圆锥曲线中的二级结论
【知识拓展】
1.焦点弦问题
(1)焦点三角形的面积公式:P 为椭圆(或双曲线)上异于长轴(实轴)端点的一点,F1,F2为其焦点,记
∠F1PF2＝θ,则:
在椭圆中,S△P F1F2＝b2·tan θ
2;
在双曲线中,S△P F1 F2＝
b
2
tan θ
2
.
(2)焦半径的数量关系式:直线l 过焦点F 与椭圆(或双曲线)相交于A,B 两点,则
1
| AF | ＋
1
|BF | ＝2a
b
2 .
(3)抛物线焦点弦的性质
设AB 是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F 的弦,则:
①|AF|＝
p
1−cos α ,|BF|＝
p
1＋cos α ,|AB|＝2 p
sin
2α ,S△AOB＝
p
2
2sin α (α 为直线AB 的倾斜角);
②
1
| FA | ＋
1
| FB| ＝2
p;
③以AB 为直径的圆与准线相切;
④以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切;
⑤过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.
(4)焦点弦定理:已知焦点在x 轴上的椭圆或双曲线或抛物线,经过其焦点F 的直线交曲线于A,B 两
点,直线AB 的倾斜角为α,⃗AF＝λ⃗FB,则曲线的离心率满足等式|ecos α|＝|
λ−1
λ＋1|.
2.圆锥曲线的切线、切点弦方程
(1)过椭圆x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)上一点(x0,y0)的切线方程为
x0 x
a
2 ＋y0 y
b
2 ＝1;过双曲线x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝
1(a>0,b>0)上一点(x0,y0)的切线方程为
x0 x
a
2 －y0 y
b
2 ＝1;过抛物线y2＝2px(p>0)上一点(x0,y0)的切线方
程为y0y＝p(x＋x0).
(2)过椭圆x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)外一点P(x0,y0)作椭圆的两条切线PA,PB(A,B 为切点),则切点弦AB
的方程为
x0 x
a
2 ＋y0 y
b
2 ＝1;
过双曲线x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0,b>0)外一点P(x0,y0)作双曲线的两条切线PA,PB(A,B 为切点),则切点弦
AB 的方程为
x0 x
a
2 －y0 y
b
2 ＝1;
过抛物线y2＝2px(p>0)外一点P(x0,y0)作抛物线的两条切线PA,PB(A,B 为切点),则切点弦AB 的方
程为y0y＝p(x＋x0).
【类型突破】
类型一 椭圆、双曲线焦点三角形的面积
例1 (2025·郑州调研)已知椭圆C: x
2
9 ＋y
2
b
2 ＝1(0<b<3)的左、右焦点分别为F1,F2,P 为椭圆上一点,
且∠F1PF2＝60°,若F1关于∠F1PF2平分线的对称点在椭圆C 上,则△F1PF2的面积为( )
A.6√3
B.3√3
C.2√3
D.√3
答案 C
解析 设椭圆x
2
9 ＋y
2
b
2 ＝1(0<b<3)的长半轴长为a,则a＝3,
设F1关于∠F1PF2平分线的对称点为Q,
由椭圆对称性及角平分线性质可知P,F2,Q 三点共线且|PQ|＝|PF1|,
又因为∠F1PF2＝60°,
所以△PQF1是正三角形,且PD⊥F1Q,
由对称性可知PQ⊥F1F2.
又|PF1|＋|PF2|＋|QF2|＋|QF1|＝3|PF1|＝4a＝12,故|PF1|＝4,
则|F1F2|＝|PF1|cos 30°＝2√3＝2c,
故c＝√3,b2＝a2－c2＝6,故△F1PF2的面积S＝b2tan 30°＝6×√3
3 ＝2√3.
易错提醒 1.要注意结论中∠F1PF2＝θ.
2.不要混淆椭圆与双曲线中焦点三角形的面积公式.
训练1 (2025·杭州质检)已知双曲线C: x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O 为坐标原
点,焦距为8√2,点P 在双曲线C 上,|OP|＝|OF2|,且△POF2的面积为8,则双曲线的离心率为( )
A.2
B.√2
2
C.√2
D.4
答案 C
解析 因为△POF2的面积为8,所以△PF1F2的面积为16,
又|OP|＝|OF2|,
所以|OP|＝|OF2|＝|OF1|＝1
2|F1F2|,
所以△PF1F2为直角三角形,且PF1⊥PF2.
则△PF1F2的面积S＝
b
2
tan 45°＝b2＝16,
又易知c＝4√2,故a2＝c2－b2＝16,即a＝4,
则双曲线的离心率为e＝c
a ＝√2.
类型二 焦半径的数量关系
例2 已知双曲线C 的左、右焦点分别为F1(－√7,0),F2(√7,0),过F2的直线与C 的右支交于A,B 两
点.若⃗A F2＝2⃗F2B,|AB|＝|F1B|,则双曲线C 的方程为 .
答案 x
2
3 －y
2
4 ＝1
解析 如图,令|F2B|＝t,
则|AF2|＝2t,
∴|AB|＝3t,|F1B|＝3t,
又
1
|A F2| ＋
1
|B F2| ＝2a
b
2 ,
∴1
2t ＋1
t ＝2a
b
2 ,即3
2t ＝2a
b
2 ,
又|F1B|－|F2B|＝2a,
∴3t－t＝2a,∴t＝a,∴3
2a ＝2a
b
2 ,即3b2＝4a2,
又c＝√7,∴a2＋b2＝7,解得b2＝4,a2＝3,
故双曲线C 的方程为x
2
3 －y
2
4 ＝1.
易错提醒 公式的前提是直线AB 过焦点F,当焦点F 不在直线AB 上时,公式不成立.
训练2 已知椭圆C: x
2
16 ＋y
2
4 ＝1,过右焦点F2的直线交椭圆于A,B 两点,且|AF2|＝2,则|AB|＝
,cos ∠F1AB＝ .
答案 8
3 －1
3
解析 由椭圆方程知a＝4,b＝2,|AF2|＝2,
又
1
|A F2| ＋
1
|B F2| ＝2a
b
2 ,
即
1
2 ＋
1
|B F2| ＝8
4 ,
解得|BF2|＝2
3,
∴|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝8
3,
由椭圆定义知|AF1|＝8－2＝6,
|BF1|＝8－2
3 ＝22
3 ,
在△AF1B 中,由余弦定理,得
cos∠F1AB＝
6
2＋(
8
3)
2
−(
22
3 )
2
2×6× 8
3
＝－1
3.
类型三 抛物线中二级结论的应用
例3 已知F 是抛物线C:y2＝4x 的焦点,过点F 作两条相互垂直的直线l1,l2,直线l1与C 相交于A,B
两点,直线l2与C 相交于D,E 两点,则|AB|＋|DE|的最小值为( )
A.16
B.14
C.12
D.10
答案 A
解析 如图,设直线l1的倾斜角为θ,θ∈(0, π
2),
则直线l2的倾斜角为
π
2 ＋θ,
由抛物线的焦点弦弦长公式知
|AB|＝2 p
sin
2θ
＝
4
sin
2θ,
|DE|＝
2 p
sin
2(
π
2 ＋θ)
＝
4
co s
2θ,
∴|AB|＋|DE|＝
4
sin
2θ
＋
4
co s
2θ
＝
4
sin
2θ co s
2θ
≥
4
(
sin
2θ＋co s
2θ
2
)
2＝16,
当且仅当sin2θ＝cos2θ,即sin θ＝cos θ,
即θ＝π
4 时取“＝”.
易错提醒 要注意公式|AB|＝2 p
sin
2θ是直线AB 与抛物线y2＝2px 相交时的表达式,而当直线AB 与抛
物线x2＝2py 相交时,|AB|＝2 p
co s
2θ(θ 为直线AB 的倾斜角).
训练3 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F,准线与x 轴的交点为E,过点E 的直线与抛物线交于点
A(x1,y1),B(x2,y2),x1>x2,y1>0,且∠AFB＝60°,则| AE|
| AB| ＝ .
答案 3
2
解析 延长AF 交抛物线于点D,易知B,D 关于x 轴对称.
设O 为坐标原点,直线AF 的倾斜角为α,
所以∠BFO＝∠DFO＝∠AFx＝α,
又∠AFB＝60°,所以α＝60°,
所以|AF|＝
p
1−cos α ＝2p,
|BF|＝|DF|＝
p
1＋cos α ＝2 p
3 ,
分别过点A,B 向抛物线的准线作垂线,垂足分别为A1,B1,则| AE|
|BE| ＝|A A1|
|B B1| ＝| AF |
|BF | ＝3,
所以| AE|
| AB| ＝3
2.
类型四 圆锥曲线的切线、切点弦问题
例4 (多选)设A,B 为抛物线C:y＝x2上两个不同的点,且直线AB 过抛物线C 的焦点F,分别以A,B
为切点作抛物线C 的切线,两条切线交于点P.则下列结论正确的有( )
A.点P 一定在抛物线C 的准线上
B.AP⊥BP
C.PF⊥AB
D.△PAB 的面积有最大值无最小值
答案 ABC
解析 由抛物线知焦点F(0, 1
4),
可设直线AB 方程为y＝kx＋1
4,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立直线与抛物线方程得x2－kx－1
4 ＝0,
则x1＋x2＝k,x1x2＝－1
4,
切线AP 的方程为y1＋y＝2x1x,
切线BP 的方程为y＋y2＝2x2x,
联立{
y ＋y1＝2 x1 x ,
y ＋y2＝2 x2 x ,解得P(
k
2 ,−1
4),
∵抛物线y＝x2的准线方程为y＝－1
4,
∴点P 在准线上,故A 正确;
由A 可知,直线AP 的斜率为2x1,直线BP 的斜率为2x2,
2x1·2x2＝4x1x2＝－1,
∴AP⊥BP,B 正确;
又kPF＝
−1
4 −1
4
k
2
＝－1
k ,
∴kPF·k＝－1,∴PF⊥AB,故C 正确;
∵弦长|AB|＝√1＋k
2|x1－x2|
＝√1＋k
2√( x1＋x2)
2−4 x1 x2
＝√1＋k
2·√
k
2−4×(−1
4)＝k2＋1,
∴S△PAB＝1
2|AB|d＝1
2·(k2＋1)·|
k
2
2 ＋1
2|
√k
2＋1
＝1
4 √(k
2＋1)
3,
当k＝0 时,S△PAB有最小值,无最大值,故D 错误,故选ABC.
规律方法 抛物线在某点处的切线方程可通过求导的方法来解决.
训练4 (2025·西安调研)如图,已知点P(x0,y0)是双曲线C1: x
2
4 －y
2
3 ＝1 上的点,过点P 作椭圆C2:
x
2
4 ＋y
2
3 ＝1 的两条切线,切点为A,B,直线AB 交C1的两条渐近线于点E,F,O 是坐标原点,则⃗OE·⃗
OF的值为( )
A.3
4
B.1
C.4
3
D. 9
16
答案 B
解析 椭圆C2关于点P(x0,y0)的切点弦AB 的方程为x0 x
4 ＋y0 y
3 ＝1,
即3x0x＋4y0y＝12,
由{
3 x0 x＋4 y0 y ＝12,
y ＝√3
2 x ,
解得E(
4√3
√3 x0＋2 y0
,
6
√3 x0＋2 y0),
同理F(
4√3
√3 x0−2 y0
,
−6
√3 x0−2 y0),
则⃗OE·⃗OF ＝
48
3 x0
2−4 y0
2 ＋
−36
3 x0
2−4 y0
2 ＝
12
3 x0
2−4 y0
2＝1,故选B.
【精准强化练】
一、单选题
1.(2025·长沙调研)设F 为抛物线C:y2＝3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,O 为
坐标原点,则△AOB 的面积为( )
A.3√3
4
B.9√3
8
C.63
32
D.9
4
答案 D
解析 抛物线C:y2＝3x 中,2p＝3,p＝3
2,
故S△OAB＝
p
2
2sin θ ＝
9
4
2sin 30° ＝9
4
.
2.设F1,F2为椭圆C:y2＋x
2
n ＝1(0<n<1)的焦点,若在椭圆C 上存在点P,满足∠F1PF2＝120°,则实数
n 的取值范围为( )
A.(0, 1
4]
B.[
1
4 ,1)
C.(0, √2
2 ]
D.[
√2
2 ,1)
答案 A
解析 易知当点P 位于椭圆的左顶点或右顶点时,∠F1PF2最大,且△PF1F2的面积也最大,
故b2tan θ
2≤1
2×2c×b.
即√3n≤1
2×2√1−n×√n,
又0<n<1,故解得0<n≤1
4.
3.已知O 为坐标原点,F 为抛物线C:y2＝8x 的焦点,M 为C 上一点,若|MF|＝8,则△MOF 的面积为(
)
A.4√3
B.3√2
C.8
D.3√3
答案 A
解析 法一 抛物线C:y2＝8x 的准线方程为x＝－2.
设M(x0,y0),由抛物线的定义可知,点M 到焦点F(2,0)的距离等于其到准线x＝－2 的距离,所以|
MF|＝x0＋2＝8,所以x0＝6.
因为点M(x0,y0)在抛物线C:y2＝8x 上,
所以y0
2＝8×6＝48,则|y0|＝4√3,所以S△MOF＝1
2|OF|·|y0|＝1
2×2×4√3＝4√3,故选A.
法二 因为抛物线C:y2＝8x 关于x 轴对称,
所以不妨设点M 在x 轴上方,直线FM 的倾斜角为θ,则|MF|＝
p
1−cos θ ＝
4
1−cos θ＝8,
所以cos θ＝1
2,因为0<θ<π,所以θ＝π
3 ,则∠OFM＝2π
3 ,
所以S△MOF＝1
2|OF|·|MF|·sin∠OFM＝1
2×2×8×sin 2π
3 ＝4√3,故选A.
4.已知椭圆Г: x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2 倍,过右焦点F 且斜率为k(k>0)的直线与Г
相交于A,B 两点,且⃗AF＝3⃗FB,则k＝( )
A.1
B.2
C.√3
D.√2
答案 D
解析 依题意a＝2b,e＝√1−(
b
a)
2
＝√3
2 ,
设⃗AF＝λ⃗FB,因为⃗AF＝3⃗FB,
所以λ＝3,设直线的倾斜角为α,则e＝|
λ−1
( λ＋1)cos α|
得√3
2 ＝|
3−1
(3＋1)cos α|,|cos α|＝√3
3 ,
又k>0,所以α∈(0, π
2),
得cos α＝√3
3 ,所以k＝tan α＝√2.
5.(2025·广州调研)抛物线E:y2＝4x 的焦点为F,曲线l:y＝1
2|x－1|交抛物线E 于A,B 两点,则△ABF
的面积为( )
A.4
B.6
C.3√5
D.8
答案 D
解析 作出图形如图所示,
曲线l:y＝1
2|x－1|关于直线x＝1 对称,
且曲线l 过抛物线y2＝4x 的焦点F(1,0),
设直线FA 的倾斜角为θ,即∠AFx＝θ,
所以直线FB 的倾斜角为π－θ,
由题意可知,tan θ＝1
2,
则|AF|＝
p
1−cos θ ＝
2
1−cos θ,
|BF|＝
p
1−cos(π −θ) ＝
2
1＋cos θ.
又∠AFB＝π－2θ,所以S△ABF＝1
2|AF|·|BF|·sin(π－2θ)＝1
2 ×
2
1−cos θ ×
2
1＋cos θsin 2θ＝
2sin 2θ
1−co s
2θ
＝4 sin θcos θ
sin
2θ
＝
4
tan θ ＝4
1
2
＝8,故选D.
二、多选题
6.伟大的古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用不断分割法求得的椭圆面积为椭圆的长
半轴长和短半轴长乘积的π 倍,这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆C 的面积为12√5π,离心
率为2
3,F1,F2是椭圆C 在x 轴上的两个焦点,A 为椭圆C 上的动点,则下列说法正确的是( )
A.椭圆C 的标准方程为x
2
36 ＋y
2
20＝1
B.若∠F1AF2＝π
3 ,则S△F1 A F2＝20√3
C.存在点A,使得∠F1AF2＝π
2
D.
2
|A F1| ＋
1
|A F2|的最小值为1
4 ＋√2
6
答案 AD
解析 对于A,由{
ab π ＝12√5 π ,
c
a ＝2
3 ,
a
2＝b
2＋c
2,
解得a＝6,b＝2√5,c＝4,
则椭圆C 的标准方程为x
2
36 ＋y
2
20＝1,故A 正确;
对于B,令θ＝∠F1AF2,S△F1 A F2＝b2·tan θ
2 ＝20√3
3
,故B 错误;
对于C,当点A 为短轴的一个顶点时,∠F1AF2最大,此时cos∠F1AF2＝6
2＋6
2−8
2
2×6
2
＝1
9>0,
所以∠F1AF2为锐角,
则不存在点A,使得∠F1AF2＝π
2 ,故C 错误;
对于D,
2
|A F1| ＋
1
|A F2|
＝
1
12(
2
|A F1| ＋
1
|A F2|)(|AF1|＋|AF2|)
＝1
12(2＋2|A F2|
|A F1| ＋1＋|A F1|
|A F2|)
≥1
12(3＋2√2)＝1
4 ＋√2
6 ,
当且仅当
2|A F2|
|A F1| ＝|A F1|
|A F2|,
即|AF1|＝√2|AF2|时,等号成立,故D 正确.
7.(2025·镇江质检)设椭圆C: x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为
A1,A2,点P 是C 上异于A1,A2的一点,则下列结论正确的是( )
A.若C 的离心率为1
2,则直线PA1与PA2的斜率之积为－4
3
B.若PF1⊥PF2,则△PF1F2的面积为b2
C.若C 上存在四个点P 使得PF1⊥PF2,则C 的离心率的取值范围是(0, √2
2 )
D.若|PF1|≤2b 恒成立,则C 的离心率的取值范围是(0, 3
5]
答案 BD
解析 设P(x0,y0),
所以x0
2
a
2 ＋y0
2
b
2 ＝1,
∵e＝c
a ＝1
2,∴a＝2c,∴a2＝4
3 b2,
∴k P A1·k P A2＝－b
2
a
2＝－3
4 ,
∴A 错误;
若PF1⊥PF2,△PF1F2的面积为b2tanπ
4 ＝b2,
∴B 正确;
若C 上存在四个点P 使得PF1⊥PF2,即C 上存在四个点P 使得△PF1F2的面积为b2,
∴1
2·2c·b>b2,∴c>b,∴c2>a2－c2,
∴e∈(
√2
2 ,1),∴C 错误;
若|PF1|≤2b 恒成立,∴a＋c≤2b,
∴a2＋c2＋2ac≤4b2＝4(a2－c2),
∴5e2＋2e－3≤0,
∴0<e≤3
5,∴D 正确.
三、填空题
8.抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F,过焦点F 且倾斜角为π
6 的直线与抛物线相交于A,B 两点,若|AB|
＝8,则抛物线的方程为 .
答案 y2＝2x
解析 ∵|AB|＝
2 p
sin
2θ
＝
2 p
sin
2 π
6
＝8p＝8,
∴p＝1,∴抛物线的方程为y2＝2x.
9.已知双曲线x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0,b>0),过原点的直线与双曲线交于A,B 两点,以线段AB 为直径的圆
恰好过双曲线的右焦点F,若△ABF 的面积为2a2,则双曲线的离心率为 .
答案 √3
解析 如图.设双曲线的左焦点为F',连接AF',BF',
因为以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F(c,0),
所以S△AF'F＝S△ABF＝2a2且∠F'AF＝θ＝π
2 ,
根据双曲线焦点三角形面积公式,
得S△AF'F＝
b
2
tan θ
2
.
所以2a2＝b2,即b
2
a
2＝2,e＝√
1＋b
2
a
2 ＝√3.
10.(2025·南昌调研)如图所示,已知抛物线C1:y2＝2px(p>0)过点(2,4),圆C2:x2＋y2－4x＋3＝0.过圆心
C2的直线l 与抛物线C1和圆C2分别交于P,Q,M,N,则|PM|＋4|QN|的最小值为 .
答案 13
解析 由题设知,16＝2p×2,则2p＝8,
故抛物线的标准方程为y2＝8x,
则焦点F(2,0),
由直线PQ 过抛物线的焦点,
则
1
| PF | ＋
1
|QF | ＝2
p ＝1
2,
圆C2:(x－2)2＋y2＝1 的圆心为(2,0),半径为1,
|PM|＋4|QN|＝|PF|－1＋4(|QF|－1)
＝|PF|＋4|QF|－5
＝2(|PF|＋4|QF|)(
1
| PF | ＋
1
|QF |)－5
＝2×(
| PF |
|QF | ＋4|QF |
| PF | )＋5≥4√
| PF |
|QF | · 4|QF |
| PF |
＋5＝13,
当且仅当|PF|＝2|QF|时,等号成立,
故|PM|＋4|QN|的最小值为13
