于区间
0
0
,
x b
中，令
1
0
1
0
,
a
x b
b
第三步：取区间
1
1
,
a b 的中点，则此中点对应的坐标为
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
x
a
b
a
a
b
．
计算
1
f x
和
1
f a
，并判断：
①如果
1
0
f x
，则
1x 就是
f x 的零点，计算终止；
②如果
1
1
0
f a
f x
，则零点位于区间
1
1
,
a x
中，令
2
1
2
1
,
a
a b
x
；
③如果
1
1
0
f a
f x
，则零点位于区间
1
1
,
x b 中，令
2
1
2
1
,
a
x b
b
；
……
继续实施上述步骤，直到区间
,
n
n
a b
，函数的零点总位于区间
,
n
n
a b
上，当
na 和
nb 按照给定的精确
度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数
y
f x
的近似零点，计算终止．这时函数
y
f x
的近似零点满足给定的精确度．
知识点诠释：
（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②
( )
f a 、
( )
f b 的值比较容易计算且
( )
( ) <0
f a
f b
．
（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方
程
( )
( )
f x
g x
的根，可以构造函数
( )
( )
( )
F x
f x
g x
，函数
( )
F x 的零点即为方程
( )
( )
f x
g x
的根．
考点三：关于精确度
（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，
这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即a
b
；“精确到”是指某讴歌数的数位
达到某个规定的数位．
（2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用
该区间内的任意一个数值作零点近似值．
考点四：运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断．
(2)在该零点左右函数值异号．
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
考点五：利用二分法求方程的近似解的步骤
(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z.
(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.
(3)区间M 内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M 的一个端点．
模块二：题型分类
题型一：二分法概念的理解
1．判断正误（正确的打正确，错误的打错误）
（1）所有函数的零点都可以用二分法来求．(
)
（2）精确度就是近似值．(
)
（3）用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位．(
)
（4）在一定精确度下，近似值是唯一的．(
)
2.（多选）下列函数零点能用二分法求解的是（
）
A．
3
1
f x
x
B．
ln
3
f
x
x
C．
2
2 2
2
f x
x
x
D．
2
4
1
f x
x
x
3.(多选)若函数
(
=
)
y f x 在区间
,a b 上的图象不间断，则下列结论中错误的是（
）
A．若
( ) ( )
0
f a f b
，则
( )
f x 在
,a b 上不存在零点
B．若
( ) ( )
0
f a f b
，则
( )
f x 在
,a b 上至少有一个零点
C．若
( )
f x 在( , )
a b 内有且只有一个零点，则
( )
( )
0
f a
f b
D．若
( )
f x 在
,a b 上存在零点，则可用二分法求此零点的近似值
4.以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（
）
A．
B．
C．
D．
5.(多选)下列函数图象与x 轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是（
）
A．
B．
C．
D．
6.用二分法求函数
3
5
f x
x
的零点可以取的初始区间是（
）
A．
2,1
B．
1,0
C．
0,1
D．
1,2
7.用二分法求方程
lg
3
0
x
x
的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（
）
A．[1,2]
B．[2,3]
C．[3,4]
D．[4,5]
8.用“二分法”求方程
3
2
5
0
x
x
在区间
2,3 内的实根，取区间中点为
0
2.5
x
，那么下一个有根的区间是
（
）
A．
2,2.5
B．
2.5,3
C．
2,2.25
D．
2.75,3
9.已知函数
2
( )
3
1
f x
x
在区间(0,1)上有唯一零点
0x ，如果用“二分法”求这个零点(精确度
0.05
)的近似
值，那么将区间(0,1)等分的次数至少是
.此时规定只要零点的存在区间( , )
a b 满足a
b
，则可用
2
a
b
作为零点的近似值，由此求得
0x
.
题型二：用二分法求近似解的条件
1.下列函数中，不能用二分法求零点的是（
）
A．
2
y
x
B．
2
2
y
x
C．
1
3
y
x
x
D．
ln
y
x
2.下列函数中不能用二分法求零点的是（
）
A．
3
1
f x
x
B．
3
f x
x
C．
2
f x
x
D．
ln
f x
x
3.用二分法求函数
3
5
f x
x
的零点可以取的初始区间是（
）
A．
2,1
B．
1,0
C．
0,1
D．
1,2
4.以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（
）
A．
B．
C．
D．
5.下列图象中，不能用二分法求函数零点的是（
）
A．
B．
C．
D．
6.下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（
）
A．
B．
C．
D．
7.下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（
）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因
此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
题型三：用二分法求方程近似解的过程
1.若用二分法求方程
3
2
3
3
0
x
x
在初始区间
0,1 内的近似解，则第三次取区间的中点
3x
.
2.下列是函数
f x 在区间[1,2] 上一些点的函数值. 由此可判断：方程
0
f
x
的一个近似解为
(精
确度0.1)．
x
1
1.25
1.375
1.4065
1.438
f
x
2
0.984
0.260
0.052
0.165
x
1.5
1.625
1.75
1.875
2
f x
0.625
1.982
2.645
4.35
6
3.用二分法求方程
2
0.9
0
21
x
x
的近似解．（精确度为0.1，可以使用计算器）
4.用二分法求方程
1
ln x
x
在
1,2 上的近似解，取中点
1.5
c
，则下一个有根区间是
．
5.用“二分法”求方程
3
4
0
x
x
在区间
1,3 内的实根，首先取区间中点
2
x
进行判断，那么下一个取的
点是x
．
6.求方程
3
2
5
0
x
x
在区间
2,3 内的实根，取区间中点
0
2.5
x
，那么下一个有根区间是
．
7.已知函数
3
3
f x
x
x
在区间
1,2 内有零点，求方程
3
3
0
x
x
在区间
1,2 内的一个近似解．（精确
度为0.1）
8.利用计算器，求方程lg
3
x
x
的近似解（精确到0.1）.
【方法技巧与总结】
（1）依据图象估计零点所在的初始区间
,
m n （这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽可能的
小，区间的端点尽量为整数）．
（2）取区间端点的平均数c ，计算
f c ，确定有解区间是
,
m c 还是
,c n ，逐步缩小区间的“长度”，直
到区间的长度符合精确度要求（这个过程中应及时检验所得区间端点差的绝对值是否达到给定的精确度），
才终止计算，得到函数零点的近似值（为了比较清晰地表达计算过程与函数零点所在的区间往往采用列表
法）．
题型四：用二分法求方程的近似解
1.判断方程
3
1
0
x
x
在区间
1,1.5 内是否有解；如果有，求出一个近似解．（精确度为0.1）
2.已知函数
y
f x
的表达式为
2
5
x
f x
x
，用二分法计算此函数在区间
1,2 上零点的近似值，第一
次计算
1
f
、
2
f
的值，第二次计算
1
f x
的值，第三次计算
2
f x
的值，则
2x
．
3.在用二分法求方程
( )
0
f x
在[0,1] 上的近似解时，经计算，
(0.5)
0
f
，
(0.75)
0
f
，
(0.625)
0
f
，即可
得出方程的一个近似解为
（精确度为0.2）.
4.若
3
2
2
2
f x
x
x
x
的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：
( )
1
2
f
= -
1.5
0.625
f
1.25
0.984
f
1.375
0.260
f
1.438
0.165
f
1.4065
0.052
f
那么方程
3
2
2
2
0
x
x
x
的一个近似根（精确到0.1）为（
）
A．1.2
B．1.3
C．1.4
D．1.5
5.若函数
3
2
( )
2
2
f x
x
x
x
的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
(1)
2
f
(1.5)
0.625
f
(1.25)
0.984
f
(1.375)
0.260
f
(1.4375)
0.162
f
(1.40625)
0.054
f
那么方程
3
2
2
2
0
x
x
x
的一个近似根（精确度0.1）为（
）
A．1.2
B．1.4
C．1.3
D．1.5
6.下表是连续函数
f
x 在区间
1,2 上一些点的函数值:
x
1
1.25
1.375
1.5
2
f
x
2
0.984
0.260
0.625
6
由此可判断，方程
0
f
x
的一个近似解为
（误差不超过0.1）.
7.已知函数
3
( )
1
f x
x
x
在(0,1)内有一个零点，且求得
( )
f x 的部分函数值数据如下表所示：
x
0
1
0.5
0.75
0.625
0.5625
0.6875
0.65625
0.671875
( )
f x
-1
1
-0.375
0.1718
-0.1308
-0.2595
0.01245
-0.06113
-0.02483
要使
( )
f x 零点的近似值精确到0.1，则对区间(0,1)的最少等分次数和近似解分别为（
）
A．6 次0.7
B．6 次0.6
C．5 次0.7
D．5 次0.6
8.(多选)已知函数
ex
f x
x
a
，其中xR ，a 为某确定常数，运用二分法研究函数
f
x 的零点时，
若第一次经计算
0
0
f
且
1
0
f
，则（
）
A．可以确定
f
x 的一个零点
0x ，满足
0
0,1
x
B．第二次应计算
1
2
f
，若
1
0
2
f
，第三次应计算
1
4
f
C．第二次应计算
1
2
f
，若
1
0
2
f
，第三次应计算
1
4
f
D．第二次应计算
3
2
f
，若
3
0
2
f
，第三次应计算
5
4
f
9.一块电路板的AB 线段之间有60 个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分
法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测（
）
A．4 次
B．6次
C．8次
D．30次
模块三：综合巩固
1.用二分法求方程
4
1
log
0
2
x
x
近似解时，所取的第一个区间可以是（
）
A．
0,1
B．
1,2
C．
2,3
D．
3,4
2.若函数
3
2
2
2
f x
x
x
x
的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下:
(1)
2
f
(1.5)
0.625
f
(1.25)
0.984
f
(1.375)
0.260
f
(1.4375)
0.162
f
(1.40625)
0.054
f
那么方程
3
2
2
2
0
x
x
x
的一个近似解（误差不超过0.02）为（
）
A．1.437 5
B．1.375
C．1.25
D．1.422
3.若函数
( )
f x 的零点与
3
( )
512
125
g x
x
的零点之差的绝对值不超过0.25，则函数
( )
f x 可以是（
）
A．
( )
4
1
f x
x
B．
( ) | 2
1|
f x
x
C．
3
( )
2
f x
x
x
D．
2
( )
(3
1)
f x
x
4.已知函数
( )
f x 在(10,12)内有一个零点，要使零点的近似值的精确度为0.001，若只从二等分区间的角度
来考虑，则对区间(10,12)至少需要二等分（
）
A．8 次
B．9 次
C．10 次
D．11 次
5．在使用二分法计算函数
2
2
2
x
f x
x
的零点的近似解时，现已知其所在区间为
1,2 ，如果要求近
似解的精确度为0.1，则接下来至少需要计算（
）次区间中点的函数值．
A．2
B．3
C．4
D．5
6．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（
）
A．f(x)＝3x－1
B．f(x)＝x3
C．f(x)＝|x|
D．f(x)＝ln x
7．已知定义在[
]
,a b 上的增函数
f
x ，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[
]
,a b ，
,
2
a
b
a
，
1 ,
2 4
b
a
，又
2
3
5
0
3
a
b
f
，则函数
f
x 的零点为（
）
A．
7
3
B．
4
3
C．
7
9
D．
4
9
8．用二分法求方程x3＋3x－7＝0 在(1，2)内的近似解的过程中，构造函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，
f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根所在的区间是（
）
A．(1，1.25)
B．(1.25，1.5)
C．(1.5，1.75)
D．(1.75，2)
9．(多选)已知函数
f
x 在区间
0,3 上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若
0
0
f
，
1
2
3
0
f
f
f
，则下列命题正确的是（
）
A．函数
f
x 的两个零点可以分别在区间(
)
0,1 和(
)
1,2 内
B．函数
f
x 的两个零点可以分别在区间(
)
1,2 和
2,3 内
C．函数
f
x 的两个零点可以分别在区间(
)
0,1 和
2,3 内
D．函数
f
x 的两个零点不可能同时在区间(
)
1,2 内
10．(多选)已知函数
( )
f x 的图象是连续的，且函数
( )
f x 的唯一零点同在
3
5 3
0 4
0 2
1
(
) (
) (
) (
2
4 2)
，，，，，，，，内，则与
(0)
f
符号不同的是（
）
A．
5
( )
4
f
B．
(2)
f
C．
(1)
f
D．
3
( )
2
f
11．(多选)以下每个图象表示的函数都有零点，其中能用二分法求函数零点的是（
）
A．
B．
C．
D．
12．(多选)某同学求函数
ln
2
6
f x
x
x
的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
2
1.307
f
2.5
0.084
f
2.5625
0.066
f
2.625
0.215
f
2.75
0.512
f
3
1.099
f
则方程ln
2
6
0
x
x
的近似解（精确度0.1）可取为（
）
A．2.51
B．2.56
C．2.66
D．2.78
13．已知函数
y
f x
的表达式为
2
5
x
f x
x
，用二分法计算此函数在区间
1,2 上零点的近似值，第
一次计算
1
f
、
2
f
的值，第二次计算
1
f x
的值，第三次计算
2
f x
的值，则
2x
．
14．用二分法求函数
ln
1
1
f x
x
x
在区间
0,1 上近似解，要求精确度为0.01 时，所需二分区间次
数最少为
次．
15．函数
lg
2
3
y
x
x
的零点
0
1,5
x
，对区间
1,5 利用两次“二分法”，可确定
0x 所在的区间为
．
16．用二分法求函数
( )
y
f x
在区间( , )(
)
a b a
b
内的零点近似值时，验证了
( )
( )
0
f a
f b
，取区间( , )
a b 的
中点
2
a
b
，得
( )
0
2
a
b
f
f b
，那么此时零点
0x
（填区间）．
四、解答题
17．根据图象是连续曲线的函数的性质以及函数增长快慢的差异，判断方程
3
2x
x
至少有两个实数根．用
二分法求方程
3
2x
x
的一个近似解．（精确度为0.01）
18．在26 枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币（质量稍轻），现在只有一台天平，请
问：你最多称几次就可以发现这枚假币？
19．判断函数
3
1
f
x
x
x
在区间
1,1.5 内有无零点，如果有，求出一个近似零点（精确度0.1）？
20．函数
2
log
2
g x
x
x
在区间
1,2 内是否有零点?若有零点，用“二分法”求零点的近似值（误差不
超过0.2）；若没有零点，说明理由.
（参考数据: 1.25
1.18
，1.5
1.225
，1.75
1.323
，
2
log 1.25
0.32
，
2
log 1.5
0.585
，
2
log 1.75
0.807
）
21．判断方程
3
1
0
x
x
在区间
1,1.5 内是否有解；如果有，求出一个近似解．（精确度为0.1）
22．已知函数
2
1
1
x
x
f
x
a
a
x
.
(1)求证：
( )
f x 在( 1
)
,
上为增函数.
(2)若
3
a
，求方程
( )
0
f x
的正根（精确度为0.01）.
4.7 指数函数对数函数常考习题综合应用
模块一：题型分类
题型一：常见指数函数的定义域和值域问题
1.函数
1
1
2
4
1
x
y
x
的定义域为（
）
A．[ 2,1)
B．(
,1)
C．( 2,1)
D．(1,2)
2.已知函数
2
12
x
f
x
，则下列说法正确的是（
）
A．
f x 的值域为
,2
B．
f x 在
,0
上为减函数
C．
f x 的值域为
0,2
D．
f x 在
0,
上为增函数
3.已知不等式
1
9
6
4
0
x
x
x
m
对任意上恒成立，则实数m 的取值范围是（
）
A．(
,1]
B．(
,2]
C．(
,4]
D．(
,5]
题型二：对数函数的定义域和值域问题
1.已知
2
2
2
log 2
x
f x
x
，则不等式
2
2
2
4
f
x
f
x
的解集为（
）
A．
1 1
,
2 4
B．1 1
,
4 2
C．
1
0, 4
D．
1
1,
2
2.已知函数
2
2
log
log
8
8
x
f
x
x
，则函数
f x 的值域为（
）
A．
9,0
B．
9,
C．
, 9
D．
12,0
3.已知函数
2
1
lg
1 ,
2
x
f
x
x
g x
m
，若对于任意
1
0,3
x
，存在
2
1,2
x
，使得
1
2
f x
g x
，则
实数m 的取值范围为（
）
A．
1
,
2
B．
1
,
4
C．1 ,
2
D．1 ,
4
题型三：指数函数的图像
1.设a 与b 均为实数，
0
a
且
1
a ，已知函数
x
y
a
b
的图象如图所示，则不等式
2
1
0
x
a
x
b
的解
集为（
）
A．
1,2
B．
2, 1
C．
, 2
1,
D．
,1
2,
2.函数
2
1
3
3
x
x
x
f x
的大致图象为（
）
A．
B．
C．
D．
3.已知函数
2
1
0,
1
x
f
x
a
a
a
的图像恒过一点P，且点P 在直线
1
0
0
mx
ny
mn
的图像上，
则1
1
m
n
的最小值为（
）
A．4
B．6
C．7
D．8
题型四：指数函数的单调性问题
1.已知
2
2
,
0
4,
0
x
x
f x
x
，则关于a 的不等式
2
2
3
f
a
f a
的解集为（
）
A．
0,3
B．
1,3
C．
3,1
D．
0,1
2.设函数
2 2
1
2
x
mx
f x
在区间
1,2 上单调递增，则m 的取值范围为（
）
A．
, 2
B．
2, 1
C．
1,2
D．
2,
3.已知函数
1
,
2
1
2
1
,
2
x
a
x
f x
a
x x
在R 上单调递增，则a 的取值范围是（
）
A．2
3 1
,
2
2
B．2
3 ,
2
C．2
3 ,1
2
D．
2
3
1,
2
题型五：指数函数比较指数幂大小
1.已知
0.9
1.2
0
1
3 ,
1.2 ,
3
a
b
c
，则, ,
a b c 的大小关系是（
）
A．a
c
b
B．c
b
a
C．c<a<b
D．b<c<a
2.设
0.7
0.6
0.6
1
2
,
,
log
2
2
a
b
c
，则a，b，c 的大小关系为（
）
A．a
b
c
B．b
a
c
C．c
b
a
D．b<c<a
3.设
0.8
0.7
a
，
0.7
0.8
b
，
0.8
log
0.7
c
，则a ，b ，c 的大小关系（
）
A．b
c
a
B．a
c
b
C．c
a
b
D．c
b
a
题型六：指数函数的最值问题
1.已知
2(
0
x
f x
a
a
且
1)
a
，且在区间
1 2
，上有
1
8
f
x
恒成立，则实数a 的取值范围是（
）
A．
3
4
2
,
B．
3
4
0,2
1,
C．
3
4
2
,1
1,
D．
3
4
0,2
1,
2.已知函数
3
2,
0
3
2,
0
x
x
x
f x
x
，
6
2
0
g x
kx
k k
，若对任意的
1
1,1
x
，总存在
2
1,1
x
使得
1
2
f x
g x
成立，则实数k 的取值范围为（
）
A．
0,2
B．
2
0, 3
C．
0,3
D．
1,2
3.设
( )
3x
f x
，( )
( )
( )
f x
g x
h x
，且
g x 为偶函数，
h x 为奇函数，若存在实数m ，使得当
1,1
x
时，
不等式
0
mg x
h x
恒成立，则m 的最小值为（
）
A．4
5
B．1
5
C．5
4
D．
4
5
题型七：对数函数的图像问题
1.已知函数
2
log
1
f x
x
，则（
）
A．
f x 在定义域上是增函数
B．
4
7
11
f
f
f
C．
f x 关于
1
x 对称
D．
f x 零点的个数为1
2.如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数
1
5
log
y
x
，
1
7
log
y
x
，
5
log
y
x
的一个是（
）
A．（1）
B．（2）
C．（3）
D．（4）
3.如图，已知函数
1
3x
f x
，则它的反函数
1
y
f
x
的大致图像是（
）
A．
B．
C．
D．
题型八：对数函数比较对数大小
1.已知
0.2
3
1
3
1
1
log
,
log
,
2
2
4
a
b
c
，则, ,
a b c 的大小关系是（
）
A．a
b
c
B．b
a
c
C．b
c
a
D．c
a
b
2.三个实数
1
2
3
2
log 4,
log 5,
3
a
b
c
的大小关系为（
）
A．a
c
b
B．c
a
b
C．c
b
a
D．b
c
a
3.已知
1
a ，则（
）
A．
2
1
log
1
log
3
log
2
a
a
a
a
a
a
B．
1
2
log
1
log
2
log
3
a
a
a
a
a
a
C．
2
1
log
3
log
2
log
1
a
a
a
a
a
a
D．
2
1
log
3
log
1
log
2
a
a
a
a
a
a
题型九：对数函数的单调性问题
1.已知
2
2
2
3
1
a
ab
b
，且
2
1
log
1
a
b
≤
≤，则a
b
的取值范围是（
）
A．
5
1, 3
B．
5
1, 4
C．
,1
D．
7
1, 4
2.设函数
2
( )
ln(
1)
f x
x
x
，则使得
( )
(2
1)
f x
f
x
的x 的取值范围是（
）
A．
,1
B．1 ,
3
C．1 ,1
3
D．
1
,
1,
3
3.若函数
2
log
4
x
f x
a
在区间
1,0
上的最大值与最小值的差不小于3，则实数a 的取值范围是（
）
A．
4
1,
7
B．
2
1,
5
C．
2
4,
5
D．
4
,
7
题型十：对数和指数函数的综合问题
1.已知函数
4
1
4
x
x
f x
a
为奇函数．
(1)求a 的值
(2)解不等式
3
f x
(3)求
f x 的值域．
2.已知函数
log
1 (
0,
1)
x
a
f
x
a
a
a
(1)当
1
2
a
时，求函数
f x 的定义域；
(2)当
1
a 时，求关于x 的不等式
1
f x
f
的解集；
3.已知函数
2
2
x
x
a
f
x
b
.
(1)当
3,
1
a
b
时，解关于x 的方程
2x
f
x
；
(2)若函数
f
x 是定义在R 上的奇函数，求函数
f
x 的解析式；
(3)在（2）的前提下，函数
g x 满足
2
2
2
x
x
f x
g x
，若对任意xR 且
0
x
，不等式
2
18
g
x
m g x
恒成立，求实数m 的最大值.【讲过】
模块二：综合巩固
1.已知函效
2
2
2
2
,
4
( )
log
12 ,
4
xe
x
f x
x
x
则
( (4))
f f
（
）
A．1
B．2
C．e
D．2e
2.“
1
x ”是“2
1
x ”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3.若lg 2
,lg3
a
b
，则
45
log 12 等于（
）
A．
2
2
1
a
b
a
b
B．2
2
2
1
a
b
a
b
C．
2
2
1
a
b
a
b
D．
2
2
1
a
b
a
b
4.以下不等式正确的是（
）
A．
0.2
0.3
1
1
3
3
B．
0.2
0.2
3
2
C．
0.2
0.3
3
3
D．
0.3
2
log
5
log 1.1
5.已知
4.2
0.8
m
，
0.7
log
4.2
n
，
4.2
0.7
p
，则m、n、p 的大小关系为（
）
A．p
n
m
B．n
m
p
C．m
n
p
D．n
p
m
6.下列结论中是正确的有（
）
A．函数
2
3
4
y
x
x
的零点是
4,0 ,
1,0
B．已知幂函数
2
2
2
3
3
m
m
y
m
m
x
的图象不过原点，则实数m 的取值为1
C．函数
2
log
1
a
f
x
x
（其中
0
a
且
1
a ）的图象过定点
0,2
D．若
2
2
log
f x
x
ax
a
的值域为R ，则实数a 的取值范围是
, 4
0,
7.若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是（
）
①logax2＝2logax；②logax2＝2loga|x|；③loga(xy)＝logax＋logay；④loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|.
A．②④
B．①③
C．①④
D．②③
9.Logistic 模型是常用数学模型之一，可用于流行病学领域．有学者根据所公布的数据建立了某地区新冠肺
炎累计确诊病例( )
I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：
1
48
4
( )
1 e
t
I t
K
，其中K 为最大确诊病例数．当
0
0.05
I t
K
时，标志着已初步遏制疫情，则0t 约为(ln19
3)
（
）
A．35
B．36
C．40
D．60
10.已知函数
2
e
e
( )
ln( 1
)
2
x
x
f x
x
x
，若不等式
(2
4 )
(
2
2)
0
x
x
x
f
f m
对
R
x
恒成立，则实
数m 的取值范围为（
）
A．(
,2 2
1)
B．( 2 2
1,
)
C．( 2 2
1,2 2
1)
D．(
,2 2
1)
11.(多选)已知函数
2
2
1,
0,
log
1,
0,
x
x
f
x
x
x
则下列选项正确的是（
）
A．函数
f
x 在区间
0,
上单调递增
B．函数
f
x 的值域为
1,
C．方程
1
8
f x
f
f
有两个不等的实数根
D．不等式
0
f
f x
解集为
1
2
,
2 2,8
8
4
12.(多选)下列运算中正确的是（
）
A．
3
8
3
log 8
log 5
log 5
B．
1
3
8
3
27
2
C．
2
(3
)
3
D．
2
log 7
1
ln ln e
7
2
13.(多选)下列各式正确的是（
）
A．设
0
a
，则
1
6
3
2
a
a
a
a
B．已知3
1
a
b
，则81 3
3
3
a
b
a
C．若log 2
,log 5
a
a
m
n
，则
2
20
m n
a
D．
1
1
4
5
1
1
lg3
1
1
log
log
9
3
14.(多选)已知函数
1
x
x
f
x
a
a
，其中
0
a
且
1
a ，则下列结论正确的是（
）
A．函数
f
x 是奇函数
B．函数
f
x 的图象过定点
0,1
C．函数
f
x
0
在其定义域上有解
D．当
1
a 时，函数
f
x 在其定义域上为单调递增函数
15.(多选)已知函数
2
( )
ln
1
2
f x
x
x
，则（
）
A．
( )
f x 的定义域为R
B．
( )
f x 在(0,
)
上是增函数
C．当
0
x
时，
( )
(0,2]
f x
D．
1
(lg3)
lg
4
3
f
f
16.(多选)已知函数
,
0
ln ,
0
x x
f x
x x
，则下列结论中正确的是（
）
A．函数
f
x 有且仅有一个零点0
B．
e
1
f
C．
f
x 在
,0
上单调递增
D．
f
x 在
0,
上单调递减
17.(多选)已知函数
0.5
log
,0
2
π
π
cos
,2
16
6
3
x
x
f x
x
x
，若存在实数a 使得方程
f x
a
有五个互不相等的实
数根分别为
1
x ，
2
x ，
3x ，
4x ，
5x ，且
1
2
3
4
5
x
x
x
x
x
，则下列说法正确的有（
）
A．0
1
a
B．
1
2
2
2 2
x
x
C．
9
2
f
a
D．
4
5
3
4
1
1
28
x
x
x
x
的取值范围为
2
3
,
3
7
18.已知
1
2
2 ,
0
log
,
0
x x
f x
x x
，则
[ (8)]
f f
．
19.已知函数
3
3
3
2022
3
2022
2
x
x
f
x
x
x
，则不等式
2
4
2
2
12
f
x
f
x
的解集为
.
20.已知直线
1
y 与函数
2x
f
x
x
，
2
log
g x
x
x
的图象交点的横坐标分别为
1
x ，
2
x ，则
1
2
x
x
.
21.若实数
1
2
,
x x 满足
1
1
e
2
0
x
x
，
2
2
2
ln
2
1
0
x
x
x
，则
2
1
2
x
x
.
22.已知函数
2
2
1
3,
2
2
log
,
2
x
x
f
x
x x
，若函数
2
2
1
2
g x
f
x
m
f x
m
有5 个零点，则实数m 的取
值范围是
.
23.设
R
a
，函数
2
2
x
x
a
f x
a
.
(1)若
1
a ，求证：函数
y
f x
是奇函数；
(2)若
0
a
，请判断函数
y
f x
的单调性，并用定义证明.
24.已知函数
2
( )
log
4
2 2
3
x
x
f x
.
(1)求方程
1
f x 的根；
(2)求
f
x 在
0,2 上的值域.
25.已知函数
1
e
1
x
a
f x
为奇函数.
(1)求a 的值，并用函数单调性的定义证明函数
f
x 在R 上是增函数；
(2)求不等式
4
4
5 2
0
x
x
f
f
的解集.
26.已知函数
2
3
( )
log
(
0
2
3
a
x
f x
a
x
且
1)
a
.
(1)求
( )
f x 的定义域，判断
( )
f x 的奇偶性并给出证明；
(2)若
(2
1)
(3
2)
0
f
m
f
m
，求实数m 的取值范围.
【这道题也相当于是必考题，注意哦，之前马老师多次讲过】
27.已知函数
1
lg
1
x
f
x
x
.
(1)求不等式
lg2
0
f
f
x
f
的解集；
(2)函数
3
0,
1
x
g x
a
a
a
，若存在
1
2
,
0,1
x x
，使得
1
2
f x
g x
成立，求实数a 的取值范围.
【这道题和上道题类似】
28.已知函数
log
1
3
a
f
x
x
，（
0
a
且
1
a ）的图象经过点
2,4
P
，函数
2
3
1
x
g x
b
为奇函数.
(1)求函数
f
x 的解析式；
(2)求函数
3
2
x
F x
g x
的零点；
(3)若关于x 的不等式
3
1
log
1
x
m
f x
x
在区间
1,0
上恒成立，求正实数m 的取值范围.
4.8 函数模型的应用
模块一：基础知识
考点一：几种常见的函数模型
1、一次函数模型：y
kx
b
（k ，b 为常数，
0
k
）
2、二次函数模型：
2
y
ax
bx
c
（, ,
a b c 为常数，
0
a
）
3、指数函数模型：
x
y
ba
c
（, ,
a b c 为常数，
0
b
，
0
a
且
1
a ）
4、对数函数模型：
loga
y
m
x
n
（
, ,
m a n 为常数，
0
m
，
0
a
且
1
a ）
5、幂函数模型：
n
y
ax
b
（,a b 为常数，
0
a
）
6、分段函数模型：
,
,
ax
b x
m
y
cx
d x
m
考点二：解答应用问题的基本思想和步骤
1、解应用题的基本思想
2、解答函数应用题的基本步骤
求解函数应用题时一般按以下几步进行：
第一步：审题
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．
第二步：建模
在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然
后根据题意，列出数量关系，建立函数模型．这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求．
第三步：求模
运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果．
第四步：还原
把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实
际背景．
上述四步可概括为以下流程：
实际问题（文字语言）数学问题（数量关系与函数模型）建模（数学语言）求模（求解数学
问题）反馈（还原成实际问题的解答）．
考点三：指数函数模型问题的求解策略
(1)对于人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1
＋p)
x(其中N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)
n(其中a 为基础数，x 为增长率，
n 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知条件中给定的值对应求解．
(2)函数y＝c·a
kx(a，c，k 为常数)是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象
学等方面都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确
定相关的系数.
考点四：对数函数应用题的基本类型和求解策略
(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解．
(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代
入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．
考点五：建立拟合函数与预测的基本步骤
考点六：解答函数应用题应注意的问题
首先，要认真阅读理解材料．应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往
往篇幅较长，立意有创新脱俗之感．阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领
悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解
体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它．
其次，建立函数关系．根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函
数关系．
其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键．在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问
题一样，有“泛读”与“精读”之分．这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地
相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数
量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即
可．反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍
不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率．
模块二：题型分类
题型一：根据实际问题增长率选择合适的函数模型
1.下表显示出函数值y 随自变量x 变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为（
）
x
-2
-1
0
1
2
3
y
1
16
0.26
1.11
3.96
16.05
63.98
A．一次函数模型
B．二次函数模型
C．对数函数模型
D．指数函数模型
2.若三个变量
1y ，
2y ，
3y 随着变量x 的变化情况如下表.则关于x 分别呈函数模型：
loga
y
m
x
n
，
x
y
pa
q
，
a
y
t
kx
变化的变量依次是（
）
x
1
3
5
7
9
11
1y
5
25
45
65
85
105
2y
5
29
245
2189
19685
177149
3y
5
6.10
6.61
6.95
7.2
7.6
A．
1y ，
2y ，
3y
B．
3y ，
2y ，
1y
C．
1y ，
3y ，
2y
D．
3y ，
1y ，
2y
3.在一次数学实验中，某同学运用计算器采集到如下一组数据:
x
2
1
1
2
3
y
0.24
0.51
2.02
3.98
8.02
在以下四个函数模型（a，b 为待定系数）中，最能反映x，y 函数关系的是（
）
A．y
a
bx
B．
2
y
a
bx
C．
logb
y
a
x
D．
x
y
a
b
4.有一组实验数据如下:
t
1.99
3.00
4.00
5.10
6.12
V
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（
）
A．
2
log
V
t
B．
1
2
log
V
t
C．
2
1
2
t
V
D．
2
2
V
t
5.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地
表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（
）
x
1.95
3.00
3.94
5.10
6.12
y
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
A．
2x
y
B．
2
log
y
x
C．
2
1
1
2
y
x
D．
2.61
y
x
6.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2 万公顷0.4 万公顷和
0.76 万公顷，则沙漠面积增加数y （万公顷）关于年数x （年）的函数关系较为接近的是（
）
A．
0.2
y
x
B．
2
0.1
0.1
y
x
x
C．
4
0.2
log
y
x
D．
2
10
x
y
7.小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组数据：
/
x 月份
2
3
4
5
6
…
/
y 元
1.40
2.56
5.31
11
21.30
…
请从模型
1
2
y
x
，模型
2
3
x
y
中选择一个合适的函数模型，并预测小学生零花钱首次超过300 元的月份为
（
）（参考数据：lg3
0.477
，lg 2
0.301
）
A．8
B．9
C．10
D．11
8.某同学高三阶段12 次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势．现有
三种函数模型：①
x
f
x
p q
，②
log p
f
x
x
q
，③
2
1
f
x
x
x
q
p
(其中
,p q 为正常数，且
2
q
).若要较准确反映数学成绩与考试次序关系，应选
作为模拟函数(填序号)；若
1
4,
3
6
f
f
，则所选函数
f
x 的解析式为
．
9.某厂家为增加某种商品的销售量，决定投入广告据市场调查，广告投入费用
( )
f x （单位：万元）与增加
的销售量x （单位：千件）(0
16)
x
满足下列数据：
增加的销售量x
0
1
2
4
5
广告投入费用
( )
f x
0.000
0.452
0.816
1.328
1.500
为了描述广告投入费用
( )
f x 与增加的销售量x 的关系，现有以下三种函数模型供选择：
3
2
( )
f x
ax
bx
cx
，
( )
0.5 x
f x
a
，
( )
log
(
a
f x
k
x
b a
，b ，c ，
R)
k
(1)选出你认为最符合题意的函数模型，并说明理由；
(2)根据你选择的函数模型，求出相应的函数解析式；你认为增加的销售量x 为多少时，每千件的广告投入
费用最少？
题型二：一次函数与二次函数模型的应用
1.沈阳市地铁4 号线开通后将给和平长白岛居民出行带来便利．已知该条线路通车后，地铁的发车时间间
隔t（单位：分钟）满足2
20
t
．经测算，地铁载客量p 与发车时间间隔t 相关，当10
20
t
时地铁为
满载状态，载客量为1300 人，当2
10
t
时，载客量会减少，减少的人数与
10
t
的平方成正比，且发
车时间间隔为2 分钟时的载客量为660 人．
(1)写出p 关于t 的函数表达式；
(2)若该线路每分钟的净收益为
6
3960
350
p
Q
t
（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净
收益最大，每分钟的最大净收益为多少?
2.学校某研究性学习小组在对学生上课时注意力集中情况的调查研究中，发现在40min 的一节课中，学生
的注意力指数y 与听课时间x（单位：min）之间的关系满足如图所示的图象．当
(0,12]
x
时，图象是二次
函数图象的一部分，其中顶点
(10,80)
A
，点
(12,78)
B
，当
[12,40]
x
时，图象是线段BC，其中点
(40,50)
C
．
(1)当
(0,12]
x
时，求注意力指数y 与听课时间x 的函数关系式；
(2)根据专家研究，当注意力指数大于62 时，学习效果最佳．要使得学生学习效果最佳，求老师安排核心
内容的时间段（结果用区间表示）．
3.为刺激消费，某商场开展让利促销活动，规定：顾客购物总金额不超过1000 元；若购物总金额超过1000
元，则享受一定的折扣优惠
可以享受折扣优惠的金额（购物金额超出1000 元的部分）
折扣率
不超过500 元的部分
10%
超过500 元的部分
20%
例如，某人购物1300 元，则其享受折扣优惠的金额为
1300 1000
元，实际付款1270 元．
(1)某顾客购买1800 元的商品，他实际应付款多少元？
(2)设某人购物总金额为x 元，实际应付款y 元，求y 关于x 的函数解析式．
4.某公司生产一种产品，每年需投入固定成本25 万元，此外每生产100 件这样的产品，还需增加投入50
万元，经市场调查知这种产品年需求量为500 件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为
2
1
5
200
t
t
万元．
(1)该公司这种产品的年生产量为x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x 的函数为
f
x ，
求
f
x ；
(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？
5.某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25 元，年销售8 万件.
(1)据市场调查，若价格每提高1 元，销售量将相应减少2000 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商
品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，
并提高定价到x 元.公司拟投入
2
1 (
600)
6 x
万元.作为技改费用，投入50 万元作为固定宣传费用，投入5
x 万
元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a 至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入
不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.
6.某企业为积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一个把厨余垃圾加工处
理为可重新利用的化工产品的项目．已知该企业日加工处理量x （单位：吨）最少为70 吨，最多为100
吨．日加工处理总成本y （单位：元）与日加工处理量x 之间的函数关系可近似地表示为
2
1
40
3
3200
2
y
x
x
，且每加工处理1 吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100 元．
(1)该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1 吨厨余
垃圾处于亏损还是盈利状态？
(2)为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方案共有两种：
①每日进行定额财政补贴，金额为2300 元；
②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x 元．
如果你是企业的决策者，为了使每日获利最大，你会选择哪种补贴方案？为什么？
题型三：指数型函数模型
1.杨梅是杨梅科杨梅属常绿乔木植物，自古以来深受人们的喜爱，古诗《咏梅》就这样赞美杨梅：“颗颗黑
珠树中藏，此物只在五月有．游人过此尝一颗，满嘴酸甜不思归．”根据杨梅单果的果型和颜色，可将其
依次分为4 个等级，其等级
1,2,3,4
x x
与其对应等级的市场销售单价y（单位：元/千克）近似满足函数
关系式
eax b
y
．若花同样的钱买到的2 级杨梅比4 级杨梅多1 倍，且1 级杨梅的市场销售单价为4 元/千
克，则4 级杨梅的市场销售单价最接近（
）( 2
1.414
）
A．5.66 元/千克
B．8.48 元/千克
C．11.31 元/千克
D．16 元/千克
2.某地投资a 亿元进行基础建设，t 年后产生的社会经济效益为
( )
e t
f t
a
亿元，若该地投资基础建设4 年
后产生的社会经济效益是投资额的2 倍，且再过1t 年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的16 倍，则
1t （
）
A．4
B．8
C．12
D．16
3.（多选）压缩袋（真空压缩袋）也叫PE 拉链复合袋．在我们的日常生活中，各类大小的压缩袋不但能
把衣柜解放出来，而且可以达到防潮、防虫咬、清洁保存的效果．其中抽气式压缩袋是通过外接抽气用具
如抽气泵或吸尘器，来进行排气的．现选用某种抽气泵对装有棉被的压缩袋进行排气，已知该型号的抽气
泵每次可以抽出压缩袋内气体的40% ，则（
）（参考数据：取lg2
0.301,lg3
0.477
）
A．要使压缩袋内剩余的气体少于原来的10% ，至少要抽5 次
B．要使压缩袋内剩余的气体少于原来的10% ，至少要抽9 次
C．抽气泵第4 次抽出了最初压缩袋内气体的8.64%
D．抽3 次可以使压缩袋内剩余的气体少于原来的25%
4.塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达200~400 年之久，给环境带来了很大的危害，
国家发改委、生态环境部等9 部门联合发布《关于扎实推进污染物治理工作的通知》明确指出，2023 年1
月1 日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋经自然降解后残留量y
与时间t 年之间的关系为
0 ekt
y
y
，其中
0y 为初始量，k 为光解系数.已知该品牌塑料袋2 年后残留量为初
始量的75% .该品牌塑料袋大约需要经过（
）年，其残留量为初始量的10%.（参考数据：lg 2
0.301
，
lg3
0.477
）
A．20
B．16
C．12
D．7
5.我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药
在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型
0e kt
c
c
t
描述，
假定某药物的消除速率常数
0.1
k
（单位：
1
h），刚注射这种新药后的初始血药含量
0
2000mg / L
c
，且
这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L 时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种
新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（
）（参考数据：ln 2
0.693 ln3
1.099
，
）
A．5.32h
B．6.23h
C．6.93h
D．7.52h
6.教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生
物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为0.15%．经测定，
刚下课时，空气中含有0.25%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为%
y
，且y 随时间t （单
位：分钟）的变化规律可以用函数
10
0.05
e
R
t
y
描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准
需要的时间t （单位：分钟）的最小整数值为（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
题型四：对数型函数模型
7.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鱼的科学家发现大西洋鲑鱼的游速v（单位：m/s ）可
以表示为
3
1 log
2
100
M
v
，其中M 表示鱼的耗氧量的单位数.当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止
时耗氧量的单位数的3 3倍时，它的游速是
m/s .
8.（多选）研究表明，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg
4.8 1.5
E
M
，
则（
）
A．震级为2 级的地震释放能量为
6.8
10
焦耳
B．释放能量为
9.3
10
焦耳的地震震级为3 级
C．9 级地震释放能量是8 级地震释放能量的10 倍
D．释放能量之比为1000:1的两场地震的震级相差2 级
9.北京时间2023 年2 月10 日0 时16 分，经过约7 小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、
张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载
火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级
0
20 lg
p
p
L
p
，其中大
于0 的常数
0p 是听觉下限阈值，p 是实际声压.声压级的单位为分贝
dB ，声压的单位为帕
Pa .若人正常
说话的声压约为0.02Pa ，且火箭发射时的声压级比人正常说话时的声压级约大100dB，则火箭发射时的声
压约为（
）
A．2Pa
B．20Pa
C．200Pa
D．2000Pa
10.被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：
2
log
1
S
C
W
N
，其中C 为最大数据传输速率，单
位为bit / s；W 为信道带宽，单位为Hz ；S
N 为信噪比.香农公式在5G 技术中发挥着举足轻重的作用.当
99
S
N
，
2000Hz
W
时，最大数据传输速率记为
1
C ；当
9999
S
N
，
3000Hz
W
时，最大数据传输速率记为
2
C ，则
2
1
C
C
为（
）
A．1
3
B．5
2
C．15
4
D．3
11.人们用分贝
dB 来划分声音的等级，声音的等级
d x （单位：dB）与声音强度x （单位：
2
W / m ）满
足
13
9lg1 10
x
d x
.一般两人小声交谈时，声音的等级约为45dB，在有50 人的课堂上讲课时，老师声音
的等级约为63dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（
）
A．1 倍
B．10 倍
C．100 倍
D．1000 倍
12.习近平总书记强调，发展航天事业，建设航天强国，是我们不懈追求的航天梦.我国在文昌航天发射场
用长征五号遥五运载火箭把嫦娥五号探测器顺利地送入预定轨道，开启我国首次外太空采样返回之旅.这为
我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v （单位：km/s ）
和燃料的质量M（单位：kg ）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg ）的函数关系式是
2000ln 1
M
v
m
.
若火箭的最大速度为11.2km/s ，则燃料质量与火箭质量（除燃料外）的比值约为：
（参考数据：0.0056
e
1.0056
）
（
）
A．1.0056
B．0.5028
C．0.0056
D．0.0028
13.在如今这个5G 时代，6G 研究已方兴未艾，2023 年8 月30 日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北
京举办。会上传出消息，未来6G 速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有
望打造出空天地融合的立体网络，预计6G 数据传输速率有望比5G 快100 倍，时延达到亚毫秒级水平。
香农公式
2
log
1
S
C
W
N
是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，
最大信息传递率C 取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其
中S
N 叫做信噪比。若不改变带宽W ，而将信噪比S
N 从9 提升至53，则最大信息传递率C 会提升到原来的
（
）
参考数据：
2
2
log 3
1.58,log 5
2.32
．
A．2.4 倍
B．2.3 倍
C．2.2 倍
D．1.7 倍
14.（多选）从4G 到5G 通信，网络速度提升了40 倍.其中，香农公式
2
log
1
S
C
W
N
是被广泛公认的通
信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C 取决于信道带宽W ､信道内
信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S
N 叫做信噪比.根据香农公式，以下说法正确
的是（
）（参考数据：lg5
0.6990
）
A．若不改变信噪比S
N ，而将信道带宽W 增加一倍，则C 增加一倍
B．若不改变信道带宽W 和信道内信号的平均功率S，而将高斯噪声功率N 降低为原来的一半，则C 增
加一倍
C．若不改变带宽W ，而将信噪比S
N 从255 提升至1023,C 增加了25%
D．若不改变带宽W ，而将信噪比S
N 从999 提升至4999,C 大约增加了23.3%
题型五：分段函数模型的应用
1.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品，已知生产该产品的年固定成本
为300 万元，最大产能为100 台，每生产x 台，需另投入成本
G x 万元，且
2
2
80 ,0
40
3600
201
2100,40
100
x
x
x
G x
x
x
x
，由市场调研知，该产品每台的售价为200 万元，且全年内生产的
该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润
W x 万元关于年产量x 台的函数解析式（利润销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
2.2021 年3 月1 日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，工业和信息化部提出了芯片发展的五项措施，进
一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度.根据市场调查某科技公司生产某款电子产品的年固定
成本为50 万元，每生产1 万部还需另投入20 万元.若该科技公司一年内共生产该款电子产品x 万部并能全
部销售完，平均每万部的销售收入为
R x 万元，且
2
100
2 ,0
20
2100
18000 ,
20
x
x
R x
x
x
x
(1)写出年利润W （万元）关于年产量x （万部）的函数解析式
W x ；
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款电子产品的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.
3.某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2024 年新增300 万元资金购买一项新技术，并利用该技术生产
某款新手机，通过市场调研发现，每生产x （千部）手机，需另外投入成本
H x 万元，其中
2
10
200 ,0
40
2500
601
4700,
40
x
x
x
H x
x
x
x
，已知每部手机的售价预定为6000 元，且生产的手机当年全部销售完.
(1)求2024 年该款手机的利润y 关于年产量x 的函数关系式；
(2)当年产量x 为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
4.新学期开学季，成都某学校附近又新开了一家奶茶店，其中有一种名为“奶茶三兄弟”的饮品很受学生欢
迎，老板费尽心思想在这种饮品上赚得第一桶金，其销售的价格在一学期不同周次有所变化.设开始时每杯
定价10 元，从第一次周开始每周涨价2 元，5 周后开始保持20 元的价格平稳销售，10 周后，学生的新鲜
感已过，平均每周削价2 元，直到16 周周末，老板为了让学生安心准备期末考试复习而不挂念“三兄弟”，
该饮品暂停销售.
(1)试求该饮品每杯价格p （元）与周次
,
1,16 ,
N
t t
t
之间的函数关系式；
(2)若此饮品每杯成本价q（元）与周次t 之间的关系是
2
1
8
12
8
q
t
，
1,16
t
，
N
t
，试问该饮品
第几周每杯的销售利润最大，并求出最大值.
5.随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医
疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术
生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为200 万元，最大产能为100 台.每生产x 台，需另投入成本
G x
万元，且
2
120 ,0
50
4900
201
2100,50
100
x
x
x
G x
x
x
x
，由市场调研知，该产品每台的售价为200 万元，且全年
内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润
W x 万元关于年产量x 台的函数解析式（利润销售收入成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
题型六：指数、对数、幂函数模型的增长差异
1.当
(1,e)
x
时，试探究三个函数
3
3 ,
ln ,
e
x
y
y
x y
x
的增长差异，用“＞”把它们的大小关系连接起来
为
．
2.下列函数中，增长速度最快的是（
）
A．
2018x
y
B．
2018
y
x
C．
2018
log
y
x
D．
2018
y
x
3.下面对函数
1
2
( )
log
f x
x
，
1
( )
2
x
g x
与
1
2
( )
h x
x
在区间
0,
上的衰减情况的叙述正确的是（
）
A．
f
x 的衰减速度逐渐变慢，
g x 的衰减速度逐渐变快，
h x 的衰减速度逐渐变慢
B．
f
x 的衰减速度逐渐变快，
g x 的衰减速度逐渐变慢，
h x 的衰减速度逐渐变快
C．
f
x 的衰减速度逐渐变慢，
g x 的衰减速度逐渐变慢，
h x 的衰减速度逐渐变慢
D．
f
x 的衰减速度逐渐变快，
g x 的衰减速度逐渐变快，
h x 的衰减速度逐渐变快
4.（多选）函数
1
2
x
f
x
，
1
2
log
g x
x
，
1
2
h x
x
，在区间
0,上（
）
A．
f
x 递减速度越来越慢
B．
g x 递减速度越来越慢
C．
h x 递减速度越来越慢
D．
g x 的递减速度慢于
h x 递减速度
5.三个变量
1
2
3
,
,
y y
y 随自变量x 的变化情况如下表：
x
1
3
5
7
9
11
1y
5
135
625
1715
3645
6655
2y
5
29
245
2189
19685
177149
3y
5
6.10
6.61
6.95
7.20
7.40
则关于x 分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为
，
，
.
6.学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分
y 与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：（1）函数的图象接近图示；（2）每天运动时间
为0 分钟时，当天得分为0 分；（3）每天运动时间为30 分钟时，当天得分为3 分；（4）每天最多得分不
超过6 分.现有以下三个函数模型供选择：①
0
y
kx
b k
；②
1.2
0
x
y
k
b k
；
③
2
log
2
0
15
x
y
k
n k
.
(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由；
(2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；
(3)已知学校要求每天的分数不少于4.5 分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）.
7.若
0,
x
，则使
2
2
log
2x
x
x
成立的x 的取值范围是
，使
2
2
log
2x
x
x
成立的x 的取值范
围是
．
题型七：拟合函数模型的应用问题
1.2022 年11 月，国务院发布了简称优化防控二十条的通知后，某药业公司的股票在交易市场过去的一个
月内（以30天计，包括第30天），第x天每股的交易价格
P x（元）满足
*
( )
60 |
20 | (1
30,
N )
P x
x
x
x
，
第x 天的日交易量
Q x （万股）的部分数据如下表：
第x（天）
1
2
4
10
Q x （万股）
14
12
11
10.4
(1)给出以下两种函数模型：①
( )
Q x
ax
b
；②
( )
b
Q x
a
x
.请你根据上表中的数据.从中选择你认为最合
适的一种函数模型来描述该股票日交易量
Q x （万股）与时间第x 天的函数关系（简要说明理由），并求
出该函数的关系式；
(2)根据（1）的结论，求出该股票在过去一个月内第x 天的日交易额
f x 的函数关系式，并求其最小值.
2.2022 年8 月9 日，美国总统拜登签署《2022 年芯片与科学法案》．对中国的半导体产业来说，短期内可
能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新更强的爆发力和持久动
力．某企业原有400 名技术人员，年人均投入a 万元
0
a
，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有
技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员x 名（x
N
且100
275
x
），调整后研发人员的年人
均投入增加
4
%
x
，技术人员的年人均投入调整为
2
25
x
a m
万元．
(1)求调整后企业对全部技术人员的年总投入
f x 和对全部研发人员的年总投入
g x 的表达式.
(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个
条件，①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不低于调整
前的水平．请问是否存在这样的实数m，满足以上两个条件，若存在，求出m 的范围；若不存在，说明理
由．
3.某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，把厨余垃圾加工处理为可重新
利用的化工品，已知该企业日加工处理量x（吨）最少为70 吨，最多为120 吨，日加工处理总成本y（元）
与日加工处理量x 之间的函数关系可近似地表示为
2
1
40
3200
2
y
x
x
，且每加工处理1 吨厨余垃圾得到的
化工产品的售价为100 元.
(1)该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1 吨厨余
垃圾处于亏损还是盈利状态？（平均成本= y
x ）
(2)为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式有两种方案
方案一：每日进行定额财政补贴，金额为2300 元；
方案二：根据日加工处理量进行财政补贴，金额为40x 元.
如果你是企业的决策者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个方案进行补贴？为什么？.
4.某运输公司今年初用49 万元购进一台大型运输车用于运输．若该公司预计从第1 年到第n 年（
N
n
）
花在该台运输车上的维护费用总计为
2
5
n
n
万元，该车每年运输收入为25 万元．
(1)该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）；
(2)若该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以15 万元的价格卖出；②当
盈利总额达到最大值时，以6 万元的价格卖出．哪一种方案较为合算？请说明理由．
5.科研小组研制钛合金产品时添加了一种新材料，该产品的性能指标值y 是这种新材料的含量x （单位：
克）的函数．研究过程中的部分数据如下表：
x （单位：克）
0
2
6
10
…
y
－4
8
8
1
9
…
已知当
7
x
时，
1
3
x m
y
，其中m 为常数．当0
7
x
时，y 和x 的关系为以下三种函数模型中的一个：
①
2
y
ax
bx
c
；②
x
y
k a
0
a
且
1
a
；③
loga
y
k
x
0
a
且
1
a
；其中, , ,
k a b c 均为常数．
(1)选择一个恰当的函数模型来描述,x y 之间的关系，并求出其解析式；
(2)求该新材料的含量x 为多少克时，产品的性能达到最大．
6.在无菌培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减
慢，在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位：小时）的
3 组数据如下表所示.
x
2
3
5
y
3.5
4.5
5.5
(1)当
2
x
时，根据表中数据分别用模型
loga
y
x
c
b
和y
m x
n
k
建立y 关于x 的函数解析式.
(2)若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量，则当实际的细菌数量与用函数模型得
出的估计值之间的差的绝对值不超过0.5 时，称该函数模型为“理想函数模型”，已知当培养时间为9 小时
时，检测到这类细菌在培养皿中的数量为6.2 百万个，你认为（1）中哪个函数模型为“理想函数模型”？说
明理由.（参考数据：
57
7.6
）
(3)请用（2）中的“理想函数模型”估计17 小时后，该类细菌在培养皿中的数量.
模块三：综合巩固
1.已知超市内某商品的日销量y（单位：件）与当日销售单价x（单位：元）满足关系式
2
100
10
y
a
x
x
，
其中10
55,
x
a
为常数.当该商品的销售单价为15 元时，日销量为110 件.若该商品的进价为每件10 元，
则超市该商品的日利润最大为（
）
A．1500 元
B．1200 元
C．1000 元
D．800 元
2.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是
1℃，空气的温度是
0
℃，经过t 分钟后物体的温度θ℃
可由公式
0
1
0 e kt
求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0 的常数，现有
100℃的物体，放在10℃的空气中冷却，5 分钟后物体的温度是40℃，则k 约等于（
）
（参考数据
ln3
1.099
A．0.22
B．0.27
C．0.36
D．0.55
3.百端待举、日理万机中，毛泽东主席仍不忘我国的教育事业.1951 年9 月底，毛主席在接见安徽参加国庆
的代表团时，送给代表团成员----渡江小英雄马毛姐一本精美的笔记本，并在扉页上题词：好好学习，天天
向上.这8 个字的题词迅速在全国传播开来，影响并指导着一代代青少年青春向上，不负韶华.他告诉我们：
每天进步一点点，持之以恒，收获不止一点点.把学生现在的学习情况看作1，每天的“进步率”为3% ，那
么经过一个学期（看作120 天）后的学习情况为
120
(1 3%)
34.711
，如果每天的“迟步率”为3%，同样经
过一个学期的学习情况为
120
(1 3%)
0.026
.经过一个学期，进步者的学习情况是迟步者学习情况的1335倍
还多，按上述情况，若“进步”的值是“迟步”的值的100 倍，要经过的的天数大约为（保留整数）（参考数据：
lg103
2.013,lg97
1.987
）（
）
A．56
B．77
C．120
D．200
4.若三个变量
1y ，
2y ，
3y 随着变量x 的变化情况如下表.则关于x 分别呈函数模型：
loga
y
m
x
n
，
x
y
pa
q
，
a
y
t
kx
变化的变量依次是（
）
x
1
3
5
7
9
11
1y
5
25
45
65
85
105
2y
5
29
245
2189
19685
177149
3y
5
6.10
6.61
6.95
7.2
7.6
A．
1y ，
2y ，
3y
B．
3y ，
2y ，
1y
C．
1y ，
3y ，
2y
D．
3y ，
1y ，
2y
5.Logistic 模型是常用数学模型之一，可用于流行病学领域．有学者根据所公布的数据建立了某地区新冠肺
炎累计确诊病例( )
I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：
1
48
4
( )
1 e
t
I t
K
，其中K 为最大确诊病例数．当
0
0.05
I t
K
时，标志着已初步遏制疫情，则0t 约为(ln19
3)
（
）
A．35
B．36
C．40
D．60
6.某地2019 年人均GDP(国内生产总值)为8000 元，预计以后年增长率为10%，使该地区人均GDP 超过
16000 元，至少要经过（
）
A．4 年
B．5 年
C．8 年
D．10 年
7.某学校开展研究学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
x
1.99
3
4
5.1
8
y
0.99
1.58
2.01
2.35
3.00
如下四个模拟函数，能近似地反映这些数据的规律的是（
）
A．
0.58
0.16
y
x
B．
2
3.02
x
y
C．
2
5.5
8
y
x
x
D．
2
log
y
x
8.（多选）“双11”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以
给与优惠：
（1）如果购物总额不超过100 元，则不给予优惠；
（2）如果购物总额超过100 元但不超过200 元，可以使用一张10 元优惠券；
（3）如果购物总额超过200 元但不超过500 元，其中200 元内的按第（2）条给予优惠，超过200 元的部
分给予9 折优惠．
（4）如果购物总额超过500 元，其中500 元内的按第（2）（3）条给予优惠，超过500 元的部分给予8 折
优惠．
某人购买了部分商品，则下列说法正确的是（
）
A．如果购物总额为168 元，则应付款为158 元
B．如果购物总额为368 元，则应付款为351.2 元
C．如果购物总额为768 元，则应付款为674.4 元
D．如果购物时一次性全部付款1084 元，则购物总额为1280 元
9.（多选）研究表明，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg
4.8 1.5
E
M
，
则（
）
A．震级为2 级的地震释放能量为
6.8
10
焦耳
B．释放能量为
9.3
10
焦耳的地震震级为3 级
C．9 级地震释放能量是8 级地震释放能量的10 倍
D．释放能量之比为1000:1的两场地震的震级相差2 级
10.（多选）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系
ekx b
y
（e
2.718
，
k 、b 为常数）．若该食品在0 C
的保鲜时间是120小时，在20 C
的保鲜时间是30 小时，则关于该食品保鲜
的描述正确的结论是（
）
A．
0
k
B．储存温度越高保鲜时间越长
C．在10℃的保鲜时间是60 小时
D．在30℃的保鲜时间是20 小时
11.（多选）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是
0(1
) (
1)
n
nP
P
k
k
，其中
nP 为
预测期人口数，
0P 为初期人口数，k 为预测期内人口年增长率，n 为预测期间隔年数，则（
）
A．当
1,0
k
，则这期间人口数呈下降趋势
B．当
1,0
k
，则这期间人口数呈摆动变化
C．当
0
1,
2
3
n
k
P
P
时，n 的最小值为3
D．当
0
1
1
,
3
2
n
k
P
P
时，n 的最小值为3
12.现有两种理财产品，已知投资这两种理财产品所获得的年利润分别是S和T 万元，它们与投入资金x（万
元）的关系如下：
,
10
5
x
x
S
T
，某人有5 万元准备投入这两种理财，则他可以获得的最大利润是
万元.
13.某地区2022 年1 月，2 月，3 月新冠肺炎治愈的人数分别为52、54、58，为了预测以后各月的治愈人
数，我们可以选择模型
x
y
a b
c
，其中y 为治愈人数，x 为月份数，a ，b ，c，都是常数，那么至少要
经过
个月该病治愈的人数将会超过2000 人？
14.某人从A 地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2 小时到达B 地，在B 地停留2 小时，则汽车离开A 地
的距离y （单位：千米）是时间t （单位：小时）的函数，该函数的解析式是
．
15.音量大小的单位是分贝(dB) ，对于一个强度为I 的声波，其音量的大小可由公式
0
10 lg I
I
(其中
0I 是
人耳能听到的声音的最低声波强度)计算得到，设
1
70
dB 的声音的声波强度为
1I ，
2
60
dB 的声音的
声波强度为
2I ，则
1I 是
2I 的
倍.
16.销售甲、乙两种所获利润为P 和
(
Q 单位：万元) ，它们与投入的资金(t 单位：万元) 的关系分别为
1
5
P
t
，
3
5
Q
t
，今投入3万元的资金经营甲、乙两种商品，为了获取最大利润，对甲乙两种商品的投入分别应
为多少万元？此时最大利润为多少？
17.某研究性学习小组为探究学校附近某路口在上班高峰期（8:00 至10:00）的车流量问题，经过长期的观
察统计，建立了一个简易的车流量与平均车速之间的函数模型.模型如下，设车流量为y （千辆/时），平均
车速为v（千米/时），则
2
25
(
0)
5
16
v
y
v
v
v
.
(1)若要求在高峰期内，车流量不低于5 千辆/时，则汽车行驶的平均速度应该在那个范围？
(2)在上班高峰期，汽车的平均车速为多少时，车流量最大？最大车流辆是多少？
18.如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH
构成的面积为
2
40m 的十字形地域．计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为840 元
2
/m ；在四个相同
的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为42 元
2
/m ；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，
造价为16 元
2
/m ．受地域影响，AD 的长度最多能达到4m ，其余边长没有限制．
(1)设总价为S（单位：元），AD 长为x（单位：m），试建立S 关于x 的函数关系式；
(2)当x 为何值时，S 最小？并求出这个最小值．
19.北京、张家港2022 年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关
代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25 元，年销售8 万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2 万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品
每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和
营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入
2
1
600
6 x
万作为技改费用，投入
50
2x
万元作为宣传
费用．试问：当该商品改革后的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收
入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
20.为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对
其建筑物建造可使用40 年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8 万元．该建筑物每年的能源消
耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：
3
R,0
8
4
5
m
P
x
x
x
．若不建隔热
层，每年能源消耗费用为9 万元．设S 为隔热层建造费用与40 年的能源消耗费用之和．
(1)求m 的值及用x 表示S；
(2)当隔热层的厚度为多少时，总费用S 达到最小，并求最小值．
21.如图，ABC
是一个等腰直角三角形，
1
AB
AC
，点E，F 分别在边AB 和AC 上，且
/ /
EF
BC ．点
E 从点A 开始沿线段AB 向点B 运动，写出点A 到线段EF 的距离d 与线段EF 的长度l 之间的函数解析式，
并画出函数图象．
4.9 指数函数与对数函数必刷检测题（基础）
（考试时间：120 分钟
试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考
证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第四单元（人教A 版2019）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．函数
1
1
x
y
a
恒过定点（
）
A．
2,1
B．
1,2
C．
0,1
D．
1,1
2．在对数式
3
log
5
a
b
a
中，实数a 的取值范围是（
）
A．
,3
5,
B．
3,5
C．
3,4
D．
3,4
4,5
3．已知
2 ,0
1
2
1
1,
1
x
x
f
x
f
x
x
，若
( )
2022(
N )
f n
n
，则n 的最大值为（
）
A．9
B．10
C．11
D．12
4．用二分法求方程x3＋3x－7＝0 在(1，2)内的近似解的过程中，构造函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，
f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根所在的区间是（
）
A．(1，1.25)
B．(1.25，1.5)
C．(1.5，1.75)
D．(1.75，2)
5．计算
6
6
3
3
1
(
log 4
log 3)(log 12
2log 2)
2
（
）
A．0
B．1
C．2
D．4
6．百端待举、日理万机中，毛泽东主席仍不忘我国的教育事业.1951 年9 月底，毛主席在接见安徽参加国
庆的代表团时，送给代表团成员----渡江小英雄马毛姐一本精美的笔记本，并在扉页上题词：好好学习，天
天向上.这8 个字的题词迅速在全国传播开来，影响并指导着一代代青少年青春向上，不负韶华.他告诉我
们：每天进步一点点，持之以恒，收获不止一点点.把学生现在的学习情况看作1，每天的“进步率”为3% ，
那么经过一个学期（看作120 天）后的学习情况为
120
(1 3%)
34.711
，如果每天的“迟步率”为3%，同样
经过一个学期的学习情况为
120
(1 3%)
0.026
.经过一个学期，进步者的学习情况是迟步者学习情况的1335
倍还多，按上述情况，若“进步”的值是“迟步”的值的100 倍，要经过的的天数大约为（保留整数）（参考数
据：lg103
2.013,lg97
1.987
）（
）
A．56
B．77
C．120
D．200
7．人们用分贝
dB 来划分声音的等级，声音的等级
d x （单位：dB）与声音强度x （单位：
2
W / m ）
满足
13
9lg1 10
x
d x
.一般两人小声交谈时，声音的等级约为45dB，在有50 人的课堂上讲课时，老师声
音的等级约为63dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（
）
A．1 倍
B．10 倍
C．100 倍
D．1000 倍
8．已知
( )
f x 是定义在(1,
)
上的单调函数，( )
g x 是(0,
)
上的单调减函数，且
2
3
5
x
y
z
f
f
f
，
则（
）
A．(2 )
(3 )
(5 )
g
x
g
y
g
z
B．(5 )
(2 )
(3 )
g
z
g
x
g
y
C．(3 )
(5 )
(2 )
g
y
g
z
g
x
D．(3 )
(2 )
(5 )
g
y
g
x
g
z
二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。
9．已知0
1
a
b
，则下列不等式成立的是（
）
A．1
1
2
2
a
b
B．ln
ln
a
b
C．1
a > 1
b
D．
2
2
b
a
10．设指数函数
(
0
x
f x
a
a
，且
1)
a
，则下列等式中正确的是（
）
A．
f x
y
f x f
y
B．
f
x
f
x
y
f
y
C．
Q
n
f nx
f x
n
D．
N
n
n
n
f
xy
f
x
f
y
n
11．下列说法正确的是（
）
A．若函数
( )
f x 的定义域为[0,2] ，则函数
(2
2)
f
x
的定义域为[ 1,0]
B．
2 2
1
2
x
y
的最大值为1
4
C．
1
2
x
y
x
的图象关于( 2,1)
成中心对称
D．
2
2
( )
log
4
5
f x
x
x
的递减区间是(
,2)
12．已知函数
2
2
log
2
1
f
x
mx
x
m
，
R
m
，则下列说法正确的是（
）
A．若函数
f
x 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是
1
5 ,
2
B．若函数
f
x 的值域为R ，则实数m 的取值范围是1
5 1
5
,
2
2
C．若函数
f
x 在区间
2,上为增函数，则实数m 的取值范围是
0,
D．若
0
m
，则不等式1
f x 的解集为
3
2
x x
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．设
2
3
2
5
5
5
3
2
2
5
5
5
a
b
c
,
，
，则, ,
a b c 大小关系是
.
14．心理学家有时用函数
1
e kt
L t
A
测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A 表示需要
记忆的量，k 表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200 个单词，此时L 表示在时间t 内该生能够记
忆的单词个数．已知该生在5min 内能够记忆20 个单词，则k 的值约为（ln0.9
0.105
，
ln0.1
2.303
）
．
15．已知函数
1
( )
2
2
x
x
a
f x
在
1 ,3
2
上单调递增，则实数a 的取值范围
．
16．已知函数
2
log
,0
2
( )
3,
2
x
x
f x
x
x
，若存在三个互不相同的实数a ，b ，c，满足
( )
( )
( )
f a
f b
f c
，
则abc 的取值范围是
．
四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10 分）求值：
(1)
2
lne
lne
；
(2)lg8
lg125
；
(3)
3
3
2log 6
log 4
；
(4)
2
2
log
log 16 ；
(5)
8
4
log 27
log 9 ；
(6)
2
3 log 5
2
；
(7)
2
lg5 lg20
lg2
；
(8) 1
32
4
lg
lg
8
lg
245
2
49
3
．
18．（12 分）
推行垃圾分类以来，某环保公司新上一种把㕑余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.设该公司每
日处理厨余垃圾的成本为P（元），日处理量为x（吨），经测算，当0
20
x
时，
40
P
x
；当20
x
30
时，
2
1
76
1000
2
P
x
x
，且每处理一吨厨余垃圾，可得到价值100 元的化工产品的收益.
(1)当日处理量为10 吨时，该公司每日的纯收益为多少？（纯收益=总收益-成本）
(2)该公司每日处理的厨余垃圾为多少吨时，获得的日纯收益最大？
19．（12 分）
已知函数
lg 2
lg 2
f x
x
x
.
(1)判定函数
f
x 的奇偶性，并加以证明；
(2)判定
f
x 的单调性（不用证明），并求不等式
1
3
2
0
f
x
f
x
的解集.
20．（12 分）
已知定义在R 上的奇函数
f
x 和偶函数
g x 满足
2x
f x
g x
.
(1)判断函数
f
x 的单调性，并用单调性的定义证明；
(2)求函数
2
1
F x
g
x
af
x
，
0,1
x
的最小值.
21．（12 分）
已知函数
2
( )
log (4
)
x
f x
x
a
（a R 且
0
a
）．
(1)若函数
( )
f x 为奇函数，求实数a 的值；
(2)对任意的
1 ,1
2
x
，不等式
( )
(
)
1
f x
f
x
恒成立，求实数a 的取值范围．
22．已知函数
2
2
2
y
ax
a
x
，
R
a
.
(1)若
1 2
y
x
时，对任意的实数x 都成立，求实数a 的取值范围；
(2)当
0
a
时，求不等式
0
y
的解集；
(3)若存在
0
m
使关于x 的方程
2
1
2
2
1
ax
a
x
m
m
有四个不同的实根，求实数a 的取值范围.
4.10 高一数学指数函数与对数函数必刷检测题（提高）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考
证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第四单元（人教A 版2019）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知正数a ，b 满足9
27
3
a
b
，则3
2
a
b
的最小值为（
）
A．10
B．12
C．18
D．24
2．函数
2
2
0
1 ln
0
x
x
x
f x
x
x
，
，
零点个数为（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
3．已知
0
m
，
0
n
，2ln 2
ln 2
ln 2
m
n
，则1
4
2m
n
的最小值是（
）．
A．18
B．9
C．46
15
D．3
4．已知
f
x 是定义在R 上的奇函数，
3
3
0
f x
f
x
，且当3
0
x
时，
2
2 x
f x
，则
2023
f
（
）
A．8
B．2
C．0
D．8
5．已知
1
5
3
2
1
3log 2,
log 5,
3
a
b
c
，则（）
A．< <
c a b
B．< <
b c a
C．a
b
c
D．b
a
c
6．已知函数
lg
1,
0
1
1,
0
2
x
x
x
f x
x
，则函数
2
3
2
y
f
x
f x
的零点个数是（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
7．已知函数
1 ax
f
x
a
（
0
a
且
1
a ）在区间
2,3 上单调递增，则a 的取值范围为（
）
A．
1
0, 2
B．
1,
C．
1
0, 3
D．1 1
,
3 2
8．已知函数
y
f x
是定义域为R 的偶函数，当
0
x
时，
2
1
,0
2
4
1
3 ,
2
2
4
x
x
x
f x
x
，若关于x 的方程
2
7
0
R
16
a
f
x
af
x
a
有且仅有8 个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（
）.
A．7 16
,
4
9
B．7 ,2
4
C．7 9
,
4 5
D．3 ,2
2
二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。
9.(多选)下列运算中正确的是（
）
A．
3
8
3
log 8
log 5
log 5
B．
1
3
8
3
27
2
C．
2
(3
)
3
D．
2
log 7
1
ln ln e
7
2
10．若函数
2
3
1
3
x
ax
f x
的图像经过点
31，，则（
）
A．
2
a
B．
f
x
在
1
，上单调递减
C．
f
x
的最大值为81
D．
f
x
的最小值为1
81
11．关于函数
2
1
lg
0
x
f x
x
x
，下列结论正确的是（
）
A．函数
( )
f x 的图象关于y 轴对称
B．函数
( )
f x 的最小值是lg 2
C．当
0
x
时，
( )
f x 是增函数；当
0
x
时，
( )
f x 是减函数
D．函数
y
f
x
m
的所有零点之和为0
12.(多选)已知函数
2
( )
ln
1
2
f x
x
x
，则（
）
A．
( )
f x 的定义域为R
B．
( )
f x 在(0,
)
上是增函数
C．当
0
x
时，
( )
(0,2]
f x
D．
1
(lg3)
lg
4
3
f
f
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．若正实数a、b、c 均不为1，满足
x
y
z
a
b
c
，且1
1
1
0
x
y
z
，则abc 的值为
.
14．已知函数
log
2
1
0,
1
x
a
f x
a
a
>
在区间
0,1 内恒有
0
f x
，则函数
2
log
1
a
y
x
x
的单调
递减区间是
.
15．若函数
2
2
5
f
x
x
m
x
m 有两个小于2 的不同零点，则实数m 的取值范围是
．
16．已知函数
2
lg
,
0
6
4,
0
x
x
f
x
x
x
x
，若关于x 的方程
2( )
( )
4
0
f
x
mf x
有6个不同根，则整数m 的取
值范围是
.
四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．计算下列各式：
(1)
1
2
2
0
3
3 27
(
)
(
4)
( 9.5)
(0.001)
8
；
(2)
7
log 2
2
3
log 9 log 4
lg25
lg4
7
.
18．已知函数
f
x 是定义在R 上的奇函数，当
0
x
时，
1
4
2
x
x
f x
．
(1)求
0
x
时，
f
x 的解析式；
(2)求不等式
0
f x
的解集．
19．已知函数
4
log
4
1
x
f
x
kx
xR 是偶函数.
(1)求k 的值；
(2)若方程
0
f x
m
有解，求m 的取值范围.
20．某校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2021
年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过一年的观察发现，自2021
年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的，最初测得该水生植物面积为
2
m
k
，二月底
测得该水生植物的面积为24
2
m ，三月底测得该水生植物的面积为40
2
m ，该水生植物的面积y（单位：
2
m ）
与时间x（单位月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是同学甲提出的
0,
1
x
y
ka
k
a
，另一个是
同学乙提出的
1
3
0,
0
y
px
k p
k
，记2021 年元旦最初测量时间x 的值为0.
(1)根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；
(2)池塘水该水生植物面积应该在几月份起是元旦开始研究探讨时该水生植物面积的10 倍以上？（参考数
据：lg 2
0.3010
，lg3
0.4771
）
21．已知常数aR ，函数
2
log
2x
f
x
x
a
.
(1)若
f
x 是奇函数，求a 的值；
(2)若
3
2
a
，
f
x 在区间
,
1
t t
内有且仅有一个零点，求实数t 的取值范围.
22.已知函数
2
3
( )
log
(
0
2
3
a
x
f x
a
x
且
1)
a
.
(1)求
( )
f x 的定义域，判断
( )
f x 的奇偶性并给出证明；
(2)若
(2
1)
(3
2)
0
f
m
f
m
，求实数m 的取值范围.
4.11 对数运算专题练习
【基础知识】
1.一般地，有对数与指数的关系：若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x.
2.对数恒等式：
logaN
a
＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)．
3.loga(M·N)＝logaM＋logaN
4.logaM
N＝logaM－logaN；
5.logaMn＝nlogaM(n∈R)．
6．换底公式：logab＝logcb
logca(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
7.对数换底公式的重要推论：
(1)logaN＝
1
logNa(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；
(2)log
n
m
a b ＝m
nlogab(a>0，且a≠1，b>0)；
(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
【基础练习】
1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)
3
2
8
；
(2)
5
10
100000
；
(3)3
7
x
；
(4)
2
log 32
5
；
(5)
3
1
log
3
27 ；
(6)log
2
x b
．
2.求值：
(1)
2
lne
lne
；
(2) lg8
lg125
；
(3)
3
3
2log 6
log 4
；
(4)
2
2
log
log 16 ；
(5)
8
4
log 27
log 9 ；
(6)
2
3 log 5
2
；
(7)
2
lg5 lg20
lg2
；
(8) 1
32
4
lg
lg
8
lg
245
2
49
3
．
3.求下列各式的值：
(1)lg0.01；
(2)
4
3
2
log
2
4
；
(3) lg 2
lg5
；
(4)
3
3
3
27
2
6
log
log
log
5
3
5
；
(5)
2
2
2
7
1
log
log 12
log 42
1
48
2
；
(6)
2
lg2
lg2 lg50
lg25
.
4.求值：
(1)
5
log 25；
(2)
3
1
log 243 ；
(3)
1
16
log
2；
(4)
3
log
9 ；
(5) lg100；
(6)
0.1
log
10 ；
(7)
15
1
log
225 ；
(8)
3
7
log
49 ．
5．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式：
(1)
lg xyz ；
(2)
2
3
lg x yz
；
(3)
2
3
lg x y
z
；
(4)
2
1
3
2
lg x
yz
．
6.计算：
3
27
8
2
(log 4
log
8)(log 9
log 3)
．
7．
4
8
3
9
log 3
log 3
log 2
log 2
（
）
A．5
4
B．4
5
C．15
D．12
8．
2
2
log 3
3
5
8
2
lg
2lg 2
2
（
）
9．已知
2
log 5
m
．
(1)求
2
5
2
log 2
4
m
m
的值；
(2)用m 表示
25
log 20 ．
10.求值：
(1)
2
3
lg3
lg9
lg
27
lg 3
5
5
lg81 lg27
；
(2)
5
5
5
5
7
log 35
2log
log 7
log 1.8
3
．
11．求下列各式中x 的值：
(1)
lg 10
1
3lg
x
x
；
(2)3ln
6
ln
x
x
；
(3) lg
2
2lg
10
x
x
；
(4)
1
log
2
2
x
x
．
12．(多选)已知
10
lg
log
1
x
y
，则（
）
A．
2
2
10
lg
log
2
x
y
B．
10
x y
C．
10
lg 10
log
10
4
x
y
D．当
1,
1
x
y
时，log 10
log
10
x
y
的最小值为4
