第12 讲 函数与方程·综合测试
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写
在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北.
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知函数 h( x) 是奇函数，且 f ( x)=h( x)+2，若 x =2 是函数 y = f ( x) 的一个零点，
则 f (-2)=（ ）
A. - 4
B. 0
C. 2
D. 4
2.用二分法求函数 f ( x)=lg x + x -2 的一个零点，根据参考数据，可得函数 f ( x) 的一个
零点的近似解 (精确到 0.1) 为 (参考数据：lg1.5≈0.176，lg1.625≈0.211，lg1.75≈0.243，
lg1.875≈0.273，lg1.9375≈0.287)（ ）
A. 1.6
B. 1.7
C. 1.8
D. 1.9
3.（2025·江西上饶·二模）下列选项中，曲线 y =msin x(m∈R) 与 y =2sin3 x 在
x∈[0,2π ] 上的交点个数不一样的是（ ）
A. m=-1
B. m=-2
C. m=1
D. m=2
4.（2025·江西鹰潭·二模）已知函数 f ( x)=2-
2
e
x+1，若方程 f (ae
x)+ f (3- x
2)=2 有三个
不同根，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. (0, 6
e
3 )
B. (0, 2
e )
C. (-2e , 6
e
3 )
D. (-2e , 2
e )
5.已知函数 f ( x)={
e
x ,
x ≥0
-3 x ,
x<0，若函数 g( x)= f (- x)- f ( x)，则函数 g( x) 的零点个数为
（ ）
A. 1
B. 3
C. 4
D. 5
6.（2026·山东德州·三模）对于正整数 n，函数 f ( x)={
|2
x +3-n|,
x<0,
|log4( x +6)-n|,
x ≥0, 对于实数
t，使得方程 f ( x)=t 有四个不同实数解的所有正整数 n 的和为（ ）
A. 26
B. 27
C. 28
D. 29
7.已知函数 f ( x)=( x
2- x -1)e
x，设关于 x 的方程 f
2( x)-mf ( x)= 5
e (m∈R) 有 n 个不同
的实数解，则 n 的所有可能的值为（ ）
A. 3
B. 1 或 3
C. 4 或 6
D. 3 或 4 或 6
8.已知函数 f ( x)={
|(
1
2)
x -1
-1|,
x ≤1
- 1
2 x +1,
x>1
，若互不相等的实数 x1，x2，x3 满足
f ( x1)= f ( x2)= f ( x3)，则 (
1
2)
x1
+(
1
2)
x2
+(
1
2)
x3
的取值范围是（ ）
A. ( 9
4 , 5
2 )
B. (1,4)
C. (❑√2,4)
D. (4 ,6)
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错得0 分.
9.（2025·河北承德·一模）已知函数 f ( x)= 1
2 loga(- x)
2-a
| x|(a>1) 的零点个数可以为（
）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
10.（2026·河北沧州·二模）已知函数 f ( x)= x + m
x -n 在区间 (0,1) 上有两个不同的零点，
则（ ）
A. 0<m<1
B. m-n>1
C. 2❑√m<n
D. m+ 1
n >1
11.（2026·江苏南京·二模）已知函数 f ( x)={
x ,
x ≤1,
- f ( x -1),
x>1, 则（ ）
A. f （2）=1
B. ∀x>0,f ( x +2)= f ( x)
C. f ( x) 在 (7 ,8) 上单调递减
D. f ( x) 有且仅有 1 个零点
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12.已知函数 f ( x)= ln x +a x
2+b，若 f ( x) 在区间 [2,3] 上有零点，则 ab 的最大值为＿
＿＿＿＿＿.
13.（2026·江西宜春·一模）已知关于 x 的方程 3m
3mx +1+3mx =2 有两个不相等的实数解，
则正实数 m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
14.（2026·湖南联盟·3 月联考）函数 f ( x)= ❑√x +3+ ❑√| x -1|- 5
2 的所有零点的和为＿＿＿
＿＿＿.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13 分）（2026·山东九五协作体·一模）已知函数 f ( x)=
x +1
| x|+1 .
（1） 求曲线 y = f ( x) 在点 (-1,f (-1)) 处的切线方程；
（2） 关于 x 的方程 f ( x)-kx -b=0(k ,b∈R) 有三个实根 x1，x2，x3，且 x1+ x2+ x3=0，
求 b 的取值范围.
16.（15 分）（2026·河南新未来·5 月测评）已知函数 f ( x)= x +a
x
2+1.
（1） 若 a=2，求曲线 y = f ( x) 在点 (1,f （1）) 处的切线方程；
（2） 当 x∈[- π
2 , π
2] 时，讨论曲线 y = f ( x) 与 y =sin x 的交点个数.
17.（15 分）已知函数 f ( x)={
x
2+ 4 x +a,
x ≤0
1
x +a+1,
x>0，若函数 g( x)= f ( x)-ax -1 在 R 上恰有
三个不同的零点，求 a 的取值范围.
18.（17 分）（2026·浙江强基联盟·5 月检测）设关于 x 的方程 12 x
2+e
2 x -7 x e
x =0(e 为
自然对数底数) 有 n 个不相等的实数解 xi(i=1,2,⋯,n)，求 ∑
i=1
n
(ln xi- xi) 的值.
19.（17 分）设 a∈R，对任意实数 x，记 f ( x)=min{e
x -2,e
2 x -ae
x+a+24 }. 若 f ( x) 有
三个零点，求实数 a 的取值范围.
