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5.4 极化恒等式、等和线与向量其他问题
极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]．
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角
线”平方差的.
在平行四边形ABDC 中，O 是对角线的交点，则
(1)平行四边形模式：AB·AC＝(|AD|2－|BC|2)．
(2)三角形模式： AB·AC＝|AO|2－|BC|2.
(3)关联定理之平行四边形定理
(4)推广定理之矩形大法
等和（高）线定理
平面内一组基底OA，OB及任一向量
，
＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB 上或
在平行于AB 的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线
称为等和(高)线．
(1)当等和线恰为直线AB 时，k＝1；
(2)当等和线在O 点和直线AB 之间时，k∈(0,1)；
(3)当直线AB 在O 点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
(4)当等和线过O 点时，k＝0；
(5)若两等和线关于O 点对称，则定值k1，k2互为相反数；
(6)定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比．
解题技巧：要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1 时的等和(高)线，利用比例求
其他的等和(高)线．
线段定比分点公式
设点 P 分有向线段⃗P1 P2的定比为λ，即⃗P1 P =λ⃗P P2 。
已知： P1( x1, y1)，P2( x2, y2)，分点P( x , y)
坐标公式{
x = x1+ λ x2
1+ λ
y = y1+ λ y2
1+ λ
考点一 极化恒等式的应用
考点二 等和线的应用
考点三 线段的定比分点
考点四 利用向量解决几何问题
考点五 利用向量解决最值和范围问题
考点一 极化恒等式的应用
1．（25-26 高三上·安徽阜阳·阶段检测）如图，四边形ABCD 为矩形，其中AB=4，AD=3，其上方是一个以CD 为
直径的半圆，P 为半圆弧上的一个动点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】取
中点
，利用向量中点分解与平方差公式将
转化为
，再结合
的取值范围
求得最终结果.
【详解】如图，取AB 的中点O，则
，
又因为|
，所以
，所以
，则
的取值范围为
.
2．（25-26 高三上·安徽芜湖·期中）在边长为
的正方形
中，
，
分别为边
，
上的点，且满足
，
是正方形
边上的任意一点，则
的最大值为__________．
【答案】
【分析】根据数量积的运算可得
，再由正方形的性质可得最大值.
【详解】连接
，取
的中点
，连接
，由题意知
，所以
，
则
．
易知当点
与点
重合时，
取得最大值，且
，
故由正方形的性质知
，
所以
的最大值为
．
3．（25-26 高三上·江西南昌·期中）已知非零向量
与
满足
，且
，
，点
是
的边
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给出的向量关系得到三角形的形状，并运用极化恒等式将所求数量积转化为有关线段
的函数，当
线段
取最小值，也就是点到直线垂线段最短时，取得最小值.
【详解】
因为
表示
方向上的单位向量，同理
表示
方向上的单位向量，
根据平行四边形法则，所以
所在直线是
的角平分线，
又
，
所以
的角平分线与边
垂直，
所以
是等腰三角形，
，
取
中点
，则有
，
因为
，所以
，
又因为
，所以
，所以
，
所以根据勾股定理
，
根据极化恒等式，
，
要使得取得最小值，即线段
最小，此时
，
在直角三角形
中，由等面积法，得到
，
所以
的最小值为
.
4．（25-26 高三上·河北保定·期中）已知点P 为边长为2 的等边
外接圆⊙O 上的一个动点，则
的取
值范围是______
【答案】
【分析】利用恒等式
，将
与
建立联系，再通过
的范围求
的取值范围.
【详解】连接并延长
交
于
，同时交圆
于
，由等边
的性质知
是
的中点，且
，
，
，
当点P 在圆上运动时，P 位于C 处时，
有最大值为
；
当P 位于Q 处时，
有最小值为
；
所以
，
所以
.
5．（2026·云南曲靖·二模）已知正方形
的边长为2，
为该正方形内切圆的直径，点P 在正方形
的
边上运动，则
的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】B
【分析】取正方形内切圆圆心
，再利用向量数量积的运算律列式求解.
【详解】依题意，正方形
的内切圆的半径为1，设圆心为O，
则
，
当点P 为正方形的顶点时，
有最大值
，所以
的最大值为1．
6．（25-26 高三上·辽宁朝阳·期中）极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题．
1．极化恒等式：
，公式推导：
；
2．平行四边形模式：如图，平行四边形
，
是对角线交点，则
；
3．三角形模式：如图，在
中，设
为
的中点，则
．推导过程：由
(1)如图，在边长为4 的正方形
中，其对称中心
平分线段
，且
，点
为
的中点，求
的值；
(2)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）．某太极八卦
图的平面图如图2 所示，其中正八边形的中心与圆心重合，
是正八边形的中心，
是圆
的一条直径，且正八
边形
内切圆的半径为
，
．若点
是正八边形
边上的一点，求
的取值范围；
(3)已知
中，
，
，且
的最小值为
，若
为边
上任意一点，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由极化恒等式即可求解；
（2）连接
，根据三角形模式可得
，即可求解；
（3）由题意可得
是等边三角形，所以
，再根据向量极化恒等式即可求解．
【详解】（1）由正方形
的边长为4，则
，
，
．
由极化恒等式可得：
．
（2）如图，连接
．
因为
，
，
所以
．
因为正八边形
内切圆的半径为
，
，
所以
．
因为
，所以
，所以
，
即
的取值范围是
．
（3）令
（其中
），
则
三点共线（如图），
从而
的几何意义表示点
到直线
的距离为
，
这说明
是等边三角形，
为边
上的高，故
．
取
的中点
，则由向量极化恒等式可得
，
其中
为点
到边
的距离．
即当点
在垂足
（非端点）处时，
达到最小值
．
考点二 等和线的应用
7．（2026·山东烟台·三模）如图，边长为2 的等边
的外接圆为圆
，点
为圆
上任意一点，若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．1
【答案】A
【分析】作
的平行线与圆
相交于点
，与直线
相交于点
，与直线
相交于点
．设
，
所以
，设
，结合图形得出
，由条件结合平面向量基本定理可得出
与
的关系，
进而可得结果．
【详解】作
的平行线与圆
相交于点
，与直线
相交于点
，与直线
相交于点
，
设
，因为
三点共线，所以
，
等边三角形边长为2，则外接圆半径为
，
由
，可设
，
当
过点
且与圆
相切时，
取最小值0，
当
与
在点
的同侧，且
与圆
相切于点
时，
取最大值，
此时
，
，则
取最大值
，
所以
，
，
又
，则
，得
，
所以
，则
的最大值为
．
故选：A．
8．（2026·河北衡水·二模）如图，在平行四边形ABCD 中，AC，BD 相交于点O，E 为线段AO 的中点.若
，则
等于
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先用
表示出
，再得出
和
的值.
【详解】∵四边形
是平行四边形，
∴
，又E 为线段AO 的中点，
∴
，
∴
，
，即
.
故选：B.
【点睛】本题考查了平面向量的基本定理和线性运算，属于基础题.
9．（25-26 高三·湖南长沙·阶段检测）已知平面内的两个单位向量
，
，它们的夹角是
，
与
、
向量的夹角都为
，且
，若
，则
值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】D
【分析】利用
在
的角平分线上可得
，再根据
可求
的值，故可得正确的选项.
【详解】由题意，可得
在
的角平分线上，所以
，
再由
可得
，即
，
再由
，
得
，
解得
，故
，所以
，
故选D．
【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的数量积运算，其中解答中熟记平面向量的基本定理，
得到
，再利用向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10．（2026 高三·全国·专题练习）扇形
中，
，
为
上的一个动点，且
，其
中
.
（1）
的取值范围为______；
（2）
的取值范围为______.
【答案】
【详解】（1）解法一：（等和线）设
与
相交于点
，
，
，
.
解法二：（坐标法）
，
，
，
，
，
，
.
解法三：设
，
，即
∴
.
（2）解法一：（等和线）
解法二：
，其中
先增后减.
11．（25-26 高三上·重庆北碚·阶段检测）如图所示，已知点G 是
的重心，过点G 作直线分别与AB，AC 两
边交于M，N 两点（点N 与点C 不重合），设
，则
的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】利用平面向量基本定理计算即可.
【详解】设
，则
，
又因为G 是
的重心，故
，
所以有
.
故选：A
12．（2026 高一·全国·专题练习）给定两个长度为的平面向量
和
，它们的夹角为
，如图所示，点
在
以
为圆心的圆弧
上运动，若
，其中
，则
的最大值是_____；
的最大值是
______.
【答案】 2
【分析】建立以
点为原点的坐标系，设
，写出向量的坐标表示形式，用
的三角函数表示
，
，最后用辅助角公式求最值
【详解】建立如图所示坐标系，
则
，设
，
由
,
化简得:
，
（1）
,
则当
时,
最大，值为
（2）
其中
且
为第一象限角
则当
时,
最大，值为
故答案为：
；
考点三 线段的定比分点
13．（25-26 高三上·陕西榆林·期中）（多选）已知
，
，点
是线段
的一个三等分点，则点
的坐标可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】由题意可知：
，
，其中
为坐标原点，
因为点
是线段
的一个三等分点，则
或
，
若
，则
，即点
的坐标为
；
若
，则
，即点
的坐标为
；
综上所述：点
的坐标可以为
或
.
14．（25-26 高三上·广东茂名·期中）设点
，
，P 是直线
上一点，当
时，点
的
坐标为________.
【答案】
【分析】根据向量的坐标运算列方程组求解即可.
【详解】设点
，则
，
.
由
，得
，解得
.
所以点
的坐标为
.
15．（25-26 高三上·湖南株洲·期中）（多选）已知
，
，点
在直线
上，且
，则点
的坐标可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式分类讨论进行求解即可.
【详解】设
，
若
；
若
.
16．（25-26 高三上·上海·期中）已知平面上两点
为直线
上一点，且
，则点
的坐
标为__________.
【答案】
【详解】设
，则
，
因为
，所以
，解得
，
所以点
的坐标为
.
17．（25-26 高三上·湖北荆州·期中）已知点
，且
，则点
的坐标为
___________________．
【答案】
【分析】设点
的坐标，应用平面向量坐标表示求解.
【详解】设点
，那么
，
由
可得，
，故
18．（25-26 高三上·重庆·期中）已知
为坐标原点，
，
，则
的重心坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】已知
，
，
，
由重心坐标公式可得重心坐标为
，即
．
考点四 利用向量解决几何问题
19．（25-26 高三上·四川绵阳·阶段检测）已知在
中，点
是
边上靠近点
的四等分点，点
为
中点，
设
与
相交于点
.
(1)请用
、
表示向量
和
；
(2)设
和
的夹角为
，若
，且
，求证：
；
(3)若
，
，求点
的坐标.
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）
（2）
，
，
（3）设
，由已知可得
，即
所以点
的坐标是
20．（25-26 高三上·福建三明·期中）已知
是平面内两个不共线的向量，
， 且A，C，E 三点共线．
(1)求λ 的值；
(2)
，已知点D 的坐标为
，若四边形ABCD 为平行四边形，求点A 的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据向量的加减法求出
，再利用向量共线的性质列出方程，进而求出
的值；
（2）由（1）以及向量的加减法求出
，设点
，可求出
，再根据平行四边形的性质得到
，
最后列出方程组求解点的坐标.
【详解】（1）因为
且
，
又因为A，E，C 三点共线，所以
，
所以
， 即
，
所以
，解得
，
所以
；
（2）由（1）得
所以
，
由四边形ABCD 为平行四边形得
，
设
，且点D 的坐标为
，则
，
所以
， 解得
，
即
．
21．（25-26 高三上·江苏扬州·阶段检测）如图，
分别是菱形
的边
和
上的动点，且
.
(1)若
分别是
的中点，求
；
(2)若
分别是
的中点，
是线段
上的任意一点，求
的最大值；
(3)若
分别为线段
和
上的动点，且
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）以点
为原点建立平面直角坐标系，求出向量的坐标，即可求
；
（2）设
，求出
，，表示出
，利用二次函数的性质可得答案；
（3）设
，表示出
，利用二次函数的性质可得答案.
【详解】（1）以点
为原点建立平面直角坐标系，如图所示：则
，
，由
分别是
的中点，
，
；
（2）由（1）知，设
，则
，
.当
时，
取得最大
值为-2.
（3）设
，由
得，
，当
时，
取得最大值为
，当
时，
取得最小值为
的范围为
22．（25-26 高三上·上海·期中）如图所示，点
，
分别在
轴非负半轴和
轴非负半轴上滑动，且
，以线
段
为一边，在第一象限内作矩形
，
，
是坐标原点，则
的最大值是____；
【答案】
【分析】如图建立直角坐标系，设
，通过几何关系，可得
，
，进而可得
、
的坐标，结合数量积的坐标运算及三角函数的运算，可求得
的最大值.
【详解】过点
作
轴于
，过点
作
轴于
，
设
，
，则
，
又
，
，
所以
，
，
，
，
，
，
所以
，
，
则
，
，
所以
，
，
则
，
又
，所以
，
根据正弦函数的图象性质，
，
所以
，即
的最大值是.
23．（25-26 高三上·天津和平·阶段检测）如图所示，在边长为3 的等边三角形
中，
，且点
在以
的中点
为圆心，
为半径的半圆上，则
_____；若
，则
的最大值为_____.
【答案】
【分析】根据平面向量的线性运算可得
，
，进而结合平面向量的数量积的定义及
运算律求解
即可；以
为原点，
为
轴正方向建立平面直角坐标系，表示出
，进
而结合正弦函数的性质求解即可.
【详解】由题意，
，
，
；
以
为原点，
为
轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，
则
，
，
，
由题意得
的轨迹为以
为圆心，1 为半径的半圆，其轨迹方程为
，
设
，
，
则
，
，
，
因为
，
所以
，
所以
，
所以当
时，
，此时
的最大值为
.
故答案为：
；
.
24．（25-26 高三上·陕西渭南·期末）根据勾股定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正
方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形
（其中
，
）按上述操作作图后，得如图所示的图形，若
，则
______.
【答案】
/
【分析】依题意，建立平面直角坐标系，设
，求得
的坐标，再由
列式求解即
可.
【详解】建立如图所示平面直角坐标系：
设
，则
，
则
，
，
所以
，即
，
所以
，
因为
，
所以
，则
，
所以
，
则
，
故答案为：
.
考点五 利用向量解决最值和范围问题
25．（25-26 高三上·广东茂名·期中）已知
是边长为2 的等边三角形，AB 是圆M 的直径，若点P 为圆M 上
一动点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】以
的中点
为坐标原点，
所在直线为
轴建立平面直角坐标系.
∵
是圆
的直径，且
为边长为
的等边三角形，
∴
，
设圆上动点
，
，
∴
，
，
∴
.
∵
，
∴
，
即
的取值范围为
.
26．（2026·天津南开·二模）在平行四边形
中，
和
分别是
和
的中点，则
_____；若
是
的三等分点，点
在线段
上，
，则
的取值范围是_____．
【答案】 6
【分析】以
为基底把
表示出来，再结合数量积的运算律；设
，得
，再结合二次函数的性质解题.
【详解】由题意可得
，
所以
,则
.
设
，
，
则
所以
当
时，
；当
或1 时，
，
综上：
27．（2026·天津东丽·二模）在
中，
，
，
，
，P 为线段CD 上一点，若
，则
___；则
的最小值为______．
【答案】
【分析】借助平面向量线性运算法则及三点共线定理计算即可得空一；借助模长与数量积关系及基本不等式计算
即可得空二.
【详解】由
，则
，故
，
由P 为线段CD 上一点，则
、
、
三点共线，故
，即有
；
，
由
，当且仅当
，即
，
时，等号成立，
故
，则
，
即
的最小值为
.
28．（25-26 高三上·重庆·期中）如图，在矩形
中，
，点
在边
上运动（含端点），点
在边
上运动（含端点），
与
交于点
.
(1)若
是
的中点，
，
，求实数
的值；
(2)若
是
的中点，
，求实数
的取值范围；
(3)若
，
，求
的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）建立平面直角坐标系，确定
坐标及
、
，设
点坐标，由
用
表示
，再
结合
列方程组，求解
.
（2）确定矩形各顶点与
坐标，由
用
表示
，再由
联立方程，推出
，根据范围求出
取值区间.
（3）由
三点共线得
，设
，写出各点与相关向量，把
用
线性表示，利用
建立等式，求出
关于
的解析式，化简
后借助函数单调性求得最大值.
【详解】（1）如图，以A 为原点建立平面直角坐标系，
则
，所以
，
设点
，则
，由
，得
，
所以
，即
，
设
，则
，
所以
，解得
；
（2）易知
，
由
得：
，
设
，则
，
所以
，可得
.
由于
，所以
；
（3）因为
三点共线，且
，
所以
，
设
.
则
.
所以
，
所以
，
又
，，所以
，
所以
，
所以
，
若
，则
，若
，则
，
由对勾函数性质可知当
时，
单调递减，
故当
时，
取得最大值为
.
综上所述：
的最大值为
.
29．（25-26 高三上·广东茂名·期中）如图，设Ox、Oy 是平面内相交成角
的两条数轴，
、
分别是
与Ox、Oy 正方向同向的单位向量，定义平面坐标系xOy 为
仿射坐标系，在
仿射坐标系中，若
，则记
.
(1)在
仿射坐标系中，若
，求
；
(2)在
仿射坐标系中，若
，
，且
与
的夹角为
，求
；
(3)如图所示，在
仿射坐标系中，B、C 分别在x 轴、y 轴正半轴上，
，
，E、F 分别为
BD、BC 中点，求
的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意可知，
，利用平面向量数量积的运算性质可求得
的值；
（2）计算出
、
、
，利用平面向量的夹角公式可得出关于
的方程，解之即可；
（3）设
、
，利用平面向量的线性运算得出
、
关于
、
的关系式，利用余弦
定理可得出和平面向量数量积的运算性质化简得出
，设
，利用正弦定理可
得出
，
，利用三角恒等变换以及正弦函数的有界性可求得
的最大值.
【详解】（1）由题意可知，
、
的夹角为
，
∴
∵
，则
，
∴
∴
.
（2）由
，
，得：
，
，
∴
则
，
∵
与
的夹角为
，
∴
解得
.
（3）依题意设
、
，且
，
，
∵
为
的中点，
∴
∵
为
中点，同理可得：
∴
由题意可知，
，
，
∴
在
中依据余弦定理得：
代入上式得：
在
中，由正弦定理：
设
，则
，且
，
∴
，
，其中
为锐角，且
，
∵
，则
，
故当
时，
取最大值
，
∴
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义；
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的运算律.
30．（25-26 高三上·安徽阜阳·期中）（多选）如图，点
是线段
的中点，
，点
是平行四边形
内(含边界)的一点，且
，以下结论中正确的是（ ）
A．当
是线段
的中点时，
B．当
时，
C．当
为定值
时，点
的轨迹是一条线段
D．
的最大值为
【答案】ACD
【分析】对A，根据条件，利用向量的线性运算，即可求解；对B，取线段
，
的中点
，延长
与直
线
交于点
，利用几何关系得
，从而得点
的轨迹为线段
，再取两个端点即可求解；
对C，令
，可得
三点共线，利用几何关系可得点
的轨迹是线段
，即可求解；
对D，利用向量的线性运算，可得
，进而可得
，即可求解．
【详解】对于A，当
是线段
的中点时，
，
所以
，故A 正确，
对于B，当
时，如图1，取线段
，
的中点，分别记为
，
则
平行于
，
延长
与直线
交于点
，则
，
所以
，则
，
又点
在平行四边形
内(含边界)，所以点
的轨迹为线段
，
当点
与
重合时，
，
当点
与
重合时，
，
所以
．故B 不正确，
对于C，当
为定值2 时，
，
令
，可得
三点共线，
分别取线段
的中点，如图2，记为
，
所以
，即
，
连接
交
于点
，因为
，且
，则
，
所以点
的轨迹是线段
，故C 正确．
对于D，由于平行四边形
所在区域在
的左上方，且
三点共线，
所以
，则
，所以
，
即当
时，
取得最大值，此时点
与点
重合，所以D 正确．
1．（25-26 高三上·安徽·阶段检测）在等腰梯形
中，
，
，
是线段
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】B
【分析】方法一：建立平面直角坐标系，设
，写出对应点坐标，根据平面向量数量积坐标运算建立等
式计算即可求解；方法二：由极化恒等式列式计算即可.
【详解】方法一：以
为原点，射线
为
轴正半轴建立直角坐标系，如图所示：
，则
，
设
，其中
，则
，
，
当
时，
取得最小值为
.
方法二：极化恒等式
设
的中点为
，则
，
当
为
中点时，
取得最小值为
.
故选：B.
2．（25-26 高三上·北京·阶段检测）如图，正六边形的边长为
，半径为 1 的圆
的圆心为正六边形的中心，
若点
在正六边形的边上运动，动点
在圆
上运动且关于圆心
对称，则
的最大值为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】连接
、
、
、
，则
为
的中点，利用平面向量数量积的运算性质得出
，数形结合求出
的最大值，即可得出
的最大值.
【详解】连接
、
、
、
，则
为
的中点，
由正六边形性质得
，
，而
，
因此
，
当且仅当
与正六边形的顶点重合时，
取最大值
.
故选：B
3．（2026 高三·全国·专题练习）如图所示，正方形
的边长为1，点
分别在
轴，
轴的正半轴（含原
点）上滑动，则
的最大值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】取
的中点
，将
的表达式利用极化恒等式化简，再由三点共线可求出最大值.
【详解】取
的中点
，
的中点
，连接
，如下图所示：
易知
，
所以
．
因为
，当且仅当
三点共线时等号成立．
所以
的最大值为2．
故选：B．
4．（2026·广东江门·模拟预测）已知向量
分别表示位移“向北偏东
方向
”“向东偏南
方向
”，
则向量
表示位移（ ）
A．向正北方向
B．向正南方向
C．向西北方向
D．向东南方向
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，得
进行求解即可．
【详解】建立平面直角坐标系：
则
，得
，
则向量
表示位移：向正北方向
．
故选：A
5．（2026·江苏南京·二模）在四边形
中，
，
，
，E 是线段
中点，
是线段
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】建立坐标系，表示出
的坐标，根据
是线段
上的动点用参数
表示点
的函数，从而题
目可转换为关于
的二次函数在闭区间上的最小值问题.
【详解】由题以点
为坐标原点，
为
轴建立如图所示的平面直角坐标系，
因为
，E 是线段
中点，
所以
，
而
是线段
上的动点，
从而可设
，
所以点
的坐标是
，
所以
，
，
所以当
时，
的最小值是
.
故选：C.
6．（25-26 高三上·江苏徐州·阶段检测）在直角
中，
是直角，
的内切圆交
于
点
，点
是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若
，则
的值可以是（ ）
A．1
B．2.5
C．4
D．5.5
【答案】B
【分析】先由内切圆性质求出半径，再利用坐标法得到
的几何意义，数形结合可解.
【详解】在
中，
，则
，
设内切圆半径为r，
则
，可得
，
以C 为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则
，
.
可得
，
令
，则点P 在直线
上，
因为点P 是图中阴影区域内的一点(不包含边界)，即直线与阴影区域(不包含边界)有公共点.
由图可知，当
且
时，才满足题意，故ACD 错误，B 正确.
故选：B.
7．（25-26 高三上·黑龙江大庆·期中）（多选）已知扇形AOB 的半径为1，
，点C 在弧AB 上运动
（包含边界），
，下列说法正确的有（ ）
A．
的取值范围是
B．
的最大值是2
C．
的取值范围是
D．
的最大值是
【答案】ABC
【分析】建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值可判断结合选项逐一
求解．
【详解】如图，建立符合题意的图形，
以
为原点，以
为
轴，建立如图所示的直角坐标系.
设
，则
，
.
进而
，
，
.
因为
，则
，即
，
选项A，
.
因为
，所以
，进而
，
所以
，正确.
选项B，因为
，
，
所以
最大值为1，进而
的最大值为2，正确.
选项C，
.
因为
，所以
，进而
，正确.
选项D，
，最大值为
，错误.
8．（25-26 高三上·黑龙江辽宁·期中）（多选）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，
图1 是一个正八边形窗花，图2 是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH 的边长为
，点P 是正八边形ABCDEFGH 边上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的最小值为
C．
的最大值为
D．若P 在线段BC 上，且
，则
的取值范围为
【答案】ABD
【分析】易得
及
的大小关系，即可判断A；易得当
取得最小值时，点
在
上时，进而
可判断B；根据数量积的几何意义可得当点
在边
上时，
取得最大值，即可判断C；设
，再
根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理即可判断D.
【详解】对于A，由正八边形的结构特征可知：
，
则
，所以
，
所以
，故A 正确；
对于B，由正八边形的结构特征可知，当点
在边
上时（不包含
两点），
的夹角为锐角，此时
；
当点
在
上时，设
，则
，
则
，
当
时，
取得最小值
，
综上所述，
的最小值为
，故B 正确；
对于C，由题意可知，当点
在边
上时，
在
方向上的投影最大，
最大值为
，
根据数量积的几何意义可得
的最大值为
，故C 错误；
对于D，设
，则
，因
，
所以
，
所以
，
于是
，故D 正确.
9．（25-26 高三·全国·一轮复习）（多选）如图，在正方形
中，E 为
中点，M 为线段
上的动点，
，则下列结论正确的是（ ）
A．当M 为线段
的中点时，
B．
的最大值为
C．
的取值范围为
D．
的取值范围为
【答案】AC
【分析】以
点为坐标原点建立平面直角坐标系，不妨设
，则可以写出各个点的坐标，再设
，则
，由题干条件和向量的坐标运算把
用表示，由此可分析各个选项正误.
【详解】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示，设
，则
，
设
，则
，由于
，所以
，
整理得
，则
．
对于A，当M 为
的中点时，
，故
，故A 正确；
对于B，
，
由于
，当
时，
取最大值为
，故B 错误；
对于C，由于
，所以
，故
的取值范围为
，故C 正确；
对于D，
，故
的取值范围为
，故D 错误．
故选：AC.
10．（25-26 高三上·浙江杭州·期中）（多选）正方形
的边长为2，动点
在正方形内部及边上运动，
，则下列结论正确的有（ ）
A．点
在线段
上时，
为定值B．点
在线段
上时，
为定值
C．
的最大值为2
D．使
的
点轨迹长度为
【答案】BC
【分析】A 选项，建立平面直角坐标系，写出点的坐标，设
，故
，不是定值；B 选
项，设
，计算出
；C 选项，设
，
，表达出
，故
当
时，
取得最大值，最大值为2，C 正确；D 选项，由C 得到
，
点轨迹为直线
在正方形
内的部分，即线段
，由勾股定理求出轨迹长度.
【详解】A 选项，以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立平面直角坐标系，
则
，
，
当
在线段
上时，设
，
，
则
，不是定值，A 错误；
B 选项，点
在线段
上时，设
，
，
，为定值，B 正确；
C 选项，
，设
，
，
，
由
得，
，
所以
，即
，
，故当
时，
取得最大值，最大值为2，C 正确；
D 选项，由C 知，
，故
，即
，
所以
点轨迹为直线
在正方形
内的部分，即线段
，
其中
中，令
得
，令
得
，
故
，故使
的
点轨迹长度为
，D 错误.
故选：BC
11．（25-26 高三·江苏·一轮复习）（多选）如图，延长正方形
的边
至点E，使得
，动点P 从点
A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若
，则下列判断不正确的是（ ）
A．满足
的点P 必为
的中点
B．满足
的点P 有且只有一个
C．满足
的点P 有且只有一个
D．满足
的点P 有且只有一个
【答案】ABD
【分析】建立坐标系，讨论P 点所在位置的不同情况，依次求出
的范围，再判断每个选项的正误，即可得出
结果.
【详解】如图建系，取
，
，
动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，
当
时，有
且
，∴
，∴
，
当
时，有
且
，则
，
当
时，有
且
，则
，∴
，∴
，
当
时，有
且
，则
，
综上，
，
选项A：取
，满足
，此时
，
因此点P 不一定是
的中点，故A 错误；
选项B：当点P 为B 点或
的中点时，均满足
，此时点P 不唯一，故B 错误；
选项C：当点P 为
点时，
且
，解得
，由上分析可知
时
为
点，故C 正确；
选项D：若
，
当
时，有
，故
，
，此时
，
当
时，有
，故
，
，
此时点P 不唯一，故D 错误；
故选：ABD.
12．（25-26 高三上·湖南·期末）（多选）如图，在直角梯形
中，
，
，E 为AB 的中点，
M，N 分别为线段DE 的两个三等分点，点P 为线段BD 上的任意一点，若
，则
的值不可能
是（ ）
A．
B．3
C．7
D．9
【答案】ACD
【分析】建立适当的平面直角坐标系，依次设
和
并结合
和
得关于
的方程组即可求解.
【详解】由题可建立如图以A 为坐标原点的平面直角坐标系，
则
，不妨设
，则
，
则
，
设
，则
，
因为
，所以
，
所以
，整理得
因为
，所以
.
故选：ACD
13．（25-26 高三下·天津·阶段检测）已知
，
，是非零向量，
，
与
的夹角为
，
的最小值为
________.若
，设
为任意实数，
的最小值为________．
【答案】 2；
./0.5
【分析】利用数量积公式以及
，可得到
的表达式，结合二次函数性质可得最小值；利用
整理化简可得
，由此得到向量终点的轨迹，从而可求
的最小值.
【详解】由已知
，且
与
的夹角为
，得
，又
，
故
，
代入
，得
，所以
，最小值为
；
设
，则
，取
中点
，记
，所以
，
，
，
，
所以
，所以
，
即
.
则点
在以点
为圆心，半径
的圆上，
的终点在与
成
的直线上，记
，
因此
的最小值为
的最小值，过点
作
，与圆交于点
,如图所示，此时
最小，
最小值为
．
14．（25-26 高三下·江苏扬州·阶段检测）设
，
是非零向量，且
，
，则
的最小值是
______．
【答案】
/
【分析】采用换元法，令
，再将题干及目标向量的模全部转为
的关系式即可求解．
【详解】令
，则
，
，
解得
，
而
，
则
又
，当
时，
取得最小值，
即
，因此
．
15．（25-26 高三上·河北邢台·阶段检测）某老旧小区积极响应国家“老旧小区改造”及“适老化改造”的政策号
召，计划对小区内一空地进行重新规划改造，如图，四边形ABDC 为空地，AC，CD 为围墙，AB 为单元楼，E 为
单元楼入口，D 为小区入口，现规划在小区修建一条直道DE，并在BC 与DE 的交点F 处安装路灯及监控．已知
，
，
，
，
为
的中点，
，则
______，
______．
【答案】
/
【分析】建立如图所示平面直角坐标系，利用向量线性运算的坐标性质可求
的坐标，设
，根据
求
出
，利用向量的夹角公式可求
，从而可求
.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，则
,
因为
，故
，
故
，故
，故
.
设
，故
，
故
，而
，
所以
，
整理得
，故
或
.
若
，则
，
，
故
，
而
为三角形内角，故
.
若
，则
，
故
，
而
为三角形内角，故
,
综上，
.
16．（25-26 高三上·北京延庆·期中）已知平行四边形
的三个顶点
，
，
，而且
，
，
，
按逆时针方向排列，则线段
的长度为_____，
点的坐标为_____．
【答案】
【分析】利用平行四边形的性质和三个点的坐标即可得出线段
的长度，结合向量即可求得
点的坐标.
【详解】由题意，在平行四边形
中，
,
,
，
所以
，
，
所以
，即
，
故答案为：
；
.
17．（25-26 高三·全国·二轮复习）如图，圆
是边长为
的等边三角形
的内切圆，其与
边相切于点
，
点
为圆上任意一点，
，则
的最大值为________
【答案】2
【分析】以
点为原点，
所在直线为
轴，垂直于
方向为
轴建立坐标系，设
，则可用
表
示
，利用辅助角公式即可求其取值范围.
【详解】因为圆
是等边三角形
的内切圆且与
边相切于点
，所以
是
边上的中点，
以
点为原点，
所在直线为
轴，垂直于
方向为
轴建立如图所示坐标系，
设内切圆半径为，因为等边三角形
的边长为
，
所以由三角形面积公式
解得
，
故可设
，且
，
所以
，
，
，
由
可得
，
解得
，
所以
，所以最大值为2，
故答案为：2
18．（25-26 高三下·江西·阶段检测）如图，在矩形ABCD，中
，E，F 分别是BC 和CD 的中点，若
P 是矩形ABCD 内一点（含边界），满足
且
，则
的最小值为_________．
【答案】
【分析】取
，利用平面向量三点共线的性质得到
三点共线，从而得到点
在直线
上，且
，且位于矩形内部（含端点），则利用向量的基本定理和数量积得到
，
又
长是定值，求
的最小值就是求
的最小值，而
的最小值为当
时
最小且最小值
为
，从而得到
的最小值.
【详解】
，
，
，
取
,则
,
则
三点共线，即点
在直线
上且位于矩形内部（含端点），
取
的中点
，连接
，则
，
因为
，
,所以
，
因为
，所以
，所以
，
因为
，所以
，
设
的中点为
,
则
，
因为
，
分别为
的中点，
所以
，
，
求
的最小值转化为求
的最小值，
又
为
的中点，则
为定点，
因为点
在直线
上且位于矩形内部（含端点），
所以当
时，
最小，且最小值为
,
所以
的最小值为
.
19．（25-26 高三上·安徽滁州·阶段检测）已知
中，
是
边上靠近
的三等分点，过点
的直线分别交直
线
，
于不同的两点
，
，设
，
，其中
，
，则
的最小值是______.
【答案】
/
【分析】根据向量运算法则得
，又
，
，所以
，又因为
三点共线，所以
.所以利用常值代换，结合基本不等式即可求解.
【详解】
由
是
边上靠近
的三等分点，可得
，
，
又
，
，所以
，
又因为
三点共线，所以
.
所以
.
因为
，所以
，当且仅当
时取等号，
即
时取等号，
所以
的最小值为
.
20．（2026 高三·全国·专题练习）在
ABC 中，H 为BC 上异于B，C 的任一点，M 为AH 的中点，若
，则λ+μ=_________．
【答案】
/0.5
【分析】根据题意，用
表示出
与
，求出λ、μ 的值即可．
【详解】设
，则
=（1﹣k）
+k
．
=
，
∴
故答案为：
