第12 讲 函数与方程 · 讲义（解析卷）
一、考情分析......................................................................................................................................1
二、知识清单......................................................................................................................................2
一、函数的零点...................................................................................................................... 2
二、方程的根与函数零点的关系..........................................................................................2
三、零点存在性定理..............................................................................................................2
四、二分法.............................................................................................................................. 2
五、用二分法求函数零点近似值的步骤..............................................................................2
三、典题精讲......................................................................................................................................3
考点一：函数零点所在区间的判断与二分法......................................................................3
考点二：判断函数零点或方程根的个数..............................................................................4
考点三：已知零点个数求参数范围......................................................................................6
考点四：复合函数与嵌套方程的零点问题..........................................................................9
考点五：函数零点的综合应用............................................................................................10
四、高考真题....................................................................................................................................12
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年
份
题号与
题型
分值
考察
类型
考察内容与方式
202
6
6 题 单
选题
5 分
间接
考察函数最值问题中的方程思想，通过极值点与最值构建
方程组，求解超越方程得出参数值
202
5
8 题 单
选题
5 分
间接
考察对数方程根的大小比较，需构造指数函数图象，通过
交点位置判断根的大小关系
202
4
7 题 单
选题
5 分
直接
考察三角函数图象交点个数，将方程根的个数转化为两函
数图象的交点个数
近三年全国一卷中，函数与方程思想的考查频次较为稳定，常以单选题形式出现.考
查方式既有直接判断图象交点个数，也常作为核心解题工具隐藏在导数或对数综合题中.
2. 命题角度与特色
核心考点：重点考查函数图象交点个数的判断，以及利用函数图象交点位置分析方程
根的大小关系.
命题趋势：常与三角函数、指数函数、对数函数等基本初等函数结合，呈现跨模块交
汇考查的趋势.
试题特点：题目灵活性强，对代数变形能力和空间想象（画图）能力要求高，往往需
要精准绘制函数草图.
3. 备考策略
· 熟练掌握各类基本初等函数的图象特征，做到能快速、准确地绘制函数草图.
· 强化数形结合思想的训练，遇到方程根的个数或大小比较问题时，优先考虑转化为
函数图象交点问题.
· 注意积累三角函数周期性、对称性在图象交点问题中的应用技巧.
二、知识清单
一、函数的零点
对于函数 y = f ( x)，我们把使 f ( x)=0 的实数 x 叫做函数 y = f ( x) 的零点.
【防坑警示】 零点是一个实数，即方程的根，而不是坐标系中的一个点（坐标）.表述为
“函数的零点为 x0”，严禁表述为“函数的零点为 ( x0,0)”.
二、方程的根与函数零点的关系
方程 f ( x)=0 有实数根 ⇔ 函数 y = f ( x) 的图像与 x 轴有公共点 ⇔ 函数 y = f ( x)
有零点.
三、零点存在性定理
如果函数 y = f ( x) 在区间 [a,b] 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有
f (a)⋅f (b)<0，那么函数 y = f ( x) 在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c∈(a,b)，使得
f (c)=0，c 也就是方程 f ( x)=0 的根.
【易错提醒】 函数在区间 [a,b] 上连续且 f (a)⋅f (b)<0 是函数在 (a,b) 内有零点的充
分不必要条件.若函数在区间内有零点，不一定有 f (a)⋅f (b)<0（例如图像与 x 轴相切或
有偶数个零点的情况）.
四、二分法
对于区间 [a,b] 上连续不断且 f (a)⋅f (b)<0 的函数 f ( x)，通过不断地把函数 f ( x)
的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的
方法叫做二分法.求方程 f ( x)=0 的近似解就是求函数 f ( x) 零点的近似值.
五、用二分法求函数零点近似值的步骤
· （1）确定区间 [a,b]，验证 f (a)⋅f (b)<0，给定精度 ε.
· （2）求区间 (a,b) 的中点 x1.
· （3）计算 f ( x1).若 f ( x1)=0，则 x1 就是函数 f ( x) 的零点；若 f (a)⋅f ( x1)<0，
则令 b= x1（此时零点 x0∈(a, x1)）.若 f (b)⋅f ( x1)<0，则令 a= x1（此时零点
x0∈( x1,b)）.
· （4）判断是否达到精确度 ε，即若 |a-b|<ε，则函数零点的近似值为 a（或 b）；
否则重复第（2）-（4）步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
三、典题精讲
考点一：函数零点所在区间的判断与二分法
考法1：利用零点存在性定理判断零点所在区间
例1.已知函数f ( x)=e
x+ ln x +2，若x0是方程f ( x)- f
'( x)=e的一个解，则x0可能存在的区间
是（ ）
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (2,3)
D. (3,4)
【答案】C
【思路】观察方程形式，直接代入函数解析式及其导数，化简得到一个新的超越方程.面对超越方
程求解的区间，可构造新函数，利用导数探究其单调性，再结合零点存在性定理，分别计算各区
间端点的函数值符号，寻找异号区间即可锁定答案.
【解析】f
'( x)=e
x+ 1
x ，所以 f ( x)- f
'( x)=e
x+ ln x +2-(e
x+ 1
x )= ln x - 1
x +2.
因为 x0是方程f ( x)- f
'( x)=e的一个解，
所以 x0是方程ln x - 1
x +2-e =0的解，令g( x)= ln x - 1
x +2-e，
则g
'( x)= 1
x + 1
x
2，当x>0时，g
'( x)= 1
x + 1
x
2 >0恒成立，
所以 g( x)= ln x - 1
x +2-e单调递增.
又g（2）= ln2- 1
2 +2-e = ln2+ 3
2 -e<0，g（3）= ln3- 1
3 +2-e = ln3+ 5
3 -e>0，
所以 x0∈(2,3).
考法2：二分法求方程的近似解
例2.用二分法求函数 f ( x)=lg x + x -2 的一个零点，根据参考数据，可得函数 f ( x) 的一
个零点的近似解 (精确到 0.1) 为 (参考数据：lg1.5≈0.176，lg1.625≈0.211，lg1.75≈0.243，
lg1.875≈0.273，lg1.9375≈0.287)
A. 1.6
B. 1.7
C. 1.8
D. 1.9
【答案】C
【思路】根据二分法的核心原理，零点必定存在于函数值异号的区间内.结合题目提供的参考数据，
计算区间端点的函数值，逐步缩小异号区间的范围，最后取该区间的中点作为满足精确度要求的
近似解.
【解析】由题意可知：f (1.75)=lg1.75+1.75-2≈0.243+1.75-2=-0.007<0，
f (1.875)=lg1.875+1.875-2≈0.273+1.875-2=-0.148>0.又因为函数在 (0,+∞) 上连续，所
以函数在区间 (1.75,1.875) 上有零点，约为 1.75+1.875
2
≈1.8.
【考点一 方法总结】
· 判断函数零点所在区间时，先将方程转化为函数零点问题，构造函数并求导确定
单调性，再选取合适的整数或特殊值代入，利用零点存在性定理寻找函数值异号的区间端
点.
· 利用零点存在性定理时需注意：若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至
多有一个零点；函数通过零点时函数值不一定变号；在闭区间上有零点，不一定能推出端
点函数值异号.
· 使用二分法求近似解时，核心在于“不断取中点，判断异号区间”.每次计算中点
函数值后，保留与中点函数值异号的端点，舍弃同号端点，直到区间长度小于精确度要求，
此时区间内任意一点（通常取中点）均可作为近似解.
考点二：判断函数零点或方程根的个数
考法1：数形结合判断交点个数
例3.（2026·广东佛山·检测）下列曲线中，与曲线y = x
3-3 x交点个数最多的是（ ）
A. y =-2 x
B. | x|+| y |=2
C. y
2= 4
D. | y |= x
2
【答案】B
【思路】面对多个不同类型的曲线交点问题，纯代数求解会非常繁琐.可以借助导数工具，先精确
描绘出已知三次函数的图象走势（包括极值点、单调性等），然后分别分析四个选项中曲线的几
何特征（如对称性、特殊点），在同一坐标系中画出草图，通过数形结合直观清点交点个数.
【解析】因为 y = x
3-3 x 的定义域为 R，且 y
' =3 x
2-3.
令 y
'>0，解得 x<-1 或 x>1；令 y
'<0，解得 -1< x<1.
可知函数 y = x
3-3 x 在 (-∞,-1)，(1,+∞) 内单调递增，在 (-1,1) 内单调递减.
当 x =-1 时，函数 y = x
3-3 x 取到极大值 2；当 x =1 时，函数 y = x
3-3 x 取到极小值 -2.
且当 x→-∞ 时，函数 y = x
3-3 x→-∞；当 x→+ ∞ 时，函数 y = x
3-3 x→+∞.
对于选项 A：分别作出曲线 y = x
3-3 x 和曲线 y =-2 x 的图象，
由图象可知：曲线 y = x
3-3 x 与曲线 y =-2 x 有 3 个交点.
对于选项 B：曲线 | x|+| y |=2，
用 - x 替换 x 可得 |- x|+| y |=2，即 | x|+| y |=2，方程不变，曲线 | x|+| y |=2 关于
y 轴对称；
用 - y 替换 y 可得 | x|+|- y |=2，即 | x|+| y |=2，方程不变，曲线 | x|+| y |=2 关于
x 轴对称；
且当 x ≥0 且 y ≥0 时，曲线 | x|+| y |=2 即为 x + y =2.
据此可得曲线 y = x
3-3 x 和曲线 | x|+| y |=2 的图象，如图所示：
由图象可知：曲线 y = x
3-3 x 与曲线 | x|+| y |=2 有 6 个交点.
对于选项 C：曲线 y
2= 4 即为 y =±2，
由图象可知：曲线
y = x
3-3 x
与曲线
y
2= 4
有 4 个交点.
对于选项 D：曲线 | y |= x
2 即为 y ={
x
2, y ≥0
- x
2, y <0，
由图象可知：曲线 y = x
3-3 x 与曲线 | y |= x
2 有 5 个交点.
综上，与曲线 y = x
3-3 x 交点个数最多的是 | x|+| y |=2.
考法2：利用函数的性质与导数判断零点个数
例4.已知函数 f ( x)={
e
x ,
x ≥0
-3 x ,
x<0，若函数 g( x)= f (- x)- f ( x)，则函数 g( x) 的零点个
数为
A. 1
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】D
【思路】根据新函数的定义式，先探究其奇偶性，发现具有奇偶性后，可将研究范围缩小至一半
区间（如大于零的部分）.在大于零的区间上，写出函数的具体解析式，利用导数分析其单调性与
极值，结合零点存在性定理确定该区间的零点个数，最后利用对称性得出总零点个数.
【解析】当 x>0 时，- x<0，f (- x)=-3(- x)=3 x；当 x<0 时，- x>0，f (- x)=e
- x.
所以 g( x)= f (- x)- f ( x)={
3 x -e
x ,
x>0
0,
x =0
e
- x+3 x ,
x<0
，g(- x)= f ( x)- f (- x)=- g( x)，且定义域为 R，
关于原点对称，故 g( x) 为奇函数.
所以求出 x>0 时零点个数即可，g( x)=3 x -e
x , x>0，g
'( x)=3-e
x，令 g
'( x)=3-e
x>0，解得
0< x<ln3.
故 g( x) 在 (0,ln3) 上单调递增，在 (ln3,+∞) 单调递减，且 g(ln3)=3ln3-3>0，而
g（2）=6-e
2<0，故 g( x) 在 (ln3,2) 有 1 个零点，g( 1
3 )=1-e
1
3 <0，故 g( x) 在
( 1
3 ,ln3) 上有 1 个零点.
故 g( x) 在 (0,+∞) 上有 2 个零点，又因为其为奇函数，则其在 (-∞,0) 上也有 2 个零点，
且 g（0）=0，故 g( x) 共 5 个零点.
【考点二 方法总结】
· 处理曲线交点个数或方程根的个数问题时，首选数形结合法.画图的核心在于找准
关键点（极值点、与坐标轴交点）和渐近趋势，对于含有绝对值的方程，可通过对称性快
速还原整体图象.
· 对于结构对称的新函数，优先考察其奇偶性.若为奇函数或偶函数，只需研究半个
周期的零点分布，再通过对称性翻折即可.
· 利用导数确定函数的单调性与极值点，结合零点存在性定理，是判断各单调区间
内零点个数的核心手段.
考点三：已知零点个数求参数范围
考法1：分离参数法求参数范围
例5.（2026·山东名校联盟·检测）若函数f ( x)= x
e
x - a
x 有且只有一个零点，则实数a的取值
范围为（ ）
A. ( 4
e
2 ,+∞)
B. ( 4
e
2 ,+∞)∪{0}
C. (-∞,0)∪( 4
e
2 ,+ ∞) D. (-∞,0]∪( 4
e
2 ,+∞)
【答案】C
【思路】面对含有参数的函数零点问题，分离参数是首选策略.将方程转化为参数等于一个不含参
函数的形式，随后利用导数深入剖析这个新函数的单调性、极值以及趋于无穷时的极限状态，画
出其草图，最后通过水平直线与草图的交点个数来锁定参数的范围.
【解析】由f ( x)= x
e
x - a
x =0，得a= x
2
e
x .
令g( x)= x
2
e
x ，则g
'( x)= 2 x - x
2
e
x
= x(2- x)
e
x
.
当x<0或x>2时，g
'( x)<0，g( x)单调递减；
当0< x<2时，g
'( x)>0，g( x)单调递增.
所以 g( x) 在 x =2 处取得极大值，也是最大值，g（2）= 4
e
2.
又当x→-∞时，g( x)→+ ∞；当x→+ ∞时，g( x)→0，且g（0）=0.
画出g( x)的大致图象，要使f ( x)有且只有一个零点，即直线y =a与y = g( x)的图象只有一个交点，
结合图象可知，a<0或a> 4
e
2.
所以实数 a 的取值范围为 (-∞,0)∪( 4
e
2 ,+∞).
考法2：分段函数的零点问题
例6.已知函数 f ( x)={
x
2+ 4 x +a,
x ≤0
1
x +a+1,
x>0，若函数 g( x)= f ( x)-ax -1 在 R 上恰有三个不
同的零点，求 a 的取值范围.
【答案】(-∞,- 4)∪[1,2)
【思路】将零点问题转化为分段函数图象与直线交点的问题.由于分段函数在不同区间有不同的解
析式，需要分段列出方程.对于每一段，将其转化为熟悉的一元二次方程，利用判别式、对称轴位
置及区间端点值等条件，探讨根的分布情况，通过分类讨论参数的正负，综合得出符合总交点数
为三个的参数范围.
【解析】当 a=0 时，f ( x)={
x
2+ 4 x ,
x ≤0
1
x +1,
x>0.
因为 g( x)= f ( x)-ax -1 恰有三个不同的零点，函数 g( x)= f ( x)-1 在 R 上恰有三个不同的零
点，即 f ( x)=1 有三个解，而 1
x +1=1 无解，故 a≠0.
当 a≠0 时，函数 g( x)= f ( x)-ax -1 在 R 上恰有三个不同的零点，
即 f ( x)=ax +1，即 y = f ( x) 与 y =ax +1 的图象有三个交点.
当 x>0 时，f ( x)= 1
x +a+1 与 y =ax +1 有交点，
所以 1
x +a+1=ax +1，即 a x
2-ax -1=0 在 (0,+∞) 上有根.
令 k( x)=a x
2-ax -1，当 a<0 时，抛物线开口向下，k （0）=-1<0.此时 Δ=a
2+ 4 a，若
Δ>0 即 a<- 4，由两根之和为 1>0，两根之积为 - 1
a >0，可知方程有两个正根.此时 x>0 有两
个交点.
而当 x ≤0 时，f ( x)= x
2+ 4 x +a 与 y =ax +1 的交点：
x
2+(4 -a)x +a-1=0.
因为 x ≤0，令 h( x)= x
2+(4 -a)x +a-1.
h（0）=a-1<0（因为 a<- 4）.
所以 h( x)=0 在 (-∞,0] 上有且仅有一个根（因为两根之积 a-1<0，一正一负）.
所以当 a<- 4 时，x>0 有 2 个交点，x ≤0 有 1 个交点，共 3 个交点.符合题意.
若 a>0，k （0）=-1<0，开口向上，两根之积为 - 1
a <0，所以必有一正一负根.
因此 x>0 时，必有且仅有 1 个交点.
要使总共有 3 个交点，则 x ≤0 时，h( x)= x
2+(4 -a)x +a-1=0 必须有两个非正根.
所以需满足：
{
Δ=(4 -a)
2- 4(a-1)>0
h（0）=a-1≥0
- 4 -a
2
<0
⟹{
a
2-12a+20>0 ⟹a<2 或 a>10
a≥1
a<4
解得 1≤a<2.
综上，a 的取值范围是 (-∞,- 4)∪[1,2).
考法3：利用同构或换元法求参数范围
例7.（2026·江西宜春·一模）已知关于 x 的方程 3m
3mx +1+3mx =2 有两个不相等的实数
解，则正实数 m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】(0,e
-1/3)∪(e
-1/3,1)
【思路】方程结构复杂，含有指数和一次项.尝试通过代数变形，将方程两边整理成结构相同的形
式，从而利用同构思想构造出一个单一的新函数.接着，将原方程解的个数问题转化为该新函数与
某常数（或含参表达式）的交点问题，借助导数分析新函数的单调性即可破局.
【解析】方程 3m
3mx+1+3mx =2 可化为 m
3mx+1= 2-3mx
3
，两边取对数得
(3mx +1)ln m= ln(2-3mx)- ln3.
令 t =2-3mx，则 3mx =2-t，方程化为 (3-t )ln m= ln t - ln3，即
ln t +t ln m=3 ln m+ ln3= ln(3m
3).
令 v =-t ln m，因为 m>0，若 m≥1 显然无两解，故 0<m<1，ln m<0，此时 v >0.
代入得 ln(
v
- ln m)- v = ln(3m
3)，即 ln v - v = ln(-3m
3ln m)= ln(-3 ln m)-(-3 ln m).
令 g( x)= ln x - x，则方程化为 g(v)= g(-3ln m).
因为 g( x) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1,+∞) 上单调递减，要使方程有两个不相等的实数解，
需满足 -3ln m≠1，
即 ln m≠- 1
3，解得 m≠e
-1/3.
综上，正实数 m 的取值范围是 (0,e
-1/3)∪(e
-1/3,1).
【考点三 方法总结】
· 含参方程零点问题首选分离参数法，将动态的零点问题转化为静态的图象交点问
题.在绘制新函数图象时，不仅要找准极值点，还必须关注定义域边界及无穷远处的函数
极限趋势.
· 处理分段函数的零点问题时，将其拆解到各个子区间内分别讨论.转化为二次方程
根的分布问题后，结合判别式、对称轴、区间端点函数值这三大条件构建不等式组即可求
解.
· 对于结构复杂的超越方程，尝试通过取对数、指数化等代数变形，将等式两边凑
成 f ( A )= f (B) 的形式（同构法），从而将问题转化为研究函数 f ( x) 的单调性与极值.
考点四：复合函数与嵌套方程的零点问题
考法1：嵌套方程的零点问题
例8.定义在 R 上函数f ( x)，若函数y = f ( x -1)关于点(1,0)对称，且
f ( x)={
- x
2, x∈[0,1)
e
x -1-2, x∈[1,+ ∞)，则关于x的方程f
2( x)-2mf ( x)=1(m∈R)有n个不同的实数解，
则n的所有可能的值为（ ）
A. 2
B. 4
C. 2 或 4
D. 2 或 4 或 6
【答案】B
【思路】首先利用图象平移和对称性，推导出原函数具有奇偶性，从而补全整个定义域上的函数
图象.对于嵌套形式的方程，采用换元法，令内层函数为中间变量，先解外层的一元二次方程，再
结合原函数的图象，分析每个中间变量对应的原方程实数解的个数.
【解析】因为函数 y = f ( x -1) 关于点 (1,0) 对称，所以 f ( x) 是奇函数，x>0 时，f ( x) 在
(0,1) 上递减，在 [1,+ ∞) 上递增.
作出函数 f ( x) 的图象，如图，由图可知 f ( x)=t 的解的个数是 1，2，3.
t <-1 或 t >1 时，f ( x)=t 有一个解，t =±1 时，f ( x)=t 有两个解，-1<t <1 时，f ( x)=t 有
三个解.
方程 f
2( x)-2mf ( x)=1 中设 f ( x)=t，则方程化为 t
2-2mt -1=0，其判别式为 Δ= 4 m
2+ 4>0
恒成立，方程必有两不等实根，t1,t2，t1+t2=2m，t1t2=-1，两根一正一负，不妨设 t1<0,t2>0.
若 m=0，则 t1+t2=0，t1=-1,t2=1，f ( x)=t1 和 f ( x)=t2 都有两个根，原方程有 4 个根；
若 m>0，则 t1+t2>0，t2>|t1|，所以 t2>1，-1<t1<0，f ( x)=t1 有三个根，f ( x)=t2 有一个
根，原方程共有 4 个根；
若 m<0，则 t1+t2<0，t2<|t1|，所以 0<t2<1，t1<-1，f ( x)=t1 有一个根，f ( x)=t2 有三个
根，原方程共有 4 个根.
综上原方程有 4 个根.
【考点四 方法总结】
· 处理嵌套函数方程 F(f ( x))=0 时，基本原则是“由外及内”.先解外层方程求出
f ( x) 的所有可能值，再转化为水平直线与 y = f ( x) 图象的交点问题.
· 对于二次嵌套方程，常利用韦达定理判断内外层交点的位置关系（如两根之和、
两根之积的正负），进而结合内层函数的图象确定总的实数解个数.
考点五：函数零点的综合应用
考法1：利用对称性求零点之和
例9.（2026·湖南联盟·3 月联考）函数 f ( x)= ❑√x +3+ ❑√| x -1|- 5
2 的所有零点的和为＿＿
＿＿＿＿.
【答案】- 4
【思路】函数解析式中含有绝对值和根号，直接求解零点几乎不可能.观察内部代数式的结构，尝
试寻找函数的对称性.一旦确认了对称轴，只需利用导数或复合函数单调性判断函数在对称轴一侧
的单调性与值域，确定一侧的零点个数，即可利用对称性直接求出所有零点之和.
【解析】令 g( x)= ❑√x +3+ ❑√| x -1|，x ≥-3.
则 g(-2- x)= ❑√-2- x +3+ ❑√|-2- x -1|= ❑√1- x + ❑√|-3- x|= ❑√| x -1|+ ❑√x +3= g( x).
所以 g( x) 的图象关于直线 x =-1 对称.
当 x ≥1 时，g( x)= ❑√x +3+ ❑√x -1 在 [1,+∞) 上单调递增.
当 -1≤x ≤1 时，g( x)= ❑√x +3+ ❑√1- x，则 g
'( x)=
1
2❑√x +3 -
1
2❑√1- x =
❑√1- x - ❑√x +3
2❑√x +3 ❑√1- x ≤0.
所以 g( x) 在 [-1,1] 上单调递减.
结合 g( x) 的图象关于直线 x =-1 对称可得：
g( x) 在 [-3,-1] 上单调递增.
又 g(-3)= g（1）=2< 5
2 <g(-1)=2❑√2，
且当 x→+∞ 时，g( x)→+ ∞.
所以 g( x)= 5
2 有 4 个交点，且关于 x =-1 对称.
故 f ( x) 有 4 个零点，且关于 x =-1 对称.
则所有零点的和为 4×(-1)=- 4.
考法2：方程多根的代数式求值或范围
例10.已知函数 f ( x)={
|(
1
2)
x -1
-1|,
x ≤1
- 1
2 x +1,
x>1
，若互不相等的实数 x1，x2，x3 满足
f ( x1)= f ( x2)= f ( x3)，则 (
1
2)
x1
+(
1
2)
x2
+(
1
2)
x3
的取值范围是（ ）
A. ( 9
4 , 5
2 )
B. (1,4)
C. (❑√2,4)
D. (4 ,6)
【答案】A
【思路】面对分段函数多根求值域的问题，画出函数的精确草图是破题的关键.设出公共的函数值，
利用图象确定各个根所在的具体区间，将各个根用该公共函数值表示出来，代入目标代数式中，
即可将多变量问题转化为单一变量的函数求值域问题.
【解析】画出分段函数 f ( x) 的图象，
令互不相等的实数 x1，x2，x3 满足 f ( x1)= f ( x2)= f ( x3)=t，t ∈(0, 1
2 )，
则 x1∈(log2
2
3 ,0)，x2∈(0,1)，x3∈(1,2)，
则 ( 1
2 )
x1-1=t ⟹( 1
2 )
x1=1+t，
1-( 1
2 )
x2=t ⟹( 1
2 )
x2=1-t，
所以 ( 1
2 )
x1+( 1
2 )
x2=2.
又 x3>1 时，- 1
2 x3+1=t ⟹x3=2-2t，
所以 ( 1
2 )
x3=( 1
2 )
2-2t =2
2t -2，
又 t ∈(0, 1
2 )，所以 2t -2∈(-2,-1)，
所以 ( 1
2 )
x1+( 1
2 )
x2+( 1
2 )
x3=2+2
2t -2∈( 9
4 , 5
2 ).
【考点五 方法总结】
· 求复杂函数多个零点之和时，往往暗示函数存在对称中心或对称轴.通过代数变形
验证 f (a+ x)= f (a- x) 或 f (a+ x)+ f (a- x)=b，确定对称性后，零点成对出现，其和即为
对称轴横坐标的倍数.
· 处理“f ( x1)= f ( x2)=⋯=t”类多根求值域问题，核心是“统一变量”.通过解析式
反解出各个 xi 关于 t 的表达式，再代入所求代数式，结合图象确定的 t 的取值范围，
即可顺利求出目标范围.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷）当 x∈[0,2π ] 时，曲线 y =sin x 与 y =2sin(3 x - π
6) 的交点个数
为
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
【答案】C
【解析】因为函数 y =sin x 的最小正周期为 T =2π，函数 y =2sin(3 x - π
6) 的最小正周期为
T = 2π
3 ，
所以在 x∈[0,2π ] 上函数 y =2sin(3 x - π
6) 有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有 6 个交点.
故选：C.
