文档文本内容
【第13 讲：导数的概念及其几何意义+导数运算】
一．平均变化率（共3 小题）
二．瞬时变化率（共3 小题）
三．变化率的极限与导数的概念（共4 小题）
四．含Δx 表达式的极限计算与导数的关系（共5 小题）
五．导数与切线的斜率（共5 小题）
六．函数图象趋势与导数大小的关系（共4 小题）
七．基本初等函数的导数（共4 小题）
八．导数的加法与减法法则（共3 小题）
九．导数的乘法与除法法则（共3 小题）
十．简单复合函数的导数（共8 小题）
十一．利用导数求解曲线在某点上的切线方程（共7 小题）
十二．由函数的切线方程求解函数或参数（共5 小题）
【知识点清单】
1 平均变化率
【知识点的认识】
平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x 由x1变化到x2时，其函数y
＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为
f ( x2)−f ( x1)
x2−x1
．把（x2﹣x1）叫做自变量的
改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以
表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即△y
△x = f ( x2)−f ( x1)
x2−x1
．
2．瞬时变化率
【知识点的认识】
1、平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x 由x1变化到x2时，其函数y
＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为
f ( x2)−f ( x1)
x2−x1
．把（x2﹣x1）叫做自变量的
改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以
题型梳理
总览
表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即△y
△x = f ( x2)−f ( x1)
x2−x1
．
2、瞬时变化率：
变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：
△y
△x = f ( x1+△x)−f ( x1)
△x
．当△x 趋于0 时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻
画的是函数在某一点的变化率．
【解题方法点拨】
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处附近平均变化率的极限：
x→
0
lim ¿ f ( x0+△x)−f ( x0)
△x
= x→
0
lim ¿ △y
△x ¿
¿
3．变化率的极限与导数的概念
【知识点的认识】
导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
= x→
0
lim ¿ f ( x0+△x)−f ( x0)
△x
= x→
0
lim ¿ △y
△x ¿
¿
【解题方法点拨】
导函数的特点：
①导数的定义可变形为：f′（x）=△x→
0
lim ¿ f ( x−△x)−f ( x)
−△x
¿；
②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；
④并不是所有函数都有导函数．
⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为
函数f（x）在点x0处的导数值．
⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
4．含Δx 表达式的极限计算与导数的关系
【知识点的认识】
导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
= x→
0
lim ¿ f ( x0+△x)−f ( x0)
△x
= x→
0
lim ¿ △y
△x ¿
¿
【解题方法点拨】
导函数的特点：
①导数的定义可变形为：f′（x）=△x→
0
lim ¿ f ( x−△x)−f ( x)
−△x
¿；
②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；
④并不是所有函数都有导函数．
⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为
函数f（x）在点x0处的导数值．
⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
5．导数与切线的斜率
【知识点的认识】
导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k 切线＝f′
（x0）
= x→
0
lim ¿ f ( x0+△x)−f ( x0)
△x
= x→
0
lim ¿ △y
△x ¿
¿．
【解题方法点拨】
（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切
线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．
（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象
在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，
则切线与x 轴垂直．
6.函数图象趋势与导数大小的关系
【知识点的认识】
导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k 切线＝f′
（x0）
= x→
0
lim ¿ f ( x0+△x)−f ( x0)
△x
= x→
0
lim ¿ △y
△x ¿
¿．
【解题方法点拨】
f′（x0）＞0，切线与x 轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x 轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，
切线与x 轴平行；f′（x0）不存在，切线与y 轴平行．
7．基本初等函数的导数
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C 为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0 且a≠1）⑦[logax）]′= 1
x *（logae）=
1
xlna（a＞0 且a≠1）⑧[lnx]′
= 1
x ．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[ f ( x)
g( x)]′= [ f ′( x)g( x)−f ( x)g′( x)]
[ g( x)
2]
．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公
式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且
要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失
误．
一．平均变化率（共3 小题）
1．已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣3，则f（x）从1 到1+Δx 的平均变化率为（ ）
A．Δx+3
B．2Δx﹣1
C．Δx
D．（Δx）2﹣Δx
知识讲解与常考题型
题型分类
【考点】平均变化率．
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【分析】根据平均变化率的定义计算可得．
【解答】解：函数f（x）＝x2﹣2x﹣3，
则
f
（
x
）
从
1
到
1+Δx
的
平
均
变
化
率
f (1+ Δx)−f (1)
Δx
= (1+ Δx)
2−2(1+ Δx)−3−(1−2−3)
Δx
= ( Δx)
2
Δx
= Δx．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平均变化率的求解，属于基础题．
2．若lim
Δx →0
❑
f ( x0+ Δx)−f ( x0)
Δx
=k，则lim
Δx →0
❑
f ( x0+2⋅Δx)−f ( x0)
Δx
等于（ ）
A．2k
B．k
C．1
2 k
D．以上都不是
【考点】平均变化率．
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【分析】根据导数的定义，变形求解即可．
【解答】解：因为
lim
Δx →0 f ( x0+ Δx)−f ( x0)
Δx
=f′（x0）＝k，
所以
lim
Δx →0 f ( x0+2⋅Δx)−f ( x0)
Δx
=2
lim
Δx →0 f ( x0+2⋅Δx)−f ( x0)
2⋅Δx
=2f′（x0）＝2k．
故选：A．
【点评】本题考查了瞬时变化率与导数的概念应用问题，是基础题．
3．函数f（x）＝3x2﹣1 在区间[0，1]上的平均变化率是
3
．
【考点】平均变化率．
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【分析】利用平均变化率的意义即可得出．
【解答】解：函数f（x）＝3x2﹣1 在区间[0，1]上的平均变化率为：(3×1
2−1)−(3×0
2−1)
1−0
=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了平均变化率的意义及其求法，属于基础题．
二．瞬时变化率（共3 小题）
4．某物体的运动路程s（单位：m），时间t（单位：s）之间的关系S（t）＝t2+t，求在t＝2s 时的瞬时速
度（ ）
A．4m/s
B．5m/s
C．6m/s
D．8m/s
【考点】瞬时变化率．
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【分析】求导，求出S′（2）＝5，从而求出t＝2s 时的瞬时速度．
【解答】解：因为S（t）＝t2+t，
所以S′（t）＝2t+1，
故t＝2s 时，S′（2）＝4+1＝5，
故在t＝2s 时的瞬时速度为5m/s．
故选：B．
【点评】本题主要考查了瞬时变化率的定义，属于基础题．
5．已知函数f（x）＝x2，则
lim
Δx →0 f (2+ Δx)−f (2)
Δx
=（ ）
A．1
B．2
C．4
D．6
【考点】瞬时变化率．
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【分析】利用导数的定义和求导公式进行求解．
【解答】解：由题意
lim
Δx →0 f (2+ Δx)−f (2)
Δx
=f′（2），
因为f（x）＝x2，
所以f′（x）＝2x，
即f′（2）＝4，
所以则
lim
Δx →0 f (2+ Δx)−f (2)
Δx
=4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了导数的定义，属于基础题．
6．已知某质点运动的位移y（单位：cm）与时间t（单位：s）之间的关系为y（t）＝ln（2t+4），则该质
点在t＝2s 时的瞬时速度为 1
4 cm/s．
【考点】瞬时变化率．
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【分析】根据导数可求瞬时速度．
【解答】解：因为y（t）＝ln（2t+1），所以y ′(t )=
2
2t + 4 = 1
t +2，
所以y ′(2)= 1
4 ．
故答案为：1
4 ．
【点评】本题主要考查了瞬时变化率的求解，属于基础题．
三．变化率的极限与导数的概念（共4 小题）
7．已知函数f（x）在x＝x0处可导，且
lim
Δx →0 f ( x0−Δx)−f ( x0)
Δx
=2025，则f′（x0）＝（ ）
A．﹣2025
B．0
C．1
D．2025
【考点】变化率的极限与导数的概念；含Δx 表达式的极限计算与导数的关系．
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【分析】根据导数的概念求解．
【解答】解：因为
lim
Δx →0 f ( x0−Δx)−f ( x0)
Δx
=2025，
所以由导数的定义可知f′（x0）=
lim
Δx →0 f ( x0−Δx)−f ( x0)
−Δx
=−
lim
Δx →0 f ( x0−Δx)−f ( x0)
Δx
=−2025．
故选：A．
【点评】本题主要考查了导数的概念，属于基础题．
8．若lim
Δx →0
❑
f (2+2 Δx)−f (2)
Δx
=6，则f′（2）＝（ ）
A．12
B．6
C．3
D．﹣3
【考点】变化率的极限与导数的概念．
版权所有
【分析】根据条件，利用函数在某点处的导数的定义，即可求解．
【解答】解：因为lim
Δx →0
❑
f (2+2 Δx)−f (2)
Δx
=6，
所以f′（2）=
lim
Δx →0 f (2+2 Δx)−f (2)
2 Δx
= 1
2
lim
Δx →0 f (2+ Δx)−f (2)
Δx
= 1
2 ×6=3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了导数的概念，属于基础题．
9．已知
lim
Δx →0 sin( x0+ Δx)−sin x0
Δx
=1，x0∈[−π
2 ，π
2 ]，则sinx0＝（ ）
A．1
2
B．
❑√3
2
C．1
D．0
【考点】变化率的极限与导数的概念．
版权所有
【分析】根据题意，设f（x）＝sinx，由导数的定义和计算公式可得cosx0＝1，即可得x0的值，进而计
算可得答案．
【解答】解：根据题意，设f（x）＝sinx，f′（x）＝cosx，
若
lim
Δx →0 sin( x0+ Δx)−sin x0
Δx
=1，则有f′（x0）＝cosx0＝1，
又由x0∈[−π
2 ，π
2 ]，则x0＝0，
故sinx0＝sin0＝0．
故选：D．
【点评】本题考查导数的定义和计算，注意导数的定义，属于基础题．
10．已知lim
Δx →0
❑
sin( x0+ Δx)−sin x0
2 Δx
= 1
4
，x0∈[−π
2 ，π
2 ]，则sinx0＝（ ）
A．1
2
B．±
❑√3
2
C．−1
2
D．1
4
【考点】变化率的极限与导数的概念．
版权所有
【分析】根据导数的定义，基本初等函数的导数公式可得cos x0= 1
2，再根据同角三角函数的平方关系
求值即可．
【解答】解：记f（x）＝sinx，则f′（x）＝cosx，
由lim
Δx →0
❑
sin( x0+ Δx)−sin x0
2 Δx
= 1
4
，
可得lim
Δx →0
❑
sin( x0+ Δx)−sin x0
2 Δx
= 1
2
lim
Δx →0
❑
sin( x0+ Δx)−sin x0
Δx
= 1
4
，
即lim
Δx →0
❑
sin( x0+ Δx)−sin x0
Δx
=(sinx)′ |x = x0= 1
2
，
即cos x0= 1
2，因x0∈[−π
2 ，π
2 ]，
故sin x0=±
❑√1−co s
2 x0=±
❑√3
2 ．
故选：B．
【点评】本题主要考查导数的应用，属于基础题．
四．含Δx 表达式的极限计算与导数的关系（共5 小题）
11．已知f（x）是定义在R 上的可导函数，若lim
Δx →0
❑
f (2+ Δx)−f (2)
2 Δx
=−1
2
，则f′（2）＝（ ）
A．﹣1
B．−1
4
C．1
D．1
4
【考点】含Δx 表达式的极限计算与导数的关系．
版权所有
【分析】将题给的极限表达式转化为导数的定义式，即可得解．
【解答】解：由题可得：1
2
lim
Δx →0
❑
f (2+ Δx)−f (2)
Δx
=−1
2
，
即1
2 f ′(2)=−1
2，则f′（2）＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查导数的定义，属于基础题．
12．已知f ′( x0)=6，
lim
Δx →0
❑
f ( x0+ Δx)−f ( x0)
3 Δx
的值是（ ）
A．2
B．1
C．1
2
D．﹣2
【考点】含Δx 表达式的极限计算与导数的关系．
版权所有
【分析】利用导数的定义可求极限值．
【解答】解：f'（x0）＝6，
则由导数的定义可知，lim
Δx →0
❑
f ( x0+ Δx)−f ( x0)
3 Δx
= 1
3
lim
Δx →0
❑
f ( x0+ Δx)−f ( x0)
Δx
= 1
3 f ′( x0)= 1
3 ×6=2．
故选：A．
【点评】本题主要考查导数的定义，属于基础题．
13．已知函数f（x）＝2lnx+x，则
lim
Δx →0 f (1+ Δx)−f (1)
3 Δx
=（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【考点】含Δx 表达式的极限计算与导数的关系．
版权所有
【分析】根据导数的定义和导数的运算公式求解．
【解答】解：由题可得：f ′( x)= 2
x +1，
则
lim
Δx →0 f (1+ Δx)−f (1)
3 Δx
= 1
3
f′（1）= 1
3（2+1）＝1．
故选：C．
【点评】本题主要考查导数的定义和导数的运算，属于基础题．
14．设f ( x)= x + ln(mx)−m
x (m＞0)，对于Δx ＞0，
lim
Δx →0
❑
f (1+2 Δx)−f (1)
Δx
=（ ）
A．m+2
2
B．2m+4
C．2m+1
D．4m+2
【考点】含Δx 表达式的极限计算与导数的关系．
版权所有
【分析】利用导数运算，结合导数的概念，即可求出极限值．
【解答】解：由f ′( x)=1+ m
mx + m
x
2 ⇒f ′(1)=1+ m
m + m
1
2 =m+2，
故lim
Δx →0
❑
f (1+2 Δx)−f (1)
Δx
=2
lim
Δx →0
❑
f (1+2 Δx)−f (1)
2 Δx
=2f ′(1)=2（m+2）＝2m+4．
故选：B．
【点评】本题主要考查导数的概念，属于基础题．
15．设函数y＝f（x）在点x0处可导，且f′（x0）＝2，则
lim
ℎ→0 f ( x0+ℎ)−f ( x0−ℎ)
ℎ
的值为（ ）
A．2
B．4
C．0
D．﹣4
【考点】含Δx 表达式的极限计算与导数的关系．
版权所有
【分析】由已知结合导数的定义即可求解．
【解答】解：因为函数y＝f（x）在点x0处可导，且f′（x0）＝2，
则
lim
ℎ→0 f ( x0+ℎ)−f ( x0−ℎ)
ℎ
=2
lim
ℎ→0 f ( x0+ℎ)−f ( x0−ℎ)
2ℎ
=2f′（x0）＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了导数定义的应用，属于基础题．
五．导数与切线的斜率（共5 小题）
16．曲线y＝eax+x 在点（0，1）处的切线与直线x﹣y+2＝0 垂直，则a＝（ ）
A．2
B．0
C．﹣1
D．﹣2
【考点】导数与切线的斜率．
版权所有
【分析】求导，根据导数的几何意义结合直线垂直运算求解即可．
【解答】解：设f（x）＝eax+x，则f'（x）＝aeax+1，f'（0）＝a+1，
又因为直线x﹣y+2＝0 的斜率为1，
由题意可得a+1＝﹣1，解得a＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题主要考查导数与切线的斜率，属于基础题．
17．曲线y＝ex+1和曲线y＝ex+3 的公共切线的斜率为（ ）
A．1
B．3
C．ln3
D．e
【考点】导数与切线的斜率．
版权所有
【分析】求导，根据斜率相等以及两点斜率公式即可求解．
【解答】解：由曲线y＝ex+1和曲线y＝ex+3，
可得y′＝ex+1，y′＝（ex+3）′＝ex，
设y＝ex+1的切点为( x1，e
x1+1)，y＝ex+3 的切点为( x2，e
x2+3)，
由两曲线有公切线，
故e
x1+1=e
x2且e
x2+3−e
x1+1
x2−x1
=e
x1+1=e
x2，
故x2﹣x1＝1，3=e
x1+1，
因此公切线的斜率为e
x1+1=3．
故选：B．
【点评】本题主要考查切线的斜率，考查计算能力，属于基础题．
18．已知曲线C
y
：= 1
2 x
2−2上一点P(1，−3
2 )，则曲线C 在点P 处的切线的倾斜角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
【考点】导数与切线的斜率．
版权所有
【分析】结合导数的几何意义，求出切线的斜率，再结合直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解．
【解答】解：y＝f（x）= 1
2 x
2−2，
则f'（x）＝x，
故f'（1）＝1，
倾斜角的范围为[0，π），
曲线C 在点P 处的切线的倾斜角为45°．
故选：B．
【点评】本题主要考查导数与切线的斜率，属于基础题．
19．函数f（x）＝ex+ax 在x＝0 处的切线与直线3x﹣2y﹣5＝0 平行，则实数a＝（ ）
A．﹣1
B．1
C．1
2
D．1
4
【考点】导数与切线的斜率．
版权所有
【分析】函数在切点处的导数即为切线的斜率，利用直线的平行得到斜率相等，得关于a 的方程，可求
出a 的值．
【解答】解：由题可得：f′（x）＝ex+a，
函数在x＝0 处的切线的导数即为切线的斜率为f′（0）＝e0+a＝1+a，
函数f（x）＝ex+ax 在x＝0 处的切线与直线3x﹣2y﹣5＝0 平行，
则有1+a= 3
2，可得a= 1
2．
故选：C．
【点评】本题主要考查导数知识的应用，考查计算能力，属于基础题．
20．若曲线y＝x2﹣lnx 在x＝1 处的切线的斜率为（ ）
A．2
B．﹣2
C．1
D．﹣1
【考点】导数与切线的斜率．
版权所有
【分析】求导，然后计算在x＝1 处的导数值，可得结果．
【解答】解：y＝x2﹣lnx，则y'＝2x−1
x ，
所以．y′|x＝1＝12﹣ln1＝1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了导数几何意义的应用，属于基础题．
六．函数图象趋势与导数大小的关系（共4 小题）
21．已知函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）图象如图所示，则函数y＝f（x）的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】函数图象趋势与导数大小的关系．
版权所有
【分析】由导函数图象可知f′（x）的符号，f（x）单调性，即可得出答案．
【解答】解：由导函数图象可知在（﹣∞，0）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（0，2）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（2，+∞）上f′（x）＜0，f（x）单调递减．
故选：D．
【点评】本题考查导函数的图象，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．
22．如图是函数f（x）的导函数f′（x）的图象，则函数y＝f（x）的图象可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】函数图象趋势与导数大小的关系．
版权所有
【分析】先设f′（x）的两个两个零点，结合导数符号与单调性的关系进行判断即可．
【解答】解：根据题意，设f′（x）的两个零点为a，b，a＜0，b＞0，
由导数图象知当x＜a 时，f′（x）＜0，函数为减函数，
当a＜x＜b，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数，
当x＞b 时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
分析选项，A 选项符合．
故选：A．
【点评】本题考查函数导数与单调性的关系，涉及函数的图象，属于基础题．
23．设函数f（x）在定义域内可导，y＝f（x）的图象如图所示，则其导函数y＝f′（x）的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】函数图象趋势与导数大小的关系．
版权所有
【分析】先根据函数f（x）的图象判断单调性，从而得到导函数的正负情况，最后可得答案．
【解答】解：原函数的单调性是：当x＜0 时，函数单调递增；当x＞0 时，单调性变化依次为增、减、
增，
故当x＜0 时，f′（x）＞0；当x＞0 时，f′（x）的符号变化依次为+、﹣、+．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，属于基础题．
24．函数y＝f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列判断中正确的选项是（ ）
A．f（x）在（1，3）上单调递增
B．f（x）在（1，3）上单调递减
C．f（x）在（2，4）上单调递减
D．f（x）在（3，+∞）上单调递增
【考点】函数图象趋势与导数大小的关系．
版权所有
【分析】由f（x）的增减性与f′（x）的正负之间的关系进行判断，
【解答】解：结合图象可得，
当x∈（4，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在x∈（4，+∞）上单调递增，
当x∈（2，4）时，f′（x）＜0，故f（x）在x∈（2，4）上单调递减，
当x∈（0，2）时，f′（x）＞0，故f（x）在x∈（0，2）上单调递增，
当x∈（﹣3，0）时，f′（x）＜0，故f（x）在x∈（﹣3，0）上单调递减，
显然C 正确，其他选项错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数单调性的关系，属于基础题．
七．基本初等函数的导数（共4 小题）
25．下列计算正确的是（ ）
A．（2x）′＝x•2x﹣1
B．(lgx)′ = 1
x
C．（e2x）′＝2e2x
D．[cos(3 x + π
4 )]′ =−sin(3 x + π
4 )
【考点】基本初等函数的导数．
版权所有
【分析】根据求导公式和求导法则逐项判断即可．
【解答】解：（2x）′＝2x•ln2，故A 错误；
(lgx)′ =( lnx
ln10 )′ =
1
xln10，故B 错误；
（e2x）′＝e2x•（2x）′＝2e2x，故C 正确；
[cos(3 x + π
4 )]′ =−sin(3 x + π
4 )⋅(3 x + π
4 )′ =−3sin(3 x + π
4 )，故D 错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查导数的运算法则，属于基础题．
26．已知函数f（x）＝elnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为（ ）
A．0
B．1
C．e
D．1
e
【考点】基本初等函数的导数．
版权所有
【分析】根据求导公式求出函数f（x）＝elnx 的导函数f′（x），再将x＝1 代入导函数f′（x）中，从
而求得f′（1）的值．
【解答】解：f（x）＝elnx，
所以f ′( x)= e
x ，
则f ′(1)= e
1 =e．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数求导公式的应用，属于基础题．
27．已知函数f（x）＝ex﹣1+f'（1）x2+1，则f'（2）＝（ ）
A．e+2
B．e﹣4
C．e﹣7
D．e﹣8
【考点】基本初等函数的导数；函数的值．
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【分析】根据导数运算公式求得函数f（x）的导数，令x＝1，求出f'（1）＝﹣1，再令x＝2 即可求解．
【解答】解：f'（x）＝ex﹣1+2f'（1）x，
令x＝1 可得，f'（1）＝1+2f'（1），
解得f'（1）＝﹣1，
所以f'（x）＝ex﹣1﹣2x，所以f'（2）＝e﹣4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
28．下列求导运算正确的是（ ）
A．(sin π
3 )′ =cos π
3
B．（1+ex）′＝1+ex
C．( cosx
x
)′ = xsinx−cosx
x
2
D．（2ex）′＝2ex
【考点】基本初等函数的导数．
版权所有
【分析】根据基本初等函数的求导公式以及导数的运算法则，判断每个选项，可得答案．
【解答】解：(sin π
3 )′ =(
❑√3
2 )′ =0，A 错误；
（1+ex）′＝ex，B 错误；
( cosx
x
)′ = −xsinx −cosx
x
2
，C 错误；
（2ex）′＝2ex，D 正确．
故选：D．
【点评】本题考查导数的运算，属于基础．
八．导数的加法与减法法则（共3 小题）
29．已知函数f（x）＝ex+2f'（0）sinx，则f′（0）＝（ ）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
【考点】导数的加法与减法法则．
版权所有
【分析】利用求导，赋值，即可求出f′（0）＝﹣1．
【解答】解：f′（x）＝ex+2f′（0）cosx，
所以f′（0）＝e0+2f′（0）cos0＝1+2f′（0），解得f′（0）＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，是基础题．
30．下列运算正确的是（ ）
A．（x3+cosx）′＝3x2+sinx
B．若函数f（x）满足f′（2）＝2，则
lim
Δx →0 f (2+ Δx)−f (2)
2 Δx
= 4
C．[ln（2x+1）]′=
1
2 x +1
D．C10
6 =C10
4
【考点】导数的加法与减法法则；简单复合函数的导数．
版权所有
【分析】根据导数的定义，基本初等函数和复合函数的求导公式可判断ABC 的正误，根据组合数公式
可判断D 的正误．
【解答】解：（x3+cosx）′＝3x2﹣sinx，A 错误；
∵f′（2）＝2，∴
lim
Δx →0 f (2+ Δx)−f (2)
2 Δx
= 1
2
lim
Δx →0 f (2+ Δx)−f (2)
Δx
= 1
2 f ′(2)=1，B 错误；
[ ln(2 x +1)]′ =
2
2 x +1，C 错误；
C10
6 =
10!
6!⋅4! =C10
4 ，D 正确．
故选：D．
【点评】本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，组合数公式，是基础题．
（多选）31．下列求导正确的是（ ）
A．( x ❑√x +e
3)′ = 3
2
❑√x +3e
2
B．( cosx
x
)′ =−xsinx +cosx
x
2
C．(4
x−sin π
4 )′ = 4
x ln 4
D．(lg x
2 )′ =
1
2 xln10
【考点】导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则；简单复合函数的导数．
版权所有
【分析】利用导数运算则、求导公式逐项求导判断．
【解答】解：对于A，（x❑√x +e3）′＝（x❑
3
2）′= 3 ❑√x
2
，A 错误；
对于B，( cosx
x
)′ = −xsinx −cosx
x
2
=−xsinx +cosx
x
2
，B 正确；
对于C，（4x﹣sinπ
4 ）＝（4x）′＝4xln4，C 正确；
对于D，(lg x
2 )′ =
2
xln10 ⋅1
2 =
1
xln10．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了函数求导公式及求导法则的应用，属于基础题．
九．导数的乘法与除法法则（共3 小题）
32．若函数f ( x)=
1
tanx ，则导函数f′（x）＝（ ）
A．
1
sin
2 x
B．
1
co s
2 x
C．−
1
sin
2 x
D．−
1
co s
2 x
【考点】导数的乘法与除法法则．
版权所有
【分析】由已知结合函数求导公式即可求解．
【解答】解：若函数f ( x)=
1
tanx ，则导函数f′（x）=
0−
1
co s
2 x
tan
2 x
=−
1
sin
2 x
．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数求导公式的应用，属于基础题．
33．函数y= sinx
x
的导数为（ ）
A．y′= xcosx + sinx
x
2
B．y′= xcosx−sinx
x
2
C．y′= xsinx −cosx
x
2
D．y′= xsinx +cosx
x
2
【考点】导数的乘法与除法法则．
版权所有
【分析】直接运用导数的除法法则对原函数展开运算即可．
【解答】解：∵y = sinx
x
，
∴y ′ =( sinx
x
)′
= (sinx)′ ⋅x−sinx⋅x′
x
2
= xcosx−sinx
x
2
．
故选：B．
【点评】本题考查了导数的乘法与除法法则，导数的除法法则为：
( f ( x)
g( x) )′ = f ′( x)⋅g( x)−f ( x)⋅g′( x)
(g( x))
2
，此题是基础题．
34．下列求导数计算错误的是（ ）
A．（1
x ）′=−1
x
2
B．( x
2
e
x )′ = x
2−2 x
e
x
C．（xlnx）'＝1+lnx
D．（tanx）′=
1
co s
2 x
【考点】导数的乘法与除法法则．
版权所有
【分析】由导数的四则运算及复合函数求导法则判断即可．
【解答】解：对于A：（1
x ）′＝（x﹣1）′=−1
x
2，故A 正确；
对于B：（x
2
e
x ）′= ( x
2)′ ⋅e
x−(e
x)′ ⋅x
2
(e
x)
2
= 2 x−x
2
e
x
，故B 不正确；
对于C：（xlnx）′＝lnx+x⋅1
x =1+lnx，故C 正确；
对于D，（tanx）′＝（sinx
cosx ）′= (sinx)′ cosx−(cosx)′ sinx
co s
2 x
= co s
2 x + sin
2 x
co s
2 x
=
1
co s
2 x
，故D 正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查导数的四则运算及复合函数求导法则的应用，属于基础题．
十．简单复合函数的导数（共8 小题）
35．下列求导运算正确的是（ ）
A．（cos1）′＝﹣sin1
B．（2x）′＝2x
C．[ ln(3 x−2)]′ =
3
3 x−2
D．(lgx)′ = 1
x
【考点】简单复合函数的导数．
版权所有
【分析】由复合函数的求导逐项判断即可．
【解答】解：cos1 为常数，则 （cos1）′＝0，故A 错误；
（2x）′＝2xln2，故B 错误；
[ln（3x﹣2）]'=
1
3 x−2 ⋅(3 x−2)′ =
3
3 x−2，故C 正确；
(lgx)′ =
1
xln10，故D 错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查导数的运算法则，属于基础题．
36．已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且对任意实数x 都有f′（x）﹣f（x）＝ex（2x﹣1），f（0）＝
﹣2，则不等式f（x）＜10ex的解集为（ ）
A．（﹣4，3）
B．（﹣3，4）
C．（﹣3，2）
D．（﹣2，3）
【考点】简单复合函数的导数．
版权所有
【分析】由条件可得( f ( x)
e
x )′ =2 x−1，结合导数运算及f（0）＝﹣2 求出函数f（x）的解析式，解不
等式可得结论．
【解答】解：因为f′（x）﹣f（x）＝ex（2x﹣1），
所以f ′( x)−f ( x)
e
x
=2 x−1，即( f ( x)
e
x )′ =2 x−1，
设f ( x)
e
x
= x
2−x +c，
即f（x）＝（x2﹣x+c）ex，又f（0）＝c＝﹣2，故f（x）＝（x2﹣x﹣2）ex，
f（x）＜10ex可化为x2﹣x﹣2＜10，
所以﹣3＜x＜4，
所以不等式f（x）＜10ex的解集为（﹣3，4）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了导数与单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
37．已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域为R，若f′（2）＝8，函数f（2x+1）和f′（x+2）均
为偶函数，则∑
i=1
2025
f ′(i)的值为（ ）
A．8
B．1
C．0
D．﹣8
【考点】简单复合函数的导数．
版权所有
【分析】根据f（2x+1）为偶函数，得出f′（x）关于（1，0）中心对称，再根据f′（x+2）为偶函数，
得出f′（x）关于x＝2 对称，两者结合得出周期，再利用对称性和周期性计算即可．
【解答】解：f（2x+1）为偶函数，则f（2x+1）＝f（﹣2x+1），左右两边同时求导得，
2f′（2x+1）＝﹣2f′（﹣2x+1），将2x+1 看作整体得f′（x）＝﹣f′（2﹣x）①，
将y＝f′（x+2）图象向右平移2 个单位得到y＝f′（x），
因为y＝f′（x+2）为偶函数，则y＝f′（x）图象关于x＝2 对称，即f′（x）＝f′（4﹣x）②，
①②两式联立得﹣f′（2﹣x）＝f′（4﹣x），即﹣f′（x）＝f′（x+2），
用x+2 代替x 得﹣f′（x+2）＝f′（x+4），故f′（x）＝f′（x+4），
即y＝f′（x）的周期为4，
因f′（2）＝8，则①式中令x＝1 有f′（1）＝0，令x＝0 有f′（0）＝﹣f′（2）＝﹣8，
②式中令x＝4 有f′（4）＝f′（0）＝﹣8，令x＝3 有f′（3）＝f′（1）＝0，
则∑
i=1
2025
f ′(i)=506[ f ′(1)+ f ′(2)+ f ′(3)+ f ′(4)]+ f ′(1)=0．
故选：C．
【点评】本题考查了复合函数的求导，属于基础题．
38．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且f ( x)=2 xf ′( π
3 )+ sinx，则f ′( 2π
3 )=（ ）
A．−3
2
B．1
2
C．
❑√3
2
D．−
❑√3
2
【考点】简单复合函数的导数．
版权所有
【分析】求f（x）的导数，利用导数求出f′（π
3 ），再计算f′（2π
3 ）．
【解答】解：因为f（x）＝2xf′（π
3 ）+sinx，则f′（x）＝2f′（π
3 ）+cosx，
所以f′（π
3 ）＝2f′（π
3 ）+cosπ
3 ，解得f′（π
3 ）=−1
2；
所以f′（x）＝﹣1+cosx，
所以f′（2π
3 ）＝﹣1+cos2π
3 =−3
2．
故选：A．
【点评】本题考查了基本初等函数的导数应用问题，是基础题．
39．下列四个求导运算中运算结果错误的是（ ）
A．( x−1
x )′ = 1+ x
2
x
2
B．（x2ex）′＝2xex
C．(ln(2 x−1))′ =
2
2 x−1
D．(lo g2 x)′ =
1
xln2
【考点】简单复合函数的导数．
版权所有
【分析】根据导数四则运算法则及复合函数求导公式即可判断．
【解答】解：对于A，( x−1
x )′ =1+ 1
x
2 = 1+ x
2
x
2
，故A 正确；
对于B，（x2ex）′＝（x2）′ex+x2（ex）′＝2xex+x2ex，故B 错误；
对于C，(ln(2 x−1))′ =
2
2 x−1，故C 正确；
对于D，(lo g2 x)′ =
1
xln2，故D 正确．
故选：B．
【点评】本题考查函数的导数的求法，导数的运算法则，属于基础题．
40．已知f（x）是定义在R 上的奇函数，且满足f（3﹣x）﹣f（x﹣1）＝0，当x∈[1，2]时，f（x）＝2x﹣
4，则f (19)+ f ′( 3
2 )=（ ）
A．﹣2
B．2❑√2ln 2+2
C．﹣4
D．1
2 ln 2−2
【考点】简单复合函数的导数；抽象函数的周期性．
版权所有
【分析】利用奇函数和题设等式推理得出4 是函数f（x）的一个周期，结合给定区间上的函数解析式，
利用周期和求导即可求得．
【解答】解：因f（x）是定义在R 上的奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x），
由f（3﹣x）﹣f（x﹣1）＝0 可得f（x）＝f（2﹣x）＝﹣f（x﹣2），即f（x+2）＝﹣f（x），
则得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），故4 是函数f（x）的一个周期．
因当x∈[1，2]时，f（x）＝2x﹣4，f′（x）＝2xln2，则f ′( 3
2 )=2❑√2ln 2，
又f（19）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝2，
于是，f (19)+ f ′( 3
2 )=2❑√2ln 2+2．
故选：B．
【点评】本题主要考查导函数的求解，考查计算能力，属于中档题．
41．已知定义域为R 的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，且f（1+x）﹣f（1﹣x）＝2x，若其导函数为
f′（x），则f′（2025）等于（ ）
A．−1
2
B．0
C．1
2
D．1
【考点】简单复合函数的导数；抽象函数的周期性．
版权所有
【分析】根据复合函数的导数、函数的周期性等知识进行分析，从而求得正确答案．
【解答】解：因为f（﹣x）＝﹣f（x），得﹣f′（﹣x）＝﹣f′（x），即f′（﹣x）＝f′（x），
又因为f（1+x）﹣f（1﹣x）＝2x，得f′（1+x）+f′（1﹣x）＝2，
所以f′（﹣x）＝﹣f′（2+x）+2，所以f′（x）＝﹣f′（2+x）+2，
所以f′（x+2）＝﹣f′（4+x）+2，以上两式相减，可得f′（4+x）＝f′（x），
所以f′（x）为以4 为最小正周期的周期函数，
在f′（1+x）+f′（1﹣x）＝2 中，
令x＝0，得f′（1）＝1，所以f′（2025）＝f′（506×4+1）＝f′（1）＝1．
故选：D．
【点评】本题考查复合函数的导数，抽象函数的周期性，属于中等题．
42．已知f（x）＝3f（2﹣x）+2x2﹣lnx，则f'（1）＝（ ）
A．−3
2
B．3
4
C．3
2
D．−3
4
【考点】简单复合函数的导数．
版权所有
【分析】把已知等式两边求导数，再取x＝1 得答案．
【解答】解：由f（x）＝3f（2﹣x）+2x2﹣lnx，
两边求导数，得f′（x）＝﹣3f′（2﹣x）+4x−1
x ，
取x＝1，得f′（1）＝﹣3f′（1）+4﹣1，
∴f′（1）= 3
4 ．
故选：B．
【点评】本题考查觉得复合函数的导数，是基础题．
十一．利用导数求解曲线在某点上的切线方程（共7 小题）
43．曲线f（x）＝（x+1）e2x在x＝0 处的切线方程为（ ）
A．y＝3x+1
B．y＝3x+2
C．y＝2x+2
D．y＝3x﹣2
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
版权所有
【分析】根据导数的四则运算与复合运算求得导函数，从而可得切线斜率，确定切点纵坐标，结合直线
方程即可得所求．
【解答】解：因为f（x）＝（x+1）e2x，
所以f′（x）＝e2x+2（x+1）e2x＝（2x+3）e2x，
所以f（0）＝1，f′（0）＝3，
所以所求切线方程为y﹣1＝3（x﹣0），即y＝3x+1．
故选：A．
【点评】本题考查函数的切线方程的求解，属基础题．
44．从点A（1，a）可向曲线y＝x﹣x3引三条不同切线，则a 的取值范围为（ ）
A．﹣1＜a＜0
B．0＜a＜1
C．1＜a＜2
D．2＜a＜3
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
版权所有
【分析】先设出切点坐标，根据两点坐标写出直线的斜率，再根据切点的导数值等于切线的斜率列方程，
因为有三条不同切线所以对应方程有三个不同的解，即对应函数有三个零点，通过函数的导数研究函数
的单调性与极值并确定极值的取值范围，从而求出的取值范围．
【解答】解：因为y＝f（x）＝x﹣x3，所以f′（x）＝1﹣3x2，
设过A（1，a）的切线与f（x）切于点Q（x0，y0），
则切线方程为y −y0=(1−3 x0
2)( x−x0)，又其过A（1，a），
所以a−y0=(1−3 x0
2)(1−x0)，
所以a−y0=(1−3 x0
2)(1−x0)有三个不同的解，
即2 x0
3−3 x0
2+1−a=0有三个不同的解，
设g（x）＝2x3﹣3x2+1﹣a，该函数有三个不同零点，求导得g（x）＝6x2﹣6x，
令g'（x）＝0，则x＝0 或x＝1，
当x∈（﹣∞，0）或x∈（1，+∞），g′（x）＞0，当x∈（0，1），g′（x）＜0，
所以：函数g（x）在（0，1）区间单调递减，在（﹣∞，0）和（1，+∞）区间上单调递增，
所以函数在x＝0 和x＝1 处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点，
则{
g(0)＞0
g(1)＜0)，即{
1−a＞0
2−3+1−a＜0)，解得0＜a＜1．
故选：B．
【点评】本题考查函数的切线问题的求解，属中档题．
45．已知f（x）为奇函数，当x＜0 时，f（x）＝ln（﹣x）+3x，则曲线y＝f（x）在点（1，3）处的切线方
程是（ ）
A．2x﹣y﹣5＝0
B．2x﹣y+1＝0
C．2x+y+1＝0
D．2x+y+5＝0
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程；奇函数偶函数的性质．
版权所有
【分析】由题可得当x＞0 时，f（x）＝﹣ln（x）+3x，然后由点斜式可得切线方程．
【解答】解：根据题意可得当x＞0 时，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣ln（x）+3x，f ′( x)=−1
x +3，
所以f′（1）＝2，
所以f（x）在点（1，3）处的切线方程为y﹣3＝f′（1）（x﹣1），即2x﹣y+1＝0．
故选：B．
【点评】本题考查函数的切线方程的求解，属基础题．
46．已知函数f（x）＝ln（2﹣x）+ax 在点（1，f（1））处的切线为l，若l 与圆（x+2）2+y2＝1 相切，则a
的值为（ ）
A．1 或❑√3
B．❑√5或﹣2
C．1 或7
3
D．2 或4
3
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程；根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置
关系．
版权所有
【分析】利用导函数求出切线斜率，进而可求出切线方程，再利用圆心到直线的距离等于半径列方程可
求出a 的值．
【解答】解：因为f（x）＝ln（2﹣x）+ax，所以f ′( x)= −1
2−x +a，
则f（1）＝0+a＝a，f′（1）＝a﹣1，
所以切线l 的方程为y﹣a＝（a﹣1）（x﹣1），即（a﹣1）x﹣y+1＝0．
所以圆心（﹣2，0）到直线l 的距离d =|−2(a−1)+1|
❑√(a−1)
2+1
=|3−2a|
❑√(a−1)
2+1
=1，
整理得3a2﹣10a+7＝0，解得a= 7
3或1．
故选：C．
【点评】本题考查导数的几何意义的应用，属中档题．
47．已知函数f（x）＝ex+2x，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（ ）
A．y＝2x+1
B．y＝3x+1
C．y＝2x
D．y＝3x
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
版权所有
【分析】根据导数的几何意义，即可求解．
【解答】解：因为f（x）＝ex+2x，所以f'（x）＝ex+2，
所以f（0）＝1，f'（0）＝3，
所以所求切线方程为y＝3x+1．
故选：B．
【点评】本题考查函数的切线问题的求解，属基础题．
48．若直线l 同时是曲线y＝aex（a＞1）和曲线y＝ex+a 的切线，则l 斜率的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．e
D．2e
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
版权所有
【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义建立关系，再利用导数求出最小值．
【解答】解：设直线l 与曲线y＝aex、曲线y＝ex+a 相切的切点分别为( x0，ae
x0)，(t ，e
t +a)，
由y＝aex、y＝ex+a，分别得y′＝aex，y′＝ex，
则ae
x0=e
t，且e
t +a−ae
x0
t −x0
=
a
t −x0
=e
t，
由ae
x0=e
t得：t﹣x0＝lna，
代入
a
t −x0
=e
t，可得e
t = a
lna，
令f (a)= a
lna ，a＞1，得f ′(a)= lna−1
(lna)
2 ，
当1＜a＜e 时，f′（a）＜0，函数f（a）在（1，e）上单调递减，
当a＞e，f′（a）＞0，函数f（a）在（e，+∞）上单调递增，可得f（a）min＝f（e）＝e，
所以l 斜率的最小值为e．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，是中档题．
49．已知函数f（x）＝2x2﹣xf′（1），则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（ ）
A．2x﹣y﹣2＝0
B．2x+y﹣2＝0
C．2x﹣y+2＝0
D．2x+y+2＝0
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
版权所有
【分析】先求导，即可求f′（1）和f（1），即可求得切线方程．
【解答】解：由f（x）＝2x2﹣xf′（1），得f′（x）＝4x﹣f′（1），
则f′（1）＝4×1﹣f′（1），解得f′（1）＝2，
故f（x）＝2x2﹣2x，则f（1）＝2×12﹣2＝2﹣2＝0，
所以切线方程为y﹣0＝2（x﹣1）⇒2x﹣y﹣2＝0．
故选：A．
【点评】本题考查导数的几何意义，属于基础题．
十二．由函数的切线方程求解函数或参数（共5 小题）
50．曲线y＝e2ax+1 在点（0，2）处的切线与直线2x+y+1＝0 垂直，则a 等于（ ）
A．1
2
B．1
4
C．−1
4
D．−1
2
【考点】由函数的切线方程求解函数或参数．
版权所有
【分析】根据导数的几何意义和两直线垂直关系得到方程，即可求解．
【解答】解：因为y＝f（x）＝e2ax+1，得f′（x）＝2ae2ax，
所以根据题意可得f′（2）＝2a= 1
2，
所以a= 1
4 ．
故选：B．
【点评】本题考查导数的几何意义的应用，属基础题．
51．若过点（a，b）可以作曲线y＝lnx 的两条切线，则（ ）
A．eb＜a
B．lna＜b
C．ea＜b
D．lnb＜a
【考点】由函数的切线方程求解函数或参数．
版权所有
【分析】设切点坐标为（x0，y0），由切点坐标求出切线方程，代入坐标（a，b），关于x0的方程有两
个不同的实数解，变形后转化为直线与函数图像有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图像后可得．
【解答】解：设切点坐标为（x0，y0），由于y ′ = 1
x ，
因此切线方程为y −ln x0= 1
x0
( x−x0)，
又切线过点（a，b），则b= ln x0= a−x0
x0
，即b+1= ln x0+ a
x0
，
设f（x）＝lnx+ a
x ，函数定义域是（0，+∞），
则直线y＝b+1 与曲线f ( x)=lnx + a
x 有两个不同的交点，
f ′( x)= 1
x −a
x
2 = x−a
x
2 ，
当a≤0 时，f'（x）＞0 恒成立，f（x）在定义域内单调递增，不合题意；
当a＞0 时，0＜x＜a 时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x＞a 时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）min＝f（a）＝lna+1，结合图像知b+1＞lna+1，即b＞lna．
故选：B．
【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
52．若曲线y＝ln（x+2a）的一条切线为y＝ex﹣2b（e 为自然对数的底数），其中a，b 为正实数，则
1
ea + 1
b的取值范围是（ ）
A．[2，e）
B．（e，4]
C．[4，+∞）
D．[e，+∞）
【考点】由函数的切线方程求解函数或参数；运用“1”的代换构造基本不等式．
版权所有
【分析】利用导数的几何意义计算可得ae+b＝1，结合基本不等式中“1”的活用计算即可得．
【解答】解：y ′ =
1
x +2a，令
1
x +2a =e，则x = 1
e −2a，有y = ln( 1
e −2a+2a)=−1，
即e( 1
e −2a)−2b=−1，即ae+b＝1，
又a，b 为正实数，则1
ea + 1
b =( 1
ea + 1
b )(ae+b)=1+1+ b
ea + ea
b ≥2+2❑√
b
ea ⋅ea
b = 4，
当且仅当b
ea = ea
b ，即b=ea= 1
2时，等号成立．，
故1
ea + 1
b的取值范围是[4，+∞）．
故选：C．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
53．已知曲线f ( x)=sin(ωx +φ)(|φ|＜π
2 )在点（0，f（0））处的切线方程为y = 1
2 x−
❑√3
2 ，则ωφ＝
−π
3 ．
【考点】由函数的切线方程求解函数或参数．
版权所有
【分析】根据导数的几何意义结合题意可得关于ω，φ 的方程组，解出即可．
【解答】解：f′（x）＝ωcos（ωx+φ），
依题意，{
f ′(0)=ωcosφ = 1
2
f (0)= sinφ =−
❑√3
2 )
，
又|φ|＜π
2 ，
则φ=−π
3 ，
可得ωcos(−π
3 )= 1
2 ω= 1
2，解得ω＝1，
则ωφ =−π
3 ．
故答案为：−π
3 ．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
54．已知直线y＝kx+b 是曲线f（x）＝ex﹣3与g（x）＝ex+2022﹣2022 的公切线，则k＝ 2022
2025 ．
【考点】由函数的切线方程求解函数或参数．
版权所有
【分析】设直线y＝kx+b 与曲线f（x）相切于点P1（x1，y1），与曲线g（x）相切于点P2（x2，y2），
然后求出f′（x），g'（x），再根据导数的几何意义求出切线方程，联立切线方程即可求解．
【解答】解：设直线y＝kx+b 与曲线f（x）相切于点P1（x1，y1），与曲线g（x）相切于点P2（x2，
y2），
由于f（x）＝ex﹣3，g（x）＝ex+2022﹣2022，
所以f'（x）＝ex﹣3，g'（x）＝ex+2022，y1=e
x1−3，y2=e
x2+2022−2022，
所以由点P1（x1，y1）在切线上，得切线方程为y −e
x1−3=e
x1−3( x−x1)，
由点P2（x2，y2）在切线上，得切线方程为y −e
x2+2022+2022=e
x2+2022( x −x2)，
故{
e
x1−3=e
x2+2022
e
x1−3(1−x1)=e
x2+2022(1−x2)−2022)，解得k =e
x1−3= 2022
2025．
故答案为：2022
2025．
【点评】本题考查函数的公切线问题的求解，导数的几何意义的应用，属中档题．
一、单选题
1．若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
2．已知函数
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
3．函数
的导数为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．设
，对于
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
的导函数为
，且
，则
（ ）
A．2
B．1
C．8
D．4
6．已知函数
的导函数为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知
为奇函数，当
时，
，则曲线
在点
处的切线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．曲线
在
处的切线的斜率为（ ）
课后针对训练
A．
B．
C．
D．0
9．设点
是曲线
上任意一点，则点
到直线
的最小距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
10．建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益．已知一段时间内，
甲、乙两个水库的蓄水量
与时间的关系如图所示，则下列叙述中正确的是（ ）
A．在
这段时间内，甲、乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0
B．在
这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率
C．甲水库在
时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在
时刻蓄水量的瞬时变化率
D．乙水库在
时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在
时刻蓄水量的瞬时变化率
11．（多选）已知过点
的所有直线中，有且仅有两条直线与曲线
相切，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．已知函数
，则曲线
在
处的切线方程为 .
13．已知函数
的导函数为
，且
，则
．
14．已知曲线
在点
处的切线方程为，且过点
的直线
与直线垂直，则
的
方程为 ．
15．已知函数
满足
，则曲线
在点
处的切线方程为 ．
16．曲线
在点
处的切线方程为
，则
的值为 .
17．若曲线
在点
处的切线与曲线
只有一个公共点，则
．
18．过曲线C：
上一点P 作C 的切线交x 轴于点Q，已知
，则切线PQ 的方程为 ．
四、解答题
19．已知函数
，若曲线
在点
处的切线方程为
，求
.
20．求下列已知函数的导函数：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
D
B
D
A
B
B
B
BD
题号
11
答案
ABC
1．A
【分析】先求出曲线
在点
处的切线方程，再设直线
与曲线
相切于点
，求出
，利用公切线斜率相等求出
，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.
【详解】由题，令
，则
，所以
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
．
由
，得
，
设直线
与曲线
相切于点
，则
，得
，
则
，所以
，所以
．
故选：A.
2．C
【分析】先求导，再求
.
【详解】因为
，所以
，
则
．
故选：C．
3．D
【分析】根据给定条件，利用导数运算法则及复合函数求导法则求解.
【详解】依题意，
.
故选：D
4．B
【分析】利用导数运算，结合导数的概念，即可求出极限值.
【详解】由
，
又因为
，
所以
，
故选：B.
5．D
【分析】利用导数的定义求解即可.
【详解】由导数的定义得
，故D 正确.
故选：D
6．A
【分析】对等式两边求导，求导的时候注意
是个常数，求导之后令
即可得出
的值，进
而求出
.
【详解】因为
，所以
，令
，
则
，
，令
，
则
．
故选：A.
7．B
【分析】由题可得当
时，
，然后由点斜式可得切线方程.
【详解】因
为奇函数，当
时，
，
则当
时，
，
从而
，则曲线
在点
处的切线方程是：
即
.
故选：B
8．B
【分析】利用导数的几何意义和运算法则计算求解即可.
【详解】由题意可知
，
所以曲线
在
处的切线的斜率
，
故选：B
9．B
【分析】当点
到直线
的距离最小时，曲线
在点
处的切线平行于，对
求导，
依据切线斜率为切点处导数值，利用直线的斜率求得此时的
点坐标，再用点到直线的距离公式求最小
距离即可.
【详解】当点
到直线
的距离最小时，曲线
在点
处的切线平行于，
设此时
，
，
，则此时点
处的切线斜率
，
因为
，所以
，解得
，
，
，
综上，当
点坐标为
时，点
到直线
的距离最小，
最小距离为
.
故选：B.
10．BD
【分析】结合瞬时变化率与平均变化率及图象分析即可得解．
【详解】对于A，由题图可知，在
这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于0，
乙水库蓄水量的平均变化率大于0，故A 错误．
对于B，由题图可知，在
这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于0，
乙水库蓄水量的平均变化率大于0，
故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B 正确．
对于C，由题图可知，甲水库在
时刻蓄水量的瞬时变化率小于0，
乙水库在
时刻蓄水量的瞬时变化率大于0，
故甲水库在
时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在
时刻蓄水量的瞬时变化率，故C 错误．
对于D，由题图可知，乙水库在
时刻蓄水量上升比在
时刻蓄水量上升快，
故乙水库在
时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在
时刻蓄水量的瞬时变化率，故D 正确．
故选：BD．
11．ABC
【分析】设过点
的直线与曲线
相切于点
，利用导数的几何意义求得切线方程，
进而可得
有两个实数根，令
，利用导数分类讨论可判断每个选
项的正误.
【详解】设过点
的直线与曲线
相切于点
，
因为
，所以切线方程为
，
所以
，即
，
依题意知方程
有两个实数根，
令
，
，则
，
当
时，
，
单调递减，最多只有一个零点，不符合题意，故
，A 正确；
当
时，令
，则
，令
，则
，
所以
在
单调递增，在
单调递减，
所以
，要使方程
有两个实数根，
则
，即
，B 正确；
由
，得
，C 正确；
因为
，
，所以当a 足够大时，
不成立，故D 错误．
故选：ABC.
12．
【分析】求出导函数，根据导数的几何意义得出切线的斜率，代入点斜式方程，即可求出切线方程.
【详解】由
可得
，∴
.
∵
.
所以曲线
在
处的切线方程为
，
即
.
故答案为：
.
13．
【分析】求出
，令
，求出
，从而得到
即可求解.
【详解】由题得
，
令
，则
，解得
，
则
，
，
所以
．
故答案为：
14．
【分析】根据已知点坐标求出
，直线的斜率为
，由两直线垂直，得到
的斜率，点斜式写出方
程.
【详解】设
，则由
，解得
，
所以
.
所以
，
则
，即的斜率为
，又直线
与直线垂直，
所以直线
的斜率为
，
故
的方程为
，即
．
故答案为：
.
15．
【分析】解法一：换元法得到
，
，求导，利用导数的几何意义求出切线方程；
解法二：对
两边求导，得
，求出
，而
，利用导数的几何
意义求出切线方程.
【详解】解法一：令
，则
，故
，
所以
，
，
，
，
，
故曲线
在点
处的切线方程为
，
即
．
解法二：对
两边求导，得
，即
，
当
时，
，而
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
即
．
故答案为：
16．
【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，即可列方程求解.
【详解】
，
故
处的切线方程为
，
又切线方程为
，
故
，解得
，
故答案为：
17．2
【分析】求得曲线
在
处的切线方程为
，根据题意得
也是曲线
的一条
切线，设切点为
，列方程组求得
即可.
【详解】由
，得
，
，
故曲线
在
处的切线方程为
，
因为曲线
在点
处的切线与曲线
只有一个公共点，且
的图象呈上凸递增
的趋势，
所以说明
也是曲线
的一条切线，
对
求导得
，
设切点为
，
所以
，解得
，满足
.
故答案为：2.
18．
或
【分析】设
，求出切线方程为
，得到
，由两点间距离公式可
得
，化简可得
，解方程即可求解.
【详解】不妨设
，由题得
，则曲线
在点
处的切线方程为
，
则
，则
，即
，
化简得
，即
，
令
，
，则
，解得
或
（舍），即
或
，
则切线
的方程为
或
．
故答案为：
或
19．
【分析】求导得
，则
，
，结合切线方程得到方程组，解
出即可.
【详解】求导得
，则
，
，
因为曲线
在点
处的切线方程为
，
所以
，解得
.
则
，故将
代入切线方程得
，则
.
20．(1)
(2)
(3)
．
(4)
【分析】（1）根据导函数的基本公式和加法法则求解即可．
（2）根据导函数的基本公式和复合函数求导法则求解即可.
（3）方法一：根据乘法法则求解即可；方法二：先化简函数，再根据导数运算法则求解即可.
（4）结合导数运算法则，根据复合函数求导法则求解即可.
【详解】（1）由
得
．
（2）
．
（3）方法一：
．
方法二：因为
，
所以
．
（4）令
，
则
，
所以
．
