文档文本内容
【第16 讲：同角三角函数的基本关系与诱导公式】
【新高考课程标准要求】
1. 理解同角三角函数的基本关系式：掌握平方关系
，商数关系
。能够利用平方关系实现正弦、余弦的互化，利用商数关系实现弦切互
化，同时要注意公式的逆用及变形应用，如
，
等，开方时要根据角
所在象限确定符号。
2.推导并掌握诱导公式：能借助单位圆的对称性，推导出
，
的正弦、余弦、正切的诱导公式，
理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，其中奇、偶是指
的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的
变化。并能利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，进行化简、求值等运算。
【知识梳理】
一：同角三角函数的基本关系
平方关系：
。该公式可变形为
，
，
。
商数关系：
，也可变形为
。
二.三角函数的诱导公式
公式一：
，
，
，
。
公式二：
，
，
。
公式三：
，
，
。
公式四：
，
，
。
公式五：
，
。
公式六：
，
。
这些诱导公式可概括为：对于
的三角函数值，当
是偶数时，函数名不变；当
是奇数时，
函数名变为相应的余函数，即
与
互变，
与
互变（高中阶段常用
、
、
）。符号
则看把
视为锐角时，原三角函数在
所在象限的符号，简记为“奇变偶不变，符号看象限”。
【课前自测】
1．已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用三角函数同角基本关系式及诱导公式求解.
【详解】因为
，所以
,
因为
，所以
，
所以
，
所以
.
故选：A.
2．已知
，若
，则
的值为 ．
【答案】
/
【分析】应用诱导公式化简得
，再应用齐次式法求值即可.
【详解】由题设
，
由
.
故答案为：
.
3．已知角
的顶点为坐标原点，始边与
轴非负半轴重合，终边在直线
上，求值：
．
【答案】
【分析】先根据三角函数定义得到
，利用三角函数诱导公式和齐次化化简，代入求值.
【详解】由题意知
，故原式
．
4．（多选题）在
中，下列各式的值为常数的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】利用诱导公式、平方关系及倍角公式，对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】对于A，因为
，又
，所以
，故
A 错误，
对于
，因为
，为常数，故B 正确，
对于C，因为
，为常数，故C 正确，
对于D，因为
，不是常数，故D 错误
故选：BC．
5．已知
，则
（ ）
A．2
B．3
C．5
D．6
【答案】C
【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式，根据“齐次式”进行弦化切，最后代入正切值即可.
【详解】根据题意，
，且
，
则
.
故选：C.
【考点一：同角三角函数的基本关系的应用】
【角度1：“知一求二”问题】
知识讲解与常考题型
题型分类
【例题1】如图，在平面直角坐标系中，角
的终边分别与单位圆交于
两点，
两点的纵坐
标分别为
，
．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)
，
；
(2)
【分析】（1）根据条件，利用单位圆中三角函数的定义，即可求解；
（2）将
，
，
，
的值代入，即可求出结果．
【详解】（1）由已知，角
的终边与单位圆交于
，且
的纵坐标为
，
，又
是第一象限角，
，
．
的终边与单位圆交于
点，
点的纵坐标为
，
，又
是第二象限角，
，
．
（2）由（1），
，
，
．
【针对训练】
1．已知
（x 是第二象限角），则
．
【答案】
【分析】先根据同角三角函数关系及角的象限计算
，再根据弦求切.
【详解】根据
且x 是第二象限角，
，
则
．
故答案为：
.
2．已知
，
，则
，
．
【答案】
/0.8
/
【分析】根据同角三角函数的平方关系及商数关系求解．
【详解】由题
，
，则
，
．
故答案为：
，
．
3．已知
，且
在第三象限，则
【答案】
/0.75
【分析】利用同角三角函数的关系求解即可.
【详解】由
，
在第三象限，得
，
所以
.
故答案为：
【解题策略】
“知一求二”是同角三角函数基本关系的核心应用，即已知一个角的正弦、余弦、正切中的一个值，求另
外两个值。解题的关键是灵活运用平方关系
和商数关系
，同时结合角的
终边所在象限（或范围）确定三角函数值的符号。以下是具体解题思路分析：
一、明确已知条件与目标
1. 已知类型：通常已知
、
、
中的一个值，需求另外两个。
2. 核心公式：
平方关系：用于正弦与余弦的互求（已知其一，可通过开方求另一个）。
商数关系：用于“弦”与“切”的互化（已知弦求切，或已知切求弦）。
二、分情况解题步骤
（一）已知
或
，求另外两个值
1. 第一步：用平方关系求另一个“弦”
若已知
，则
；
若已知
，则
。
关键：开方后的符号由角
的终边所在象限决定（参考“三角函数值的符号判定”）。
2. 第二步：用商数关系求
由
，代入已求得的
和
计算即可。
（二）已知
，求
和
1. 第一步：建立方程组
联立平方关系与商数关系：
由第二个方程得
，代入第一个方程：
进而得
。
2. 第二步：确定符号
根据
的符号判断角
所在象限（正切为正，在一、三象限；为负，在二、四象限），再结
合象限对
和
的符号要求确定正负号。
三、关键注意事项
1. 符号判定是核心：
开方或求三角函数值时，必须先明确角
的终边所在象限（或范围），否则可能出现多解错误。若题
目未明确象限，需分情况讨论所有可能的象限。
2. 公式变形的灵活运用：
例如，已知
的值，可通过平方得
（即
），
再结合平方关系求解。
3. 避免增根：
当通过平方运算求解时，可能引入增根，需结合角的范围检验结果是否合理。
总结：“知一求二”的核心流程是“用公式建立关系→根据象限定符号→计算结果”，其中符号判定是避
免错误的关键，需结合三角函数值的象限规律熟练应用。
【角度2：“齐次化”问题】
【例题1】已知
，求
的值．
【答案】
【分析】应用平方关系得到齐次式，由弦化切求值即可.
【详解】原式
．
【针对训练】
1．已知
，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．5
【答案】B
【分析】根据商数关系将
变形为
，再将
代入计算即可.
【详解】因为
，所以可知
，
所以将
的分子分母同时除以
得到
，
将
代入上式可得
.
故选：B
2．已知角
的终边落在
上，则
．
【答案】
【分析】根据已知可得
，再应用同角三角函数关系及齐次式的求法求值即可.
【详解】
角
的终边落在
上，
，
．
故答案为：
3．若
，则
．
【答案】
【分析】化简得
，再代入
，即可得答案.
【详解】解：因为
.
.
故答案为：
4．已知
，求
的值．
【答案】
【分析】解法一：由
利用两角和的正切公式求得
，所求式子变形构造正余弦的齐次式，
即可求解；
解法二：由
利用两角和的正切公式求得
，从而
，所求式子变形后，代
入求值即可．
【详解】解法一：
，
，解得
，
（由于
，分子、分母都除以
）
．
解法二：
．
．
【解题策略】
一、齐次式的定义与分类
定义：式子中
和
的次数相同的代数式。
分类：
一次齐次式：
和
均为 1 次，如
或
。
二次齐次式：
和
均为 2 次（平方项或乘积项），如
或其分
式形式。
可转化齐次式：含常数项（如 1），可通过
转化为二次齐次式。
二、“齐次化” 解题策略
核心：利用
，通过分子分母同除以
的幂（一次式除以
，二次式除以
），
将式子转化为仅含
的表达式，简化计算（尤其适用于已知
的场景）。
关键：
确保式子次数统一，必要时用
配凑齐次；
转化后直接代入
的值求解。
【角度3：“和差积”问题】
【例题1】已知
，
，求
的值.
【答案】
【分析】由
，两边同时平方得
，所以
.令
，则
，解出即可求解
的值.
【详解】∵
，∴
，
∴
，即
.
令
，则
，即
，即
，解得
或
.
∵
，
，∴
，∴
.
∴
.
【针对训练】
1．若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】已知等式平方后应用二倍角公式得
，同时判断出
，
，可再利用平方关系
求得
，代入即得结论．
【分析】∵
，①
∴
，即
，
∴
．
∵
，且
，∴
，
，
∴
，②．
①②变形得
，
∴
．
故选：A．
2．已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用
及角的范围变形得到
，从而得到
.
【详解】
，
又
，所以
，
所以
，
又
，所以
，
，
所以
，
故
．
故选：B
3．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用条件求出
，再利用倍角公式化简可得结果.
【详解】等式
两边平方可得，
，即
.
.
故选：C
4．已知
，
，则下列选项中正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】对
两边平方化简可求出
，再结合
的范围和
，可求出
，从而进行判断即可.
【详解】将
两边同时平方，整理得
，
所以
，故B 正确．
又
，所以
，
所以由
，解得
，故C 错误，
所以
，
，故A 错误，D 错误，
故选：B．
【解题策略】
同角三角函数基本关系中“和差积”问题的解题策略
一、核心关联公式
“和差积”问题围绕
与
的三种形式展开，分别是：
和：
差：
积：
三者通过平方关系
紧密关联，核心推导公式如下：
1.
2.
3.
（和与差的平方和恒为2）
4.
（和与差的平方差为积的4 倍）
二、具体解题策略
1. 已知“和”或“差”，求“积”
若已知
，直接利用
，变形得
。
若已知
，利用
，变形得
。
2. 已知“积”，求“和”或“差”
由
求
：先计算
，再根据角
的象限确定
的符号（正或负），开方得
。
由
求
：先计算
，同理根据象限确定
的符号，开方得
。
3. 已知“和与差”，求“积”或单独三角函数值
利用
，直接得
。
联立
与
，通过解方程组得：
，
，进而可求任意三角函数值。
4. 已知“和与积”或“差与积”，求其他量
已知
和
：利用
（由
推导）求
，或直接通过
和
联立方程求
、
。
已知
和
：利用
求
，同理可进一步求解。
三、关键注意事项
1. 符号判断：
“和”或“差”的符号需结合角
所在象限及
、
的正负确定。例如：
若
在第一象限，
，
的符号由
与
的大小决定；
若
在第二象限，
、
，
的符号取决于两者绝对值大小，
（因
）。
2. 范围限制：
由
和
可知，
与
均非负，因此
的取值范围为
，解题时需确保结
果符合此范围。
3. 整体代换思想：
若问题涉及
、
或
的组合式，可直接将
、
、
作为整体代
入计算，避免单独求解
或
带来的繁琐。
核心思路：以平方关系为桥梁，实现“和、差、积”之间的相互转化，结合符号规则与范围限制，通过整
体代换简化运算，快速求解相关问题。
【考点二：诱导公式的应用】
【例题】
1.已知
，
（
），求
的值．
【答案】
【分析】寻找
与
之间的关系，发现和为定值
，因此将
转化为
，再利用
诱导公式求值．
【详解】因为
，
所以
．
因为
，所以
，
所以
．
2.已知
，且
为第二象限角，
，求
的值．
【答案】
【分析】先计算出
，利用齐次化进行化简，代入求值即可.
【详解】因为
，且
为第二象限角，
所以
，又
，
所以
．
【针对训练】
1．已知
，且
，求
的值为（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】A
【分析】由
，结合
的范围求出
的值，再利用诱导公式将
化简，即可得解.
【详解】
，
，
．
．
故选：A
2．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由诱导公式化简已知式可求出
，再由二倍角的余弦公式和同角三角函数的基本关系化
简即可得出答案.
【详解】由诱导公式可得
，即
.
所以
，
故选:A.
3．已知
，则
等于（ ）．
A．
B．
C．
或
D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式化简得到
，结合同角三角函数关系，分
在第二象限和第四象限两
种情况，进行求解.
【详解】因为
，
，
所以
，又
，
当
在第二象限时，
，此时
；
当
在第四象限时，
，此时
．
综上，
.
故选：A．
4．已知
．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）（2）应用诱导公式化简，并由弦化切法求值即可.
【详解】（1）因为
，所以
，
所以
；
（2）
.
【点睛】方法点睛：已知角
的正切值或已知
和
构成的代数式易求得角
的正切值，
①求形如
的分式的值，可将分子、分母同时除以
，将正、余弦转化为正切或常数，从
而求值．
②求形如
的分式的值，可将分子、分母同时除以
，将正、余弦转化为正
切或常数，从而求值；
③求形如
的整式的值，可将整式看成分母为1 的分式，再将分母1 变形为
，转化为形如
的分式求解.
【解题策略】
一、核心原则：“负化正，大化小，小化锐”
1. 负化正：对负角（如
），利用奇偶性转化为正角三角函数（正弦、正切为奇函数，余弦为偶函数）。
2. 大化小：对大于
（或
）的角，利用周期性减去
（或
）的整数倍，缩小到
（或
）。
3. 小化锐：对
（或
）的角，通过与锐角的互余、互补关系转化（见下文分类）。
二、常见互余、互补的角及对应诱导公式
互余指两角和为
（或
），互补指两角和为
（或
），此类角度的诱导公式是转化的核心：
1. 与锐角
互余的角（和为
或
）：
（或
）：
，
，
（函数名改变，符号为正）。
（或
）：
可视为
，本质与
互余相关，公式为：
，
（符号由象限决定）。
2. 与锐角
互补的角（和为
或
）：
（或
）：
，
，
（函数名不变，符号
由第二象限特征决定）。
（或
）：
与
的补角再补
，公式为：
，
，
（符号由第三象限特征决定）。
3. 其他特殊关联角：
（或
）：与
终边关于
轴对称，公式为：
，
，
。
（或
）：可视为
，公式为：
，
（函数名改变，符号由第三象限特征决定）。
三、解题策略
1. 按步骤转化：严格遵循“负化正→大化小→小化锐”，优先处理负号和超范围角度，再利用互余、互
补关系转化为锐角。
2. 巧用“符号看象限，函数名变不变”：
对
（
），
为偶数时函数名不变，奇数时改变（正弦
余弦，正切
余切）；符号
↔
↔
由将
视为锐角时原角所在象限的三角函数符号决定。
3. 结合互余互补特征简化：若角度明显与锐角互余（如
）或互补（如
），直接套用对应
公式，减少中间步骤。
4. 合并化简复杂表达式：对含多个诱导公式的式子，先分别转化每个角，再利用同角关系合并（如
）。
四、注意事项
符号判断是关键，可借助“一全正，二正弦，三正切，四余弦”口诀记忆象限符号。
互余角公式核心是“正余互换”，互补角公式核心是“符号调整”，需区分函数名是否变化。
特殊角（如
、
）可直接套用公式（如
），无需额外转化。
一、单选题
1．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知角
的终边上有一点
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．3
3．已知函数
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
4．已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
6．若
，则
（ ）
课后针对训练
A．
B．
C．
D．
7．已知
，角
的终边不在
轴上，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
8．已知
，且
，求
的值为（ ）
A．
B．
C．0
D．
9．已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
10．已知
，且
，下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
11．已知
，则
.
12．若
，且
，则
.
四、解答题
13．已知
.
(1)化简
；
(2)若
，求
.
14．已知
，α 是第三象限角．
(1)求
和
的值；
(2)求
的值．
15．已知关于
的方程
的两根为
和
，其中
(1)求
的值；
(2)求
的值；
(3)求
的值
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
B
B
B
A
B
B
B
BCD
1．D
【分析】利用诱导公式即可求得结果.
【详解】由诱导公式得
故选：D
2．D
【分析】根据三角函数的定义先求
，再利用诱导公式化简即可求解.
【详解】由题意有
，所以
，
故选：D.
3．B
【分析】根据三角函数的诱导公式对所求式子进行化简求解即可.
【详解】由题意可得
.
故选：B．
4．B
【分析】根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系化简求解即可.
【详解】由
，则
.
故选：B.
5．B
【分析】由正弦二倍角公式及商的齐次式问题即可求解.
【详解】
.
故选：B.
6．A
【分析】根据题意结合
解方程即可.
【详解】因为
，则
，且
，
联立方程
，解得
或
（舍去），
所以
.
故选：A.
7．B
【分析】根据题目条件结合同角三角函数关系即可得到答案.
【详解】因为
，且角
的终边不在
轴上，
联立解得
，则
.
故选：B.
8．B
【分析】应用诱导公式及同角三角函数关系计算求解.
【详解】因为
，
所以
，且
，所以
，
则
.
故选：B.
9．B
【分析】由三角函数的诱导公式和同角三角函数关系可得.
【详解】因为
，所以
，
由平方关系可得
，
所以
.
故选：B
10．BCD
【分析】根据
结合
求得
，
，由
计算
可判断A；由
计算可判断B；由
计算可判断C；直接
计算可判断D.
【详解】因为
，且
，
，
所以
，
，
对于A，
，故A 错误；
对于B，
，故B 正确；
对于C，
，故C 正确；
对于D，
，故D 正确.
故选：BCD
11．10
【分析】利用诱导公式可求得
，利用诱导公式与同角三角函数的商数关系化简即可.
【详解】由正切函数诱导公式可得
，
故
.
故答案为：10
12．
/
【分析】解法1：联立
与
，由已知可得
，即可解出
的值；
解法2：由
结合
化简得出
，再与
联立可求得
的值；
解法3：令
，由平方关系可得出关于
的值，分析出
，可求出
的值，与已知等式
联立可求得
的值.
【详解】解法1：由已知得
，
与
联立可得
，
故
，
因为
，则
，所以
.
解法2：由
可知
，
因为
，则
，
，则
，
由于
，则
，
联立
，解得
，即
.
解法3：由
，构造对偶式，令
，
两式平方相加可得
，
因为
，则
，
，则
，
即
或
（舍），
所以
，解得
.
故答案为：
.
13．(1)
(2)
【分析】（1）由诱导公式化简求值；
（2）在（1）基础上得到
，凑角后利用诱导公式即得答案.
【详解】（1）
；
（2）由
可得
，
则
.
14．(1)
，
；
(2)
.
【分析】（1）应用平方关系、商数关系分别求出
和
；
（2）应用差角的余弦公式求值即可.
【详解】（1）由
，α 是第三象限角，则
，
所以
；
（2）
.
15．(1)35
(2)
(3)
【分析】（1）由条件利用韦达定理求出
，再对
左右两边同时平方即
可得出答案；
（2）利用同角三角函数的基本关系化简已知式可得
，再将
的值代入即可得出答案.
（3）由立方差化简
，法一：利用同角三角函数的基本关系求出
代入即可得出答案；
法二：求出
，代入即可得出答案.
【详解】（1）由
得
，
方程
的两根为
和
，
于是
，进而
，即
，
由
，对
左右两边同时平方，
得
.解得
.经检验符合.
（2）原式
原式
（3）由
得
.
由
可得
.
因此
.
另解：原方程即
，两根为
，
由
得
，于是
，
因此
.
