文档文本内容
【第13 讲：函数的方程与零点问题】
一．求函数的零点（共3 小题）
二．由函数的零点求解函数或参数（共5 小题）
三．判定函数零点的存在性（共2 小题）
四．由函数零点所在区间求解函数或参数（共10 小题）
五．求解方程根的存在性和分布（共9 小题）
六．由方程根的分布求解函数或参数（共3 小题）
七．二分法求函数零点的近似值（共4 小题）
八．二分法求方程的近似解（共4 小题）
九．函数与方程的综合运用（共10 小题）
【知识点清单】
1．求函数的零点
【知识点的认识】
一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0 的实数根x 叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零
点．即函数的零点就是使函数值为0 的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．
【解题方法点拨】
解法﹣﹣二分法
①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度； ②求区间（a，b）的中点x1；③计算f
（x1）；
④若f（x1）＝0，则x1 就是函数的零点； ⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，
x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，则令a＝x1．（此时零点x0∈（x1，b） ⑦判断是否满足条件，否则
重复（2）～（4）
2．由函数的零点求解函数或参数
【知识点的认识】
一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0 的实数根x 叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零
点．即函数的零点就是使函数值为0 的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．
【解题方法点拨】
解法﹣﹣二分法
①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度； ②求区间（a，b）的中点x1；③计算f
（x1）；
④若f（x1）＝0，则x1 就是函数的零点； ⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，
题型梳理
总览
x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，则令a＝x1．（此时零点x0∈（x1，b） ⑦判断是否满足条件，否则
重复（2）～（4）
3．判定函数零点的存在性
【知识点的认识】
1、函数零点存在性定理：
一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那
么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c 也就是f（x）＝
0 的根．
特别提醒：
（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．
（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，
b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2 有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两
个零点．
（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）
上有唯一的零点．
【解题方法点拨】
函数零点个数的判断方法：
（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性
质找出零点．
特别提醒：
①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0 在[0，2]上有
两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1 在[0，2]上只有一个零点；
②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
（2）代数法：求方程f（x）＝0 的实数根．
4．求解方程根的存在性和分布
【知识点的认识】
函数的零点表示的是函数与x 轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他
们的解法其实质是一样的．
【解题方法点拨】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重
点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
5．二分法求函数零点的近似值
【知识点的认识】
二分法 即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜
0，f（b）＞0，那么当x1= a+b
2
时，若f（x1）＝0，这说x1 为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在
[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基
本概念．
【解题方法点拨】
﹣选择初始区间：选择[a，b]使得f (a)⋅f (b)＜0．
﹣迭代步骤：计算区间中点c = a+b
2
，判断f（c）的符号，确定新的区间．
﹣终止条件：当区间长度足够小时，停止迭代，近似值即为中点c．
﹣计算过程：按照二分法步骤逐步逼近零点．
6．二分法求方程的近似解
【知识点的认识】
二分法 即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜
0，f（b）＞0，那么当x1= a+b
2
时，若f（x1）＝0，这说x1 为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在
[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基
本概念．
【解题方法点拨】
﹣选择初始区间：选择[a，b]使得f (a)⋅f (b)＜0．
﹣迭代步骤：计算区间中点c = a+b
2
，判断f（c）的符号，确定新的区间．
﹣终止条件：当区间长度足够小时，停止迭代，近似值即为中点c．
﹣计算过程：按照二分法步骤逐步逼近零点．
7．函数与方程的综合运用
【知识点的认识】
函数与方程的综合运用是指结合函数的性质和方程的解法解决复杂问题．
【解题方法点拨】
﹣函数性质：分析函数的定义域、值域、单调性、对称性等性质．
﹣方程求解：利用函数性质建立方程，求解方程根．
﹣综合应用：将函数性质和方程求解结合，解决实际问题．
【命题方向】
常见题型包括函数性质和方程解法的综合运用，解决复杂的数学问题．
一．求函数的零点（共3 小题）
1．函数f（x）＝ex+4x﹣4 的零点所在区间为（ ）
A．（﹣1，0）
B．（0，1）
C．（1，2）
D．（2，3）
2．函数f ( x)=lo g2 x−❑√x的零点个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
3．函数f ( x)={
x
2+3 x−4，x ≤0
lo g2( x +2)−3，x＞0)的零点为 ．
二．由函数的零点求解函数或参数（共5 小题）
4．已知函数f（x）＝x2﹣acosx+2 有且仅有一个零点，则实数a 的值为（ ）
A．1
2
B．−1
2
C．2
D．﹣2
5．若函数f ( x)=−alnx + x
2−1
2
有两个零点，则a 的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1）
B．（1，+∞）
C．（0，1）∪（1，+∞）
D．（0，1）
6．已知函数f ( x)={
|3−2 x|+1，x＞0
( x +2)
2
e
x
，x ≤0 )
.若函数y＝[f（x）]2﹣af（x）+2 有8 个不同的零点，则a 的取
值范围是（ ）
A．(−2❑√2，+∞)∪(−∞，−2❑√2)
B．(2❑√2，8)
C．(2❑√2，9
2 )
D．(2❑√2，3)
7．已知函数f ( x)= 4 cos(2ωx + π
4 )(ω＞0)在[0，π]上有且仅有2 个零点，则ω 的取值范围为（ ）
A．[ 3
4 ，5
4 )
B．[ 7
4 ，11
4 )
C．[ 5
8 ，9
8 )
D．[ 7
8 ，11
8 )
8．若函数f ( x)={
x +1，x ≤a，
x
2−3 x +2，x＞a)恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1]∪（2，+∞）
B．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）
知识讲解与常考题型
题型分类
C．（﹣∞，﹣1）∪[1，2）
D．（﹣1，1]∪（2，+∞）
三．判定函数零点的存在性（共2 小题）
9．f ( x)=cosx −cos x
2，x∈[0，2π]零点的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
10．函数f（x）＝xex﹣ex﹣1 的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
四．由函数零点所在区间求解函数或参数（共10 小题）
11．已知函数f（x）＝2cosx﹣x2+a﹣4 在R 上有且仅有1 个零点，则实数a＝（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
12．已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则曲线y＝f（x）的对称中
心为（ ）
A．（0，1）
B．（1，0）
C．(−1
2 ，0)
D．( 1
2 ，1
2 )
13．已知函数f（x）＝ex+1+e﹣x﹣1+|x+1|﹣a 有唯一零点，则实数a＝（ ）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
14．若函数f（x）＝ax﹣x3+ax2﹣x﹣1（a＞0 且a≠1）在（0，1）上有唯一零点，则a 的取值范围是（
）
A．2≤a＜e
B．3
2 ＜a＜e
C．1＜a≤3
2
D．1＜a＜2
15．已知x0是函数f（x）＝lnx﹣x+2 的零点，则e
x0−2−x0+3=（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
16．已知函数f ( x)=m(e
x+e
−x)+|ln 1+ x
1−x |−2恰有一个零点，则实数m＝（ ）
A．1
B．1
2
C．0
D．﹣1
17．已知函数f（x）＝x3+3x2+m 在R 上有三个零点，则m 的取值范围是（ ）
A．（﹣4，0）
B．（﹣20，0）
C．（0，4）
D．(−∞，9
4 )
18．已知a＞0，若函数f ( x)={
−a x
2−(a−2)x +lnx ，x＞0
ln(−x +1)−ax e
x，x＜0 )没有零点，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．（e，+∞）
B．（1，e）
C．（0，1）
D．（1，+∞）
19．若函数f（x）＝lgx+t 在（1，10）上有零点，则t 的取值范围为（ ）
A．（﹣10，0）
B．(−1
10 ，0)
C．（0，1）
D．（﹣1，0）
20．已知函数f ( x)={
a−2sin 2 x，x＜0
a+1−0．5
x，x ≥0)在区间[﹣2π，+∞）上恰有5 个零点，则a 的取值范围是
．
五．求解方程根的存在性和分布（共9 小题）
21．已知函数f ( x)={
| 3
2 x +1|，x ≤0
1
2 f ( x−2)，x＞0)
，则方程12[f（x）]2﹣7f（x）+1＝0 的实根个数为（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
22．已知f（x）为定义在R 上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f ( x)={
lnx +1，0＜x ≤1
2−x，x＞1 )，则方程f
（x）﹣1＝0 实数根的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
23．已知函数f ( x)={
4 x +6，x ≤0
|lnx |，x＞0)，若g（x）＝f（x）﹣m 恰有3 个零点x1、x2、x3，则x1x2x3的取值
范围是（ ）
A．(−3
2 ，0)
B．(−3
2 ，0]
C．（﹣∞，0]
D．（﹣∞，0）
24．方程lgx﹣|sin2x|＝0 在（0，3π）内实数根的个数为（ ）
A．11
B．10
C．9
D．8
25．方程sin( x−π
3 )= sinx−sin π
3 在[0，2π]内根的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
（多选）26．已知函数f ( x)={
( x +1)
2，
x ≤0
|lnx |，
x＞0)，则方程f（f（x））﹣m＝0（m∈R）实数根的个数可
以为（ ）
A．4
B．6
C．7
D．9
（多选）27．已知函数f ( x)={
( x−1)
2−4，x ≤m
ln( x−1)，x＞m
x
且＞1)，下列叙述正确的有（ ）
A．若m＜﹣1，则f（x）只有一个零点
B．若m＞﹣1，则f（x）有两个零点
C．若m＝2，则方程2[f（x）]2+5f（x）＝0 有两个实根
D．若m＝1，则方程[f（x）]2+8f（x）﹣m＝0 有两个实根
28．设函数f（x）={
−x
2−2 x，x ≤0
|lnx |，x＞0 )，则方程f
2( x)−(a+ 1
a )f ( x)+1=0的不同实根的个数可以是
．
29．定义域为R 的函数f（x）的图象关于直线x＝1 对称，当x∈[0，1]时，f（x）＝x，且对任意x∈R，有f
（x+2）＝﹣f（x），g( x)={
f ( x)，x ≥0
−log2024(−x)，x＜0)，则方程g（x）﹣g（﹣x）＝0 实数根的个数为
．
六．由方程根的分布求解函数或参数（共3 小题）
30．已知函数f ( x)={
a+ e
x ，x＞0
e
−x，x ≤0 )
，若方程f（x）+ex＝0 存在三个不相等的实根，则实数a 的取值范
围是（ ）
A．（﹣∞，e）
B．（﹣∞，﹣e）
C．（﹣∞，﹣2e）
D．（﹣∞，2e）
31．已知函数f（x）＝log3（9x+1）﹣kx（其中k∈R）．
（1）若k＝2 且方程f（x）﹣a+1＝0 有解，求实数a 的取值范围；
（2）若f（x）是偶函数，讨论函数g( x)=(3k )
f ( x)−(m⋅3
x−4
3 m)(m＞0)的零点情况．
32．已知函数f ( x)=
2
x−t
−2
x +1−2
(t ∈R)为奇函数．
（1）设函数g( x)= f ( x−1
2 )+t，求g(
1
2024 )+ g(
2
2024 )+⋯+ g( 2023
2024 )的值；
（2）若关于x 的方程f（4x+3）+f（﹣a•2x﹣a）＝0 有实数根，求实数a 的取值范围．
七．二分法求函数零点的近似值（共4 小题）
33．用二分法求函数f（x）＝lnx+2x﹣6 在区间（2，3）内的零点近似值，若要求精确度为0.1，则所需二
分区间的次数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
34．用二分法研究函数f（x）＝x5+8x3﹣1 的零点时，第一次经过计算得f (0)＜0，f ( 1
2 )＞0，则零点所
在的区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A．( 1
2 ，1)，f ( 3
4 )
B．(0，1
2 )，f ( 1
8 )
C．(0，1
2 )，f ( 1
4 )
D．(0，1
2 )，f ( 3
8 )
35．用二分法求函数f（x）＝lnx+x﹣2 在区间[1，2]上的零点近似解，要求精确度为0.01 时，所需二分区
间的次数最少为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
36．用二分法求函数f（x）＝ln（x+1）+x﹣1 在区间( 1
2 ，1)上的零点，要求精确度为0.01 时，所需二分
区间的次数最少为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
八．二分法求方程的近似解（共4 小题）
37．用二分法求方程x+lgx﹣3＝0 的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（ ）
A．[1，2]
B．[2，3]
C．[3，4]
D．[4，5]
38．用二分法求方程的近似解，求得f（x）＝2x3+3x﹣3 的部分函数值数据如表所示：
x
0
0.5
0.625
0.6875
0.71875
0.734375
0.7421875
0.75
1
f（x）﹣3
﹣1.25
﹣0.6367
﹣0.2876
﹣0.1011
﹣0.00477
0.044219
0.09375
2
则当精确度为0.01 时，方程2x3+3x﹣3＝0 的近似解可取为（ ）
A．0.68
B．0.72
C．0.73
D．0.74
39．设h（x）＝2x+log2（x+1）﹣2，某同学用二分法求方程h（x）＝0 的近似解（精确度为0.5），列出了
对应值表如下：
x
﹣0.5
0.125
0.4375
0.75
2
h（x）
﹣1.73
﹣0.84
﹣0.42
0.03
2.69
依据此表格中的数据，得到的方程近似解x0可能是（ ）
A．x0＝﹣0.125
B．x0＝0.375
C．x0＝0.525
D．x0＝1.5
40．设f（x）＝2x+x﹣8，用二分法求方程2x+x﹣8＝0 在[1，5]上的近似解时，经过两次二分后，可确定近
似解所在区间为（ ）
A．[1，2]或[2，3]都可以
B．[2，3]
C．[1，2]
D．不能确定
九．函数与方程的综合运用（共10 小题）
41．已知直线x＝a 与函数f（x）＝ex，g（x）＝x 的图象分别交于点A，B，当|AB|取得最小值时，a＝（
）
A．0
B．1
C．e
D．1
e
42．已知函数f（x）＝（xex）2+（a﹣1）（xex）+1﹣a 有三个不同的零点x1，x2，x3．其中x1＜x2＜x3，则
（1﹣x1e❑
x1）（1﹣x2e❑
x2）（1﹣x3e❑
x3）2的值为（ ）
A．1
B．（a﹣1）2
C．﹣1
D．1﹣a
43．已知两个不相等的正实数x，y 满足yln x
y =1−y
x ，则下列结论一定正确的是（ ）
A．x+y＝1
B．xy＝1
C．x+y＞2
D．0＜x+y＜1
44．若实数a，b，c 满足a−2=( 1
2 )
b
+1= log2c +1，则a，b，c 的大小关系不可能是（ ）
A．b＞a＞c
B．a＞b＞c
C．c＞b＞a
D．c＞a＞b
45．已知点（m，n）为函数f（x）＝x2ex和g（x）＝e2（2﹣lnx）图象的交点，则m+lnm＝（ ）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
46．已知定义在R 上的函数f（x）＝3|x﹣1|与函数h（x）＝mcos（1﹣x）的图象有唯一公共点，则实数m 的
值为（ ）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
47．已知指数函数f（x）＝ax，对数函数g（x）＝logax，若f（x）＝g（x）有且只有两个不等根，则a 的
取值范围是（ ）
A．（0，e﹣e）
B．[e﹣e，1）
C．(1，e
1
e )
D．[e
1
e ，+∞)
48．已知3m＝4，2m＝x+3，4m＝y+5，则（ ）
A．0＜x＜y
B．y＜x＜0
C．x＜0＜y
D．y＜0＜x
49．已知函数f（x）＝ex+x 和g（x）＝ln（xex），若存在实数α，β，使得f（α）﹣g（β）＝0，则αβ 的最
小值为（ ）
A．﹣e
B．﹣1
C．−1
e
D．−1
e
2
50．若函数f（x）和g（x）均存在零点，且零点完全相同，则称f（x）和g（x）是一对“共零函数”．
（1）判断f（x）＝2x﹣2 与g（x）＝cosx 是否为“共零函数”，并说明理由；
（2）已知f ( x)=sin( x−π
3 )与g（x）＝2cos（x+φ）是一对“共零函数”，求φ 的值；
（3）已知p，q 是实数，若函数f（x）＝xex﹣1 与g( x)= ❑√x−p是一对“共零函数”，函数
F( x)=lnx−e
x −1与G（x）＝（x﹣q）3也是一对“共零函数”，求pq 的值．
课后针对训练
一、单选题
1．已知函数
，现用二分法求函数
在
内的零点的近似值，则使用两次二分法后，
零点所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．用二分法求函数
在
内的零点近似值，若精确度要求为
，则需重复相同步骤的
次数至少为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在用二分法求方程
在
上的近似解时，先构造函数
，再依次计算得
，
，
，
，
，则该近似解所在的区间可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．函数
的零点所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知定义在
上的函数
满足：①图象关于点
对称；②
；③当
时，
，则函数
在区间
上的零点个数为（ ）
A．5 个
B．6 个
C．7 个
D．8 个
6．设函数
是定义在
上的偶函数，对任意
，都有
，且当
时，
，若在区间
内关于
的方程
恰有三个不同的实数根，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．设函数
，若关于
的方程
有四个不同的解
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
有且仅有一个零点，则正数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数
的零点为m，函数
的零点为n，函数
的零点为t，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．函数
的零点所在的大致区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．若
是
的零点，
是
的零点，那么
的值为（ ）
A．
B．3
C．
D．4
12．已知函数
为偶函数，则函数
的图象与直线
的交点
个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
13．已知函数
为偶函数，则当
时，曲线
与
的交
点个数为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
14．已知函数
，若存在实数
、
、
且
，使得
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
15．已知函数
有两个零点
，则下列说法正确的是（ ）
A．
为偶函数
B．
或
C．
D．
16．已知函数
设
，则（ ）
A．存在实数a，使
B．存在实数a，使
C．存在唯一实数a，使
有两个零点D．存在唯一实数a，使
有无数个零点
三、填空题
17．用二分法研究函数
的零点时，第一次经过计算得
，
，则第二次应
计算的函数值是 ．
18．已知函数
存在
，使得
，则
的取值
范围是 .
19．已知函数
若关于
的函数
有8 个不同的零点，则实数
的取值范围为 ．
20．已知函数
有两个零点，则k 的取值范围为 .
21．若函数
的零点
，则整数
的取值为 ．
四、解答题
22．已知函数
，其中
为常数，且
．
(1)若
是奇函数，求
的值；
(2)证明：
在
上有唯一的零点
