文档文本内容
第12讲 圆锥曲线与三角形四心专题
目 录
高考分析.........................................................................................................................................................1
知识要点.........................................................................................................................................................1
解题策略.........................................................................................................................................................3
题型归纳.........................................................................................................................................................4
题型01：圆锥曲线重心问题...........................................................................................................................4
题型02：圆锥曲线外心问题......................................................................................................................... 10
题型03：圆锥曲线内心问题......................................................................................................................... 15
题型04：圆锥曲线垂心问题......................................................................................................................... 22
1.
型定位：高考
曲
高
型，常
合焦点三角形、
弦三角形考
，融合平面几何四心性
题
圆锥
线压轴
频题
结
动
查
质+解析
几何
立
达，
合性极
联
韦
综
强
2. 考
象：
、双曲
焦点三角形四心，抛物
内接三角形四心
查对
椭圆
线
线
3. 解
核心：几何条件代数翻
，把四心的几何特征，全部
化
坐
关系、向量关系、垂直关系、中点关系，再
题
译
转
为
标
合
立
达
算
结
联
韦
计
4. 通用解
流程：
定位四心→翻
几何条件→
点
直
→
立方程
达代入→化
求
题
识图
译
设
设
线
联
韦
简
值/求
迹
轨
/求离心
率范围
知识点一：三角形四心核心基础
（一）四心定义
1.重心G
三条中
交点，中
线
线2:1 分点
若A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、C(x₃,y₃)，则G( x₁+ x₂+ x₃
3
, y ₁+ y ₂+ y ₃
3
)；
中点坐
、横
坐
分
求和除以
标
纵
标
别
3，最
，考
最高
简单
频
2.垂心H
三条高
交点，三
互相垂直
线
边
AH BC
⊥
，BH AC
⊥
，CH AB
⊥
；斜率乘积=-1（斜率存在
）；向量点
时
积=0（通用无漏洞）
核心：两
向量垂直即可列式，不用三条高
全写
组
线
3.外心O
三
中垂
交点，外接
心，到三
点距离相等
边
线
圆圆
顶
OA=OB=OC；中垂
斜率与底
斜率乘
线
边
积=-1；横坐
坐
足距离等式
标纵
标满
核心：距离相等，焦点三角形外心常在y
上
轴
4.内心I
三条角平分
交点，内切
心，到三
距离相等
线
圆圆
边
角平分
斜率关系；焦半径比例关系；焦点三角形内心横坐
定
（
曲
属
）
线
标
值圆锥
线专
结论
焦点三角形内心有固定
迹，无需复
立，直接套
轨
杂联
结论
（二）避坑提醒
1. 斜率不存在
，禁止用
时
k1k2=-1，
一改用向量数量
统
积为0，零失误
2.
曲
大多数四心考
，只考焦点三角形（曲
上一点
圆锥
线绝
题
线
+左右两个焦点构成三角形）
知识点二：三大圆锥曲线四心专属秒杀结论
1.
焦点三角形
椭圆
①重心：设P(x₀,y₀)
上
点，△
为椭圆
动
PF₁F₂ 重心G(x,y)，则x= x ₀
3
，y= y ₀
3
，
迹方程：
轨
9 x ²
a²
+9 y ²
b²
=1
②内心：△PF₁F₂ 内心I 的横坐
恒
定
标
为
值a-c，
迹
垂直于
轨
为
x
的定直
轴
线x=a-c
③外心：外心始
在
终
y
上，横坐
恒
轴
标
为0
④垂心：P 在
上运
，垂心
迹可通
垂直向量直接求解
椭圆
动
轨
过
2. 双曲
焦点三角形
线
①
点
动
P 在右支，内心
迹：直
轨
线x=a；
点
动
P 在左支，内心
迹：直
轨
线x=-a
②外心依旧在y
，坐
算和
高度一致
轴
标计
椭圆
3. 抛物
内接三角形
线
（y²=2px）
①抛物
内接直角三角形，直角
点在原点，垂心恒在抛物
上
线
顶
线
②
弦中点
合重心，直接套用重心坐
公式即可快速解
动
结
标
题
四大题型解题策略
型一：重心
（最
，必考基
）
题
问题
简单
础题
例题1：
焦点三角形重心
迹
椭圆
轨
已知椭圆x ²
4
+ y ²
3
=1，左右焦点F₁、F₂，点P
上任意
点
为椭圆
动
，求△PF₁F₂ 重心G 的
迹方程
轨
。
解：
由
意得：
题
a²=4，b²=3，c²=1，F₁(-1,0)，F₂(1,0)
设P(x₀,y₀)，G(x,y)，根据重心坐
公式：
标
G( x₁+ x₂+ x₃
3
, y ₁+ y ₂+ y ₃
3
)
即x₀=3x，y₀=3y
又点P 在
上，
足
椭圆
满
x₀²/4+y₀²/3=1
代入得：9 x ²
4
+9 y ²
3
=1，化
：
简9 x ²
4
+3y²=1
充限制条件：三角形三点不共
补
线，y₀≠0，故y≠0
上，重心
迹方程：
综
轨
9 x ²
4
+3y²=1（y≠0）
解
模板：重心坐
代
→反解
点坐
→代入原曲
方程→剔除共
无效点
题
标
换
动
标
线
线
题型二：垂心问题（高频压轴，核心考垂直向量）
例题2：抛物
垂心定
线
值问题
已知抛物线y²=4x，原点O，A、B 在抛物
上，且
线
OA⊥OB，求
：
证△OAB 垂心H 在定直
上。
线
解：
直
设
线AB：x=ty+m，
立
联
y²=4x，得y²-4ty-4m=0
达定理：
韦
y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4m
由OA⊥OB，，即x₁x₂+y₁y₂=0，解得m=4
直线AB：x=ty+4，恒
定点
过
M(4,0)
垂心
设
H(x,y)，根据垂心定
：
义OH⊥AB，BH⊥OA
OH⊥AB：化
可得横坐
恒
简
标
为4
故垂心H 恒在定直线x=4 上
解
模板：两
垂直向量列式→消去参数→得到定直
题
组
线/定点
题型三：内心问题（秒杀题型，不用联立）
例题3：
焦点三角形内心横坐
定
椭圆
标
值
椭圆x ²
25 + y ²
16 =1，P
上
点
为椭圆
动
，求△PF₁F₂ 内心I 的横坐
。
标
解：
a=5，c=3，根据
焦点三角形内心
：横坐
椭圆
结论
标x=a-c=2
即内心始
在定直
终
线x=2 上，横坐
恒
标
为2（定
）
值
充双曲
：双曲
补
线结论
线x ²
16 - y ²
9 =1，右支
点
动
P，内心横坐
恒
标
为4
题型四：外心问题（中垂线+距离相等）
例题4：
焦点三角形外心位置
明
椭圆
证
求
：
焦点三角形
证椭圆
PF₁F₂ 的外心始
在
终
y
上。
轴
明：
证
F₁(-c,0)，F₂(c,0)，
段
线
F₁F₂ 中点
坐
原点，且
为
标
F₁F₂ 在x
上
轴
F₁F₂ 的垂直平分线为y
，三角形外心在三
垂直平分
上
轴
边
线
因此△PF₁F₂ 外心一定落在y
上，横坐
轴
标为0
四心通用解题避坑清单
1. 重心：千万不要忘
剔除三点共
的情况，
迹一定要写
记
线
轨
y≠0
2. 垂心：
先向量垂直，不要用斜率，避免斜率不存在漏解
优
3. 内心：焦点三角形直接背定
，不用
立方程，
省考
值
联
节
场时间
4. 外心：焦点三角形默
中垂
认
线为y
，直接用横坐
轴
标为0 快速
算
计
题型01：圆锥曲线重心问题
【典型例题1】已知
分别为椭圆
的左、右焦点，
是椭圆E 上一
点，
动
G 点是三角形
的重心，
点
则
G 的
迹方程
（
轨
为 ）
A．
B．
C．
D．
【解析】
分别为椭圆
的左、右焦点，
设
，G 点是三角形
的重心，则
，得
，
又
是椭圆E 上一
点，
动
，即
，
又G 点是三角形
的重心，
，所以点G 的
迹方程
轨
为
，故
：
选B
【典型例题2】已知
抛物
为
线
上的三个点，焦点F 是
的重心．
直
记
线AB，AC，BC 的斜
率分别为
，
（
则 ）
A．
段
线
BC 的中点坐标为
B．直线BC 的方程为
C．
D．
【解析】设
，因为F 为
重心，
所以
，设BC 中点
，则
，
，由重心分中线
得
，即
，
又因为A 在抛物
上，所以
线
，所以
，即
，故A 正确；
，
直线
，故B 正确；
因为
，所以
，所以
，故C
；
错误
，同理
，
所以
，故D 正确．
故
：
选ABD
【典型例题3】已知抛物线
，
定点
过
的
直
动
线与抛物线
交于
两点，
是坐
平面
标
内的
点，且
动
的重心
坐
原点
为
标
.若
的最小值为1，则
.
【解析】设
，则
，
，
因为
共
，
线则
，化
得
简
，
因为
是
的重心，于是得
，
因此，
，
即
，当且
当
仅
a+b=0
取“
时
=”，即
，
而
的最小值为1，则
，即
，所以
.
【典型例题4】已知O 是平面直角坐
系的原点，
标
F 是抛物线
的焦点，
点
过
F 的直
交抛物
于
线
线
A，B 两点，且
的重心G 在曲线
上.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)
曲
记
线
与y
的交点
轴
为D，且直线AB 与x
相交于点
轴
E，弦AB 的中点为M，求四
形
边
DEMG 面积
的最小值.
【解析】（1）由
知，焦点
题
，
然直
显
线
的斜率存在，
直
设
线
，
，
，
，
立
联
消去
得
，
△
则
，
则
，所以
，
所以
且
，故
，
即
，整理得
任意的
对
恒成立，故
，
故所求抛物线
的方程为
．
（2）由
知
题
，
，
，
，
，
，则
.
又弦AB 的中点为M，
的重心为G，则
，故
，所以
.
点D 到直线AB 的距离
，
，
所以四
形
边
DEMG 的面积
当且
当
仅
，即
取等号，
时
此
四
形
时
边
DEMG 面
的最小
积
值为
.
一、单选题
【变式训练1-1】已知
分别为椭圆
的左、右焦点，
是椭圆E 上一
点，
动
G 点是三角形
的重
心，
点
则
G 的
迹方程
（
轨
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-2】已知
是抛物线
上三个
点，且
动
的重心
抛物
的焦点
为
线
，若
，
两点均在
上方，
轴
则
的斜率的最小
（
值为 ）
A．1
B．
C．
D．
【变式训练1-3】已知点
双曲
为
线
的虚
的上
点，
轴
顶
双曲
的右焦点，存在斜率
为
线
为
的直
交双曲
于点
线
线
两点，且
的重心
点
为
，
双曲
则
线
的离心率
（
为 ）
A．
B．
C．2
D．
【变式训练1-4】已知椭圆
的左右焦点分别为
，
，
上异于
端点的
点，
为椭圆
长轴
动
，
分别为
的重心和内心，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【变式训练1-5】椭圆
的右焦点为
，上
点
顶
为
，若存在直线与
交于不同两点
椭圆
，
重心为
，直线的斜率取
范
是（
值
围
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-6】
双曲
设
线
的右焦点为
，
，若直线与
的右支交于
两点，
且
为
的重心，则
的离心率的取
范
（
值
围为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-7】已知F
抛物
为
线
的焦点，A，B，C
抛物
上的三点，
为该
线
O
坐
原点，
为
标
，
，
面
分
积
别为
，若F 为
的重心，且
，
抛物
的方程
（
则该
线
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-8】抛物线
的焦点为
，点
、
、
在
上，且
的重心为
，则
的取
范
值
围为
A．
B．
C．
D．
二、多选题
【变式训练1-9】椭圆
的左、右焦点分
是
别
，
是
第一象限上的一点（不包括
上的点）
椭圆
轴
，
的重心是
，
的角平分
交
线
x
于点
轴
（m，0），下列
法正确的有（
说
）
A．G 的
迹是
的一部分
轨
椭圆
B．
的
度范
是
长
围
C．
取
范
是
值
围
D．
【变式训练1-10】已知
抛物
为
线
上的三个点，焦点F 是
的重心．
直
记
线AB，AC，BC 的
斜率分别为
，
（
则 ）
A．
段
线
BC 的中点坐标为
B．直线BC 的方程为
C．
D．
【变式训练1-11】
双曲
设
线
的右焦点为
，若直线与
的右支交于
两点，
且
为
的重心，
（
则 ）
A．
的离心率的取
范
值
围为
B．
的离心率的取
范
值
围为
C．直线斜率的取
范
值
围为
D．直线斜率的取
范
值
围为
【变式训练1-12】若双曲线
，
分
左、右焦点，
点
别为
设
在双曲
上且在第一象限的
点，点
线
动
为
的内心，点
为
的重心，
下列
法正确的是（
则
说
）
A．双曲线
的离心率为
B．点
的运
迹
双曲
的一部分
动轨
为
线
C．若
，
，则
.
D．存在点
，使得
三、填空题
【变式训练1-13】已知
的
点
顶
，
，
点
顶
A 在抛物线
上运
，
动则
的重心G 的
迹
轨
方程为 ．
【变式训练1-14】已知抛物线
上三点
足：
满
的重心是
，
直
则
线
的斜率
之和
为 ．
【变式训练1-15】已知
，
是双曲线
的左，右焦点，点M 是双曲线C 在第一象限上一点，设I，G 分
别为
的内心和重心，若IG 与y
平行，
轴
则
．
四、解答题
【变式训练1-16】已知抛物线
上的任意一点到
的距离比到x
的距离大
轴
1．
(1)求抛物
的方程；
线
(2)若
点
过
的直线l 与抛物
交于
线
A，B 两点，过A，B 两点分
作抛物
的切
，两条切
交于点
别
线
线
线
Q，求
重
心G 的
迹方程．
轨
【变式训练1-17】已知曲线
在
上方，它上面的每一点到点
轴
的距离减去到
的距离的差都是
轴
2.若点
分
在
曲
别
该
线
上，且点
在
右
，点
轴
侧
在
左
，
轴
侧
的重心
在
上，直
轴
线
交
于点
轴
且
足
满
，直线
交
于点
轴
.记
的面
分
积
别为
(1)求曲线
方程；
(2)求
的取
范
值
围.
【变式训练1-18】已知
，
为
的两个
点，
顶
为
的重心，边
，
上的两条中
度
线长
之和为6.
(1)求点
的
迹
轨
的方程；
(2)若直线与曲线
相交于点
、
，若
段
线
的中点是
，求直线的方程；
(3)已知点
，
，
，直线
与曲线
的另一个公共点为
，直线
与
交于点
，求
：
证
当点
化
，点
变
时
恒在一条定直
上
线
.
【变式训练1-19】在平面直角坐
系
标
xOy 中，已知抛物线
的焦点为F，A，B 为E 上两点，且点A
的
坐
纵
标为
，F 恰好是
的重心.
(1)求E 的方程；
(2)若
，P，Q
抛物
上相异的两个
点，且
为
线
动
，求
的最小值.
【变式训练1-20】已知双曲线C：
的
近
方程
渐
线
为
，其左右焦点为
，
，点D
双
为
曲
上一点，且
线
的重心G 点坐标为
.
(1)求
双曲
的
准方程；
该
线
标
(2)过x
上一
点
轴
动
作直线l 交双曲
的左支于
线
A，B 两点，A 点关于x
的
称点
轴
对
为
（
与B 不重合），
接
连
并延
交
长
x
于点
轴
Q，问
是否
定
？若是定
，求出
定
；若不是定
，
明理由
为
值
值
该
值
值说
.
题型02：圆锥曲线外心问题
【典型例题1】已知椭圆
：
，
其左焦点
过
作直线l 交椭圆
于P，A 两点，取P 点关于x
的
称点
轴
对
B.
若G 点为
的外心，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．以上都不对
【解析】根据
意可得
题
，
然直
显
线
的斜率存在，故可
其方程
设
为
，
立
方程可得：
联
椭圆
，设
，
故
，
，
，
故
，
设
的中点为
，
其坐
则
标为
，
然
显
垂直平分
轴
，故可设
，又
直
方程
：
线
为
，
令
，解得
，故
，故
.故
：
选C.
【典型例题2】（多选）瑞士著名数学家欧拉在1765 年
明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直
证
线
上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称
条直
“欧拉
”
这
线为
线.直线与
及双曲
轴
线
的两条
近
的三个不同交点构成集合
渐
线
，且
恰
某三角形的外心，重心，垂心所成集合
为
.
若的斜率为1，
双曲
的离心率可以是（
则该
线
）
A．
B．
C．
D．
【解析】设
，由
，得
，得
，
由
，得
，得
，由
，得
，得
，
，
，
，
若
重心、
为
外心、
为
垂心，
为
则
，
所以
，化
得
简
，此
双曲
的离心率
时
线
，
若
重心、
为
垂心、
为
外心，
为
则
，
所以
，化
得
简
不成立；
若
重心、
为
垂心、
为
外心，
为
则
，
所以
，化
得
简
，此
双曲
的离心率
时
线
，
若
重心，
为
垂心、
为
外心，
为
则
，
，化
得
简
，此
双曲
的离心率
时
线
；
若
重心、
为
垂心、
为
外心，
为
则
，
所以
，化
得
简
或
，
此
双曲
的离心率
时
线
或
，
若
重心，
为
垂心、
为
外心，
为
则
，
所以
，化
得
简
或
都不成立.
上所述：
综
或
或
或
.
故
：
选ABD
【典型例题3】在直角坐
系
标
xOy 中直线
与抛物线C：
交于A，B 两点．若D
直
为
线
外一点，
且
的外心M 在C 上，则M 的坐
标为 ．
【解析】
立
联
得
，
设
，
，则
，
，
段
设线
AB 的中点为
，
则
，
，
段
则线
AB 的中垂
方程
线
为
，即
，
立
联
得
，解得
或4，
从而
的外心M 的坐标为
或
．
【典型例题4】已知抛物线E：
的焦点为F，准线为l，
焦点
过
的直
交抛物
线
线
于
，
(1)若
垂直l 于点
，且
，求AF 的长
(2)
坐
原点，求
为
标
的外心C 的
迹方程
轨
.
【解析】（1）由
得
，
；
（2）设
，直线
，
由
，得
，
，即有
，
易得OA､OB 的中垂
方程分
线
别为
，
立可得
联
，
外心C 的
迹方程
轨
为
.
一、单选题
【变式训练2-1】
中，
为
上的高且
边
，
点
动
足
满
，
点
则
的
迹一定
轨
过
的（ ）
A．外心
B．内心
C．垂心
D．重心
【变式训练2-2】已知双曲线M：
的离心率为
，A，B 分
是它的两条
近
上的两点（不
别
渐
线
与原点O 重合），
的外心为P，面积为12，若双曲线M
点
经过
P，
双曲
的
（
则该
线
实轴长为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-3】在直角坐
系
标
xOy 中，F1(-c，0)，F2(c，0)分
是双曲
别
线C：
的左、右焦点，位于
第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C 上的一点，△PF1F2的外心M 的坐标为
，△PF1F2的面积为2
a2，
双曲
则
线C 的
近
方程
（
渐
线
为 ）
A．y＝±x
B．y＝
x
C．y＝
x
D．y＝±
x
【变式训练2-4】已知坐
平面
标
中，点
，
分
双曲
别为
线
（
）的左、右焦点，点
在双曲线
的左支上，
与双曲线
的一条
近
交于点
渐
线
，且
为
的中点，点
为
的外心，若
、
、
三点
共
，
双曲
线则
线
的离心率
（
为 ）
A．
B．3
C．
D．5
【变式训练2-5】设
双曲
为
线
的右焦点，以
心，
为圆
半径的
与双曲
在第
为
圆
线
一象限的交点为
，
段
线
的中点为
，
的外心为
，且
足
满
，
双曲
则
线
的离心率为
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【变式训练2-6】已知点
、
、
，直线
上有两个
点
动
、
，始
使
终
，三
角形
的外心
迹
曲
轨
为
线
，
曲
为
线
在一象限内的
点，
动
设
，
，
，
（
则 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-7】已知双曲线
的左、右焦点
恰为椭圆
的两个
点，
顶
设椭圆E
的上焦点为P，
点
过
的直线l 交双曲线C 右支于点A、B，若点A 在第一象限，
的外心Q 恰好落在y
上，
直
轴
则
线l 的方程
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
【变式训练2-8】在平面直角坐
系
标
xOy 中，
点
过
的直线l 与抛物线C：
交于A，B 两点，点
段
为线
AB 的中点，且
，
下列
正确的
（
则
结论
为 ）
A．N 为
的外心
B．M 可以为C 的焦点
C．l 的斜率为
D．
可以小于2
【变式训练2-9】已知
的三个
点
顶
均在抛物线
上，
下列命
正确的有（
则
题
）
A．若直线BC
点
过
，
存在点
则
A 使
直角三角形；
为
B．若直线BC
点
过
，
存在
则
使抛物线
的焦点恰为
的重心；
C．存在
，使抛物线
的焦点恰为
的外心；
D．若边AC 的中线
，
轴
，则
的面积为
【变式训练2-10】
抛物
设
线
的焦点为
，
抛物
上异于
点的一点，且
为
线
顶
在准
上的射影
线
为
，
下
则
列
正确的有（
结论
）
A．点
的中点在
上
轴
B．
的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物
上
线
C．当
的垂心在抛物
上
，
线
时
D．当
的垂心在抛物
上
，
线
时
等
三角形
为
边
三、填空题
【变式训练2-11】设椭圆
的右焦点为
，过
的直线与
相交于
两点．
点
设过
作
的垂
轴
线
交
于另一点
，若
是
的外心，则
的值为 ．
【变式训练2-12】已知双曲线
的右焦点为
，
点
过
斜率为
的直线与双曲线
的右支交于
两点，点
，若
的外心
的横坐标为0，
直
则
线的方程为 .
【变式训练2-13】已知点
分
双曲
别为
线
的左、右焦点，点A，B 在C 的右支上，且点
恰好为
的外心，若
，则C 的离心率为 .
四、解答题
【变式训练2-14】已知椭圆
的左右焦点分
是
别
，
是
上一
点
椭圆
动
(与左右
点不重
顶
合)，已知
的内切
半径的最大
是
圆
值
的离心率是
椭圆
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）过
作斜率不为0 的直线交
于
椭圆
两点，过
作垂直于
的直
交
于另一点
轴
线
椭圆
，
接
连
，设
的外心为
，求
：
证
定
为
值.
【变式训练2-15】已知抛物线C：
，点P 为y
左
一点，
轴
侧
A，B
抛物
为
线C 上两点，当直线
抛
过
物线C 焦点F 且垂直于x
，
轴时
面积为2．
（1）求抛物线C
准方程；
标
（2）若直线
抛物
为
线C 的两条切
，
线设
的外心为M（点M 不与焦点F 重合），求
的所有可能取
．
值
【变式训练2-16】已知从曲线
的左、右焦点分别为
，实轴长为
、一条
近
方
渐
线
程为
，过
的直线l 与双曲线C 的右支交于A，B 两点．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)已知
，若
的外心Q 的横坐标为0，求直线l 的方程．
【变式训练2-17】在平面直角坐
系中，△
标
ABC 的两个
点
顶
A，B 的坐
分
标
别为
，
，平面内两点G，M 同
足以下
时满
3 个条件：①G 是△ABC 三条
中
的交点：②
边
线
M 是△ABC 的外心；③
(1)求△ABC 的
点
顶
C 的
迹方程；
轨
(2)若点P（2，0）与（1）中
迹上的点
轨
E，F 三点共
，求
线
的取
范
值
围
【变式训练2-18】已知在平面直角坐
系
标
xOy 中，
点
动
M 到点
的距离与它到直线
的距离之比为2.记
M 的
迹
曲
轨
为
线E.
(1)求E 的方程；
(2)若P 是曲线E 上一点，且点P 不在x
上，作
轴
PQ⊥l 于点Q，
明：曲
证
线E 在点P
的切
△
处
线过
PQA 的外心.
题型03：圆锥曲线内心问题
【典型例题1】已知
，
分
双曲
别为
线
的左､右焦点，且
，点P
双曲
右支上一点，
为
线
M 为
的内心，若
成立，则λ 的
（
值为 ）
A．
B．
C．2
D．
【解析】因为
，所以
，即
，
所以
，所以离心率
，设
的内切
半径
圆
为，
则
，又
，
所以
，即
，
所以
，所以
.故
：
选B.
【典型例题2】已知
：
椭圆
的左、右焦点分别为
，右
点
顶
为A，点M 为椭圆
上一点，点I
是
的内心，延长MI 交
段
线
于N，抛物线
（其中c
下的半焦距）与
为椭圆
椭圆
交于B，C 两
点，若四
形
边
是菱形，
下列
正确的是（
则
结论
）
A．
B．椭圆
的离心率是
C．
的最小值为
D．
的值为
【解析】
于
对
A，因为椭圆
的左、右焦点分别为
，右
点
顶
为A，则
，
，
，
，
因
抛物
为
线
（其中c
下的半焦距）与
为椭圆
椭圆
交于B，C 两点，
所以由
与抛物
的
称性可得，
椭圆
线
对
两点关于
称，不妨
轴对
设
，
，
，
因
四
形
为
边
是菱形，所以
的中点是
的中点，
所以由中点坐
公式得
标
，则
，
将
代入抛物
方程
线
得，
，
所以
，则
，所以
，故A 正确；
于
对
B，由选项A 得
，再代入
方程得
椭圆
，
化
得
简
，则
，故
，所以
，故B
；
错误
于
对
C，由选项B 得
，所以
，则
，
所以
，不妨设
，则
，且
，
所以
，
当且
当
仅
且
，即
，即
，等号成立，
时
所以
的最小值为
，故C 正确；
于
对
D，
接
连
和
，如
，
图
因为
的内心为
，所以
为
的平分
，
有
线则
，
同理：
，所以
，
所以
，所以
，故D 正确.
故
：
选ACD.
【典型例题3】已知
，
分别为椭圆
的左、右焦点，点
在
上，点
椭圆
为
的内心，若
，则
的面积为 ．
【解析】延长
交
于点
轴
，设
，则
，
，因此，
，得
，因此
．
设
，
，则
内切
的半径
圆
．
又
，所以
，即
．
因为
，所以
，（
的定
的
用）
椭圆
义
应
由
，可得
，即
，所以
，故
，（角平
分
定理：三角形一个角的平分
与其
所成的两条
段与
个角的两
成比例）
线
线
对边
线
这
边对应
因此
，
，由余弦定理得
，
因此
，
所以
，故
的面积为
．
【典型例题4】已知
是圆
：
上的
点，点
动
，直线
与圆
的另一个交点为，点
在直线
上，
，
点
动
的
迹
曲
轨
为
线
.
(1)求曲线
的方程；
(2)若
点
过
的直线与曲线
相交于
，
两点，且
，
都在
上方，
：在
轴
问
上是否存在定点
轴
，使得
的内心在一条定直
上
线
?
你
出
并
明
请
给
结论
证
.
【解析】（1）圆
的
心
圆
为
，半径
，
因为
，所以
，又因为
，所以
，
所以
，
所以点
在以
，
焦点，
为
的双曲
上，
为实轴长
线
双曲
的方程
设
线
为
，则
，
.
所以
，
，
又
不可能在
上，所以曲
轴
线
的方程为
.
（2）在
上存在定点
轴
，使得
的内心在一条定直
上
线
.
明如下：由条件可
证
设：
.代入
，
得
，设
，
，则
，得
，
所以
所以
，取
，
则
又
，
都在
上方，所以
轴
的平分
定直
线为
线
，
所以在
上存在定点
轴
，使得
的内心在定直线
上.
一、单选题
【变式训练3-1】已知点
，
分
是
别
椭圆
：
的左、右焦点，点P 是椭圆E 上的一点，若
的内心是G，且
，则椭圆E 的离心率
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-2】已知
、
是椭圆
的左右焦点，点
为
上一
点，且
动
，若
为
的内心，则
面
的取
范
是（
积
值
围
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-3】若椭圆
的离心率为
，两个焦点分别为
，
，
为
椭圆
上异于
点的任意一点，点
顶
是
的内心，
接
连
并延
交
长
于点
，则
（ ）
A．2
B．
C．4
D．
【变式训练3-4】已知双曲线
(
)的左､右焦点分别为
双曲
上的一点，
为
线
为
的内心，且
，则
的离心率
（ ）
为
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-5】已知双曲线
的左､右焦点分别为
，离心率为2，焦点到
近
的距
渐
线
离为
.过
作直线交双曲线
的右支于
两点，若
分别为
与
的内心，则
的取
范
值
围
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-6】设
为椭圆
上的
点，
动
为椭圆
的焦点，
为
的内心，
直
则
线
和直线
的斜率之
（ ）
积
A．是定值
B．非定
，但存在最大
值
值
C．非定
，但存在最小
值
值
D．非定
，且不存在最
值
值
【变式训练3-7】已知双曲线
的左､右焦点分别为
，
右焦点
过
的直线与双曲
的右支交于
线
两
点，若
的内心分别为
，则
与
面
之和的取
范
是（
积
值
围
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
【变式训练3-8】已知
，
分
双曲
别为
线
的左、右焦点，M 为C 的右
点，
顶
过
的直
与
线
C
的右支交于A，B 两点（其中点A 在第一象限），
点
设
P，Q 分别为
，
的内心，R，r 分别为
，
内切
的半径，
（
圆
则 ）
A．点M 在直线PQ 上
B．点M 在直线PQ 的左侧
C．
D．
【变式训练3-9】已知双曲线
的左、右
点分
顶
别为
，
，左、右焦点分别为
，
，点
是双曲线
的右支上一点，且三角形
正三角形（
为
坐
原点），
为
标
记
，
的斜率分别为
，
，设
为
的内心，记
，
，
的面
分
积
别为
，
，
，
下列
法正确的是（
则
说
）
A．
B．双曲线
的离心率为
C．
D．
【变式训练3-10】已知
，
分
是双曲
别
线
的左、右焦点，过
且
斜角
倾
为
的直
交
线
双曲线C 的右支于A，B 两点，I 为
的内心，O
坐
原点，
下列
成立的是（
为
标
则
结论
）
A．若C 的离心率
，则
的取
范
是
值
围
B．若
且
，则C 的离心率
C．若C 的离心率
，则
D．过
作
，垂足为P，若I 的横坐标为m，则
三、填空题
【变式训练3-11】已知双曲
的中心在原点，右
点
线
顶
为
，点
在双曲
的右支上，点
线
到直线
的
距离为1．当
，
时
的内心恰好是点
，
双曲
的方程
则
线
．
【变式训练3-12】已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，P 是C 在第一象限上的一点，
且直线
的斜率为
，点B 为
的内心，直线PB 交x
于点
轴
A，且
，
双曲
则
线C 的
近
方程
渐
线
为
．
【变式训练3-13】已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，M 是双曲线C 右支上一点，记
的重心为G，内心为I．若
，
双曲
则
线C 的离心率为 ．
四、解答题
【变式训练3-14】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，其离心率是
，
上异于
为椭圆
长
端点的一点，
轴
，设
的内心为
，且
．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）已知直线
定点
过
，若椭圆
上存在两点
关于直线
称，求直
对
线斜率
的取
范
．
值
围
【变式训练3-15】已知椭圆C：
，直线
与以原点
心，以
为圆
椭圆C 的短半
半
轴长为
径的
相切，
圆
其左、右焦点，
为
P 为椭圆C 上任一点，
的重心为G，内心为I，且
．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线
与椭圆C 交于不同的两点A、B，且
段
线
AB 的垂直平分线
定点
过
，求
数
实
k
的取
范
．
值
围
【变式训练3-16】已知椭圆
，
直线
与以原点
心，以
为圆
椭圆
的短半
半径的
轴为
相切，
圆
其左右焦点，
为
为椭圆
上的任意一点，
的重心为
，内心为
，且
,
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）已知
为椭圆
上的左
点，直
顶
线
右焦点
过
与椭圆
交于
两点，若
的斜率
足
满
，求直线
的方程．
【变式训练3-17】已知点
是双曲线
的左、右焦点，
是
右支上一点，
的周
长为
，
为
的内心，且
足
满
.
(1)求双曲线
的
准方程；
标
(2)过
的直线与双曲
的右支交于
线
两点，与
交于点
轴
，
足
满
（其中
），求
的取
范
值
围.
【变式训练3-18】已知椭圆
的右焦点为
，点A，B 在椭圆C 上，点
到直线
的距离为
，且
的内心恰好是点D．
(1)求椭圆C 的
准方程；
标
(2)已知O
坐
原点，
为
标
M，N
上不重合两点，且
为椭圆
M，N 的中点H 在直线
上，求
面
的最大
．
积
值
题型04：圆锥曲线垂心问题
【典型例题1】已知
是抛物线
上的两个点，O
坐
原点，若
为
标
且
的垂心恰是抛
物
的焦点，
直
线
则
线
的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】由点
是抛物线
上的两点，且
，
根据抛物
的
称性，可得
线
对
关于
称，
轴对
直
设
线
的方程为
，则
，
因为
的垂心恰好是抛物
的焦点
线
，
所以
，可得
，即
，
解得
，即直线
的方程为
.故
：
选C.
【典型例题2】
抛物
设
线
的焦点为
，
抛物
上异于
点的一点，且
为
线
顶
在准
上的射影
线
为
，
下列
则
正确的有（
结论
）
A．点
的中点在
上
轴
B．
的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物
上
线
C．当
的垂心在抛物
上
，
线
时
D．当
的垂心在抛物
上
，
线
时
等
三角形
为
边
【解析】
于
对
A
，抛物
选项
线
的焦点为
，准
方程
线
为
，
点
设
，
点
则
，所以，
段
线
的中点为
，A
；
对
于
对
B
，由抛物
的定
可知
选项
线
义
，则
等腰三角形，
为
因为
为
的中点，则
，所以，
的重心、垂心、外心、内心都在直线
上，
，
直
则
线
的方程为
，
立
联
可得
，则
，
所以，直线
与抛物线
相切，B
；
错
于
对
C
，
点
选项设
第一象限内的点，
为
若
的垂心
在抛物
上
，
点
线
时设
，其中
，
将点
的坐
代入抛物
方程可得
标
线
，可得
，即点
，
由
意可知，
题
、
、
三点共
，
线
，
，
由
可得
，整理可得
，解得
，
所以，
，即点
，所以，
，
，C
；
对
于
对
D
，当
选项
的垂心在抛物
上
，点
线
时
，则
，
轴则
，
此
，
时
直角三角形，
为
D 错.
故
：
选AC.
【典型例题3】已知椭圆
的上
点
顶
为
，右焦点为
，直线与椭圆
交于
，
两点，若椭圆
的右
焦点
恰好为
的垂心，
直
则
线的方程为 ．
【解析】易知
，
，直线
的斜率为
，因椭圆
的右焦点
恰好为
的垂心，则
，从而直
线的斜率为2．
直
设
线的方程为
，将直
方程与
方程
立有
线
椭圆
联
，
消去y 得：
．
由
，得
，设
，
，
由
达定理有：
韦
，
．右焦点
恰好为
的垂心，故
．
又
，则
.解得
或
．
当
，点
时
即
直
为
线与
的交点，不合
意；
椭圆
题
当
，
知
时经检验
和
相交，符合
意．故直
椭圆
题
线的方程为
．
【典型例题4】如
，已知抛物
图
线
的焦点为F，
点
过
F 的直线l 交抛物线C 于A，B 两点，
点
动
P 满
足
PAB 的垂心
原点
为
O.当直线l 的
斜角
倾
为30°
，
时
.
(1)求抛物线C 的
准方程；
标
(2)求
：点
证
P 在定直
上
线
.
【解析】（1）
直
设
线l 的方程为
，
，
.
由
得
.
所以
，
.由抛物
定
，得
线
义
.
当直线l 的
斜角
倾
为30°
，
时
，
.
所以
，即抛物线C 的
准方程
标
为
.
（2）由（1），得
，
.
因为
的垂心
原点
为
O，所以
，
.
因为
，所以
.
所以直线AP 的方程为
，即
.
同理可得，直线BP 的方程为
.
立方程
联
解得
即
.所以点P 在定直线
上.
一、单选题
【变式训练4-1】已知抛物线
上有三点
，
，
，
的垂心在
上，
轴
，
两点的
坐
分
纵
标
别为
，
，
点
则
的
坐
（
纵
标为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-2】平面直角坐
系
标
中，双曲线
的
近
与抛物
渐
线
线
交于点O，A，B，若
的垂心为
的焦点，则
的离心率
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-3】在平面直角坐
系
标
xOy 中，双曲线C1：
－
＝1(a>0，b>0)的
近
与抛物
渐
线
线C2：x2＝2py(p>0)
交于点O，A，B，若△OAB 的垂心为C2的焦点，则C1的离心率
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-4】
抛物
设
线
的焦点为
，
抛物
上异于
点的一点，且
为
线
顶
在直线
上的射影为
，若
的垂心在抛物线
上，则
的面
（
积为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-5】
双曲
设
线
：
的左
点与右焦点分
顶
别为
，
，以
段
线
底
作一个等腰
为
边
，且
上的高
边
.若
的垂心恰好在
的一条
近
上，且
渐
线
的离心率为，
下列判断正确的
则
是（ ）
A．存在唯一的，且
B．存在两个不同的，且一个在区间
内，另一个在区间
内
C．存在唯一的，且
D．存在两个不同的，且一个在区间
内，另一个在区间
内
【变式训练4-6】已知双曲
线
的右焦点为
，以坐
原点
标
心、
为圆
半径作
与双曲
为
圆
线
的
近
在第一象限交于点
渐
线
，设
为
的垂心，恰有
，
双曲
则
线
的离心率
足（
应满
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-7】记椭圆
：
的左右焦点为
，
，过
的直线交
于
椭圆
，
，
，
的切
交于点
处
线
，设
的垂心为
，则
的最小
是（
值
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
【变式训练4-8】已知抛物线
的焦点为
，点
，
，
抛物
上不与
为
线
重合的
点，
动
坐
原
为
标
点，
下列
法中，正确的有（
则
说
）
A．若
中点
坐
纵
标为2，则
的斜率为2
B．若点
恰为
的垂心，则
的周长为
C．若
与
的
斜角互
，
倾
补则
的斜率恒为
D．若
，则
点
坐
的取
范
是
纵
标
值
围
【变式训练4-9】双曲线
的虚轴长为2，
其左右焦点，
为
是双曲
上的三点，
线
过
作
的切
交其
近
于
线
渐
线
两点.已知
的内心
到
的距离
轴
为1.下列
法正确的是（
说
）
A．
外心
的
迹是一条直
轨
线
B．当
化
，
变
时
外心的
迹方程
轨
为
C．当
化
，存在
变
时
使得
的垂心在
的
近
上
渐
线
D．若
分
是
别
中点，则
的外接
定点
圆过
【变式训练4-10】瑞士著名数学家欧拉在1765 年
明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直
上，且
证
线
重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称
条直
“欧拉
”
这
线为
线.直线与
及双曲
轴
线
的两条
近
的三个不同交点构成集合
渐
线
，且
恰
某三角形的外心，重心，垂心所成集合
为
.
若的斜率为1，
双曲
的离心率可以是（
则该
线
）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
【变式训练4-11】若曲线
：
上一点
，是否存在直线
与抛物线
相交于两不同的点
，使
的垂心为
．
直
则
线
的方程为 ．
【变式训练4-12】已知抛物
方程
线
为
，直线
与抛物
交于
线
A、B 两点，抛物
的焦点
线
F 为
（O
坐
为
原点）的垂心，
数
标
则实
的值为 ．
【变式训练4-13】已知点
在椭圆C：
上，
点
过
作直
交
线
椭圆C 于点
的垂心为
，若垂心
在y
上．
数
轴
则实
的取
范
是
值
围
．
四、解答题
【变式训练4-14】已知椭圆
的右焦点为F，上
点
顶
为M，O
坐
原点，若
为
标
的面积为
，
且
的离心率
椭圆
为
．
(1)求
的方程；
椭圆
(2)是否存在直线l 交
于
椭圆
P，Q 两点，且F 点恰为
的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，
明理由．
说
【变式训练4-15】若两个
的离心率相等，
称它
“相似
”．如
，在直角坐
系
椭圆
则
们为
椭圆
图
标
xOy 中，已知椭圆C1：
，A1，A2分别为椭圆C1的左，右
点．
顶
椭圆C2以
段
线
A1A2
短
且与
为
轴
椭圆C1
“相似
”．
为
椭圆
（1）求椭圆C2的方程；
（2）设P 为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P 作PQ⊥x
，垂足
轴
为Q，
段
线
PQ 交椭圆C1于点H．求
：
证H 为
△PA1A2的垂心．(垂心
三角形三条高的交点
为
)
【变式训练4-16】已知
分
是
别
椭圆
的左、右焦点，点
在椭圆
上，且
的垂心为
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）
点
过
的直线（斜率为
）交椭圆
于
，
两点，在
上是否存在定点
轴
，使得射线
平分
？
若存在，求出点
的坐
；若不存在，
明理由
标
请说
.
【变式训练4-17】已知双曲线
：
的离心率为
，直线
：
与双曲线C
有一个公
仅
共点.
(1)求双曲线
的方程
(2)
双曲
设
线
的左
点
顶
为
，直线
平行于
，且交双曲线C 于M，N 两点，求
：
证
的垂心在双曲线C 上.
【变式训练4-18】已知抛物线
：
点
过
，
其焦点，
为
过
且不垂直于
的直
轴
线交抛物
线
于
，
两点，
点
动
足
满
的垂心
原点
为
.
（1）求抛物线
的方程；
（2）求
：
点
证动
在定直线
上，并求
的最小值.
