文档文本内容
【第13 讲：导数的概念及其几何意义+导数运算】
一．平均变化率（共3 小题）
二．瞬时变化率（共3 小题）
三．变化率的极限与导数的概念（共4 小题）
四．含Δx 表达式的极限计算与导数的关系（共5 小题）
五．导数与切线的斜率（共5 小题）
六．函数图象趋势与导数大小的关系（共4 小题）
七．基本初等函数的导数（共4 小题）
八．导数的加法与减法法则（共3 小题）
九．导数的乘法与除法法则（共3 小题）
十．简单复合函数的导数（共8 小题）
十一．利用导数求解曲线在某点上的切线方程（共7 小题）
十二．由函数的切线方程求解函数或参数（共5 小题）
【知识点清单】
1 平均变化率
【知识点的认识】
平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x 由x1变化到x2时，其函数y
＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为
f ( x2)−f ( x1)
x2−x1
．把（x2﹣x1）叫做自变量的
改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以
表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即△y
△x = f ( x2)−f ( x1)
x2−x1
．
2．瞬时变化率
【知识点的认识】
1、平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x 由x1变化到x2时，其函数y
＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为
f ( x2)−f ( x1)
x2−x1
．把（x2﹣x1）叫做自变量的
改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以
题型梳理
总览
表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即△y
△x = f ( x2)−f ( x1)
x2−x1
．
2、瞬时变化率：
变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：
△y
△x = f ( x1+△x)−f ( x1)
△x
．当△x 趋于0 时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻
画的是函数在某一点的变化率．
【解题方法点拨】
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处附近平均变化率的极限：
x→
0
lim ¿ f ( x0+△x)−f ( x0)
△x
= x→
0
lim ¿ △y
△x ¿
¿
3．变化率的极限与导数的概念
【知识点的认识】
导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
= x→
0
lim ¿ f ( x0+△x)−f ( x0)
△x
= x→
0
lim ¿ △y
△x ¿
¿
【解题方法点拨】
导函数的特点：
①导数的定义可变形为：f′（x）=△x→
0
lim ¿ f ( x−△x)−f ( x)
−△x
¿；
②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；
④并不是所有函数都有导函数．
⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为
函数f（x）在点x0处的导数值．
⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
4．含Δx 表达式的极限计算与导数的关系
【知识点的认识】
导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
= x→
0
lim ¿ f ( x0+△x)−f ( x0)
△x
= x→
0
lim ¿ △y
△x ¿
¿
【解题方法点拨】
导函数的特点：
①导数的定义可变形为：f′（x）=△x→
0
lim ¿ f ( x−△x)−f ( x)
−△x
¿；
②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；
④并不是所有函数都有导函数．
⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为
函数f（x）在点x0处的导数值．
⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
5．导数与切线的斜率
【知识点的认识】
导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k 切线＝f′
（x0）
= x→
0
lim ¿ f ( x0+△x)−f ( x0)
△x
= x→
0
lim ¿ △y
△x ¿
¿．
【解题方法点拨】
（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切
线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．
（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象
在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，
则切线与x 轴垂直．
6.函数图象趋势与导数大小的关系
【知识点的认识】
导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k 切线＝f′
（x0）
= x→
0
lim ¿ f ( x0+△x)−f ( x0)
△x
= x→
0
lim ¿ △y
△x ¿
¿．
【解题方法点拨】
f′（x0）＞0，切线与x 轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x 轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，
切线与x 轴平行；f′（x0）不存在，切线与y 轴平行．
7．基本初等函数的导数
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C 为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0 且a≠1）⑦[logax）]′= 1
x *（logae）=
1
xlna（a＞0 且a≠1）⑧[lnx]′
= 1
x ．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[ f ( x)
g( x)]′= [ f ′( x)g( x)−f ( x)g′( x)]
[ g( x)
2]
．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公
式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且
要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失
误．
一．平均变化率（共3 小题）
1．已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣3，则f（x）从1 到1+Δx 的平均变化率为（ ）
A．Δx+3
B．2Δx﹣1
C．Δx
D．（Δx）2﹣Δx
知识讲解与常考题型
题型分类
2．若lim
Δx →0
❑
f ( x0+ Δx)−f ( x0)
Δx
=k，则lim
Δx →0
❑
f ( x0+2⋅Δx)−f ( x0)
Δx
等于（ ）
A．2k
B．k
C．1
2 k
D．以上都不是
3．函数f（x）＝3x2﹣1 在区间[0，1]上的平均变化率是 ．
二．瞬时变化率（共3 小题）
4．某物体的运动路程s（单位：m），时间t（单位：s）之间的关系S（t）＝t2+t，求在t＝2s 时的瞬时速
度（ ）
A．4m/s
B．5m/s
C．6m/s
D．8m/s
5．已知函数f（x）＝x2，则
lim
Δx →0 f (2+ Δx)−f (2)
Δx
=（ ）
A．1
B．2
C．4
D．6
6．已知某质点运动的位移y（单位：cm）与时间t（单位：s）之间的关系为y（t）＝ln（2t+4），则该质
点在t＝2s 时的瞬时速度为 cm/s．
三．变化率的极限与导数的概念（共4 小题）
7．已知函数f（x）在x＝x0处可导，且
lim
Δx →0 f ( x0−Δx)−f ( x0)
Δx
=2025，则f′（x0）＝（ ）
A．﹣2025
B．0
C．1
D．2025
8．若lim
Δx →0
❑
f (2+2 Δx)−f (2)
Δx
=6，则f′（2）＝（ ）
A．12
B．6
C．3
D．﹣3
9．已知
lim
Δx →0 sin( x0+ Δx)−sin x0
Δx
=1，x0∈[−π
2 ，π
2 ]，则sinx0＝（ ）
A．1
2
B．
❑√3
2
C．1
D．0
10．已知lim
Δx →0
❑
sin( x0+ Δx)−sin x0
2 Δx
= 1
4
，x0∈[−π
2 ，π
2 ]，则sinx0＝（ ）
A．1
2
B．±
❑√3
2
C．−1
2
D．1
4
四．含Δx 表达式的极限计算与导数的关系（共5 小题）
11．已知f（x）是定义在R 上的可导函数，若lim
Δx →0
❑
f (2+ Δx)−f (2)
2 Δx
=−1
2
，则f′（2）＝（ ）
A．﹣1
B．−1
4
C．1
D．1
4
12．已知f ′( x0)=6，
lim
Δx →0
❑
f ( x0+ Δx)−f ( x0)
3 Δx
的值是（ ）
A．2
B．1
C．1
2
D．﹣2
13．已知函数f（x）＝2lnx+x，则
lim
Δx →0 f (1+ Δx)−f (1)
3 Δx
=（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
14．设f ( x)= x + ln(mx)−m
x (m＞0)，对于Δx＞0，
lim
Δx →0
❑
f (1+2 Δx)−f (1)
Δx
=（ ）
A．m+2
2
B．2m+4
C．2m+1
D．4m+2
15．设函数y＝f（x）在点x0处可导，且f′（x0）＝2，则
lim
ℎ→0 f ( x0+ℎ)−f ( x0−ℎ)
ℎ
的值为（ ）
A．2
B．4
C．0
D．﹣4
五．导数与切线的斜率（共5 小题）
16．曲线y＝eax+x 在点（0，1）处的切线与直线x﹣y+2＝0 垂直，则a＝（ ）
A．2
B．0
C．﹣1
D．﹣2
17．曲线y＝ex+1和曲线y＝ex+3 的公共切线的斜率为（ ）
A．1
B．3
C．ln3
D．e
18．已知曲线C
y
：= 1
2 x
2−2上一点P(1，−3
2 )，则曲线C 在点P 处的切线的倾斜角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
19．函数f（x）＝ex+ax 在x＝0 处的切线与直线3x﹣2y﹣5＝0 平行，则实数a＝（ ）
A．﹣1
B．1
C．1
2
D．1
4
20．若曲线y＝x2﹣lnx 在x＝1 处的切线的斜率为（ ）
A．2
B．﹣2
C．1
D．﹣1
六．函数图象趋势与导数大小的关系（共4 小题）
21．已知函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）图象如图所示，则函数y＝f（x）的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
22．如图是函数f（x）的导函数f′（x）的图象，则函数y＝f（x）的图象可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
23．设函数f（x）在定义域内可导，y＝f（x）的图象如图所示，则其导函数y＝f′（x）的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
24．函数y＝f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列判断中正确的选项是（ ）
A．f（x）在（1，3）上单调递增
B．f（x）在（1，3）上单调递减
C．f（x）在（2，4）上单调递减
D．f（x）在（3，+∞）上单调递增
七．基本初等函数的导数（共4 小题）
25．下列计算正确的是（ ）
A．（2x）′＝x•2x﹣1
B．(lgx)′ = 1
x
C．（e2x）′＝2e2x
D．[cos(3 x + π
4 )]′ =−sin(3 x + π
4 )
26．已知函数f（x）＝elnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为（ ）
A．0
B．1
C．e
D．1
e
27．已知函数f（x）＝ex﹣1+f'（1）x2+1，则f'（2）＝（ ）
A．e+2
B．e﹣4
C．e﹣7
D．e﹣8
28．下列求导运算正确的是（ ）
A．(sin π
3 )′ =cos π
3
B．（1+ex）′＝1+ex
C．( cosx
x
)′ = xsinx−cosx
x
2
D．（2ex）′＝2ex
八．导数的加法与减法法则（共3 小题）
29．已知函数f（x）＝ex+2f'（0）sinx，则f′（0）＝（ ）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
30．下列运算正确的是（ ）
A．（x3+cosx）′＝3x2+sinx
B．若函数f（x）满足f′（2）＝2，则
lim
Δx →0 f (2+ Δx)−f (2)
2 Δx
= 4
C．[ln（2x+1）]′=
1
2 x +1
D．C10
6 =C10
4
（多选）31．下列求导正确的是（ ）
A．( x ❑√x +e
3)′ = 3
2
❑√x +3e
2
B．( cosx
x
)′ =−xsinx +cosx
x
2
C．(4
x−sin π
4 )′ = 4
x ln 4
D．(lg x
2 )′ =
1
2 xln10
九．导数的乘法与除法法则（共3 小题）
32．若函数f ( x)=
1
tanx ，则导函数f′（x）＝（ ）
A．
1
sin
2 x
B．
1
co s
2 x
C．−
1
sin
2 x
D．−
1
co s
2 x
33．函数y= sinx
x
的导数为（ ）
A．y′= xcosx + sinx
x
2
B．y′= xcosx −sinx
x
2
C．y′= xsinx−cosx
x
2
D．y′= xsinx +cosx
x
2
34．下列求导数计算错误的是（ ）
A．（1
x ）′=−1
x
2
B．( x
2
e
x )′ = x
2−2 x
e
x
C．（xlnx）'＝1+lnx
D．（tanx）′=
1
co s
2 x
十．简单复合函数的导数（共8 小题）
35．下列求导运算正确的是（ ）
A．（cos1）′＝﹣sin1
B．（2x）′＝2x
C．[ ln(3 x−2)]′ =
3
3 x−2
D．(lgx)′ = 1
x
36．已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且对任意实数x 都有f′（x）﹣f（x）＝ex（2x﹣1），f（0）＝
﹣2，则不等式f（x）＜10ex的解集为（ ）
A．（﹣4，3）
B．（﹣3，4）
C．（﹣3，2）
D．（﹣2，3）
37．已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域为R，若f′（2）＝8，函数f（2x+1）和f′（x+2）均
为偶函数，则∑
i=1
2025
f ′(i)的值为（ ）
A．8
B．1
C．0
D．﹣8
38．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且f ( x)=2 xf ′( π
3 )+ sinx，则f ′( 2π
3 )=（ ）
A．−3
2
B．1
2
C．
❑√3
2
D．−
❑√3
2
39．下列四个求导运算中运算结果错误的是（ ）
A．( x−1
x )′ = 1+ x
2
x
2
B．（x2ex）′＝2xex
C．(ln(2 x−1))′ =
2
2 x−1
D．(lo g2 x)′ =
1
xln2
40．已知f（x）是定义在R 上的奇函数，且满足f（3﹣x）﹣f（x﹣1）＝0，当x∈[1，2]时，f（x）＝2x﹣
4，则f (19)+ f ′( 3
2 )=（ ）
A．﹣2
B．2❑√2ln 2+2
C．﹣4
D．1
2 ln2−2
41．已知定义域为R 的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，且f（1+x）﹣f（1﹣x）＝2x，若其导函数为
f′（x），则f′（2025）等于（ ）
A．−1
2
B．0
C．1
2
D．1
42．已知f（x）＝3f（2﹣x）+2x2﹣lnx，则f'（1）＝（ ）
A．−3
2
B．3
4
C．3
2
D．−3
4
十一．利用导数求解曲线在某点上的切线方程（共7 小题）
43．曲线f（x）＝（x+1）e2x在x＝0 处的切线方程为（ ）
A．y＝3x+1
B．y＝3x+2
C．y＝2x+2
D．y＝3x﹣2
44．从点A（1，a）可向曲线y＝x﹣x3引三条不同切线，则a 的取值范围为（ ）
A．﹣1＜a＜0
B．0＜a＜1
C．1＜a＜2
D．2＜a＜3
45．已知f（x）为奇函数，当x＜0 时，f（x）＝ln（﹣x）+3x，则曲线y＝f（x）在点（1，3）处的切线方
程是（ ）
A．2x﹣y﹣5＝0
B．2x﹣y+1＝0
C．2x+y+1＝0
D．2x+y+5＝0
46．已知函数f（x）＝ln（2﹣x）+ax 在点（1，f（1））处的切线为l，若l 与圆（x+2）2+y2＝1 相切，则a
的值为（ ）
A．1 或❑√3
B．❑√5或﹣2
C．1 或7
3
D．2 或4
3
47．已知函数f（x）＝ex+2x，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（ ）
A．y＝2x+1
B．y＝3x+1
C．y＝2x
D．y＝3x
48．若直线l 同时是曲线y＝aex（a＞1）和曲线y＝ex+a 的切线，则l 斜率的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．e
D．2e
49．已知函数f（x）＝2x2﹣xf′（1），则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（ ）
A．2x﹣y﹣2＝0
B．2x+y﹣2＝0
C．2x﹣y+2＝0
D．2x+y+2＝0
十二．由函数的切线方程求解函数或参数（共5 小题）
50．曲线y＝e2ax+1 在点（0，2）处的切线与直线2x+y+1＝0 垂直，则a 等于（ ）
A．1
2
B．1
4
C．−1
4
D．−1
2
51．若过点（a，b）可以作曲线y＝lnx 的两条切线，则（ ）
A．eb＜a
B．lna＜b
C．ea＜b
D．lnb＜a
52．若曲线y＝ln（x+2a）的一条切线为y＝ex﹣2b（e 为自然对数的底数），其中a，b 为正实数，则
1
ea + 1
b的取值范围是（ ）
A．[2，e）
B．（e，4]
C．[4，+∞）
D．[e，+∞）
53．已知曲线f ( x)=sin(ωx +φ)(|φ|＜π
2 )在点（0，f（0））处的切线方程为y = 1
2 x−
❑√3
2 ，则ωφ＝
．
54 ．已知直线y ＝kx+b 是曲线f （x ）＝ex﹣3 与g （x ）＝ex+2022﹣2022 的公切线，则k ＝
．
一、单选题
1．若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
2．已知函数
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
3．函数
的导数为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．设
，对于
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
的导函数为
，且
，则
（ ）
A．2
B．1
C．8
D．4
6．已知函数
的导函数为
，且
，则
（ ）
课后针对训练
A．
B．
C．
D．
7．已知
为奇函数，当
时，
，则曲线
在点
处的切线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．曲线
在
处的切线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．0
9．设点
是曲线
上任意一点，则点
到直线
的最小距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
10．建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益．已知一段时间内，
甲、乙两个水库的蓄水量
与时间的关系如图所示，则下列叙述中正确的是（ ）
A．在
这段时间内，甲、乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0
B．在
这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率
C．甲水库在
时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在
时刻蓄水量的瞬时变化率
D．乙水库在
时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在
时刻蓄水量的瞬时变化率
11．（多选）已知过点
的所有直线中，有且仅有两条直线与曲线
相切，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．已知函数
，则曲线
在
处的切线方程为 .
13．已知函数
的导函数为
，且
，则
．
14．已知曲线
在点
处的切线方程为，且过点
的直线
与直线垂直，则
的
方程为 ．
15．已知函数
满足
，则曲线
在点
处的切线方程为 ．
16．曲线
在点
处的切线方程为
，则
的值为 .
17．若曲线
在点
处的切线与曲线
只有一个公共点，则
．
18．过曲线C：
上一点P 作C 的切线交x 轴于点Q，已知
，则切线PQ 的方程为 ．
四、解答题
19．已知函数
，若曲线
在点
处的切线方程为
，求
.
20．求下列已知函数的导函数：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
