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【第18 讲：三角恒等变换】
【新高考课程标准要求】
1.推导公式：会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。并能以此为基础，推导出两角差的正弦、正切
公式，进而推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解这些公式
之间的内在联系。
2.理解公式：理解两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式等，记住公式的结构特征和符号变化
规律，能够正确正用、逆用及变形使用公式。例如要清楚两角和与差的正切公式变形为
后的应用场景。
3.恒等变换应用：能运用上述公式进行简单的恒等变换，包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不
要求记忆这三组公式。通过恒等变换，使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少，
尽量让式子中的分母和被开方数不含三角函数等，常与同角三角函数的基本关系、诱导公式等综合应用。
【知识梳理】
一、基础公式（核心推导与应用）
1. 两角和与差公式
余弦：
*（由向量数量积推导，是所有公式的基础）*
正弦：
*（可由余弦公式结合诱导公式
推导）*
正切：
（
）
（
）
*（由正弦、余弦公式相除推导）*
2. 二倍角公式
正弦：
余弦：
（基本形式）
（降幂：
）
（降幂：
）
*（降幂公式是化简高次三角函数式的关键）*
正切：
（
且
）
二、常用变形公式（逆用与拓展）
1. 公式逆用与凑角技巧
正切公式变形：
*（用于化简含
与
的式子）*
凑角公式：
，
，
等
*（例：
）*
2. 辅助角公式（合一变形）
对于
（
不同时为0），可化为：
其中
（
的终边过点
），或写作
（
）。
*（核心：将不同名三角函数合并为单一三角函数，便于求最值、周期等）*
3. 半角公式（不要求记忆，需会推导）
由二倍角公式变形可得（
为任意角）：
*（符号由
所在象限决定，后两个正切公式无需考虑符号）*
4. 和差化积与积化和差（不要求记忆，需了解推导思路）
和差化积：
积化和差：
*（推导：令两角和与差公式中的
，
，联立消元即可）*
三、常用结论（简化计算与解题技巧）
1. 特殊角相关：
（辅助角公式的特殊情况）
，
（由半角公式或两角差公式推导）
2. 平方关系变形：
（常用于已知
求
）
（由
展开推导）
3. 角的互补/互余关系：
若
，则
，
若
，则
，
四、公式应用原则
1. 化简优先：项数最少、次数最低、角与函数名最少，分母/被开方数不含三角函数。
2. “角”是核心：观察式子中角的关系（如和差、倍半），选择对应公式（如凑角、二倍角）。
3. 灵活逆用：如
（二倍角公式逆用），
（代换技巧）。
【课前自测】
1．（24-25 高一下·江苏苏州·阶段练习）
．
【答案】
【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合诱导公式、和角公式及二倍角公式计算可得结果.
【详解】
.
故答案为：
.
2．（24-25 高三上·辽宁大连·期中）下列式子的运算结果为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】利用两角和的正切公式判断A、B、D；根据同角三角函数的基本关系及诱导公式、二倍角公式判
断C.
【详解】对于A：
，故A 正确；
对于B：
，
所以
，故B 正确；
对于C：
，故C 正确；
对于D：
，故D 错误.
故选：ABC
3．（24-25 高一下·江西上饶·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式化
为
，再结合二倍角公式进一步化简求值即可.
【详解】因为
，所以
.
故选：B
4．（24-25 高一下·江苏南通·阶段练习）已知
，则以下说法正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据两角和差的正切公式求出
判断AB；根据角的范围及特殊角的正切值判断CD.
【详解】因为
，
所以
，
，故选项AB 正确；
因为
，所以
，又
，
，
所以
，
因为
，所以
即
，所以C 错误，D 正确.
故选：ABD
5．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，
，则
，
.
【答案】
/
/
【分析】根据半角公式及结合
的范围即可求解.
【详解】由半角公式可得
，
.
∵
，∴
，即
是第二象限角，∴
，
.
∴
，
.
故答案为：
；
.
6．（2025 高一·全国·专题练习）已知
，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，两式平方相加可得
，分两种情况，求出
，利用正切二倍角公
式进行求解.
【详解】设
，又
，
两式平方相加得
，得
．
由
得
，故
，
；
或由
得
，故
，
．
综上所述，
．
故选：A．
7．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，
，则
等于
【答案】
【分析】先确定
的取值范围，根据同角三角函数的平方关系求出
，再利用
求值.
【详解】∵
，
，
所以
，所以
∴
.
故答案为：
8．（2025 高三·全国·专题练习）已知
均为锐角，且
，
，求
，
的值．
【答案】
，
．
【分析】将条件等式平方后相加，结合和角余弦公式求
，应用和差化积公式得
、
，再作商并应用万能公式求
.
【详解】
，
，
两式相加，得
，
由
，得
，
由
，得
，
两式相除，得
，
所以
．
【考点一：三角函数式的化简】
【例题】1．（2025 高三·全国·专题练习）
的值为（ ）
知识讲解与常考题型
题型分类
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】解法一：根据式子结构，利用半角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式即可求解；解法二：
根据式子结构，利用二倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式即可求解.
【详解】解法一：原式
.
解法二：原式
.
故选：B.
【针对训练】2．（2025 高三·全国·专题练习）化简：
.
【答案】
【分析】根据二倍角公式及同角三角函数的商数关系即可求解.
【详解】原式
.
故答案为：
.
3．（2024 高三·全国·专题练习）化简:
.
【答案】
【分析】弦切互化将
变为
，利用诱导公式将
变为
，结合完全
平方式和二倍角余弦公式化简即可.
【详解】原式
.
故答案为：
【解题策略】
一、异名化同名（统一函数类型）
通过公式将不同三角函数（如sin、cos、tan）转化为同一类，常用工具：
同角关系：
，
（实现切化弦）；
诱导公式：如
（实现弦与弦的转化）；
辅助角公式：
（或
形式），其中
（将不同名的
正弦、余弦合并为单一三角函数）。
二、异角化同角（统一角的形式）
通过角的拆分与组合，将复角（如
、
、
）转化为单角或已知角，常用思路：
角的拆分：如
，
，
等；
利用和差角公式、二倍角公式：直接将复角表达式展开，转化为单角的三角函数。
三、降幂与升幂（调整次数）
降幂：将高次项（二次及以上）转化为低次（通常为一次），核心公式：
升幂：将低次项转化为高次，用于凑平方或和差公式，核心公式：
四、消去特殊结构（简化表达式）
分式：通过通分、约分或分子分母同乘某式（如弦化切后约分）消除分式；
根号：利用升幂公式将根号内表达式化为完全平方形式（结合角的范围确定开方后的符号）；
绝对值：根据角的范围判断三角函数值的正负，去掉绝对值符号。
五、合并与整理（减少项数）
利用代数运算（如提取公因式、平方差公式
、完全平方公式等）合并同类项；
对化简后的式子进行最后的整理，确保项数最少、形式最简（如化为单一三角函数或常数）。
总结
化简时需结合式子特点，灵活组合上述策略，优先处理明显可转化的部分（如先切化弦、再降幂、最后统
一角），逐步将复杂式子简化为“函数单一、角单一、次数低、项数少”的形式
【考点二：三角函数式的求值】
【角度1：给角求值】
【例题】1．（24-25 高一下·辽宁大连·期中）计算下列各式值，其结果为1 的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】利用二倍角公式、诱导公式及和差角公式一一判断即可.
【详解】对于A：
，故A 正确；
对于B：
，故B 错误；
对于C：因为
，
所以
，
所以
，故C 错误；
对于D：
，故D 正确.
故选：AD
【针对训练】2．（24-25 高一下·内蒙古包头·阶段练习）求值：
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)1；
(2)
.
【分析】（1）将已知式中的切化弦，通分后利用辅助角公式，再利用二倍角公式和诱导公式化简即可；
（2）由二倍角公式、诱导公式、两角和与差的正弦余弦公式将题中角统一为
，进一步转化为
，
展开后化为特殊角即可求值.
【详解】（1）
（2）
3．（24-25 高一下·江苏宿迁·阶段练习）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用切化弦、辅助角公式、二倍角公式以及诱导公式化简可得所求代数式的值.
【详解】
.
故选：C.
【角度2：给值求值】
【例题】4．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，且
，
，
，则
.
【答案】
/
【分析】由齐次商数关系可求
，再利用正切差角公式可求
，最后根据同角三角关系求值即可.
【详解】
或
.
，
，
，
.
故答案为：
.
5．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，
，且
，
，求
，
及
的值.
【答案】
，
，
【分析】由题中条件及同角三角函数的平方关系可求得
和
的值，利用两角和与差的余
弦公式即可求解
，
的值，结合角
即可求解
的值.
【详解】因为
，且
，所以
.
因为
，且
，所以
.
所以
，
.
又因为
，
，所以
，所以
，即
.
【针对训练】6．（24-25 高一下·四川成都·期中）已知
，则
的值为
.
【答案】
【分析】根据和差公式及辅助角公式化解得
，再利用二倍角公式可求
得值.
【详解】
，
，
故答案为：
.
7．（2025·安徽淮北·模拟预测）已知
且
则tanβ=（ ）
A．3
B．2
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
求得
，代入题意中的等式，利用二倍角的余弦公式求出
，结合同角的商数关系计算即可求解.
【详解】因为
，所以
，
得
，又
，
解得
，由
，解得
，
所以
，
所以
.
故选：C
【角度3：给值求角】
【例题】8．（24-25 高一下·辽宁大连·期末）在
中，已知
，
是关于
的方程
的两个实根，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用韦达定理和和差公式即可得解.
【详解】因为
，
是关于
的方程
的两个实根，
所以
，
所以
，
因为
，所以
.
故选：D
9．（24-25 高二下·陕西榆林·期末）已知
，且
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据同角三角函数关系切化弦之后，结合正弦两角和公式、三角函数取值关系即可得结论；或者
根据三角恒等变换利用半角公式化简，结合正切函数的性质得结论.
【详解】解法1：由
得
，
，
又因为
，所以
，则
或
，
整理得
或
（舍去）.
故选：C．
解法2：因为
，所以
，
又因为
，所以
，则
，
整理得
.
故选：C．
【针对训练】10．（24-25 高一下·江苏南京·阶段练习）若
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据已知及平方关系得
、
，且
，再应用差角余弦公式
求
，即可得.
【详解】因为
，所以
，又
，
所以
，则
，
因为
，
，所以
，
又
，所以
，
所以
，
因为
，
，所以
，
所以
，
所以
.
故选：C
11．（24-25 高一下·江苏扬州·期中）已知
，
，
，
，则
的
值为 .
【答案】
【分析】由条件可得
，从而得到
的值，再由
的范围，即可得到结果.
【详解】因为
，
，则
，
所以
，
则
，
且
，
，
，
则
.
故答案为：
【解题策略】
一、给角求值：已知非特殊角，求其三角函数值
核心思路：将非特殊角通过拆分、组合转化为特殊角（如
等）的和、差、倍、半等形式，再利用
恒等公式计算。
常用策略：
1. 角的拆分与组合：观察非特殊角与特殊角的关系，例如：
，
；
，
等，通过和差角、半角公式转化。
2. 降幂与升幂：对于高次三角函数，先降幂转化为一次，再结合角的变换。
3. 辅助角公式：将
化为单一三角函数，再代入角计算。
二、给值求值：已知某角的三角函数值，求另一表达式的值
核心思路：分析已知角与待求角的关系（如和差、倍数、互余等），通过恒等公式将待求式用已知角的三
角函数表示，再代入计算。
常用策略：
1. 分析角的关系：确定待求角与已知角的联系，例如：
若已知
，待求
，则
（直接用和角公式）；
若已知
和
，待求
，则
（间接拆分）；
常见配角技巧：
，
等。
2. 确定角的范围：根据已知条件判断角的象限（或范围），避免三角函数值符号错误（如求
时，需
明确
在第几象限）。
3. 选择合适公式：
已知
或
，求同角的其他函数值：用同角关系
、
；
已知单角函数值，求复角函数值：用和差角公式、二倍角公式；
涉及高次项：先降幂，再转化为一次表达式。
三、给值求角：已知三角函数值，求对应的角
核心思路：先确定角的范围（缩小到唯一解），再求出该角的某个三角函数值（通常选单调函数，如正
切），最后结合特殊角或反三角函数确定角的具体值。
常用策略：
1. 确定角的范围：根据题目条件（如“
为锐角”“
”）或隐含信息（如三角函数值的符号），
缩小角的范围（通常缩到某一单调区间，确保解唯一）。
2. 选择目标三角函数：优先选择在该范围内单调的三角函数（如正切在
单调，余弦在
单
调），避免多解混淆。
3. 计算目标函数值：通过恒等变换求出该角的目标三角函数值，对比特殊角的函数值，确定角的大小。
4. 验证唯一性：若范围内含多个可能角，需结合其他条件（如另一三角函数值的符号）排除，确保解唯
一。
总结
三类求值问题的共性是“利用角的关系与恒等公式建立转化”，差异在于：
给角求值侧重“非特殊角→特殊角”的拆分；
给值求值侧重“已知角→待求角”的联系构建；
给值求角侧重“范围限定+函数值匹配”的唯一性确定。
解题时需灵活运用和差角、二倍角、同角关系等公式，结合角的范围判断符号，确保结果准确。
【考点3：三角恒等变换的综合应用】
【例题】1．（24-25 高一下·湖南衡阳·期末）已知函数
．
(1)求函数
的单调递增区间；
(2)当
时，求函数
的最值及相应x 的值．
【答案】(1)
，
(2)当
时，取最大值为
，当
时，取最小值为
【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简
的解析式，然后利用整体代入法求得函数
的单调递
增区间；
（2）根据三角函数最值的求法求得
的最值及相应x 的值．
【详解】（1）（1）因为
，
所以令
，
，
解得
，
，
所以函数
的单调递增区间为：
，
，
（2）因为
，所以
，
令
，则函数
在
单调递增，在
单调递减；
所以
时，
；
时，
；
所以当
时，函数
取最大值为
，当
时，函数
取最小值为
．
【针对训练】2．（24-25 高一下·陕西商洛·期末）已知函数
，
且函数
为最小正周期为
的周期函数．
(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
在
上的值域；
(3)若
，其中
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用倍角公式以及辅助角公式化简可得
，由周期求出
，即可求得答
案；
（2）利用整体代换并结合正弦函数性质，即可求得答案；
（3）由
，可得
，继而求出
，利用两角差的余弦公式，即可求得
答案.
【详解】（1）根据题意（1）化简可得
，
又因为函数
的最小正周期为
，所以
，可得
，
所以
．
（2）设
，所以
，
所以
的值域为
．
（3）因为
，所以
，
可得
，
因为
，可得
，所以
，
所以
．
3．（24-25 高一下·甘肃临夏·期末）已知函数
．
(1)求函数
的图象的对称轴方程；
(2)求函数
的单调递增区间；
(3)当
时，求函数
的值域．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数，结合正弦函数的对称轴求解即得；
（2）利用正弦函数的单调递增区间列不等式，求解即得；
（3）先由给定区间求出整体角
的范围，结合正弦函数的单调性即可求得函数的值域.
【详解】（1）因
，
由
，可得
，
即函数
的图象的对称轴方程为
；
（2）由
，可得
，
即函数
的单调递增区间为
；
（3）因
，当
时，取
，
因函数
在
上单调递增，
故
的值域为
.
【解题策略】
三角恒等变换在三角函数图像中的综合应用，核心是通过恒等变换将复杂的三角函数表达式转化为标准形
式（如
，
等），进而利用标准形式的参数（
）分
析图像特征（周期、振幅、对称轴、单调性等）或解决图像变换、解析式求解等问题。以下是具体解题策
略：
一、化简表达式为标准形式：图像分析的前提
三角函数图像的性质（周期、振幅、相位等）由其标准形式的参数直接决定，因此需先通过恒等变换将复
杂表达式化简为标准形式。
常用变换工具：
1. 降幂公式：处理含
、
的表达式，转化为一次三角函数（如
，
）；
2. 二倍角公式：处理
（如
），转化为倍角的正弦；
3. 辅助角公式：合并不同名的正弦、余弦（如
，其中
），
转化为单一三角函数；
4. 角的合并：通过和差角公式处理含复角的表达式（如
可化简为
）。
目标：将原式化为
（或余弦、正切形式），明确参数
（振幅）、
（周期相关）、
（相位）、
（上下平移量）。
二、利用标准形式分析图像特征
化简为标准形式后，可直接通过参数分析图像的核心性质，解决与图像相关的问题：
1. 周期与奇偶性
周期：由
决定，
（正弦、余弦）或
（正切）；
奇偶性：若
（正弦）或
（余弦），函数可能为奇偶函数（结合
），需通过
恒等变换验证
。
2. 对称轴与对称中心
对称轴：正弦函数
的对称轴满足
（
），余弦函数满足
（
），通过解方程可得；
对称中心：正弦函数对称中心满足
（
），对应点为
，需结合恒等变换后的
表达式求解。
3. 单调性与最值
单调性：利用标准形式的单调区间模板（如
的增区间为
），令
，解不等式得原函数的单调区间；
最值：振幅
决定最值范围，最大值为
，最小值为
（正弦、余弦），需通过恒等变换
确保表达式已化为“单一三角函数+常数”形式。
三、图像变换问题：从标准形式逆向推导
已知图像变换过程（平移、伸缩）求目标函数，或已知目标函数反推变换步骤，需先通过恒等变换将函数
化为标准形式，再分析参数变化。
关键步骤：
1. 明确变换规则：
横向平移：
（左移
，
）；
横向伸缩：
（周期变为
，
）；
纵向伸缩与平移：
（振幅为
，上移
）。
2. 结合恒等变换处理非标准形式：
若目标函数为非标准形式（如
），需先化简为标准形式（如通过降幂公式转化为
，再配方或辅助角变换），再分析变换过程。
四、由图像求解析式：参数确定与恒等验证
已知三角函数图像的关键点（顶点、零点、周期等）求解析式，需通过恒等变换建立参数关系，步骤如下：
1. 求
和
：由图像的最值（最高点、最低点）
2. 求
：由周期
（相邻最值点间距为
，相邻零点间距为
）得
（正弦、余弦）；
3. 求
：代入图像的关键点（如最高点、零点），结合恒等变换（如
），并根据图像相
位（左偏、右偏）确定
的唯一值（注意范围限定，通常取
）。
总结
三角恒等变换在三角函数图像中的应用，核心是“化简为标准形式→利用参数分析图像→逆向解决变换与
解析式问题”。解题时需灵活运用降幂、辅助角、和差角等公式，确保表达式化简正确；同时结合图像的
几何特征（周期、最值、对称等），建立参数与图像的对应关系，实现“代数变换”与“几何特征”的衔
接。
【考点四：半角公式】
【例题】4．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，求
值．
【答案】
【分析】由题意得
，结合半角公式即可求解.
【详解】因为
，所以
，
所以
，
解得
或
（舍去），
所以
，
所以由半角公式可得
.
【针对训练】5．（2025 高三·全国·专题练习）若
是第一象限角，且
，则
的值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意确定
的范围，再利用半角公式即可得到结果.
【详解】因为
是第一象限角，所以
，
则
，所以
是第一象限角或第三象限角.
又知
，
，
所以
，
故选：D.
6．（24-25 高一下·辽宁·期中）已知
是第四象限角，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
是第四象限角结合同角三角函数关系及半角公式计算求解.
【详解】因为
是第四象限角，又因为
，则
，
所以
.
故选：D.
【解题策略】
一、明确半角公式的三种形式及适用场景
半角公式的本质是二倍角公式的变形，针对
、
、
有不同表达式，需根据已知条件选择
合适形式：
1. 无理形式（含根号）
适用场景：已知
的值，求
、
或
，需结合
的终边所在象限判断符号（“
”的选择）。
2. 有理形式（切化弦或含
）
适用场景：
已知
和
的值，避免根号运算，直接通过分子分母的整式运算求解；
化简含
与
的分式（如
可直接化为
）。
二、符号判断：半角公式的关键
无理形式中“
”的选择是易错点，需严格根据
的终边所在象限确定三角函数的符号：
1. 先确定
的范围，进而推出
的范围（如
，则
，
）；
2. 根据
的象限判断三角函数符号（如
在第二象限时，
，
）。
三、半角公式的常见应用场景及策略
1. 已知全角三角函数值，求半角三角函数值
步骤：
① 确定
的象限，判断符号；
② 选择合适公式（已知
用无理形式，已知
和
用有理形式）；
③ 代入计算。
2. 化简含半角的三角函数式
核心思路：通过半角公式将半角化为全角，减少角的种类，便于进一步化简。
例：化简
，可直接用
的倒数，得
；
若表达式含根号（如
），可利用
，化为
，再结合象限去
绝对值。
3. 证明三角恒等式
策略：从等式一边（通常含半角）出发，用半角公式转化为全角表达式，逐步向另一边推导。
例：证明
，可从右边入手，分子用二倍角公式
，分母用
，约分后得
。
4. 与其他公式结合使用（如和差角、二倍角）
半角公式常作为“桥梁”，连接不同角的三角函数。例如：
已知
，可将
视为
的二倍角，用半角公式将
的三角函数表示为
的函数；
处理
（即
的半角）时，可连续使用半角公式，逐步降角（如
，再代入
的表达式）。
四、注意事项
1. 半角公式与二倍角公式是“互逆”关系，解题时需根据角的倍数关系灵活转换（如
是
的二倍角，
是
的半角）；
2. 有理形式的
公式（
）可避免符号判断，在化简和求值中更便捷，优先选用；
3. 当
的范围不明确时，需保留“
”或用绝对值表示结果，避免符号错误。
总结
半角公式的解题核心是“明确角的倍数关系→选择合适公式形式→判断符号（无理形式）→结合其他公式
化简或求值”。熟练掌握三种形式的转化及符号规则，可有效解决与半角相关的化简、求值、证明问题，
同时为复杂角的恒等变换提供更多角度。
【考点五：和差化积积化和差公式】
【例题】7．（2025 高三·全国·专题练习）设
是锐角，且
，求证：
【答案】证明见解析
【分析】根据题意得到
的范围，利用降幂公式与和差化积公式计算，结合正弦函数的值域即
可证得结论.
【详解】由
（*），
因
可得
，
,
则
,
,
由（*）可得
，
，则
，可得
，
由此可得
，
代入（*）式，得
，
则有
,故得
，
又
，
，
.
8．（2025 高三·上海·专题练习）已知
，则
.
【答案】
【分析】先利用二倍角公式、和差化积公式求出
，结合条件
求出
，再利用商数关系即可得答案.
【详解】因为
，所以
，
由和差化积公式，得
，
因为
，所以
，
由
，
可得
，
所以
.
故答案为：
.
【针对训练】9．（24-25 高一下·辽宁鞍山·期末）已知函数
，
，若
有
两个零点
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对于AB，由
结合余弦函数的性质求出
，
进行分析判断，对于C，通过分析
和
的正负进行判断，对于D，结合三角函数恒等变换公式直接计算
进行判断.
【详解】令
，得
，故
或
，
所以
，
或
，
，
解得 ①
，
或②
，
，
因
，由①可得：当
或时，可得
，
；
由② ，因
，方程无解.
综上可知，A、B 错误；
因为
，
，所以
，故C 错误；
又
，故D 正
确.
故选：D.
10．（2025·湖南邵阳·模拟预测）函数
在区间
的零点个数为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】C
【分析】由
，
，令
，求解
的值，判断选项.
【详解】由
，
，
令
，则
，
或
，
故
或
，即
或
，
由
，则
或
，
即
或
，
故
或
，
综上所述，存在个零点,即为
.
故选：C.
11．（2025·江西新余·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】A
【分析】根据两角和差的余弦可得
，再由同角三角函数的基本关系式得
，故可求
，从而求得
.
【详解】因为
，
又因为
，且
，
,
所以
，故
，
又由于
，
所以
，
由于
，
故选：A．
12．（24-25 高三下·江苏南通·阶段练习）已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
得
，再根据
，
，计算即可求解.
【详解】因为
，
由题意可知
，
，所以
，
因为
，
，
，
所以
，
，
所以
，
，
因为
，
，
所以
.
故选：C.
【解题策略】
一、明确两组公式的形式及转化本质
两组公式是“互逆”关系，需熟记结构及系数特征：
1. 积化和差公式（将“积”化为“和差”）
本质：将两个角的三角函数乘积，转化为这两个角的和、差的三角函数的和或差，消除“乘积”运算。
2. 和差化积公式（将“和差”化为“积”）
本质：将两个角的三角函数的和或差，转化为这两个角的半和、半差的三角函数的乘积，便于提取公因式
或利用二倍角等公式进一步化简。
二、适用场景：何时选择积化和差或和差化积？
两组公式的应用需结合表达式的“形式特征”和“问题目标”判断：
1. 积化和差的适用场景
表达式中存在三角函数的乘积项（如
、
等），且需化简为和差形式以消去某
些项（如正负抵消）；
求值时，乘积项中的角通过和差后可化为特殊角（如
、
等），便于计算具体
值；
证明恒等式时，左侧为积式，右侧为和差式，需通过积化和差转化。
2. 和差化积的适用场景
表达式中存在三角函数的和或差（如
、
等），且需转化为积式以提取公因
式（如与其他项约分）；
求值时，和差项中的角通过半和、半差后可化为特殊角或同角（如
、
等），
便于简化运算；
处理三角形中的角关系（如
）时，利用和差化积将角的和差转化为积，结合三角形内
角和性质化简（如
，则
）。
三、核心解题策略：转化目标与操作步骤
1. 化简三角函数式：消项、降次或统一角
目标：通过积与和差的互化，减少项数、降低复杂度，或统一角的形式（如转化为同角、特殊角）。
步骤：
① 观察表达式形式：若为“积”，优先用积化和差；若为“和差”，优先用和差化积；
② 代入公式转化后，合并同类项或利用诱导公式化简（如
）；
③ 若存在多余项，尝试通过角的关系（如
与
的互补、互余）消去。
2. 求值问题：转化为特殊角或已知角的三角函数
目标：将待求式中的角通过和差化积或积化和差，转化为已知值的角或特殊角（如
、
、
等）。
关键技巧：
对于和差化积：设
，
，则
，
，即通过“设元”将两个角的
和差转化为
、
的积（如
）；
对于积化和差：若已知
和
的三角函数值，可直接代入公式计算积的值（如已知
和
，求
，可转化为
）。
3. 证明三角恒等式：从复杂端向简单端转化
策略：
若等式一侧为“积式”，另一侧为“和差式”，从积式端用积化和差转化，逐步向和差式端推导；
若两侧均为“和差式”或“积式”，通过和差化积或积化和差统一形式后，对比两侧是否相等；
利用角的关系（如
）辅助转化，结合诱导公式或二倍角公式简化中间过程。
4. 与其他公式结合使用：形成“转化链”
积化和差与和差化积常作为中间步骤，与二倍角、半角、和角公式等配合使用：
例如：化简
，可先将两项分别用积化和差：
，
，相加后得
；
再如：化简
，用和差化积得
，若需进一步化简，可结合二倍角公式处理
。
四、易错点与注意事项
1. 系数与符号：积化和差公式中均含系数
，且
的公式前有负号；和差化积公式中均含系数
，且
的公式前有负号，需严格记忆避免出错。
2. 角的范围：转化后若涉及开方或符号判断（如与半角公式结合时），需根据角的范围确定三角函数的
符号。
3. 公式的灵活性：和差化积中，“角的拆分”是关键（如
，
），
需熟练掌握这种“凑角”技巧。
总结
积化和差与和差化积公式的核心解题逻辑是“观察形式→判断转化方向（积化和差或和差化积）→利用角
的关系辅助转化→结合其他公式化简或求值”。其价值在于通过“积与和差的互化”打破表达式的固有结
构，使复杂项简化、非特殊角转化为特殊角，最终实现问题的求解。熟练掌握公式特征及适用场景，可有
效提升处理复杂三角表达式的能力。
一、单选题
1．（24-25 高一下·湖北咸宁·期末）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
或2
D．1 或2
课后针对训练
3．（2011·海南海口·一模）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高三下·甘肃·阶段练习）计算
（ ）
A．2
B．
C．
D．
5．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高二下·浙江温州·阶段练习）实数α，β 满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高一下·江西吉安·期末）若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高一下·四川绵阳·期中）若
，
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．（2025·江西新余·模拟预测）已知
，则
．
10．（24-25 高一下·江苏苏州·阶段练习）求值：
．
11．（24-25 高三上·江苏镇江·阶段练习）已知
，
，则
.
12．（24-25 高一下·湖北武汉·阶段练习）已知
，若
，则
三、解答题
13．（2025·广东·一模）已知函数
，其中
．
(1)求函数
的最小正周期和单调递增区间；
(2)若
时，
的最小值为4，求
的值．
14．（23-24 高一下·江苏苏州·阶段练习）已知
，且
．
(1)求
的值：
(2)求
的值．
15．（24-25 高一下·四川成都·期末）已知
．
(1)求
的值；
(2)若
，求
的值．
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
A
C
A
D
B
D
1．D
【分析】利用半角公式，结合角的范围进行求解，得到答案.
【详解】
，故
，故
，
所以
.
故选：D
2．B
【分析】先根据角的范围和题设条件求出
与
的值，再由和角的余弦公式求出
，
即可求得
.
【详解】由
可得
，
因
，则
，
又
，则
，
因
，
则
，
故
，
因
，故
.
故选：B.
3．A
【分析】根据题意结合诱导公式以及两角和差公式可得
，再根据齐次式问题分析求解.
【详解】由题意得
，解得
，
所以
.
故选：A.
4．C
【分析】应用两角和差正弦公式及余弦公式及弦化切得出
，再应用二倍角正弦公式及弦化切
计算求解.
【详解】因为
，
即
，则
.
故选：C．
5．A
【分析】将
和
两边平方并分别相加和相减，利用三角函数公式化简可得结
果.
【详解】由题意，
，
，
则
，
化简可得
，所以
，
又
，
则
，
，
即
，
所以
，
所以
，
由
，可得
.
故选：A.
6．D
【分析】根据题意利用诱导公式和倍角公式可得
，分子、分母同乘
，结合倍角公式
运算求解.
【详解】因为
.
故选：D.
7．B
【分析】由
，利用诱导公式和二倍角的余弦公式即可求解.
【详解】由题意有
，
故选：B.
8．D
【分析】根据诱导公式和二倍角公式将已知化简得
，然后同除
得
，求解即可.
【详解】因为
，所以
，
所以
，
即
，
所以
，即
，解得
1 或2.
故选：D
9．
【分析】根据题意，化简求解可得
，由诱导公式及二倍角公式化简，再利用齐次式求解即可.
【详解】因为
，则
，
即
，显然
，
可得
，整理得
，
解得
或
，
又因为
，可得
，
所以
．
故答案为：
.
10．
【分析】应用诱导公式及差角余弦公式、二倍角余弦公式可得
，即可求
角的大小.
【详解】由
，
所以
，又
，
所以
，而
，
所以
.
故答案为：
11．
【分析】用已知角来表示所求的角，再进行弦化切即可求解.
【详解】
，
，
.
故答案为：
.
12．1
【分析】根据同角三角函数的基本关系及降幂公式、诱导公式求解.
【详解】
，
故答案为：1
13．(1)
(2)
【分析】（1）利用同角公式及差角的正弦公式求解.
（2）利用同角公式及差角的正弦公式求出
即可.
【详解】（1）由
，得
，
所以
.
（2）由
，得
，由
，
得
，则
，
所以
.
14．(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角的正切公式和两角差的正切公式即可求解；
（2）根据已知角的范围及三角函数值，结合同角三角函数的平方关系和商数关系求出
，由二倍
角的正切公式求出
，再由
及差角正切公式求解即可.
【详解】（1）因为
，所以
，
所以
.
（2）因为
，所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，
，
则
，
因为
，所以
.
15．(1)
；单调递增区间为
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，进而根据周期公式求得函数的最小正周
期；利用整体法根据正弦函数的单调性求得函数的单调递增区间．
（2）由已知找到
取最小值为4 时的
值，得到关于
的方程．
【详解】（1）
，
．
由
，
，求得
，
，
函数的单调递增区间为
．
（2）由
时，
，
，
，
解得
．
