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极化恒等式与等和线 【知识拓展】 1.极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]. (1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和 对角线”与“差对角线”平方差的. (2)在平行四边形PMQN 中，O 是对角线交点，则： ①PM·PN＝(|PQ|2－|NM|2)(平行四边形模式)； ②PM·PN＝|PO|2－|NM|2(三角形模式). 2.平面向量共线定理 已知平面内一组基向量OA，OB及任一向量OP，且OP＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)， 若λ＋μ＝1，则A，B，P 三点共线；反之亦然. 3.平面向量等和线定理 平面内一组基底OA，OB及任一向量OP，且OP＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，若点P 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，且k＝＝＝，则λ＋μ＝k(定值)，反之也 成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为平面向量基本定理系数的 等和线. (1)当等和线恰为直线AB 时，k＝1， (2)当等和线在O 点和直线AB 之间时，k∈(0，1)； (3)当直线AB 在O 点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； (4)当等和线过O 点时，k＝0. 【类型突破】 类型一 利用极化恒等式求向量的数量积 例1 (1)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E，F 是AD 上的两个三等分点. BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值为________. (2)如图，在△ABC 中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝4，D 为AC 的中点，在平面 ABC 中，将线段AC 绕点D 旋转得到线段EF.设M 为线段AB 上的点，则ME·MF 的最小值为________. 答案 (1) (2)－4 解析 (1)设BD＝DC＝m， AE＝EF＝FD＝n， 则AD＝3n. 根据向量的极化恒等式，有AB·AC＝AD2－DB2＝9n2－m2＝4， FB·FC＝FD2－DB2＝n2－m2＝－1， 联立解得n2＝，m2＝. 因此EB·EC＝ED2－DB2＝4n2－m2＝. 即BE·CE＝. (2)连接MD，根据向量的极化恒等式，有ME·MF＝|MD|2－|EF|2＝MD2－8， 由于△ABC 为等腰直角三角形，M 为线段AB 上的点， 所以BC＝AC·sin ＝4， 因此MD≥BC＝2， 所以ME·MF≥4－8＝－4， 即ME·MF的最小值为－4. 规律方法 在三角形中利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤 (1)取第三边的中点，连接向量的起点与终点； (2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)利用平面几何法或正、余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积.如 需进一步求数量积的范围，可以用点到直线的距离最小，或用三角形两边之和大 于第三边，或用基本不等式等求得中线长的最值(范围). 注：对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量，再 利用极化恒等式. 训练1 (1)已知正三角形ABC 的边长为2，动点P 满足|PC|＝1，则PA·PB的最小 值为( ) A.4－2 B.3－2 C.3－2 D.4－2 (2)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM＝3，BC＝10，则AB·AC＝________. 答案 (1)C (2)－16 解析 (1)因为动点P 满足|PC|＝1， 所以点P 的轨迹是以C 为圆心，1 为半径的圆，如图所示： 设D 为AB 的中点， 则PA·PB＝(PD＋DA)·(PD＋DB)＝PD2－DB2＝PD2－1； 所以当|PD|取最小值时，PA·PB取得最小值， |PD|min＝|CD|－1＝－1， 所以PA·PB＝PD2－1≥(－1)2－1＝3－2.故选C. (2)因为M 是BC 的中点， 由极化恒等式得AB·AC ＝|AM|2－|BC|2＝9－×100＝－16. 类型二 利用等和线求基底系数和的值 例2 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，AC，BD 相交于点O，E 为线段AO 的中 点.若BE＝λBA＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝( ) A.1 B. C. D. (2)设D，E 分别是△ABC 的边AB，BC 上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB ＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________. 答案 (1)B (2) 解析 (1)法一 ∵E 为线段AO 的中点， ∴BE＝(BA＋BO)＝ ＝BA＋BD＝λBA＋μBD， ∴λ＝，μ＝，则λ＋μ＝. 法二(等和线法) 如图，AD 为BA，BD为基底值是1 的等和线，过E 作AD 的平行线， 设λ＋μ＝k，则k＝. 由图易知＝，故选B. (2)法一 由题意作图如图. ∵在△ABC 中，DE＝DB＋BE＝AB＋BC ＝AB＋(AC－AB) ＝－AB＋AC＝λ1AB＋λ2AC， ∴λ1＝－，λ2＝.故λ1＋λ2＝. 法二(利用等和线) 如图，过点A 作AF＝DE，连接DF. 设AF 与BC 的延长线交于点H， 如图，BH 为值是1 的等和线， 设λ1＋λ2＝k，则k＝， 由图易知，＝.因此λ1＋λ2＝. 规律方法 利用等和线求基底系数和的步骤 (1)确定值为1 的等和线； (2)平移该线，作出满足条件的等和线； (3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值. 训练2 在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN＝λAB＋ μAC，则λ＋μ 的值为( ) A. B. C. D.1 答案 A 解析 法一 设BM＝tBC， 则AN＝AM＝(AB＋BM)＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB) ＝AB＋AC， ∴λ＝－，μ＝， ∴λ＋μ＝. 法二(等和线法) 如图，BC 为以AB，AC为基底值是1 的等和线，过N 作BC 的 平行线，设λ＋μ＝k，则k＝. 由图易知，＝，故选A. 【精准强化练】 一、单选题 1.设向量a，b 满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A 解析 由极化恒等式得a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]＝(|a＋b|2－|a－b|2) ＝×(10－6)＝1. 2.如图，在四边形MNPQ 中，若NO＝OQ，|OM|＝6，|OP|＝10，MN·MQ＝－ 28，则NP·QP＝( ) A.64 B.42 C.36 D.28 答案 C 解析 由MN·MQ＝MO2－ON2＝36－ON2＝－28， 解得ON2＝64，所以OQ2＝64， 所以NP·QP＝PQ·PN＝PO2－OQ2＝100－64＝36. 3.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O，点E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F，若AC＝a，BD＝b，且AF＝λa＋μb，则λ＋μ＝( ) A.1 B. C. D. 答案 A 解析 (等和线法)如图，作AG＝BD，延长CD 与AG 相交于G， 因为C，F，G 三点共线，所以λ＋μ＝1.故选A. 4.如图，BC，DE 是半径为1 的圆O 的两条直径，BF＝2FO，则FD·FE＝( ) A.－ B.－ C.－ D.－ 答案 B 解析 ∵BF＝2FO，圆O 的半径为1，∴|FO|＝. 法一 FD·FE＝(FO＋OD)·(FO＋OE) ＝FO2＋FO·(OE＋OD)＋OD·OE ＝＋0－1＝－. 法二 由极化恒等式得 FD·FE＝FO2－DE2＝－1＝－. 5.如图所示，正方形ABCD 的边长为1，A，D 分别在x 轴，y 轴的正半轴(含原 点)上滑动，则OC·OB的最大值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 如图，取BC 的中点M，AD 的中点N，连接MN，ON， 则OC·OB＝OM2－＝|OM|2－. 因为OM≤ON＋NM＝AD＋AB＝， 当且仅当O，N，M 三点共线时取等号. 所以OC·OB的最大值为2. 故选B. 6.已知AB 为圆x2＋y2＝1 的一条直径，点P 为直线x－y＋2＝0 上任意一点，则 PA·PB的最小值为( ) A.1 B. C.2 D.2 答案 A 解析 如图所示， 由极化恒等式易知，当OP 与直线x－y＋2＝0 垂直时，PA·PB有最小值， 即PA·PB＝PO2－OB2＝()2－12＝1. 故选A. 7.(2024·宁波模拟)AB 为⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25 的一条弦，|AB|＝6，若点P 为 ⊙C 上一动点，则PA·PB的取值范围是( ) A.[0，100] B.[－12，48] C.[－9，64] D.[－8，72] 答案 D 解析 如图，取AB 中点为Q， 连接PQ. ∴PA＋PB＝2PQ，PA－PB＝BA， ∴PA·PB＝[(PA＋PB)2－(PA－PB)2]＝(4|PQ|2－|BA|2). 又∵|BA|＝6，|CQ|＝＝4， ∴PA·PB＝|PQ|2－9， ∵点P 为⊙C 上一动点， ∴|PQ|max＝5＋|CQ|＝9， |PQ|min＝5－|CQ|＝1， ∴PA·PB的取值范围为[－8，72]. 二、多选题 8.在△ABC 中，A＝30°，BC＝2，则AB·AC的值可能是( ) A.0 B.2 C.4 D.13 答案 BC 解析 因为A＝30°，BC＝2，所以＝4， 则△ABC 外接圆的半径为2. 如图所示，圆O 的半径为2，BC 是圆O 的一条弦，点A 在圆O 的优弧BC上，D 是线段BC 的中点，连接DO 并延长交圆O 于点E. 因为AB＝AD＋DB，AC＝AD＋DC＝AD－DB， 所以AB·AC＝AD2－DB2＝AD2－1. 因为点A 在圆O 的优弧BC上， 所以1<|AD|≤|DE|＝2＋， 所以AB·AC的取值范围是(0，6＋4).故选BC. 9.(2024·武汉质检)阅读以下材料，解决本题：我们知道①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋ b2；②(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.由①－②得(a＋b)2－(a－b)2＝4a·b⇔a·b＝，我们把 最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向 量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形ABCD 中，BD＝8，AB·AD＝ 48，E 为BD 中点，且EC＝2AE，则( ) A.AE＝8 B.AE＝4 C.CB·CD＝240 D.CB·CD＝120 答案 AC 解析 因为AB·AD＝48，BD＝8， 由极化恒等式得 AB·AD＝ ＝＝AE2－ ＝AE2－16＝48，所以AE＝8， 又2AE＝EC，所以EC＝2AE＝16， 由极化恒等式得 CB·CD＝ ＝＝CE2－＝256－16＝240. 三、填空题 10.给定两个长度为1 的平面向量OA和OB，它们的夹角为，如图所示，点C 在以 O 为圆心的弧AB上运动，若OC＝xOA＋yOB(x，y∈R)，则x＋y 的最大值是 ________. 答案 2 解析 (等和线法)如图所示，设x＋y＝k，则直线AB 为以OB，OA为基底k＝1 的 等和线，所有与直线AB 平行的直线中，切线离圆心O 最远，即此时k 取得最大 值，易知OE⊥AB， 因为OA＝1，∠AOB＝， 所以OE＝，则k＝＝＝2， 即x＋y 的最大值为2. 11.(2024·合肥调研)四边形ABCD 中，点E，F 分别是AB，CD 的中点，AB＝2， CD＝2，EF＝1，点P 满足PA·PB＝0，则PC·PD的最大值为________. 答案 2 解析 因为PC＝PF＋FC，PD＝PF＋FD， 又点F 分别是CD 的中点， 所以FD＝－FC，所以PD＝PF－FC，PC·PD＝(PF＋FC)·(PF－FC)＝PF2－FC2 ＝|PF|2－＝|PF|2－2， 又PA·PB＝0，所以PA⊥PB， 又点E 分别是AB 的中点， 所以PE＝AB＝1， 因为EF＝PF－PE， 所以EF2＝(PF－PE)2 ＝PF2－2PF·PE＋PE2， 即PF2＝2PF·PE， 设〈PF，PE〉＝θ，|PF|＝x， 则x2＝2×1×x×cos θ，所以x＝2cos θ， 所以PC·PD＝x2－2＝4cos2θ－2＝2cos 2θ， 所以当2θ＝0 即θ＝0 时，cos 2θ 有最大值1，即PC·PD有最大值为2. 12.如图，四边形OABC 是边长为1 的正方形，点D 在OA 的延长线上，且OD＝ 2，点P 是△BCD 内任意一点(含边界)，设OP＝λOC＋μOD，则λ＋μ 的取值范围 为________. 答案 解析 (等和线法)如图，设λ＋μ＝k， 则直线CD 为以OC，OD为基底k＝1 的等和线， 所有与直线CD 平行的直线中， 过点B 的直线离点O 最远， 此时k 的值最大，且此时k＝， 易知AD＝DE＝1，故此时k＝， 显然k 的最小值为1，即λ＋μ∈.
