文档文本内容
【第12 讲：对数函数的图像与性质】
一．对数函数的定义（共3 小题）
二．求对数函数的定义域（共4 小题）
三．求对数型复合函数的定义域（共4 小题）
四．求对数函数的值域（共5 小题）
五．求对数型复合函数的值域（共4 小题）
六．对数函数图象特征与底数的关系（共7 小题）
七．对数函数及对数型复合函数的图象（共7 小题）
八．求对数函数及对数型复合函数的单调性（共7 小题）
九．求对数函数及对数型复合函数的最值（共2 小题）
十．对数值大小的比较（共5 小题）
十一．指数函数与对数函数的关系（共3 小题）
十二．对数函数图象与性质的综合应用（共2 小题）
【知识点清单】
1．求对数函数的定义域
【知识点的认识】
对数函数的定义域是使对数有意义的自变量取值范围，对于y＝logax，定义域为x＞0．
【解题方法点拨】
﹣分析对数函数的形式，确定自变量x 的取值范围．
﹣确保对数运算中底数a 满足a＞0 且a≠1．
﹣验证定义域的准确性．
2．求对数型复合函数的定义域
【知识点的认识】
对数型复合函数的定义域是使整个复合函数有意义的自变量取值范围．
【解题方法点拨】
﹣分析内层函数的定义域，确保内层函数有意义．
﹣分析外层对数函数的定义域，确保整个复合函数有意义．
﹣结合内外层函数的定义域，确定复合函数的定义域．
3．求对数函数的值域
【知识点的认识】
题型梳理
总览
一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是
（0，+∞），值域是R．
定点：函数图象恒过定点（1，0）
【解题方法点拨】
﹣分析对数函数的形式，确定其值域．
﹣利用对数函数的性质，验证值域的准确性．
4．求对数型复合函数的值域
【知识点的认识】
一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是
（0，+∞），值域是R．
对数型复合函数的值域是指复合函数输出值的范围．
【解题方法点拨】
﹣确定内层函数的值域．
﹣将内层函数的值域代入外层对数函数，分析外层函数的值域．
﹣结合内外层函数的值域，确定复合函数的值域．
5．对数函数图象特征与底数的关系
【知识点的认识】
对数函数的图象特征与其底数a 有关，不同底数的对数函数图象形态不同．
0＜a＜1
a＞1
图像
【解题方法点拨】
﹣当0＜a＜1 时，对数函数单调递减，图象从左上到右下．
﹣当a＞1 时，对数函数单调递增，图象从左下到右上．
﹣分析底数a 的取值，确定图象特征．
6．对数函数及对数型复合函数的图象
【知识点的认识】
对数函数的图象特征与其底数a 有关，不同底数的对数函数图象形态不同．
0＜a＜1
a＞1
图像
【解题方法点拨】
﹣分析对数函数的解析式，确定其图象形态．
﹣对于复合函数，先分析内层函数的图象，再结合外层对数函数，确定复合函数的整体图象．
﹣利用图象分析函数的性质和应用．
7．求对数函数及对数型复合函数的单调性
【知识点的认识】
对数函数的单调性
当a＞1 时，y＝logax 在（0，+∞）上为增函数
当0＜a＜1 时，y＝logax 在（0，+∞）上为减函数
【解题方法点拨】
﹣分析对数函数的解析式，确定其单调性：当a＞1 时，对数函数单调递增；当0＜a＜1 时，对数函数单调
递减．
﹣对于复合函数，分析内层函数的单调性，再结合外层对数函数确定复合函数的整体单调性．
﹣验证单调性的准确性．
8【知识点的认识】
对数函数及其复合函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值．
【解题方法点拨】
﹣分析对数函数的解析式，确定其最值：对数函数在无穷远处取极大值或极小值，具体取决于底数a 的取
值．
﹣对于复合函数，首先分析内层函数的最值，再结合外层对数函数确定复合函数的最值．
﹣验证最值的准确性．
9．对数值大小的比较
【知识点的认识】
1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．
2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较
3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图
的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）
10．指数函数与对数函数的关系
【知识点的认识】
指数函数和对数函数的关系：
（1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x 对称．
（2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l 时，它们是增函数；当O＜a＜l 时，它们是减函数．
（3）指数函数与对数函数的联系与区别：
11．对数函数图象与性质的综合应用
【知识点的认识】
1、对数函数的图象与性质：
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
（
0 ，
+ ∞）
值域
R
定点
过点（
1 ，
0 ）
单调性
在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数
函数值正
负
当x＞1 时，y＞0；当0＜x
＜1，y＜0
当x＞1 时，y＜0；当0＜x
＜1 时，y＞0
2、由对数函数的图象确定参数的方法
已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的
单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．
【解题方法点拨】
1、4 种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法
（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；
（2）将同底对数的和、差、倍合并；
（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；
（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．
2、3 个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点
（1）当a＞1 时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1 时，对数函数的图象“下降”．
（2）对数函数y＝log ax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（1
a，﹣1）函数
图象只在第一、四象限．
（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．
【命题方向】
（1）比较对数式的大小：
①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨
论．
②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．
③若底数与真数都不同，则常借助1，0 等中间量进行比较．
（2）解对数不等式：
形如log ax＞log ab 的不等式，借助y＝log ax 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a＞1 与0＜a
＜1 两种情况讨论．形如log ax＞b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式．
一．对数函数的定义（共3 小题）
1．已知函数f ( x +1)=lo g2 x +2
x−3，则f（2）＝（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
【考点】对数函数的定义．
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【分析】根据题意，将x＝1 代入函数的解析式，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f ( x +1)=lo g2 x +2
x−3，
令x＝1 可得：f（2）＝log21+2﹣3＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查函数值的计算，涉及对数的运算，属于基础题．
2．函数y＝loga（2x﹣1）+3（a＞0，a≠1）的图象恒过点（m，n），函数f ( x)=( n
m )
x的定义域为[0，
知识讲解与常考题型
题型分类
2]，g（x）＝f（2x）+f（x），则函数g（x）的值域为（ ）
A．[2，90]
B．[2，6]
C．[2，12]
D．[2，20]
【考点】对数函数的定义；指数函数的值域．
版权所有
【分析】由题可知，当2x﹣1＝1 时，即可求出定点坐标（m，n），即可求得f（x）的解析式，进而可
得g（x）的解析式，再结合抽象函数的定义域求得g（x）的定义域，结合函数的单调性即可求解．
【解答】解：当2x﹣1＝1 时，即x＝1，则y＝loga1+3＝3，
所以y＝loga（2x﹣1）+3（a＞0，a≠1）恒过定点（1，3），
则f（x）＝3x，定义域为[0，2]，
由0≤2x≤2，得0≤x≤1，
则g（x）＝f（2x）+f（x）的定义域为[0，1]，
则g（x）＝f（2x）+f（x）＝32x+3x，x∈[0，1]
又y＝3x，y＝32x在[0，1]上单调递增，则g（x）＝32x+3x在[0，1]上单调递增，
则g( x)min= g(0)=3
0+3
0=2，g( x)max= g(1)=3
2+3
1=12，
所以函数g（x）的值域为[2，12]．
故选：C．
【点评】本题主要考查了对数函数和指数函数的单调性，属于中档题．
3．对数表达式log（x﹣1）（5﹣x）中的x 的取值范围是 （
1 ，
2 ）∪（
2 ，
5 ）
．
【考点】对数函数的定义．
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【分析】直接根据底数与真数满足的条件求解即可．
【解答】解：∵对数式的底数需大于0 不等于1，真数大于0；
故需：{
5−x＞0
x−1＞0
x
且−1≠1)⇒{
x＜5
x＞1
x
且≠2)⇒x 的取值范围是：（1，2）∪（2，5）．
故答案为：（1，2）∪（2，5）．
【点评】本题主要考查对数表达式中底数与真数所满足的条件，属于基础题．
二．求对数函数的定义域（共4 小题）
4．若函数y = loga( x
2−ax +1)的定义域为R，则实数a 的取值范围是（ ）
A．0＜a＜1
B．0＜a＜2 且a≠1
C．1＜a＜2
D．a≥2
【考点】求对数函数的定义域．
版权所有
【分析】结合对数函数的性质即可求解．
【解答】解：若函数y = loga( x
2−ax +1)的定义域为R，
则x2﹣ax+1＞0 恒成立，
所以Δ＝a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2，
又a＞0 且a≠1，
故0＜a＜2 且a≠1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了对数函数的性质的应用，属于基础题．
5．已知集合A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{x|y＝log2（x﹣1）}，则A∩B＝（ ）
A．[0，2]
B．[1，2]
C．（1，2）
D．（1，2]
【考点】求对数函数的定义域；求集合的交集；解一元二次不等式．
版权所有
【分析】解二次不等式化简集合A，利用对数函数性质化简集合B，从而利用集合的交集运算即可得解．
【解答】解：因为B＝{x|y＝log2（x﹣1）}＝{x|x﹣1＞0}＝{x|x＞1}，A＝{x|x2﹣2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，
所以A∩B＝{x|1＜x≤2}＝（1，2]．
故选：D．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
6．已知集合A ={x| y = ❑√2 x +3}，B＝{x|y＝ln（x2+3x+2）}，则A∩∁RB＝（ ）
A．（﹣1，+∞）
B．[−3
2 ，−1]
C．[−3
2 ，+ ∞)
D．[−3
2 ，−1)
【考点】求对数函数的定义域；集合的交并补混合运算；解一元二次不等式．
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【分析】求出函数定义域分别化简集合A，B，再利用补集、交集的定义求解即得．
【解答】解：由2x+3≥0，得x ≥−3
2，则A =[−3
2 ，+ ∞)，
由x2+3x+2＞0，得（x+1）（x+2）＞0，解得x＜﹣2 或x＞﹣1，
则B＝{x|y＝ln（x2+3x+2）}＝（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞），可得∁RB＝[﹣2，﹣1]，
故A∩∁RB＝[−3
2，+∞）∩[﹣2，﹣1]=[−3
2 ，−1]．
故选：B．
【点评】本题考查函数定义域的求法，考查交集及其运算，是基础题．
7．设集合A＝{x∈N|y=
❑√6−x
ln( x−2)}，B＝{x|﹣1＜x≤6}，则A∩B＝（ ）
A．{4，5，6}
B．{3，4，5，6}
C．{4，5}
D．{3，4，5}
【考点】求对数函数的定义域；求集合的交集．
版权所有
【分析】先根据对数定义计算集合A，再结合交集定义计算即可．
【解答】解：由函数y=
❑√6−x
ln( x−2)可得，{
x−2＞0
x−2≠1
6−x ≥0)，
解得2＜x≤6 且x≠3，
所以A ={x∈N | y =
❑√6−x
ln( x−2) }={4，5，6}，
又因为B＝{x|﹣1＜x≤6}，
所以A∩B＝{4，5，6}．
故选：A．
【点评】本题主要考查了求函数的定义域，考查了集合的基本运算，属于基础题．
三．求对数型复合函数的定义域（共4 小题）
8．函数y = ❑√lo g1
2
tanx的定义域是（ ）
A．{x| x ≤π
4 +kπ ，k ∈Z }
B．{x|2kπ ＜x ≤π
4 +2kπ ，k ∈Z }
C．{x|kπ ＜x ≤π
4 +kπ ，k ∈Z }
D．{x|2kπ −π
2 ＜x ≤π
4 + kπ ，k ∈Z }
【考点】求对数型复合函数的定义域；正切函数的定义域和值域．
版权所有
【分析】由根式内部的代数式大于等于0 结合正切函数的图象即可得答案．
【解答】解：要使原函数有意义，需lo g1
2
tanx ≥0，即0＜tanx≤1，
解得kπ＜x≤π
4 + kπ，k∈Z．
∴函数y = ❑√lo g1
2
tanx的定义域为{x|kπ ＜x ≤π
4 + kπ ，k ∈Z }．
故选：C．
【点评】本题考查对数函数的定义域及正切函数的定义域和值域，是基础题．
9．已知函数f ( x)= ❑√x + 4+ ln(1−x)，则f（2x）的定义域为（ ）
A．[﹣4，1）
B．[﹣4，1]
C．[−2，1
2 )
D．[﹣8，2）
【考点】求对数型复合函数的定义域．
版权所有
【分析】求出函数f（x）的定义域，再求出复合函数定义域即得．
【解答】解：函数f ( x)= ❑√x + 4+ ln(1−x)中，{
x + 4≥0
1−x＞0)，解得﹣4≤x＜1，即函数f（x）的定义域
为[﹣4，1），
因此在f（2x）中，﹣4≤2x＜1，解得−2≤x＜1
2，
所以f（2x）的定义域为[−2，1
2 )．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．
10．函数f ( x)= ln[2cos( 3 π
2 + x)−1]的定义域为 ( π
6 +2kπ ，5 π
6 +2kπ )(k ∈Z ) ．
【考点】求对数型复合函数的定义域．
版权所有
【分析】根据对数函数的定义域，结合三角函数的诱导公式以及单调性，可得答案．
【解答】解：由题意可知，2cos( 3 π
2 + x)−1＞0，
化简可得sinx＞1
2，解得x∈( π
6 +2kπ ，5 π
6 +2kπ )(k ∈Z )．
故答案为：( π
6 +2kπ ，5 π
6 +2kπ )(k ∈Z )．
【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．
11 ．已知函数f ( x)=lo g2[a x
2+(a−2)x + 3
4 ]．若定义域为R ，则实数a 的取值范围为
( 7−❑√33
2
，7+ ❑√33
2
) ．
【考点】求对数型复合函数的定义域．
版权所有
【分析】由题意，a x
2+(a−2)x + 3
4 ＞0恒成立．结合二次函数的图象与性质分别讨论a＝0、a＞0 和
a＜0 情况下即可．
【解答】解：函数f ( x)=lo g2[a x
2+(a−2)x + 3
4 ]定义域为R，
则a x
2+(a−2)x + 3
4 ＞0恒成立．
当a＝0 时，−2 x + 3
4 ＞0不恒成立；
当a＞0 时，由Δ=(a−2)
2−4×a× 3
4 ＜0，
解得a∈( 7−❑√33
2
，7+ ❑√33
2
)，此时f（x）的定义域为R；
当a＜0 时，抛物线y =a x
2+(a−2)x + 3
4 的开口向下，函数值不可能恒大于0．
综上，a∈( 7−❑√33
2
，7+ ❑√33
2
)．
故答案为：( 7−❑√33
2
，7+ ❑√33
2
)．
【点评】本题主要考查对数型复合函数的定义域，属于中档题．
四．求对数函数的值域（共5 小题）
12．已知函数f ( x)={
(a−1)x +5−3a，x＜2，
lo g2 x，x ≥2
)的值域为R，则实数a 的取值范围为（ ）
A．（2，3]
B．（1，2]
C．（1，3]
D．[2，+∞）
【考点】求对数函数的值域．
版权所有
【分析】先求解y＝log2x，x≥2 的值域，结合f（x）的值域为R，分析y＝（a﹣1）x+5﹣3a，x＜2 的单
调性、值域，可得关于a 的不等式组，求解即可．
【解答】解：∵函数y＝log2x，x≥2 在[2，+∞）上单调递增，
∴y≥log22＝1，
又∵f（x）的值域为R，
则y＝（a﹣1）x+5﹣3a，x＜2 需满足，
{
a−1＞0
(a−1)×2+5−3a≥1)，解得1＜a≤2．
故选：B．
【点评】本题考查分段函数值域的求法，考查化归与转化思想，是中档题．
13．“函数f（x）＝ln（x2﹣2ax+2）的值域为R”的一个充分不必要条件是（ ）
A．[−❑√2，❑√2]
B．(0，❑√2]
C．(−∞，❑√2]∪[ ❑√2，+∞)
D．[ ❑√2，+∞)
【考点】求对数函数的值域；充分不必要条件的判断．
版权所有
【分析】根据已知条件，结合二次函数的判别式，即可求解．
【解答】解：因为函数f（x）＝ln（x2﹣2ax+2）的值域为R，
所以在方程x2﹣2ax+2＝0 中，Δ≥0，即4a2﹣8≥0，解得a≥❑√2或a≤−❑√2，
从而[ ❑√2，+∞)是“函数f（x）＝ln（x2﹣2ax+2）的值域为R”的充分不必要条件．
故选：D．
【点评】本题主要考查对数函数值域的应用，属于基础题．
14．已知函数f（x）＝log2x 的值域是[1，2]，则函数ϕ（x）＝f（2x）+f（x2）的定义域为（ ）
A．[❑√2，2]
B．[2，4]
C．[4，8]
D．[1，2]
【考点】求对数函数的值域．
版权所有
【分析】根据f（x）的值域为[1，2]即可求出f（x）的定义域为[2，4]，从而得出φ（x）需满足：
{
2≤2 x ≤4
2≤x
2≤4)，解出x 的范围即可．
【解答】解：∵f（x）的值域为[1，2]；
∴1≤log2x≤2；
∴2≤x≤4；
∴f（x）的定义域为[2，4]；
∴φ（x）＝f（2x）+f（x2）满足：{
2≤2 x ≤4
2≤x
2≤4)；
解得❑√2≤x ≤2；
∴φ（x）的定义域为：[ ❑√2，2]．
故选：A．
【点评】考查函数定义域、值域的概念及求法，对数函数的单调性，已知f（x）定义域求f[g（x）]定义
域的方法．
15．已知函数f（x）＝logm（x﹣m）+logm（x﹣2m）（m＞0 且m≠1）．
（1）若m= 1
2，求不等式f（x）⩽1 的解集；
（2）若1
2 ⩽m＜1，是否存在α ，β ∈( 5
2 m，+∞)，使得f（x）在区间[α，β]上的值域是[logmβ，
logmα]，若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．
【考点】求对数函数的值域．
版权所有
【分析】（1）利用函数单调性解不等式；
（2）利用换元法求值域，确定实数m 的范围．
【解答】解：（1）当m= 1
2时，f（x）＜log23，可化为log1
2（x−1
2）+log1
2（x﹣1）⩽1，
则{
x−1
2 ＞0
x−1＞0
lo g1
2
( x−1
2 )( x−1)≤lo g1
2
1
2)
，即{
x＞1
( x−1
2 )( x−1)≥1
2)
，解得x≥3
2，
综上，此不等式的解集是[3
2，+∞）；
（2）若1
2 ≤m＜1，当x∈（5
2 m，+∞）时，
f（x）＝logm（x﹣m）+logm（x﹣2m）＝logm（x﹣m）（x﹣2m）＝logm[（x−3
2m）2−m
2
4
]（m＞0 且
m≠1）．
令u＝（x−3
2m）2−m
2
4 ，在x∈（5
2 m，+∞）上递增，u∈（3
4 m
2，+∞），f（u）＝logmu 递减，
则x∈（5
2 m，+∞），f（x）递减，由题意可知f（x）在[α，β]上递减，
则有{
f (α )=lo gmα
f ( β)=lo gm β)，即f（x）＝logmx 在（5
2 m，+∞）上有两个不同的根，
即x2﹣（3m+1）x+2m2＝0 在（5
2 m，+∞）上有两个不同的根，
令h（x）＝x2﹣（3m+1）x+2m2，x∈（5
2 m，+∞），
则{
Δ=(3m+1)
2−8m
2＞0
3m+1
2
＞5m
2
ℎ( 5m
2 )＞0 )
，解得1
3 ＜m＜1
2与1
2 ≤m＜1矛盾，
所以不存在这样的实数m．
【点评】本题考查对数的运算性质，函数与方程的关系，属于中档题．
16．已知函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）．
（1）若函数f（x）的图象与函数h（x）的图象关于直线y＝x 对称，且点P（2，16）在函数h（x）的
图象上，求实数a 的值；
（2）若a＝2，求函数g( x)= f ( x
2 )f ( x
8 )，x∈[ 1
2 ，8]的值域．
【考点】求对数函数的值域．
版权所有
【分析】（1）由题意得h（x）＝ax，然后将P（2，16）坐标代入函数中可求出实数a 的值；
（2）将函数化简得g( x)=(lo g2 x)
2−4lo g2 x +3，令t＝log2x，则φ（t）＝t2﹣4t+3，然后利用二次函
数的性质可求出其值域．
【解答】解：（1）由题意可知h（x）＝ax，
代入点（2，16），有16＝a2，注意到a＞0，a≠1，解得a＝4，
故实数a 的值为4；
（
2
）
g( x)=lo g2 x
2 ⋅lo g2 x
8 =(lo g2 x−lo g22)(lo g2 x−lo g28)=(lo g2 x−1)(lo g2 x−3)=(lo g2 x)
2−4lo g2 x +3
．
令t＝log2x．
由1
2 ≤x ≤8，有﹣1≤log2x≤3，
二次函数φ（t）＝t2﹣4t+3＝（t﹣2）2﹣1 的对称轴为t＝2，
φ（t）max＝φ（﹣1）＝8，φ（t）min＝φ（2）＝﹣1，
故g（x）的值域为[﹣1，8]．
【点评】本题考查对数函数的性质，属于中档题．
五．求对数型复合函数的值域（共4 小题）
17．已知函数f（x）＝2x+1（x≥2）的值域为[a，+∞），g( x)=lo g3( x
2−8 x +5b)的值域为[2，+∞），
则a﹣b＝（ ）
A．0
B．1
C．3
D．5
【考点】求对数型复合函数的值域；由值域求解函数或参数；指数函数的值域．
版权所有
【分析】结合指数函数及对数函数的性质可求a，b，进而可求．
【解答】解：当x≥2 时，f（x）＝2x+1≥5，
由题意可得a＝5，
因为g( x)=lo g3( x
2−8 x +5b)的值域为[2，+∞），
所以y＝x2﹣8x+5b＝（x﹣4）2+5b﹣16 的值域为[9，+∞），
所以5b﹣16＝9，即b＝5，
则a﹣b＝0．
故选：A．
【点评】本题主要考查了指数函数及对数函数值域的求解，属于基础题．
18．已知函数f ( x)={
lo g2( x
2+2 x +a)，x ≥0
4−( 1
3 )
x
，x＜0 )
的值域是R，则实数a 的最大值是
8
．
【考点】求对数型复合函数的值域．
版权所有
【分析】根据已知条件，可知f（x）在[0，+∞）上的最小值小于或等于3，然后判断其单调性，列出不
等式求出a 的范围．
【解答】解：当x＜0 时，f ( x)= 4−( 1
3 )
x∈(−∞，3)．
因为f（x）的值域为R，所以当x≥0 时，f（x）min≤3．
当x≥0 时，f（x）＝x2+2x+a＝（x+1）2+a﹣1，
故f（x）在[0，+∞）上单调递增，可得[f（x）]min＝f（0）≤3，
即log2a≤3，解得log2a≤log223，可得0＜a≤8，因此a 的最大值为8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查函数的单调性与值域、分段函数的应用等知识，属于基础题．
19．已知函数f（x）＝x﹣alnx（a＞0），记函数y＝f（x），y＝f（f（x））的值域分别为M，N，若
N⫋M，则a 的取值范围是 （
0 ，
1 ）
．
【考点】求对数型复合函数的值域；由值域求解函数或参数．
版权所有
【分析】先对函数求导，结合导数与单调性及最值关系即可求解．
【解答】解：由题意得，f ′( x)=1−a
x = x−a
x
，
当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
故当x＝a 时，f（x）取得极小值，也是最小值f（a）＝a﹣alna，
所以M＝{y|y≥a﹣alna}，
当a﹣alna≤0 时，M＝N，不符合题意，
当a﹣alna＞0，即0＜a＜e 时，
设f（x）＝t，则y＝f（f（x））＝f（t），t≥a﹣alna，
因为N⫋M，所以必有f（a﹣alna）＞f（a），
不可能有a﹣alna≤a，否则M＝N，不符合题意，
∴a﹣alna＞a，解得0＜a＜1，
所以a 的取值范围是（0，1）．
故答案为：（0，1）．
【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值及最值关系的应用，属于中档题．
20．函数y =(2+lo g2 x)⋅lo g2
x
2
64 的值域为
[ −25
2 ，
+ ∞）
．
【考点】求对数型复合函数的值域．
版权所有
【分析】先结合对数运算性质进行化简，然后结合二次函数的性质即可求解．
【解答】解：y =(2+lo g2 x)⋅lo g2 x
2
64 =（2+log2x）（2log2x﹣6）＝2（log2x）2﹣2log2x﹣12，
根据二次函数的性质可知，当log2x= 1
2时，函数取得最小值−25
2 ，没有最大值，
故函数的值域为[−25
2 ，+∞）．
故答案为：[−25
2 ，+∞）．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质及二次函数的性质在函数值域求解中的应用，属于基础题．
六．对数函数图象特征与底数的关系（共7 小题）
21．若2a＝3＝logb9，c =e
ln 2
3，则实数a，b，c 的大小顺序为（ ）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞c＞a
D．b＞a＞c
【考点】对数函数图象特征与底数的关系；指数函数图象特征与底数的关系．
版权所有
【分析】结合指数及对数函数单调性分别判断a，b，c 的范围即可比较a，b，c 的大小．
【解答】解：因为2a＝3＝logb9，c =e
ln 2
3，
所以a＝log23∈（1，2），b=3
2
3 ＞2，c= 2
3，
所以b＞a＞c．
故选：D．
【点评】本题主要考查了指数及对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
22．下列不等式正确的是（ ）
A．log34＜1
B．lo g2
1
3 ＞0
C．log25＞log35
D．2﹣0.6＜0
【考点】对数函数图象特征与底数的关系．
版权所有
【分析】选项AB，根据对数函数性质单调性分析判断；选项C，根据对数函数单调性结合中间值2 分
析判断；选项D，根据指数函数性质分析判断．
【解答】解：对于A，log34＞log33＝1，选项A 错误；
对于B，log21
3 ＜log21＝0，选项B 错误；
对于C，log25＞log24＝2，log35＜log39＝2，
∴log25＞2＞log35，选项C 正确；
对于D，由指数函数性质可知，2﹣0.6＞0，选项D 错误．
故选：C．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的性质与应用问题，是基础题．
23．已知lga+lgb＝0（a＞0，b＞0，且a≠1，b≠1），则函数f（x）＝a﹣x与g（x）＝logbx 的图象可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】对数函数图象特征与底数的关系；指数函数图象特征与底数的关系．
版权所有
【分析】分析可知，1
a =b，再由指数函数及对数函数的性质即可得解．
【解答】解：由lga+lgb＝0 可知，1
a =b，
故f（x）＝a﹣x＝bx，
故函数f（x）＝a﹣x与函数g（x）＝logbx 的单调性相同．
故选：B．
【点评】本题考查对数运算及指数函数，对数函数的图象及性质，属于基础题．
24．若0＜c＜1＜b＜a，则（ ）
A．bc＞ac
B．ca＞cb
C．ca＞logba
D．logac＞logbc
【考点】对数函数图象特征与底数的关系；指数函数图象特征与底数的关系．
版权所有
【分析】根据不等式的基本性质以及指数函数、幂函数和对数函数的性质即可判断．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，0＜c＜1，则函数y＝xc在（0，+∞）上为增函数．
又1＜b＜a，则bc＜ac，故A 错误；
对于B，0＜c＜1，函数y＝cx在（0，+∞）上为减函数．
又1＜b＜a，则ca＜cb，故B 错误；
对于C，0＜c＜1，函数y＝cx在（0，+∞）上为减函数，
1＜a，则ca＜c1＜1．
又由1＜b，则对数函数y＝logbx 在（0，+∞）上为增函数，
又1＜b＜a，则有logba＞logbb＝1，故ca＜logba，故C 错误；
对于D，0＜c＜1，函数y＝logcx 在（0，+∞）上单调递减，
则有logca＜logcb＜logc1＝0，变形可得
1
lo gc a ＞
1
lo gcb ，即logac＞logbc，故D 正确．
故选：D．
【点评】本题考查指数函数、对数函数的性质和应用，涉及不等式的性质，属于基础题．
25．已知2a+a＝0，log2b+b＝0，则（ ）
A．a＜1＜b
B．1＜a＜b
C．b＜a＜1
D．a＜b＜1
【考点】对数函数图象特征与底数的关系．
版权所有
【分析】分别根据指数函数，对数函数的单调性，结合零点存在定理判断零点所在区间进而得出判断．
【解答】解：由已知可得a 为函数f（x）＝2x+x 的零点，b 为函数h（x）＝log2x+x 的零点，
因为函数f（x）＝2x+x 在R 上单调递增，
f (−1)=−1
2 ＜0，f（0）＝1＞0，所以f（x）的零点a∈（﹣1，0），
因为h（x）＝log2x+x 在（0，+∞）上单调递增，
ℎ( 1
2 )=−1+ 1
2 ＜0，h（1）＝1＞0，
所以h（x）的零点b∈( 1
2 ，1)，则a＜b＜1．
故选：D．
【点评】本题考查指对数函数的单调性，零点存在定理，属于中等题．
26．已知0.3m＝2n＝0.4，则（ ）
A．mn＜m+n＜0
B．m+n＜mn＜0
C．m+n＜0＜mn
D．0＜mn＜m+n
【考点】对数函数图象特征与底数的关系；对数值大小的比较．
版权所有
【分析】根据对数函数的单调性可得0＜m＜1，n＜0，利用对数的运算性质可得0＜1
m + 1
n ＜1，由此
可确定答案．
【解答】解：根据题意得，m＝log0.30.4，n＝log20.4，
因为函数y＝log0.3x 在（0，+∞）为减函数，
所以0＝log0.31＜log0.30.4＜log0.30.3＝1，所以0＜m＜1，
因为函数y＝log2x 在（0，+∞）为增函数，
所以log20.4＜log21＝0，所以n＜0，所以mn＜0，
1
m + 1
n =
1
lo g0.30.4 +
1
lo g20.4 =lo g0.40.3+lo g0.42=lo g0.40.6，
因为函数y＝log0.4x 在（0，+∞）为减函数，
所以log0.41＜log0.40.6＜log0.40.4，
所以0＜1
m + 1
n ＜1，
因为1
m + 1
n = m+n
mn ，所以0＜m+n
mn ＜1，
由mn＜0 得，m+n＜0，由m+n
mn ＜1得，m+n＞mn，
综上得，mn＜m+n＜0．
故选：A．
【点评】本题考查对数函数的性质，对数比较大小，属于中等题．
27．某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质3H 含量非常高，它可以进入生物体已知A
（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝lnx 的图象上两个不同的点，则（ ）
A．e
y1+ y2
2 ＞❑√x1 x2
B．e
x1+ x2
2 ＞x1+ x2
2
C．e
y1+ y2
2 ＜❑√x1 x2
D．e
y1+ y2
2 ＜x1+ x2
2
【考点】对数函数图象特征与底数的关系；运用基本不等式比较大小．
版权所有
【分析】由题意可知y1＝lnx1，y2＝lnx2，则y1+ y2
2
= ln ❑√x1 x2，所以e
y1+ y2
2
=e
ln(❑√x1 x2)= ❑√x1 x2，再结合
基本不等式判断即可．
【解答】解：根据题意，A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝lnx 的图象上两个不同的点，
则y1＝lnx1，y2＝lnx2，
所以y1+ y2
2
= ln x1+ ln x2
2
= 1
2 ln( x1 x2)= ln ❑√x1 x2，
则e
y1+ y2
2
=e
ln(❑√x1 x2)= ❑√x1 x2，故A，C 错误；
又由x1≠x2，则❑√x1 x2＜x1+ x2
2
，
故有e
y1+ y2
2 ＜x1+ x2
2
，故B 错误，D 正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了对数函数的性质，属于中档题．
七．对数函数及对数型复合函数的图象（共7 小题）
28．函数f ( x)= 1−4
x
1+ 4
x ln| x|的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】对数函数及对数型复合函数的图象．
版权所有
【分析】由解析式判断出函数的奇偶性，再代入特殊点逐一排除即可．
【解答】解：由函数f ( x)= 1−4
x
1+ 4
x ln| x|，可知定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且定义域关于原
点对称．
因为f (−x)= 1−4
−x
1+ 4
−x ln|−x|= 4
x−1
4
x+1
ln| x|=−f ( x)，
所以函数f ( x)= 1−4
x
1+ 4
x ln| x|为奇函数，故排除选项B；
因为f (1)= 1−4
1+ 4 ln|1|=0，故排除选项A；
因为f ( 1
2 )= 1−2
1+2 ln 1
2 = 1
3 ln 2＞0，故排除选项D．
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象，函数的奇偶性，属中档题．
29．已知函数f（x）＝log3|ax﹣1|（a≠0）的图象关于直线x＝2 对称，则a＝（ ）
A．2
B．1
C．1
3
D．1
2
【考点】对数函数及对数型复合函数的图象．
版权所有
【分析】根据给定条件，利用图象变换，结合偶函数的性质求出a 值．
【解答】解：因为log3|a（﹣x）|＝log3|ax|，所以函数y＝log3|ax|是偶函数，其图象关于直线x＝0 对称，
函数f ( x)=lo g3|a( x−1
a )|的图象可看作函数y＝log3|ax|的图象向左（a＜0）或向右（a＞0）平移
1
|a| 个单位而得，
因此函数f（x）＝log3|ax﹣1|的图象对称轴为x = 1
a，所以1
a =2，即a= 1
2．
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性与对称性，属于中档题．
30．已知实数m＞0 且m≠1，函数y＝logm（x+n）的大致图象如下，则m，n 的取值范围可能为（ ）
A．m＞1，n＞1
B．m＞1，0＜n＜1
C．0＜m＜1，n＞1
D．0＜m＜1，0＜n＜1
【考点】对数函数及对数型复合函数的图象．
版权所有
【分析】利用对数函数的图象与性质分析判断即可．
【解答】解：由y＝logm（x+n）的图象可得0＜m＜1，
又当x＝0 时，logmn＜0，
故n＞1．
故选：C．
【点评】本题考查对数函数的图象与性质，属于基础题．
31．已知函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能为（ ）
A．f ( x)= e
x−e
−x
x
B．f ( x)=sin 2 x⋅ln x
2+1
x
2
C．f ( x)= e
x+e
−x
x
D．f ( x)=cos2 x⋅ln x
2+1
x
2
【考点】对数函数及对数型复合函数的图象；余弦函数的对称性．
版权所有
【分析】根据题意，由函数的图象分析f（x）的性质，由此分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，由函数的图象，f（x）的定义域为{x|x≠0}，其图象关于原点对称，
在区间（0，+∞）上，函数图象与x 轴存在交点，
由此分析选项：
对于A，f（x）= e
x−e
−x
x
，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）= e
−x−e
x
−x
= e
x−e
−x
x
=f（x），f（x）为偶
函数，不符合题意；
对于B，f（x）＝sin2x•ln x
2+1
x
2
，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝sin（﹣2x）•ln x
2+1
x
2
=−sin2x•ln
x
2+1
x
2
=−f（x），f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，
当x＝kπ+ π
2 时（k∈Z），sin2x＝0，f（x）＝0，函数图象与x 轴存在交点，符合题意；
对于C，f（x）= e
x+e
−x
x
，当x＞0 时，ex+e﹣x＞0，x＞0，必有f（x）＞0 恒成立，该函数图象在区间
（0，+∞）上与x 轴不存在交点，不符合题意；
对于D，f（x）＝cos2x•ln x
2+1
x
2
，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝cos（﹣2x）•ln x
2+1
x
2
=cos2x•ln
x
2+1
x
2
=f（x），f（x）为偶函数，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性和函数值的分析，属于基础题．
（多选）32．已知函数f ( x)=lo g2(4
x+1)+ kx(k ∈R)为偶函数，g( x)=lo g2(a⋅2
x−4
3 a)，其中a＞
0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，则（ ）
A．k＝﹣1
B．a＝1
C．a＞1
D．a∈（0，1）∪（3，+∞）
【考点】对数函数及对数型复合函数的图象．
版权所有
【分析】由偶函数的性质f （﹣x ）＝f （x ）即可求出k ＝﹣1 ；令2x ＝t ，题目等价于
(a−1)t
2−4
3 at −1=0在( 4
3 ，+ ∞)上只有一解，讨论a＝1，0＜a＜1 和a＞1 三种情况讨论求解．
【解答】解：∵f（x）是偶函数，
∴f (−x)=lo g2(4
−x+1)−kx = f ( x)对任意x∈R 恒成立，
即lo g2(4
x+1)−2 x−kx =lo g2(4
x+1)+kx恒成立，
∴k＝﹣1．
∵a⋅2
x−4
3 a＞0，a＞0，∴2
x＞4
3 ，
令t＝2x，由f（x）＝g（x）可得lo g2( 4
x+1
2
x
)=lo g2(a⋅2
x−4
3 a)⇒2
x+ 1
2
x =a⋅2
x−4
3 a，
问题等价于关于t 的方程(a−1)t
2−4
3 at −1=0（*）在( 4
3 ，+∞)上只有一解，
①当a＝1 时，解得t =−3
4 ∉( 4
3 ，+∞)，不合题意；
②当0＜a＜1 时，记ℎ(t )=(a−1)t
2−4
3 at −1，对称轴t =
2a
3(a−1) ＜0，
∴函数ℎ(t )=(a−1)t
2−4
3 at −1在（0，+∞）上递减而h（0）＝﹣1，
∴方程（*）在( 4
3 ，+ ∞)无解．
③当a＞1 时，记ℎ(t )=(a−1)t
2−4
3 at −1，对称轴t =
2a
3(a−1) ＞0，
只需ℎ( 4
3 )＜0，即16
9 (a−1)−16
9 a−1＜0，此时方程（*）恒成立，
∴a＞1，
综上所述，a＞1．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的应用，还考查了由函数零点求解参数范围，属于中档题．
（多选）33．已知函数f（x）＝|ln（2+x）|﹣|ln（2﹣x）|，则下列判断正确的是（ ）
A．函数y＝f（x）是奇函数
B．函数y＝f（x）的最大值是ln3
C．函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1 对称
D．函数y＝f（x）的图象与直线y＝﹣x 有三个交点
【考点】对数函数及对数型复合函数的图象；函数的图象与图象的变换．
版权所有
【分析】选项A，根据奇函数的定义可判断；选项B，根据由函数y＝f（x）是奇函数，考虑x∈（0，
2）时，由ln（2﹣x）的正负分为x∈（0，1）和x∈[1，2）分别求函数的值域即可；选项C 由函数的定
义域可判断；选项D 结合函数的奇偶性和单调性画出图象即可判断．
【解答】解：对于选项A，由{
2+ x＞0
2−x＞0)，解得﹣2＜x＜2，
所以函数的定义域为（﹣2，2），关于原点对称，
又f（﹣x）＝|ln（2﹣x）|﹣|ln（2+x）|＝﹣f（x），
所以函数y＝f（x）是奇函数，故A 正确；
对于选项B，由于函数y＝f（x）是奇函数，先考虑x∈（0，2），
当x∈（0，1）时，f ( x)= ln(2+ x)−ln(2−x)= ln 2+ x
2−x = ln(−1+
4
2−x )，
此时函数在区间（0，1）上单调递增，
因x∈（0，1），故
4
2−x ∈(2，4)，ln(−1+
4
2−x )∈(0，ln3)，
当x∈[1，2）时，f（x）＝ln（2+x）+ln（2﹣x）＝ln（4﹣x2），
此时函数在区间[1，2）上单调递减，
因x∈[1，2）时，4﹣x2∈（0，3]，ln（4﹣x2）∈（﹣∞，ln3]，
故x∈（0，2）时，f（x）∈（﹣∞，ln3]，
由奇函数的性质，当x∈（﹣2，0）时，f（x）∈[﹣ln3，+∞），
所以f（x）不存在最大值，故B 错误；
对于选项CD，因为当x→﹣2 时，f（x）→+∞，当x→2 时，f（x）→﹣∞，结合B 选项，画出f（x）
的图象，如图所示：
所以函数y＝f（x）的图象不关于直线x＝1 对称，故C 错误；
函数f（x）的图象与直线y＝﹣x 有三个交点，故D 正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查了对数函数的图象和性质，考查了函数的奇偶性和对称性，属于中档题．
34．已知两条水平直线l1：y＝a 和l2：y = 16
a+1 (a∈(0，7
2 ))，l1与函数y＝|lnx|的图形从左到右相交于
A，B 两点；l2与函数y＝|lnx|的图形从左到右相交于C，D 两点．记AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别
为m，n．当a 变化时，n
m的最小值为
e 7
．
【考点】对数函数及对数型复合函数的图象；运用基本不等式求最值．
版权所有
【分析】由题意设A，B，C，D 各点的横坐标分别为xA，xB，xC，xD依题意可求得为xA，xB，xC，xD的
值，m＝|xA﹣xC|，n＝|xB﹣xD|，最后利用基本不等式可求最小值．
【解答】解：根据题意得：由a＝|lnx|得x A =e
−a，xB=e
a，
由16
a+1 =|lnx |得xC =e
−16
a+1，xD=e
16
a+1，
所以m=| x A−xC|=|e
−a−e
−16
a+1 |，b=| xB−xD|=|e
a−e
16
a+1 |，
即n
m =|e
a−e
16
a+1 |
|e
−a−e
−16
a+1 |
=e
a×e
16
a+1 =e
( 16
a+1 +a)
，
因为a∈(0，7
2 )，所以16
a+1 +a= 16
a+1 +a+1−1≥2❑√
16
a+1 ×(a+1)−1=7，
当且仅当16
a+1 =a+1时，即a＝3 时取等号，所以n
m的最小值为e7．
故答案为：e7．
【点评】本题主要考查了对数函数图象的应用，属于中档题．
八．求对数函数及对数型复合函数的单调性（共7 小题）
35．已知f ( x)=lo g2(1+ 4
−x)+ x，则满足f（2m﹣3）＜f（m）的实数m 的取值范围为（ ）
A．（1，3）
B．( 3
2 ，3)
C．（﹣∞，3）
D．（3，+∞）
【考点】求对数函数及对数型复合函数的单调性．
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【分析】由函数解析式明确定义域，判其奇偶性，整理函数解析式，根据指数函数、对勾函数以及复合
函数的单调性，可得函数的单调性，简化不等式，可得答案．
【解答】解：由f ( x)=lo g2(1+ 4
−x)+ x，定义域为R，
由f (−x)−f ( x)=lo g2(1+ 4
x)−x −lo g2(1+ 4
−x)−x
=lo g2
1+ 4
x
1+ 4
−x −2 x =lo g24
x−2 x =2 x−2 x =0，则函数f（x）为偶函数，
f ( x)=lo g2(1+ 4
−x)+ x =lo g2(1+2
−2 x)+lo g22
x =lo g2(2
x+2
−x)，
由y＝2x在R 上单调递增，y = x + 1
x 在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
则y =2
x+ 1
2
x 在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
即函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减，
由f（2m﹣3）＜f（m），则|2m﹣3|＜|m|，即（2m﹣3）2＜m2，
解得1＜m＜3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的综合应用，属于中档题．
36．若1
3
m −1
3
n ＜log5m−log5n，则（ ）
A．ln（m﹣n+1）＞0
B．ln（n﹣m+1）＞0
C．
1
m−1 ＜
1
n−1
D．
1
m−1 ＞
1
n−1
【考点】求对数函数及对数型复合函数的单调性．
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【分析】由题意，构造函数，根据函数的单调性判断m＞n＞0，再判断选项中的命题是否正确即可．
【解答】解：由1
3
m −1
3
n ＜log5m﹣log5n，得1
3
m −log5m＜1
3
n −log5n，
设f（x）= 1
3
x −log5x，x＞0；由y= 1
3
x 单调递减，y＝log5x 单调递增，则f（x）单调递减；
所以m＞n＞0，所以m﹣n＞0，m﹣n+1＞1，所以ln（m﹣n+1）＞0，选项A 正确．
选项B，n﹣m＜0，n﹣m+1＜1，所以ln（n﹣m+1）＜0，选项B 错误；
选项CD，不能确定m﹣1 与n﹣1 是否大于0，选项CD 不能确定大小．
故选：A．
【点评】本题考查了函数与不等式的应用问题，是基础题．
37．已知函数f（x）＝ln|x+1|﹣ln|x﹣1|，则f（x）（ ）
A．是偶函数，且在区间（1，+∞）上单调递增
B．是奇函数，且在区间（﹣1，1）上单调递减
C．是偶函数，且在区间（﹣∞，﹣1）上单调递增
D．是奇函数，且在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减
【考点】求对数函数及对数型复合函数的单调性；奇函数偶函数的判断．
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【分析】根据函数的奇偶性和单调性求得正确答案．
【解答】解：由题意知，f（x）的定义域为{x|x≠±1}，
且f（﹣x）＝ln|﹣x+1|﹣ln|﹣x﹣1|＝ln|x﹣1|﹣ln|x+1|＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数，选项A、C 错误．
当﹣1＜x＜1 时，f（x）＝ln（x+1）﹣ln（1﹣x）＝ln x +1
1−x =ln2−(1−x)
1−x
=ln（
2
1−x −1），
y=
2
1−x −1 在（﹣1，1）上单调递增，y＝lnx 在（0，+∞）上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知f（x）在区间（﹣1，1）单调递增，选项B 错误．
当x＞1 时，f（x）＝ln（x+1）﹣ln（x﹣1）＝ln x +1
x−1 =ln x−1+2
x−1
=ln（1+
2
x−1），
y＝1+
2
x−1在（1，+∞）上单调递减，y＝lnx 在（0，+∞）上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知f（x）在区间（1，+∞）单调递减，
f（x）是奇函数，则在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减，选项D 正确．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性判断问题，是基础题．
38．已知函数f ( x)=lo g2(4
x+1)−x−1，则f（2x﹣1）＜f（x﹣3）的解集为（ ）
A．(−2，4
3 )
B．(−4
3 ，+∞)
C．(−∞，−2)∪( 4
3 ，+∞)
D．(−∞，−2)∪(−4
3 ，+∞)
【考点】求对数函数及对数型复合函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．
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【分析】根据对数的运算性质，可得f ( x)=lo g2(2
x+ 1
2
x )−1，再根据奇偶性的定义可判断f（x）为偶
函数，根据对勾函数的单调性以及复合函数单调性原则可得f（x）的单调性，即可求解．
【
解
答
】
解
：
f ( x)=lo g2(4
x+1)−x−1=lo g2(4
x+1)−lo g22
x−1=lo g2( 4
x+1
2
x
)−1=lo g2(2
x+ 1
2
x )−1，
函数的定义域为R，且满足f (−x)=lo g2(2
−x+ 1
2
−x )−1=lo g2(2
x+ 1
2
x )−1= f ( x)，
则f（x）为偶函数，
当x＞0 时，2x＞1，则y =2
x+ 1
2
x 在（0，+∞）单调递增，因此f（x）在（0，+∞）单调递增，
由f（2x﹣1）＜f（x﹣3）⇔f（|2x﹣1|）＜f（|x﹣3|），可得|2x﹣1|＜|x﹣3|，解得−2＜x＜4
3 ，
即f（2x﹣1）＜f（x﹣3）的解集为（﹣2，4
3 ）．
故选：A．
【点评】本题考查对数型复合函数的性质及应用，考查化归与转化思想，是中档题．
39．若函数f（x）＝logax+loga+1x 是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A．(0，
❑√5−1
2
)
B．(
❑√5−1
2
，1)
C．[ 1
2 ，1)
D．(0，1
2 ]
【考点】求对数函数及对数型复合函数的单调性．
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【分析】根据f′（x）≤0 可得ln(a
2+a)
lna
≤0，利用{
ln(a
2+a)≥0
lna＜0 )求出a 的取值范围验证取舍可得结
果．
【解答】解：由题意得，函数f（x）定义域为（0，+∞），
因为f（x）＝logax+loga+1x，
所以f′（x）=
1
xlna +
1
xln(a+1) = ln(a+1)+lna
xlna⋅ln(a+1) =
ln(a
2+a)
xlna⋅ln(a+1) ≤0，
又因为a＞0 且a≠1，所以ln（a+1）＞0，所以ln(a
2+a)
lna
≤0，
又因为a2+a＞a，所以{
ln(a
2+a)≥0
lna＜0 )，解得−1+ ❑√5
2
≤a＜1，
当a= −1+ ❑√5
2
时，a2+a＝1，f′（x）=
ln(a
2+a)
xlna⋅ln(a+1) =0，不合题意，
所以a 的取值范围是（
❑√5−1
2
，1）．
故选：B．
【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性问题，是中档题．
40．已知函数y =lo g1
2
( x
2−2ax +5a)在[2，+∞）上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2]
B．[2，+∞）
C．（﹣4，2]
D．[﹣1，2]
【考点】求对数函数及对数型复合函数的单调性．
版权所有
【分析】根据对数复合函数的对称性进行求解即可．
【解答】解：令f（x）＝x2﹣2ax+5a，对称轴为x＝a，
因为函数y =lo g1
2
x是正实数集上的减函数，
所以要想函数y =lo g1
2
( x
2−2ax +5a)在[2，+∞）上为减函数，
只需函数f（x）＝x2﹣2ax+5a 在[2，+∞）上为增函数，且f（x）＞0 在[2，+∞）上恒成立，
所以a≤2，且f（2）＝4+a＞0，
解得﹣4＜a≤2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了复合函数单调性的应用，属于基础题．
41．已知函数f（x）＝loga（ax﹣1）（a＞0，a≠1）在[2，+∞）上单调递减，则实数a 的取值范围为（
）
A．( 1
2 ，1)
B．（0，1）
C．( 1
2 ，+∞)
D．（1，+∞）
【考点】求对数函数及对数型复合函数的单调性．
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【分析】令g（x）＝ax﹣1，得到g（x）为单调递增函数，根据对数函数的性质，以及复合函数的单调
性的判定方法，列出不等式{
0＜a＜1
2a−1＞0)，求得a 的取值范围，即可得到答案．
【解答】解：根据a＞0 知ax﹣1 是增函数，
又f（x）在[2，+∞）上是减函数，
∴{
0＜a＜1
2a−1＞0)，解得1
2 ＜a＜1，
∴a 的取值范围为：( 1
2 ，1)．
故选：A．
【点评】本题考查了对数函数和一次函数的单调性，复合函数的单调性，是基础题．
九．求对数函数及对数型复合函数的最值（共2 小题）
42．已知函数f（x）＝log2（x2﹣2ax）在[2，4]上的最小值是1，则a＝ 1
2 ．
【考点】求对数函数及对数型复合函数的最值．
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【分析】由已知结合对数函数，二次函数的性质及复合函数的单调性对a 的范围进行分类讨论即可求解．
【解答】解：若a≤0，则f（x）的定义域为（﹣∞，2a）∪（0，+∞），
f（x）在（﹣∞，2a）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
若a＞0，则f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（2a，+∞），
由题意可得[2，4]⊂（2a，+∞），f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（2a，+∞）上单调递增．
综上，f（x）在[2，4]上单调递增，f（x）min＝f（2）＝1，即log2（4﹣4a）＝1，解得a= 1
2．
故答案为：1
2．
【点评】本题考查函数，考查数学运算、逻辑推理的核心素养．
43．已知函数f ( x)=lo g3(9
x+1)+ax是偶函数．
（1）求实数a 的值；
（2）若函数g（x）＝9x+9﹣x+m•3f（x）的最小值为﹣3，求实数m 的值．
【考点】求对数函数及对数型复合函数的最值；函数的最值；奇函数偶函数的性质．
版权所有
【分析】（1）根据偶函数的定义，建立方程，结合对数的运算公式，可得答案；
（2）代入（1）所得函数解析式，利用配方法与换元法构造函数，根据二次函数的性质，可得答案．
【解答】解：（1）f ( x)=lo g3(9
x+1)+ax是偶函数．
则f（﹣x）＝f（x），即lo g3(9
−x+1)−ax =lo g3(9
x+1)+ax，
所以2ax +lo g3(9
x+1)−lo g3(9
−x+1)=0，
因为lo g3(9
x+1)−lo g3(9
−x+1)=lo g3 9
x+1
9
−x+1
=lo g3
(9
x+1)⋅9
x
(9
−x+1)⋅9
x
=lo g3
(9
x+1)⋅9
x
9
x+1
=lo g39
x =2 x，
所以2ax+2x＝0，解得a＝﹣1．
（2）由（1）得f ( x)=lo g3(9
x+1)−x，
所以3
f ( x)=3
lo g3(9
x+1)−x = 9
x+1
3
x
=3
x+3
−x，
令3x+3﹣x＝t≥2，当且仅当x＝0 时取等号，
9x+9﹣x＝32x+2+3﹣2x﹣2＝（3x+3﹣x）2﹣2，
故h（t）＝t2+mt﹣2（t≥2）的最小值为﹣3，
等价于{
−m
2 ≤2
ℎ(2)=2m+2=−3)
，或{
−1
2 m＞2
ℎ(−1
2 m)=−2−m
2
4 =−3)
，
解得：m=−5
2，
综上：m=−5
2．
【点评】本题主要考查了对数运算性质，函数奇偶性的综合应用，属于中档题．
十．对数值大小的比较（共5 小题）
44．设a＝30.1，b＝sin3，c＝log0.13，则（ ）
A．c＞b＞a
B．a＞b＞c
C．b＞a＞c
D．a＞c＞b
【考点】对数值大小的比较．
版权所有
【分析】结合指数函数、对数函数的单调性，以及三角函数的有界性，即可求解．
【解答】解：a＝30.1＞30＝1，
0＜b＝sin3＜1，
c＝log0.13＜log0.11＝0，
综上所述，a＞b＞c．
故选：B．
【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
45．若a= ln(sin 1
9 )，b＝﹣ln9，c＝ln（﹣ln0.9），则（ ）
A．c＜a＜b
B．c＜b＜a
C．a＜b＜c
D．a＜c＜b
【考点】对数值大小的比较．
版权所有
【分析】先由对数的运算法则把a，b，c 转化成同底的对数，再构造函数，利用导数判断单调性，进而
a，b，c 的真数的大小关系，最后利用y＝lnx 的单调性判断a，b，c 的大小．
【解答】解：由对数的运算法则得b＝﹣ln9＝ln1
9，c＝ln（﹣ln0.9）＝ln（ln10
9 ），
令函数f（x）＝sinx﹣x，则f′（x）＝cosx﹣1≤0，即函数f（x）在R 是单调递减，
∴sin1
9 ＜1
9，
令函数g（x）＝sinx﹣ln（x+1），x∈（0，π
6 ），则g′( x)=cosx −
1
x +1，
令函数h（x）＝cosx−
1
x +1，x∈（0，π
6 ），则h′（x）＝﹣sinx+
1
( x +1)
2，
∵h′（x）在（0，π
6 ）上单调递减，且h′（0）＝1＞0，h′（π
6 ）=−1
2 +
1
( π
6 +1)
2 ＜0
，
∴∃x0∈（0，π
6 ），h′（x0）＝0，∴h（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，π
6 ）单调递减，
∵h（0）＝0，h（π
6 ）=
❑√3
2 −
1
π
6 +1
=
❑√3
2 −
6
π +6 ＞0，
∴h（x）＞0 在（0，π
6 ）恒成立，
∴g′（x）＞0，即g（x）在（0，π
6 ）上单调递增，
∴g（x）＞g（0）＝0，则sinx＞ln（x+1），
当x= 1
9时，sin1
9 ＞ln（1
9 +1）＝ln10
9 ，
∵y＝lnx 在（0，+∞）上单调递增，∴ln 10
9 ＞1，
∴ln（ln10
9 ）＜ln（sin1
9）＜ln1
9，∴c＜a＜b．
故选：A．
【点评】本题考查对数的运算法则、函数的单调性、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，
是基础题．
46．若实数x，y，z 满足2+log2x＝3+log3y＝5+log5z，则x，y，z 的大小关系不可能是（ ）
A．x＞y＞z
B．x＞z＞y
C．y＞x＞z
D．y＞z＞x
【考点】对数值大小的比较．
版权所有
【分析】利用特殊值验证法，求解判断即可．
【解答】解：令x＝2，则3＝2+log22＝3+log3y＝5+log5z，
可得y＝1，z= 1
25，
所以x＞y＞z．A 可能正确；
当z＝1 时，y＝9，x＝8，所以y＞x＞z，所以C 可能正确；
z＝125 时，y＝243，此时x＝64，满足y＞z＞x，所以D 可能正确．
故选：B．
【点评】本题考查对数值的大小比较，特殊值方法的应用，是中档题．
47．已知0＜m＜n＜1，x＝lognm，y＝mn，z＝nm，则（ ）
A．x＜y＜z
B．y＜x＜z
C．z＜y＜x
D．y＜z＜x
【考点】对数值大小的比较．
版权所有
【分析】结合指数函数、幂函数、对数函数的单调性，即可求解．
【解答】解：0＜m＜n＜1，
则x＝lognm= lgm
lgn ，
y＝lgx 在（0，+∞）上单调递增，且lgm＜lgn＜0，
则x＞1，
z＝nm＞nn＞mn＝y，
综上所述，y＜z＜x．
故选：D．
【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
48．设a= 5
2，b＝log38，c＝log25，则（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a
【考点】对数值大小的比较．
版权所有
【分析】取中间值2，结合对数函数单调性可比较b，c，将c 化为log425，结合对数函数单调性可比较
a，c．
【解答】解：a= 5
2，
log38＜2＜log25＜log425＜log432= 5
2，
即b＜c＜a．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
十一．指数函数与对数函数的关系（共3 小题）
49．已知x1+2x1＝4，x2+log2x2＝4，则x1+x2的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【考点】指数函数与对数函数的关系．
版权所有
【分析】2x1＝4﹣x1，log2x2＝4﹣x2，从而x1，x2可看成y＝4﹣x 与y＝2x及y＝log2x 的交点的横坐标，
结合互为反函数的函数图象的对称性即可求解．
【解答】解：因为x1+2x1＝4，x2+log2x2＝4，
所以2x1＝4﹣x1，log2x2＝4﹣x2，
所以x1，x2可看成y＝4﹣x 与y＝2x及y＝log2x 的交点的横坐标，
因为y＝2x与y＝log2x 的图象关于y＝x 对称，且y＝x 与y＝4﹣x 的交点为（2，2），
则x1+x2＝4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数的对称性在函数值求解中的应用，属于基础题．
50．已知直线y＝﹣x+2 分别与函数y＝ex和y＝lnx 的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论
错误的是（ ）
A．x1+x2＝2
B．e
x1+e
x2＞2e
C．x1lnx2+x2lnx1＞0
D．x1 x2＜
❑√e
2
【考点】指数函数与对数函数的关系．
版权所有
【分析】画出直线y＝﹣x+2 与函数y＝ex和y＝lnx 的图象，根据y＝ex与y＝lnx 互为反函数，图象关于
y＝x 对称；直线y＝﹣x+2 的图象也关于y＝x 对称，得出交点A，B 关于y＝x 对称，由此判断选项中的
命题是否正确即可．
【解答】解：画出直线y＝﹣x+2 与函数y＝ex和y＝lnx 的图象，如图所示：
因为y＝ex与y＝lnx 互为反函数，图象关于y＝x 对称；
直线y＝﹣x+2 的图象也关于y＝x 对称，所以交点A（x1，y1），B（x2，y2）关于y＝x 对称；
所以x1＝y2，x2＝y1，
又A（x1，y1）在直线y＝﹣x+2 上，所以x1+y1＝2，即x1+x2＝2，选项A 正确；
因为e
x1+e
x2＞2❑√e
x1⋅e
x2=2❑√e
x1+ x2=2e，所以选项B 正确；
由{
y =−x +2
y =e
x )，得ex+x﹣2＝0，设f（x）＝ex+x﹣2，则f（x）单调递增，
因为f（0）＝﹣1，f（1
2）= ❑√e−3
2 ＞0，所以f（x）的零点在（0，1
2）上，即0＜x1＜1
2，
由x1+x2＝2 得，1＜x2＜2，x1lnx2+x2lnx1＝x1lnx2﹣x2ln 1
x1
＜x1lnx2﹣x2lnx2＝（x1﹣x2）lnx2＜0，选项C 错
误；
设g（x）＝2﹣x﹣lnx，则g（1）＝1＞0，g（❑√e）＝2−❑√e−1
2 ＜0，所以1＜x2＜❑√e，
又因为x1x2＝x2lnx2，函数y＝xlnx 在（1，e）上单调递增，
所以x1x2＝x2lnx2＜❑√eln❑√e =
❑√e
2 ，选项D 正确．
故选：C．
【点评】本题考查了函数与不等式的应用问题，也考查了推理与运算能力，是难题．
（多选）51．已知直线y＝﹣x+2 分别与函数y＝ex和y＝lnx 的图像交于A（x1，y1），B（x2，y2），则下
列说法正确的是（ ）
A．x1+x2＝2
B．e
x1+e
x2＞2e
C．e
x1+ ln(2 x2)＜2
D．x1﹣lnx1＝lnx2﹣ln（lnx2）
【考点】指数函数与对数函数的关系．
版权所有
【分析】根据互为反函数的性质可得x1＝y2，x2＝y1，从而可判断A；
利用基本不等式可判断B；
依题意可得﹣x1+2＝ex1，﹣x2+2＝lnx2，则e
x1+ ln(2 x2)=2−x1+(ln 2−x2+2)，即可判断C；
根据x1= ln e
x1，由A 知x2＝y1，x1＝y2，x1＝lny1和y2＝lnx2整理替换可判断D．
【解答】解：由函数y＝ex与y＝lnx 互为反函数，可知y＝ex与y＝lnx 的图象关于y＝x 对称，
又y＝﹣x+2 与y＝x 垂直，且由题意可知点A（x1，y1），B（x2，y2）也与y＝x 对称，
可得x1＝y2，x2＝y1，结合点A（x1，y1）在直线 y＝﹣x+2 上，得x1+y1＝2，即x1+x2＝2，故A 正确；
由e
x1+e
x2≥2
❑√e
x1e
x2=2
❑√e
x1+ x2=2e，
因为x1≠x2，则等号不成立，所以e
x1+e
x2＞2e，故B 正确；
因为﹣x1+2=e
x1，﹣x2+2＝lnx2，所以ln（2x2）＝ln2+lnx2＝ln2﹣x2+2，
所以e
x1+ ln(2 x2)=2−x1+(ln 2−x2+2)= 4 + ln 2−( x1+ x2)=2+ ln 2＞2，故C 错误；
因为x1= ln e
x1，且y1=e
x1，所以x1＝lny1，
由A 可知x2＝y1，所以x1＝lnx2，
两边同时减lnx1，得x1﹣lnx1＝lnx2﹣lnx1，
又因为x1＝y2，所以x1﹣lnx1＝lnx2﹣lny2，
由题可知y2＝lnx2，所以x1﹣lnx1＝lnx2﹣ln（lnx2），故D 正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了反函数的图象的对称性，对数的运算性质，是中档题．
十二．对数函数图象与性质的综合应用（共2 小题）
52．若定义在R 上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x，则函数y＝f（x）
﹣log6|x|的零点个数是（ ）
A．6
B．10
C．14
D．18
【考点】对数函数图象与性质的综合应用；函数的零点与方程根的关系．
版权所有
【分析】根据题意，由f（x）的奇偶性和解析式可得当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x，进而分析可得函数
f（x）是周期为2 的周期函数，据此可得f（x）的图象，又由函数y＝f（x）﹣log6|x|的零点的个数等于
函数y＝f（x）的图象与函数y＝log6|x|的图象的交点个数，据此分析函数的图象分析可得答案．
【解答】解：根据题意，当x∈[0，1]时，f（x）＝x，且f（x）为偶函数，
则当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x；
函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为2 的周期函数，
函数y＝f（x）﹣log6|x|的零点的个数等于函数y＝f（x）的图象与函数y＝log6|x|的图象的交点个数，
在同一个坐标系中画出函数y＝f（x）的图象与函数y＝log6|x|的图象（x＞0 的部分），
显然函数y＝f（x）的图象与函数y＝log6|x|的图象在x＞0 时有5 个交点．
故函数y＝f（x）﹣log6|x|的零点个数是10．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中档题．
53．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足关系式m1﹣m2
= 1
2 lg E2
5−1
2 lgE1
5，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）．已知牛郎星的星等是0.75，织女星的
星等是0，则牛郎星与织女星的亮度的比值为（ ）
A．10
3
10
B．10
−3
10
C．lg 3
10
D．lg 10
3
【考点】对数函数图象与性质的综合应用．
版权所有
【分析】根据题目中给出的星等与亮度的关系代入数据，转换为对数运算．
【解答】解：∵m1−m2= 1
2 lg E2
5−1
2 lg E1
5= 5
2 lg E2
E1
=−0.75（所求为牛郎星的亮度比织女星的亮度，
所以牛郎星为2，织女星为1）．
.∴E2
E1
=10
−3
10．
故选：B．
【点评】本题考查对数函数图象与性质的综合应用与对材料的理解能力，属于中档题．
一、单选题
1．设点A，B 在曲线
上两点，且
中点
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
2．若
且
，则下列不等式成立的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
3．设
，如果
，且
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
4．函数
的图象和函数
的图象的交点个数是（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
5．已知函数
的图象上两点
的横坐标分别为
，又知点
的坐标为
，
则
面积的最值及相应的
值为（ ）
A．当
时，
有最大值
B．当
时，
有最大值
C．当
时，
有最小值
D．当
时，
有最小值
6．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知
，实数b 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
在区间
上是增函数，则
的取值范围是（ ）
课后针对训练
A．
或
B．
或
C．
或
D．
9．若函数
与
图象上存在关于y 轴对称的点，则t 的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．若关于
的不等式
对任意的正实数
恒成立，则
的最小值是（ ）
A．7
B．9
C．10
D．
12．已知函数
是偶函数，函数
的最小值为
，则实数
的值
为（ ）
A．3
B．
C．
D．
二、多选题
13．已知函数
，若
包含于
的值域，则满足条件的实数m 可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
14．已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的图象是轴对称图形
B．
在
上单调递增
C．
的值域为
D．
恰有两个零点
15．已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．不存在实数a，使
的定义域为R
B．
时，函数
为偶函数
C．若函数
在区间
上单调递增，则实数a 的取值范围是
D．函数
一定有最小值
16．函数
为奇函数，函数
（ ）
A．实数的值
的值为2
B．函数
为
上的单调递增函数
C．不等式
的解集为
D．若对
，总
，使得
成立，则实数
的取值范围是
三、填空题
17．已知函数
，若
，则
.
18．设函数
（
且
）在
上是增函数，则实数
的取值范围为
．
19．已知函数
若
各不相同，且
，则
的取
值范围为 ．
20．已知函数
的值域为
，则实数
的值为 .
21．（1）
的单调递增区间为 ，值域为 ；
（2）
的单调递增区间为 ，值域为 ．
22．若函数
的值域是
，则
的取值范围是 ．
四、解答题
23．已知定义在
上的函数
满足当
时，
，当
时，
，求
的解析式.
24．已知函数
的图象关于直线
对称．
(1)求
的值；
(2)若关于
的方程
有解，求
的取值范围．
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
D
C
C
C
B
D
A
A
题号
11
12
13
14
15
16
答案
B
B
AC
ABD
AB
BCD
1．D
【分析】设出点
的坐标，由给定条件列出方程组，求解方程组并求出
.
【详解】由点A，B 在曲线
上两点，设
，
，
则有
，即
，解得
或
，
因此
，所以
.
故选：D
2．C
【分析】取
，
，满足
且
，求出三者的值，比较出大小.
【详解】取
，
，则
，
，
，
故
.
故选：C．
3．D
【分析】作出
图象，结合题意及对数的图象性质即可求解.
【详解】作出
图象，如图，因
，
且
，可得
，则
，
所以
.故D 正确.
故选：D.
4．C
【分析】作出函数
和
的图象，结合图象可得答案.
【详解】作出函数
和函数
的图象，
而
，故当
时，
的图像没有交点，
结合图象可得此时交点个数为2 个.
故选：C.
5．C
【分析】根据已知画出
的图象，并标注出相关点坐标，数形结合求得
，再应用对数复合函数的性质求最值.
【详解】由
图象如下图示，又
的横坐标分别为
所以
，
，则
，而
，
所以
，且
，则
，
令
，在
上单调递减，
又
在定义域上单调递增，故
在
上单调递减，
所以
时，最小
，无最大值.
故选：C
6．C
【分析】根据
的单调性，分别得出
，
，又
，故可以得出大小关系.
【详解】由于
，
所以
，又
，
，所以
．
故选：C.
7．B
【分析】根据换底公式，结合基本不等式可判断
，根据函数的单调性可判断
，进而根据
，结合函数单调性可判断
求解.
【详解】
，
由于
均为单调递增函数，故
单调递增，则
，
因为
，所以
，则
，易知
单调递减，结
合
得
，则
，即
，因此
．
故选：B
8．D
【分析】令
，得对称轴方程为：
，分
和
利用复合函数的单调性求解.
【详解】令
，对称轴方程为：
，
当
时，要使函数
在区间
上是增函数，
得
，解得
，而
，故
，
当
时，要使函数
在区间
上是增函数，
得
，解得
不存在，
综上知，
的取值范围是：
，
故选：D
9．A
【分析】利用对称性，将问题化为函数
和
的图象在y 轴右侧有交点，数形结合确定
参数范围.
【详解】若函数
与
的图象上存在关于y 轴对称的点，
则函数
关于y 轴对称后的图象与
的图象有交点，
即
有正根，即
有正根，
即函数
和
的图象在y 轴右侧有交点，如图所示，
当
时
的定义域为
，且定义域上单调递增，值域为R，
而
在
上单调递减，其值域为
，
所以函数
和
的图象在y 轴右侧必有交点，则
满足；
当
时，当
时，
，且
，
由
，得
，
综上，
，所以实数t 的范围是
.
故选：A
10．A
【分析】根据已知函数值及对数的运算性质求得
，不等式化为
，利用对数
函数的单调性解不等式求解.
【详解】由题意得，
，解得
，
所以
，
所以
，
所以
，即
，
从而
，解得
，
故不等式
的解集为
.
故选：A
11．B
【分析】先判断
的大致范围，再求
之间的关系，最后应用利用“1”的代换及基本不等式求最值.
【详解】令
，因为
，所以
．
若
，则
，此时显然不符合题意．
当
时，令
，得
，令
，得
，
若
，则当
时，
，
，
所以
，所以
不符合题意，故
．
因为
，
当
时，
，所以
，则
，
当
时，
，所以
，则
，
故
，即
．
（另解：
在
处变号，
在
处变号，若
，则
，即
），
所以
，当且仅当
，
时等号成立.
故选：B
【点睛】关键点点睛：根据已知不等式恒成立得到
为关键.
12．B
【分析】由偶函数定义结合对数运算可得
，进而整理可得
，利用换元
法令
，根据题意结合分类讨论解决二次函数的最值问题.
【详解】因为函数
是偶函数，则
，
则
，则
，
所以
，则
，
所以
，
令
，当且仅当
，即
时取等号，则
，
由题意可得
的最小值为
，因
的对称轴为
，
则当
，即
时，
在
上单调递增，当
时取到最小值，
则
，解得：
；
则当
，即
时，，
在
上单调递减，在
上单调递增，当
时
取到最小值，
则
，解得：
（舍去），
综上所述：
，故B 正确.
故选：B.
13．AC
【分析】分析分段函数两部分的值域，确保包含
，分情况列不等式即可求解.
【详解】当
时，
单调递增，所以
；
当
时，
单调递增，
所以
，
因为
包含于
的值域，
所以
或
，解得
或
.
所以满足条件的实数m 可以是
或
.
故选：AC
14．ABD
【分析】先算出函数定义域，然后对函数解析式进行化简，再利用复合函数“同增异减”及二次函数、
对数函数性质分析即可得到答案.
【详解】函数
的定义域为
，故
的图象关于直线
对称，A 正确；
当
在
上单调递增，且
在其定义域内单调递增，B 正确；
当
时，
，故
的值域为
，C 错误；
令
，则
，易得
有两个解，这两个解均在
上，D 正确．
故选：ABD.
15．AB
【分析】对于A，转化为
对
恒成立，而
无解，故可判断；对于B，
时，
，由偶函数的定义判断即可；对于C，转化为
在区间
上单调递增且
在
成立；对于D，函数
的值域M 满足
，
故对任意实数a，
的值域为R，无最小值即可判断.
【详解】列表解析|直观解疑惑
选
项
正
误
原因
A
√
要使函数
的定义域为R，则
对
恒成立，即存在
实数a，使得
．又因为
，所以不存在实数a，使得
，故不存在实数a，使
的定义域为R．
B
√
时，
，定义域为
，又
恒大于0，所以
的定义域为
，关于坐标原点对称（判定函数奇偶性，一定要遵循定义
域优先原则）．设
，则
，故函数
为偶函数．
C
×
因为
是增函数，函数
在区间
上单调递增，所以
在区间
上单调递增且
在
上恒成立，所以
解得
．
D
×
当
的值域为R 时不存在最小值，要使
的值域为R，函数
的值域M 满足
，所以
，解得
，故
对任意实数a，
的值域为R，即
不存在最小值．
故选：AB.
16．BCD
【分析】对于A，由奇函数的性质可得出
，可求出
的值，然后利用函数奇偶性的定义证明即可，
对于B，利用指数函数的单调性可判断出函数
在其定义域上的单调性；对于C，利用函数
的单
调性结合奇偶性可将不等式
变形为
，利用指数函数的单调性解之即可；
对于D，分析可知，函数
的值域为函数
在
上的值域的子集，可得出关于实数
的不等式
组，解之即可.
【详解】对于A，对任意的
，
，
所以，
的定义域为
且函数为奇函数，
所以
，则
，
因为
，
所以
是奇函数，符合题意，故
成立，故A 错误；
对于B，由（1）
，则
，是定义域上的增函数，证明如下：
对任意的
、
且
，则
，
由
可得
，
故函数
为
上的增函数，故B 正确；
对于C，因为函数
是实数集上的增函数又是奇函数，
所以由
可得
，
根据B 项，可得
，可得
，即
，
因为
，则
，解得
，即原不等式
的解集为
，故C 正
确；
对于D，因为函数
，显然
，所以有
可得
，则
，则
，
因为
，
令
，当
时，
，
设
，所以
，
，
于是当
时，
，
对
，总
，使得
成立，
故函数
的值域为函数
在
上的值域的子集，即
，
所以有
，解得
，即实数
的取值范围为
，故D 正确.
故选：BCD.
17．0 或0.5
【分析】对
的取值进行分类讨论，分别代入相应的解析式求解即可.
【详解】若
，可知
，解得
；
若
，可得
，解得
；
综上可知，
或
.
故答案为：0 或0.5
18．
【分析】根据对数函数的单调性结合分段函数的单调性列不等式组计算求参.
【详解】因为函数
（
且
）在
上是增函数，
所以
解得
．
故答案为：
19．（24,25）
【分析】设
，则有
，结合基本不等式可得范围.
【详解】不妨设
．可知
，则
，
，则
．
如图：
又由极端位置得
，由于要有四个根，故
．从而
．
故
的取值范围为
故答案为：
20．1
【分析】利用复合函数的单调性可得
的最大值为4，结合二次函数的性质确定参数
的值并验
证即得.
【详解】因
的值域为
，
即
，又
在定义域内为增函数，故
的最大值为4，
则
，由
，可得
时，
，解得
，
此时
的定义域为
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
则得
，符合题意.
故答案为：1.
21．
【分析】（1）（2）根据对数的性质，列不等式即可求解定义域，进而根据复合函数的性质即可求解单调
性和值域.
【详解】（1）令
，解得
，
故函数
的定义域为
，
又
在
单调递增，在
单调递减，而
在
单调递增，故
的单调递增区间为
，
当
时，
，故最大值为
，故函数
的值
域为
，
（2）令
，则
或
，故
的定义域为
，
在
单调递减，在
单调递增，而
为单调递减函数，因此
的单调递增区间
，
当
时，
，故
的值域为
.
故答案为：
，
，
，
22．
【分析】问题可转化为函数
与直线
在
有交点.
【详解】令
，则
，原函数化为
，
因为原函数的值域为
，
所以函数
在
内与直线
有交点，
因为函数
的对称轴为
，所以：
（1）若函数
与直线
在
仅有一个交点，
则
，解得
；
（2）若函数
与直线
在
恰有两个交点（相切看作两个相同交点），
则
，解得
；
综上，
的取值范围是
.
故答案为：
【点睛】若对数型函数的值域为
，则需其真数部分的函数与直线
有交点，可结合特殊点的符号、
对称轴、判别式进行列式求解.
23．
【分析】使用赋值法可得
，然后设
，可知
，结合
，可知
的解析式.
【详解】由
，令
，则
得
.
设
，则
，故
，
因为
，所以
，
所以
.
24．(1)
(2)
【分析】（1）利用函数图像关于直线
对称的性质求解
的值；
（2）先求出
的值域，再根据方程有解确定
的取值范围.
【详解】（1）解：（1）由题意可知
，则
，
化简得，
，
，则
，解得
．
当
时，
，显然满足
，
即函数
的图象关于直线
对称，
故
．
（2）（2）由（1）可知
，
又
，当且仅当
，即
时取得等号，
根据对数函数的单调性可知
，
关于
的方程
有解，
，
即
，解得
或
，
故
的取值范围为
.
