第12 讲一次、二次函数与幂函数
（知识清单+4 典例精讲+5 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
二次函数单调性、最值、不等式综合；幂函数图象与性质辨析
单选、多选
题
5 分/6 分
二次函数区间最值、图象识别；基础幂函数求值、单调性判断
单选、填空
题
5 分
二次函数基础性质、简单求值，幂函数基础判定，难度偏低
单选题
5 分
二次函数与方程、导数、恒成立问题综合，压轴小题高频
单选、解答
题
5 分/12 分
【知识点01】一次函数核心知识点
1. 定义：形如y =kx +b（k ,b为常数，且k ≠0）的函数，叫做一次函数；当b=0时，y =kx（k ≠0）为正比例函
数（特殊的一次函数）。
2. 定义域与值域：定义域、值域均为R。
3. 图象与性质：
图象：一条直线，与x 轴交点为(−b
k ,0)，与y 轴交点为(0,b)；
单调性：由k决定——k >0时，在R上单调递增；k <0时，在R上单调递减；
对称性：正比例函数y =kx（k ≠0）关于原点中心对称（奇函数）；一次函数y =kx +b（b≠0）既不是奇函
数也不是偶函数，无对称轴和对称中心（除特殊情况）。
4. 图象变换（结合本讲重点）：基于y =kx，平移变换可得到y =k( x−h)+b（左加右减、上加下减）。
【例1】已知一次函数y =kx +b（k ≠0）的图象过点(1,3)和(−2,−3)，求该一次函数的解析式。
【知识点02】幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数y＝xα叫做幂函数,其中x 是自变量,α 是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0,＋∞)上都有定义；
②当α>0 时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,＋∞)上单调递增；
③当α<0 时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,＋∞)上单调递减；
④当α 为奇数时,y＝xα为奇函数；当α 为偶数时,y＝xα为偶函数.
【例2】求幂函数y = x
1
2的定义域、单调性，并判断其对称性。
【知识点03】二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0),顶点坐标为(m,n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象(抛物线)
定义域
R
值域
[
4 ac−b
2
4 a
,＋∞)
(−∞, 4 ac−b
2
4 a ]
对称轴
x＝－b
2a
顶点坐标
(−b
2a , 4 ac−b
2
4 a )
奇偶性
当b＝0 时是偶函数,当b≠0 时是非奇非偶函数
单调性
在(−∞,−b
2a]上单调递减；
在[−b
2a ,＋∞)上单调递增
在(−∞,−b
2a]上单调递增；
在[−b
2a ,＋∞)上单调递减
【例3】已知二次函数y =a x
2+bx +c（a≠0）过点(0,3)、(1,0)、(2,−1)，求其解析式。
【题型一】二次函数的概念
【例1】（2026·河南濮阳·二模）
的最大值是（ ）
A．9
B．3
C．18
D．6
【例2】（2026·宁夏银川·一模）如果点
在函数
的图象上，都有点
在函数
的图象
上，则
（ ）
A．17
B．5
C．3
D．2
【例3】（2026·浙江台州·二模）已知平面向量
，
，
，若
，则
的最小值为
_______.
【变式1】（2025·广东·模拟预测）若函数
与
表示同一个函数，则
（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2
【变式2】（2025·山东·模拟预测）设全集
，集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知函数
，若
，则
实数
的取值范围为_______________.
【题型二】二次函数的性质与图象
【例4】（2026·云南昆明·二模）设
．若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5】（多选）（2025·陕西榆林·模拟预测）已知函数
的定义域为
，
，
则（ ）
A．
B．
的值域为
C．
是偶函数
D．
是增函数
【例6】（2024·全国·模拟预测）已知
中，角
，
，
所对的边分别为
.
(1)求
的值；
(2)若
为线段
上一点且满足
平分
，求
的面积的取值范围.
【变式1】（2026·辽宁抚顺·二模）已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，若
在
上恒成立，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024·四川遂宁·模拟预测）函数
在
上的最小值为
，最大值为1，则
的最大
值为______.
【变式3】（2024·山西·模拟预测）已知集合
，
.
(1)若
，
，且
是
的必要不充分条件，求
的取值范围；
(2)若函数
的定义域为
，且
，求
的取值范围.
【题型三】幂函数的定义
【例7】（2026·四川广安·模拟预测）“
”是“
为幂函数”的（ ）
A．充分且不必要条件
B．必要且不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【例8】（2025·江苏盐城·三模）“
”是“
为幂函数”的（ ）条件．
A．充要
B．必要不充分
C．既不充分也不必要D．充分不必要
【例9】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知幂函数
过点
，则
为__________.
【变式1】（2026·河南南阳·模拟预测）“
”是“函数
为幂函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式2】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知幂函数
的图象经过点
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．3
D．9
【变式3】（2025·新疆·模拟预测）幂函数
在
上单调递减，且经过点
，请写出符合条件的一个
函数解析式__________．
【题型四】幂函数的单调性
【例10】（2026·河南新乡·三模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例11】（多选）（2025·新疆喀什·模拟预测）下列关于幂函数的论述正确的是（ ）
A．若
，则幂函数
的图象是一条直线
B．若两个幂函数的图象至少有三个公共点，则这两个函数一定相同
C．若幂函数为奇函数，则图象一定经过点
D．幂函数的图象一定经过点
，且一定不经过点
【例12】（2026·安徽合肥·模拟预测）“
”是“函数
为幂函数，且在
上单调递
减”的__________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）
【变式1】（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数
在
上单调递减，则实数m 的值为
（ ）
A．0 或1
B．
或1
C．1
D．0
【变式2】（多选）（2025·河南·二模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2025·安徽·模拟预测）已知幂函数
是
上的偶函数，将函数
的图象先向
右平移2 个单位，再向下平移1 个单位得到
的图象．
(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
的值域；
(3)设
，解关于
的不等式：
．
【解题大招01】幂函数的判断与解析式求解
紧扣幂函数定义（y = x
α，系数为1），判断函数是否为幂函数；求解析式时，利用图象过定点，代入求解α的值。
【例1】判断下列函数是否为幂函数，并求过点(2,4)的幂函数解析式。
（1）y = 4 x
3；（2）y = x
−1；（3）y =( x−1)
2。
【解题大招02】幂函数单调性、奇偶性快速判断
由α的符号判断单调性（α >0在定义域内递增，α <0在定义域内递减）；由定义域对称性+f (−x)与f ( x)的关系
判断奇偶性。
【例2】判断幂函数y = x
−1
3的定义域、单调性及奇偶性。
【解题大招03】二次函数解析式求解
根据已知条件，灵活选用一般式、顶点式、零点式，减少计算量——已知三点用一般式，已知顶点用顶点式，
已知与x 轴交点用零点式。
【例3】已知二次函数顶点为(2,−3)，且过点(0,1)，求其解析式。
【解题大招04】二次函数最值与单调区间求解
先求对称轴x =−b
2a，结合a的符号判断单调性；求最值时，分“定义域为ℝ”和“定义域为区间”两种情况，
区间内最值优先看对称轴是否在区间内。
【例4】求二次函数y =−x
2+2 x +3在区间[0,3]上的单调区间及最值。
【解题大招05】二次函数与一元二次方程结合
利用二次函数图象与x 轴的交点，转化为一元二次方程根的问题，结合判别式Δ=b
2−4 ac判断根的个数，利用
韦达定理求根的关系。
【例5】已知二次函数y = x
2−2 x +m，若其图象与x 轴有两个不同交点，求实数m的取值范围，并求两根之和
与两根之积。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·海南海口·模拟预测）下列函数中，图象关于原点对称且在
单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·河南信阳·模拟预测）已知
在区间
上不单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·河南信阳·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（2026·山西临汾·一模）下列函数中既是偶函数，又在
上单调递减的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
5．（2025·江西·一模）已知幂函数
在
上单调递增，若正数
、
满足
，则
的最小值为___________．
6．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）点
为圆
上的动点，则
的取值范围为__________.
7．（2023·广东珠海·模拟预测）已知函数
在区间
上是增函数，则实数
的取值范围是
______.
四、解答题
8．（2024·浙江·二模）在正四面体
中，点
分别在棱
上（不与顶点重合），且
(1)若
，证明
(2)求
的取值范围．
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且满足下列性质：
①
；②
则下列说法一定正确的为（ ）
A．
在
上无最小值
B．
在
上单调递减
C．
在
上有最小值
D．
在
上单调递增
2．（2025·江苏·模拟预测）
关于
对称，则其最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数
，设
，
．且关于
的
函数
．则（ ）
A．
B．
C．当
时，存在关于
的函数
在区间
上的最小值为6，
D．当
时，存在关于
的函数
在区间
上的最小值为6，
三、填空题
4．（2025·全国·模拟预测）已知实数
，
满足
，则
______.
5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知幂函数
为偶函数，则
______________．
四、解答题
6．（2025·四川绵阳·一模）设函数
.
(1)若
，写出函数
的单调区间；
(2)当
时，
，求实数
的取值范围.
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·重庆北碚·模拟预测）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·广东深圳·一模）若实数
，
，
满足
，则
，
，
的大小关系不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．若函数
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
4．（2025·广东·模拟预测）已知函数
，若存在
，使得
成立，则实数
的取值范
围是____．
四、解答题
5．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数
为定义在
上的偶函数，且满足
，
．
(1)求
的解析式；
(2)若不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)设
，若对任意的
，存在
，使得
，求实数
的取值范围．
