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第11 讲：拓展四：导数中的隐零点问题
1、不含参函数的隐零点问题
已知不含参函数f ( x)，导函数方程f '( x)=0 的根存在，却无法求出，设方程
f '( x)=0 的根为x0 ，则有：
①关系式f '( x0)=0 成立；②注意确定x0 的合适范围.
2、含参函数的隐零点问题
已知含参函数f ( x ,a)，其中a 为参数，导函数方程f '( x ,a)=0的根存在，却无法求
出，设方程f '( x)=0 的根为x0 ，则有
①有关系式f '( x0)=0 成立，该关系式给出了x0,a 的关系；②注意确定x0 的合适范
围，往往和a 的范围有关.
3、函数零点的存在性
（1）函数零点存在性定理：设函数
在闭区间
上连续，且
，那
么在开区间
内至少有函数
的一个零点，即至少有一点
，使得
.
① 若
，则
的零点不一定只有一个，可以有多个
② 若
，那么
在
不一定有零点
③ 若
在
有零点，则
不一定必须异号
(3)若
在
上是单调函数且连续，则
在
的零点唯
一
1．（河南省新未来2024-2025 学年高二下学期6 月质量检测数学试题）已知函数
．
(1)求
的极值；
(2)若
恰有3 个零点，求
的取值范围；
(3)若
在定义域上单调，求整数
的最大值．
2．（24-25 高二下·山东·阶段练习）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若
，
恒成立，求
的值；
(3)若
在区间
上存在零点，求
的取值范围.
3．（24-25 高二下·辽宁鞍山·期中）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，直接写出
的单调区间；
(3)当
时，
，
，求
的取值范围.
4．（24-25 高二下·全国·阶段练习）设函数
在区间
上的导函数为
，且
在
上存在导函数
（其中
.定义：若区间
上
恒成
立，则称函数
在区间
上为凹函数．
(1)判断函数
在区间
上是否为凹函数？并说明理由；
(2)是否存在实数
，使得函数
在区间
上为凹函数？
若存在，求实数
的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)设
且
，对于任意的
，不等式
成立，求
的最大值．
5．（24-25 高二下·安徽·阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)当
为整数时，若
恒成立，求
的最小值.
6．（24-25 高二下·河北衡水·阶段练习）已知函数
在
处取得极
值.
(1)设
（其中
），讨论函数
的单调性；
(2)若对
，都有
，求
的取值范围.
7．（24-25 高二下·河北邢台·阶段练习）已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)试讨论
在
上的零点个数.
8．（24-25 高二下·天津河北·阶段练习）已知函数
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)若对任意
不等式
恒成立，求a 的取值范围.
(3)证明不等式：
9．（24-25 高二下·重庆南岸·期中）已知函数
，
．
(1)若
，判断
的单调性；
(2)若
，求a 的值；
(3)已知
，
．若
，证明：
．
10．（2025·上海·三模）已知函数
.
(1)求函数
的极值；
(2)当
时，证明：
恒成立.
(3)函数
图像上存在多少组关于点
对称的点对？说明你的结论和理由.
11．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数
是函数
的导函数，且
．
(1)求
；
(2)若
在区间
内单调递增，求实数
的取值范围；
(3)当
时，证明：
．
12．（24-25 高二下·四川资阳·期中）已知函数
，
．
(1)若
的最大值是0，求
的值；
(2)若对任意
，
恒成立，求
的取值范围．
