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【第17 讲：两角和差的正弦，余弦和正切公式】
【新高考课程要求】
1.推导公式：经历推导两角差余弦公式的过程，知道其意义。并能从两角差的余弦公式推导出两角和与差
的正弦、余弦、正切公式，以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
2.掌握公式：掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，即
，
，
，并能熟练运用这些公式进行相关
计算。
3.简单应用：能运用公式进行简单的恒等变换，包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式
不要求记忆，但要了解推导过程，能在变换过程中合理运用。同时，能将公式应用于三角函数的化简、求
值、证明等问题，解决与三角函数相关的实际问题或综合问题。
【知识梳理】
一、核心公式（必须熟记）
1. 两角和与差的余弦公式
*记忆要点：余弦“余余正正，符号相反”（和角为减，差角为加）*
2. 两角和与差的正弦公式
*记忆要点：正弦“正余余正，符号相同”（和角为加，差角为减）*
3. 两角和与差的正切公式
*适用条件：
（
），否则正切无意义*
二、公式间的内在联系
推导逻辑：以两角差的余弦公式为基础（可通过单位圆或向量推导），利用诱导公式（如
）推导出正弦公式，再由
推导出正切公式。
与二倍角公式的关联：当
时，两角和公式可直接转化为二倍角公式（如
），体现“特殊与一般”的关系。
三、常用变形公式（高频应用）
1. 正切公式的变形（角的拆分）
*用途：已知
和
时，求
，或化简含
与
的表达式。*
2. 辅助角公式（正弦型合一）
，其中
（
的象限由
符号确定）。
* 推导：利用
，对比系数得
，
。*
*用途：将形如
的式子化为单一正弦函数，便于求最值、周期等。*
3. 角的拆分技巧（“凑角”法）
，
* 用途：已知
的三角函数值，求
或
的三角函数值（如
）。*
4. 余弦公式的逆用与变形
（积化和差，不要求记忆，但需会推导）
（积化和差）
*用途：化简含三角函数乘积的式子，如
可通过积化和差逐步化简。*
5. 正弦公式的逆用
（积化和差）
（积化和差）
*用途：与正弦相关的乘积式化简，如
可转化为和角形式。*
四、易错点提醒
1. 正切公式的定义域：使用
时，需确保
均不等于
（
），否则公式
不成立。
2. 符号错误：两角差的余弦公式是“
”，而和角是“
”，易混淆。
3. 凑角时的角的范围：拆分角后，需明确新角的象限，避免三角函数值符号判断错误（如
为钝角，
为锐角，则
可能为锐角或直角）。
【课前自测】
1．计算：
（ ）
A．
B．1
C．
D．
2．已知
，
，
，则
；
．
3．已知在
中，
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
4．计算：
．
5．若
、
都是锐角，且
，
，则
．
6．
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知
，
，且
，则
．
【多选】8．下列式子运算正确的有 （ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．在
中，
为锐角，且
，
，求
．
【考点一：公式的基本应用】
【例题】1．已知角
的终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
知识讲解与常考题型
题型分类
2．已知
，
，
，
，则
．
3．（1）已知
，且
，求
的值；
（2）已知
，且
及
，求
的值.
【针对训练】
4．已知
为第一象限角，
为第二象限角，且
，
(1)求
的值；
(2)求
的值.
5．已知
，则
.
6．已知角
的终边上一点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题策略】
一、“给值求值”问题：明确已知与未知的角关系
核心思路：通过“角的拆分”将未知角表示为已知角的和、差或倍数，再代入公式计算。
步骤与技巧：
1. 分析角的联系：观察未知角与已知角的关系，常用拆分方式：
如求
，若已知
和
的三角函数值，直接用和角公式；
若已知
和
，则
；
若已知
和
，则
，
。
2. 确定三角函数值的符号：根据角的范围（如“
为第二象限角”“
”）判断待求三角函数
值的符号（正或负），避免漏解。
3. 代入公式计算：优先选择包含已知角的公式，若涉及正切，需先确认角是否使正切有意义（即不为
）。
二、“给值求角”问题：先求角的三角函数值，再定范围
核心思路：通过公式求出未知角的某个三角函数值（优先选择正弦、余弦，因其在
内单调性明确），
结合角的范围确定唯一解。
步骤与技巧：
1. 选择合适的三角函数：
若角的范围在
，选正弦或正切；
若在
，选余弦（余弦在此区间单调递减，便于唯一确定角）；
避免选择正切在角范围包含
时使用。
2. 缩小角的范围：根据已知条件（如“
为锐角”“
”）进一步缩小角的可能区间，确保三
角函数值对应的角唯一。
3. 对比特殊角的值：计算出三角函数值后，与特殊角（如
）的函数值对比，确定角的大小。
三、化简与证明问题：逆用公式+角的重组
核心思路：利用公式的逆用（如
）或变形，将式子转化为更简洁的
形式（如“一角一函数”）。
常用技巧：
1. 逆用和差公式：观察式子结构是否符合公式右边的形式，直接转化为左边的和差角函数。
例：化简
。
2. “1”的代换：利用
，将正切相关式子转化为和差公式形式。
例：证明
，左边可化为
。
3. 辅助角公式化简：将
化为
或
，便于分析最值、周期等。
例：化简
（因
，
即
）。
四、含参数或范围问题：分类讨论+公式约束
核心思路：若问题中涉及参数（如“已知
，求
”）或角的范围不确定，需结合公式
的定义域和三角函数值的有界性（如
）分类讨论。
注意点：
正切公式的定义域约束：若
存在，则
，需排除使分母为0 的情况（如
时，正切和角公式不适用，需用诱导公式分析）。
三角函数值的有界性：若化简后出现
，则无解（因正弦值最大为1）。
五、总结：解题的“三步法”
1. 看角：分析已知角与未知角的关系，确定是否需要拆分、组合角（如
）。
2. 选公式：根据角的关系和待求目标（求值、求角、化简）选择合适的和差公式（正弦、余弦或正切），
优先使用能直接关联已知条件的公式。
3. 定符号/范围：根据角的象限或范围，确定三角函数值的符号或缩小角的可能区间，避免多解或错解。
【考点二：公式的逆用与变形】
【角度1：公式的活用】
【例题】1．已知
，且
，则
．
2．
（ ）
A．
B．1
C．
D．
3．利用和（差）角公式计算下列各式的值：
(1)
；
(2)
；
(3)
【针对训练】4．在
中，若
，则
.
5．已知
，
是第三象限角，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．
.
【角度2：辅助角公式的运用】
【例题】1．求
的值.
【多选题】2．下列式子化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【多选题】3．下列化简中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【针对训练】
4．求值：
．
5．若
，则实数
的值为（ ）
A．4
B．
C．
D．
6．化简：
．
【解题策略】
1. 核心公式回顾（逆用形式）
设
为任意角，则：
正弦逆用：
；
余弦逆用：
；
正切逆用：
；
2. 逆用解题关键策略
策略1：观察结构，直接匹配公式
若式子中出现“正弦乘余弦±余弦乘正弦”“余弦乘余弦±正弦乘正弦”“正切和差除以1
正切
∓
积”的形式，直接逆用对应公式化简。
策略2：拆分角，构造和差关系
当角的形式复杂时，通过“角的拆分”将未知角表示为已知角的和或差（如
，
），再逆用公式。
策略3：正切逆用注意符号与角的范围
正切逆用需保证
均不等于
，且结果需结合角的范围确定最终值，避免多解
错误。
二、辅助角公式的解题策略
辅助角公式用于将“
”（
为常数，且不同时为0）化为“单角三角函数”形式，核心
是简化表达式，方便求最值、周期、单调区间等。
1. 辅助角公式的基本形式
对
，可化为：
其中辅助角
满足：
，
（或
）；
的象限由
的符号确定（如
时，
在第一象限）。
2. 辅助角公式解题关键策略
策略1：化简表达式，转化为单三角函数
通过辅助角公式将式子化为
（或
），利用正弦、余弦函数的有界性（值域
）解决最值问题。
策略2：确定辅助角的象限
辅助角
的象限由
和
的符号共同决定，需根据“
与
同号，
与
同号”判断，避免象
限错误导致结果偏差。
策略3：结合三角函数性质分析问题
转化为单角三角函数后，可直接利用正弦（或余弦）函数的周期性、单调性、奇偶性等性质，快速求
解相关问题（如单调区间、对称轴、对称中心等）。
【考点三：角的变换问题】
【例题】1．已知
，
，则
.
2．已知
，
，且
，
，求
，
及
的值.
3．已知
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【针对训练】4．在钝角
中，已知
，
，则
．
5．若
，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
6．若
，
，
，
，则
．
【解题策略】
1. 基础变换：用“和差”表示未知角
典型形式：
策略：
若问题中出现角
、
及
，可通过上述关系将其中一个角用另外两个角的和差表示，再代入公
式展开。例如，要求
，可转化为
，再用正弦差角公式展开。
2. 利用“特殊角”拆分非特殊角
典型形式：
（或
）
策略：
对于非特殊角（如
、
等），可拆分为两个特殊角的和或差，直接应用两角和差公式计算三角
函数值。
3. 结合“倍角”或“半角”的变换
典型形式：
（倍角与半角关系）
（复杂半角的拆分）
策略：
当涉及倍角或半角时，可通过“整体代换”将其视为新的角，结合两角和差公式与倍角公式综合应用。
例如，
与
的和差可转化为
或
，即：
4. 利用“角的范围”辅助变换
策略：
角的变换需结合角的取值范围确定三角函数值的符号（如正余弦的正负、正切的定义域等）。例如，
已知
、
为锐角，且
，
，求
时，需先确定
的范围（钝角），
进而得到
的正值，再通过
展开计算。
三、角的变换通用步骤
1. 识别已知角与未知角：明确问题中给出的角（如
、
）和需要求解的角（如
、
）。
2. 构造角的关系：通过和、差、倍、半等关系，将未知角表示为已知角的组合。
3. 选择对应公式：根据构造的角的关系，选用正弦、余弦或正切的和差公式展开。
4. 结合范围验证：根据角的取值范围判断三角函数值的符号，确保结果的唯一性。
通过角的变换，可将复杂的三角函数问题转化为已知角的运算，核心在于灵活运用角的和差关系，结合公
式逐步化简。
一、单选题
1．已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
2．已知
是方程
的两个根，且
，则
（ ）
课后针对训练
A．
B．
C．
D．
3．已知
，且
为第三象限角，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．化简计算
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知
，则
（ ）
A．
B．5
C．
D．
7．
的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
8．设
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
10．已知
，且
，若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
11．已知
，则
.
12．已知
，
，则
.
四、解答题
13．（1）已知
是第二象限角，
，求
的值；
（2）设
，且
，求角
的值.
14．（1）求值：
；
（2）已知
都是锐角，
，求
的值.
