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5.4 极化恒等式、等和线与向量其他问题
极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]．
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角
线”平方差的.
在平行四边形ABDC 中，O 是对角线的交点，则
(1)平行四边形模式：AB·AC＝(|AD|2－|BC|2)．
(2)三角形模式： AB·AC＝|AO|2－|BC|2.
(3)关联定理之平行四边形定理
(4)推广定理之矩形大法
等和（高）线定理
平面内一组基底OA，OB及任一向量
，
＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB 上或
在平行于AB 的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线
称为等和(高)线．
(1)当等和线恰为直线AB 时，k＝1；
(2)当等和线在O 点和直线AB 之间时，k∈(0,1)；
(3)当直线AB 在O 点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
(4)当等和线过O 点时，k＝0；
(5)若两等和线关于O 点对称，则定值k1，k2互为相反数；
(6)定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比．
解题技巧：要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1 时的等和(高)线，利用比例求
其他的等和(高)线．
线段定比分点公式
设点 P 分有向线段⃗P1 P2
的定比为λ，即⃗P1 P =λ⃗P P2 。
已知： P1( x1, y1)，P2( x2, y2)，分点P( x , y)
坐标公式{
x = x1+ λ x2
1+ λ
y = y1+ λ y2
1+ λ
考点一 极化恒等式的应用
考点二 等和线的应用
考点三 线段的定比分点
考点四 利用向量解决几何问题
考点五 利用向量解决最值和范围问题
考点一 极化恒等式的应用
1．（25-26 高三上·安徽阜阳·阶段检测）如图，四边形ABCD 为矩形，其中AB=4，AD=3，其上方是一个以CD 为
直径的半圆，P 为半圆弧上的一个动点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·安徽芜湖·期中）在边长为
的正方形
中，
，
分别为边
，
上的点，且满足
，
是正方形
边上的任意一点，则
的最大值为__________．
3．（25-26 高三上·江西南昌·期中）已知非零向量
与
满足
，且
，
，点
是
的边
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三上·河北保定·期中）已知点P 为边长为2 的等边
外接圆⊙O 上的一个动点，则
的取
值范围是______
5．（2026·云南曲靖·二模）已知正方形
的边长为2，
为该正方形内切圆的直径，点P 在正方形
的
边上运动，则
的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
6．（25-26 高三上·辽宁朝阳·期中）极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题．
1．极化恒等式：
，公式推导：
；
2．平行四边形模式：如图，平行四边形
，
是对角线交点，则
；
3．三角形模式：如图，在
中，设
为
的中点，则
．推导过程：由
(1)如图，在边长为4 的正方形
中，其对称中心
平分线段
，且
，点
为
的中点，求
的值；
(2)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）．某太极八卦
图的平面图如图2 所示，其中正八边形的中心与圆心重合，
是正八边形的中心，
是圆
的一条直径，且正八
边形
内切圆的半径为
，
．若点
是正八边形
边上的一点，求
的取值范围；
(3)已知
中，
，
，且
的最小值为
，若
为边
上任意一点，求
的最小值．
考点二 等和线的应用
7．（2026·山东烟台·三模）如图，边长为2 的等边
的外接圆为圆
，点
为圆
上任意一点，若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．1
8．（2026·河北衡水·二模）如图，在平行四边形ABCD 中，AC，BD 相交于点O，E 为线段AO 的中点.若
，则
等于
A．
B．
C．
D．
9．（25-26 高三·湖南长沙·阶段检测）已知平面内的两个单位向量
，
，它们的夹角是
，
与
、
向量的夹角都为
，且
，若
，则
值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
10．（2026 高三·全国·专题练习）扇形
中，
，
为
上的一个动点，且
，其
中
.
（1）
的取值范围为______；
（2）
的取值范围为______.
11．（25-26 高三上·重庆北碚·阶段检测）如图所示，已知点G 是
的重心，过点G 作直线分别与AB，AC 两
边交于M，N 两点（点N 与点C 不重合），设
，则
的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
12．（2026 高一·全国·专题练习）给定两个长度为的平面向量
和
，它们的夹角为
，如图所示，点
在
以
为圆心的圆弧
上运动，若
，其中
，则
的最大值是_____；
的最大值是
______.
考点三 线段的定比分点
13．（25-26 高三上·陕西榆林·期中）（多选）已知
，
，点
是线段
的一个三等分点，则点
的坐标可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（25-26 高三上·广东茂名·期中）设点
，
，P 是直线
上一点，当
时，点
的
坐标为________.
15．（25-26 高三上·湖南株洲·期中）（多选）已知
，
，点
在直线
上，且
，则点
的坐标可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（25-26 高三上·上海·期中）已知平面上两点
为直线
上一点，且
，则点
的坐
标为__________.
17．（25-26 高三上·湖北荆州·期中）已知点
，且
，则点
的坐标为
___________________．
18．（25-26 高三上·重庆·期中）已知
为坐标原点，
，
，则
的重心坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点四 利用向量解决几何问题
19．（25-26 高三上·四川绵阳·阶段检测）已知在
中，点
是
边上靠近点
的四等分点，点
为
中点，
设
与
相交于点
.
(1)请用
、
表示向量
和
；
(2)设
和
的夹角为
，若
，且
，求证：
；
(3)若
，
，求点
的坐标.
20．（25-26 高三上·福建三明·期中）已知
是平面内两个不共线的向量，
， 且A，C，E 三点共线．
(1)求λ 的值；
(2)
，已知点D 的坐标为
，若四边形ABCD 为平行四边形，求点A 的坐标．
21．（25-26 高三上·江苏扬州·阶段检测）如图，
分别是菱形
的边
和
上的动点，且
.
(1)若
分别是
的中点，求
；
(2)若
分别是
的中点，
是线段
上的任意一点，求
的最大值；
(3)若
分别为线段
和
上的动点，且
，求
的取值范围.
22．（25-26 高三上·上海·期中）如图所示，点
，
分别在
轴非负半轴和
轴非负半轴上滑动，且
，以线
段
为一边，在第一象限内作矩形
，
，
是坐标原点，则
的最大值是____；
23．（25-26 高三上·天津和平·阶段检测）如图所示，在边长为3 的等边三角形
中，
，且点
在以
的中点
为圆心，
为半径的半圆上，则
_____；若
，则
的最大值为_____.
24．（25-26 高三上·陕西渭南·期末）根据勾股定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正
方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形
（其中
，
）按上述操作作图后，得如图所示的图形，若
，则
______.
考点五 利用向量解决最值和范围问题
25．（25-26 高三上·广东茂名·期中）已知
是边长为2 的等边三角形，AB 是圆M 的直径，若点P 为圆M 上
一动点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（2026·天津南开·二模）在平行四边形
中，
和
分别是
和
的中点，则
_____；若
是
的三等分点，点
在线段
上，
，则
的取值范围是_____．
27．（2026·天津东丽·二模）在
中，
，
，
，
，P 为线段CD 上一点，若
，则
___；则
的最小值为______．
28．（25-26 高三上·重庆·期中）如图，在矩形
中，
，点
在边
上运动（含端点），点
在边
上运动（含端点），
与
交于点
.
(1)若
是
的中点，
，
，求实数
的值；
(2)若
是
的中点，
，求实数
的取值范围；
(3)若
，
，求
的最大值.
29．（25-26 高三上·广东茂名·期中）如图，设Ox、Oy 是平面内相交成角
的两条数轴，
、
分别是
与Ox、Oy 正方向同向的单位向量，定义平面坐标系xOy 为
仿射坐标系，在
仿射坐标系中，若
，则记
.
(1)在
仿射坐标系中，若
，求
；
(2)在
仿射坐标系中，若
，
，且
与
的夹角为
，求
；
(3)如图所示，在
仿射坐标系中，B、C 分别在x 轴、y 轴正半轴上，
，
，E、F 分别为
BD、BC 中点，求
的最大值.
30．（25-26 高三上·安徽阜阳·期中）（多选）如图，点
是线段
的中点，
，点
是平行四边形
内(含边界)的一点，且
，以下结论中正确的是（ ）
A．当
是线段
的中点时，
B．当
时，
C．当
为定值
时，点
的轨迹是一条线段
D．
的最大值为
1．（25-26 高三上·安徽·阶段检测）在等腰梯形
中，
，
，
是线段
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．0
2．（25-26 高三上·北京·阶段检测）如图，正六边形的边长为
，半径为 1 的圆
的圆心为正六边形的中心，
若点
在正六边形的边上运动，动点
在圆
上运动且关于圆心
对称，则
的最大值为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（2026 高三·全国·专题练习）如图所示，正方形
的边长为1，点
分别在
轴，
轴的正半轴（含原
点）上滑动，则
的最大值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（2026·广东江门·模拟预测）已知向量
分别表示位移“向北偏东
方向
”“向东偏南
方向
”，
则向量
表示位移（ ）
A．向正北方向
B．向正南方向
C．向西北方向
D．向东南方向
5．（2026·江苏南京·二模）在四边形
中，
，
，
，E 是线段
中点，
是线段
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（25-26 高三上·江苏徐州·阶段检测）在直角
中，
是直角，
的内切圆交
于
点
，点
是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若
，则
的值可以是（ ）
A．1
B．2.5
C．4
D．5.5
7．（25-26 高三上·黑龙江大庆·期中）（多选）已知扇形AOB 的半径为1，
，点C 在弧AB 上运动
（包含边界），
，下列说法正确的有（ ）
A．
的取值范围是
B．
的最大值是2
C．
的取值范围是
D．
的最大值是
8．（25-26 高三上·黑龙江辽宁·期中）（多选）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，
图1 是一个正八边形窗花，图2 是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH 的边长为
，点P 是正八边形ABCDEFGH 边上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的最小值为
C．
的最大值为
D．若P 在线段BC 上，且
，则
的取值范围为
9．（25-26 高三·全国·一轮复习）（多选）如图，在正方形
中，E 为
中点，M 为线段
上的动点，
，则下列结论正确的是（ ）
A．当M 为线段
的中点时，
B．
的最大值为
C．
的取值范围为
D．
的取值范围为
10．（25-26 高三上·浙江杭州·期中）（多选）正方形
的边长为2，动点
在正方形内部及边上运动，
，则下列结论正确的有（ ）
A．点
在线段
上时，
为定值B．点
在线段
上时，
为定值
C．
的最大值为2
D．使
的
点轨迹长度为
11．（25-26 高三·江苏·一轮复习）（多选）如图，延长正方形
的边
至点E，使得
，动点P 从点
A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若
，则下列判断不正确的是（ ）
A．满足
的点P 必为
的中点
B．满足
的点P 有且只有一个
C．满足
的点P 有且只有一个
D．满足
的点P 有且只有一个
12．（25-26 高三上·湖南·期末）（多选）如图，在直角梯形
中，
，
，E 为AB 的中点，
M，N 分别为线段DE 的两个三等分点，点P 为线段BD 上的任意一点，若
，则
的值不可能
是（ ）
A．
B．3
C．7
D．9
13．（25-26 高三下·天津·阶段检测）已知
，
，是非零向量，
，
与
的夹角为
，
的最小值为
________.若
，设
为任意实数，
的最小值为________．
14．（25-26 高三下·江苏扬州·阶段检测）设
，
是非零向量，且
，
，则
的最小值是
______．
15．（25-26 高三上·河北邢台·阶段检测）某老旧小区积极响应国家“老旧小区改造”及“适老化改造”的政策号
召，计划对小区内一空地进行重新规划改造，如图，四边形ABDC 为空地，AC，CD 为围墙，AB 为单元楼，E 为
单元楼入口，D 为小区入口，现规划在小区修建一条直道DE，并在BC 与DE 的交点F 处安装路灯及监控．已知
，
，
，
，
为
的中点，
，则
______，
______．
16．（25-26 高三上·北京延庆·期中）已知平行四边形
的三个顶点
，
，
，而且
，
，
，
按逆时针方向排列，则线段
的长度为_____，
点的坐标为_____．
17．（25-26 高三·全国·二轮复习）如图，圆
是边长为
的等边三角形
的内切圆，其与
边相切于点
，
点
为圆上任意一点，
，则
的最大值为________
18．（25-26 高三下·江西·阶段检测）如图，在矩形ABCD，中
，E，F 分别是BC 和CD 的中点，若
P 是矩形ABCD 内一点（含边界），满足
且
，则
的最小值为_________．
19．（25-26 高三上·安徽滁州·阶段检测）已知
中，
是
边上靠近
的三等分点，过点
的直线分别交直
线
，
于不同的两点
，
，设
，
，其中
，
，则
的最小值是______.
20．（2026 高三·全国·专题练习）在
ABC 中，H 为BC 上异于B，C 的任一点，M 为AH 的中点，若
，则λ+μ=_________．
