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培优点8 非对称问题处理策略
[考情分析] 在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x 或y，得到一个一元二次方程，往
往能够利用韦达定理来快速处理|x1-x2|，x1
2+x2
2，1
x1
+ 1
x2
之类的结构，但在有些问题中，我们会遇到涉及
x1，x2的不同系数的代数式的运算，比如x1
x2
，3 x1 x2+2 x1- x2
2 x1 x2- x1+ x2
或λx1+μx2之类的结构，我们把这种系数不对
等的结构，称为“非对称韦达结构”.
考点一 两根之比型
例1 设椭圆C：x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的左焦点为F，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A，B 两点，直线l 的
倾斜角为60°，⃗AF=2⃗FB，求椭圆C 的离心率.
解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意知y1>0，y2<0，
因为⃗AF=2⃗FB，所以-y1=2y2，
设直线l 的方程为y=√3(x+c)，
其中c=√a
2-b
2，联立{
y =√3( x +c),
x
2
a
2 + y
2
b
2 =1,
消去x 得(3a2+b2)y2-2√3b2cy-3b4=0，
Δ=(-2√3b2c)2-4(3a2+b2)(-3b4)=48a2b4>0，
方法一 解得y1=√3b
2(c +2a)
3a
2+b
2
，
y2=√3b
2(c -2a)
3a
2+b
2
，因为-y1=2y2，
即-√3b
2(c +2a)
3a
2+b
2
=2·√3b
2(c -2a)
3a
2+b
2
，
则-c-2a=2c-4a，即2a=3c，
所以离心率e=c
a=2
3.
方法二 非对称处理手法1(倒数相加法)：
由根与系数的关系得y1+y2=2√3b
2c
3a
2+b
2 ，y1y2=-3b
4
3a
2+b
2，因为y1=-2y2，即y1
y2
=-2，
所以( y1+ y2)
2
y1 y2
=
y1
y2
+
y2
y1
+2=-2-1
2+2=-1
2，
即-
12b
4c
2
(3a
2+b
2)·3b
4=-1
2，
整理得8c2=3a2+b2，即9c2=4a2，
所以离心率e=c
a=2
3.
方法三 非对称处理手法2：
由y1=-2y2，得{
y1+ y2=- y2,
y1 y2=-2 y2
2,
则( y1+ y2)
2
y1 y2
=
(- y2)
2
-2 y2
2 =-1
2.
将{
y1+ y2= 2√3b
2c
3a
2+b
2 ,
y1 y2=-
3b
4
3a
2+b
2
代入上式得，
(
2√3b
2c
3a
2+b
2)
2
-
3b
4
3a
2+b
2
=-1
2，即12b
4c
2
3a
2+b
2·
1
-3b
4 =-1
2，
整理得8c2=3a2+b2，故离心率e=2
3.
方法四 非对称处理手法3(消元法)：
将y1=-2y2代入{
y1+ y2= 2√3b
2c
3a
2+b
2 ,
y1 y2=-
3b
4
3a
2+b
2 ,
得{
- y2= 2√3b
2c
3a
2+b
2 ,
-2 y2
2=-
3b
4
3a
2+b
2 ,
消去y2得，2(
2√3b
2c
3a
2+b
2)
2
=
3b
4
3a
2+b
2，
整理得5a2=9b2，则e=√
1- b
2
a
2=2
3.
[规律方法] 比值型问题适用于x1=λx2型，可以采用倒数相加法，但有时得到的可能不是这种形式，而是
x1=λx2+k 的形式，此时采用待定系数法，例如x1=-3x2+4，可以转化x1-1=-3(x2-1)，得到x1-1
x2-1=-3，继续采用
倒数相加法解决.
跟踪演练1 如图，已知抛物线y2=4x 的焦点为F，经过点F 的直线l 交抛物线于A，B 两点，⃗AF=3⃗FB
，求直线l 的斜率.
解 易知F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线l 的方程为x=my+1，
联立{
x =my +1,
y
2= 4 x , 消去x 得，y2-4my-4=0，
由根与系数的关系，得y1+y2=4m，y1y2=-4.
因为⃗AF=3⃗FB，所以(x1-1，y1)=3(1-x2，-y2)，
所以y1=-3y2，即 y1
y2
=-3.
y1
y2
+ y2
y1
= y1
2+ y2
2
y1 y2
=( y1+ y2)
2-2 y1 y2
y1 y2
=16m
2+8
- 4
=-4m2-2.
又
y1
y2
=-3，则
y1
y2
+
y2
y1
=-3-1
3=-10
3 ，
所以-4m2-2=-10
3 ，解得m=±√3
3 .
所以直线l 的斜率为1
m=±√3.
考点二 分式上下不对称型
例2 如图，设F 为椭圆C：x
2
2 +y2=1 的右焦点，过点(2，0)的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点.
(1)若点B 为椭圆C 的上顶点，求直线AF 的方程；
(2)设直线AF，BF 的斜率分别为k1，k2(k2≠0)，求证：k1
k2
为定值.
(1)解 直线AB 的方程为x
2+y=1，
即y=- x
2+1，联立{
y =- x
2 +1,
x
2
2 + y
2=1,
得3
4 x2-x=0，解得x=0 或x=4
3 ，
所以A(
4
3 ，1
3)，而F(1，0)，所以kAF=1，
故直线AF 的方程为y=x-1.
(2)证明 设直线AB 的方程为x=my+2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立{
x =my +2,
x
2
2 + y
2=1,
得(m2+2)y2+4my+2=0，
则Δ=(4m)2-4×2(m2+2)=8m2-16>0，m2>2，
可得y1+y2=- 4 m
m
2+2，y1y2=
2
m
2+2.(*)
又F(1，0)，则k1
k2
=
y1
x1-1
y2
x2-1
= y1( x2-1)
y2( x1-1)=m y1 y2+ y1
m y1 y2+ y2
，
方法一 非对称处理手法1(y1y2转化为y1+y2)：
由(*)两式相除，可得 y1+y2=-2my1y2，
所以my1y2=- y1+ y2
2
，
所以
k1
k2
=
m y1 y2+ y1
m y1 y2+ y2
=
- y1+ y2
2
+ y1
- y1+ y2
2
+ y2
=
y1- y2
y2- y1
=-1.
方法二 非对称处理手法2(y1，y2保留y1)：
k1
k2
=m y1 y2+ y1
m y1 y2+ y2
=
m y1 y2+ y1
m y1 y2+( y1+ y2)- y1
=
2m
m
2+2
+ y1
2m
m
2+2
- 4 m
m
2+2
- y1
=
2m
m
2+2
+ y1
-2m
m
2+2
- y1
=-1.
方法三 非对称处理手法3(y1，y2保留y2)：
k1
k2
=m y1 y2+ y1
m y1 y2+ y2
=m y1 y2+( y1+ y2)- y2
m y1 y2+ y2
=
2m
m
2+2
- 4 m
m
2+2
- y2
2m
m
2+2
+ y2
=
- 2m
m
2+2
- y2
2m
m
2+2
+ y2
=-1.
方法四 由求根公式得y=-2m±√2m
2- 4
m
2+2
，
不妨设y1=-2m+√2m
2- 4
m
2+2
，
y2=-2m-√2m
2- 4
m
2+2
，
则
k1
k2
=
m y1 y2+ y1
m y1 y2+ y2
=
2m
m
2+2
+ y1
2m
m
2+2
+ y2
=
2m
m
2+2
+-2m+√2m
2- 4
m
2+2
2m
m
2+2
+-2m-√2m
2- 4
m
2+2
= √2m
2- 4
-√2m
2- 4
=-1.
[规律方法] 非对称结构的常规处理方法有和积转换、配凑、求根公式(暴力法)、曲线方程代换、第三定义
等方法，将其转化为对称结构计算.
跟踪演练2 双曲线C：x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)上一点D(6，√3)到左、右焦点的距离之差为6.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)已知A(-3，0)，B(3，0)，过点(5，0)的直线l 与C 交于M，N(异于A，B)两点，直线MA 与NB 交于
点P，试问点P 到直线x=-2 的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
解 (1)依题意可得{
2a=6,
6
2
a
2 - (√3)
2
b
2
=1,
解得{
a=3,
b=1,故双曲线C 的方程为x
2
9 -y2=1.
(2)由题意可得直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为
x=my+5，
联立{
x =my +5,
x
2
9 - y
2=1,
消去x，得(m2-9)y2+10my+16=0，
则m2-9≠0，Δ=(10m)2-4×16(m2-9)
=36(m2+16)>0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1+y2=-10m
m
2-9 ，y1y2= 16
m
2-9，
又A(-3，0)，B(3，0)，
直线AM：y=
y1
x1+3(x+3)，
直线BN：y=
y2
x2-3(x-3)，
联立{
y =
y1
x1+3 ( x +3),
y =
y2
x2-3 ( x -3),
两式相除，得x +3
x -3=
y2( x1+3)
y1( x2-3)=
y2(m y1+8)
y1(m y2+2)
=m y1 y2+8 y2
m y1 y2+2 y1
=m y1 y2+8( y1+ y2)-8 y1
m y1 y2+2 y1
=
16m
m
2-9
- 80m
m
2-9
-8 y1
16m
m
2-9
+2 y1
=
- 64 m
m
2-9
-8 y1
16m
m
2-9
+2 y1
=-4，
即x +3
x -3=-4，解得x=9
5，
所以点P 在定直线x=9
5上，
因为直线x=9
5与直线x=-2 之间的距离为9
5+2=19
5 ，所以点P 到直线x=-2 的距离为定值，且定值为19
5 .
专题强化练
[分值：30 分]
1.(13 分)如图，已知抛物线C：y2=4x，经过定点P(2，1)的直线l 交抛物线C 于A，B 两点，且⃗PB=7⃗AP，
求直线l 的斜率.
解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线l 的方程为x-2=m(y-1)，
联立直线与抛物线方程，消去x 得，
y2-4my+4m-8=0，
所以y1+y2=4m，y1y2=4m-8.
由⃗PB=7⃗AP，得(x2-2，y2-1)=7(2-x1，1-y1)，
所以y2-1=7-7y1，即 y2=-7y1+8.
设y2+u=-7(y1+u)，则y2=-7y1-8u，所以u=-1，
所以
y2-1
y1-1=-7，
所以
y2-1
y1-1+
y1-1
y2-1=( y1-1)
2+( y2-1)
2
( y1-1)( y2-1) =
( y1+ y2-2)
2
y1 y2-( y1+ y2)+1-2，
代入根与系数的关系，得-16m
2-16m+18
7
=-7-1
7 ，
化简得m2-m-2=0，解得m=-1 或m=2.
所以直线l 的斜率为-1 或1
2.
2.(17 分)如图，已知椭圆C：x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为1
2，点A1，A2分别为椭圆C 的左、右顶点，点
F1，F2分别为椭圆C 的左、右焦点.过点F2任作一条不与y 轴垂直的直线与椭圆C 交于M，N 两点，
△MNF1的周长为8.
(1)求椭圆C 的方程；(5 分)
(2)若直线A1M，A2N 交于点D，试判断点 D 是否在某条定直线x=t 上，若是，求出t 的值；若不是，请说
明理由.(12 分)
解 (1)由△MNF1的周长为8，得
4a=8，即a=2，
由离心率e=c
a=1
2，可得c=1，则b2=a2-c2=3，
所以椭圆C 的方程为x
2
4 + y
2
3 =1.
(2)方法一 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
直线MN 的方程为x=λy+1.
联立{
x = λy +1,
x
2
4 + y
2
3 =1,得(3λ2+4)y2+6λy-9=0，
则y1+y2=-
6 λ
3 λ
2+ 4 ，
y1y2=-
9
3 λ
2+ 4 .
由题意可知，直线A1M：y=
y1
x1+2(x+2)，
直线A2N：y=
y2
x2-2(x-2)，
联立两直线方程，解得x=4 λ y1 y2+6 y2-2 y1
y1+3 y2
，
所以x-4=4 λ y1 y2+6 y2-2 y1
y1+3 y2
-4
=4 λ y1 y2-6( y1+ y2)
y1+3 y2
=
- 36 λ
3 λ
2+ 4
+ 36 λ
3 λ
2+ 4
y1+3 y2
=0，
即x=4.
综上所述，直线A1M，A2N 的交点D 恒在定直线x=4 上.
方法二 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN 的方程为x=λy+1，
联立{
x = λy +1,
x
2
4 + y
2
3 =1,得(3λ2+4)y2+6λy-9=0，
则y1+y2=-
6 λ
3 λ
2+ 4 ，
y1y2=-
9
3 λ
2+ 4 ，
联立直线A1M，A2N 的方程，得
y1
x1+2(x+2)=
y2
x2-2(x-2)，
则x +2
x -2=
y2
x2-2·
x1+2
y1
.
又x2
2
4 + y2
2
3 =1，即(2+ x2)(2- x2)
4
= y2
2
3 ，
则
y2
x2-2=-3
4 ·
x2+2
y2
，
故x +2
x -2=-3
4 ·
x2+2
y2
·
x1+2
y1
=-3
4 ·( λ y1+3)( λ y2+3)
y1 y2
=-3
4 · λ
2 y1 y2+3 λ( y1+ y2)+9
y1 y2
=-3
4 ·
-
9 λ
2
3 λ
2+ 4
+3 λ(-
6 λ
3 λ
2+ 4)+9
-
9
3 λ
2+ 4
=-3
4 ·-9 λ
2-18 λ
2+9(3 λ
2+ 4)
-9
=3，
解得x=4，
故直线A1M，A2N 的交点D 恒在定直线 x=4 上.
方法三 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN 的方程为x=λy+1，
可知直线A1M：y=
y1
x1+2(x+2)，
直线A2N：y=
y2
x2-2(x-2).
联立两直线方程，得x=4 λ y1 y2+6 y2-2 y1
y1+3 y2
.
联立{
x = λy +1,
x
2
4 + y
2
3 =1,得(3λ2+4)y2+6λy-9=0，
则y1+y2=-
6 λ
3 λ
2+ 4 ，
y1y2=-
9
3 λ
2+ 4 ，
两式相除，得
y1+ y2
y1 y2
=2 λ
3 ，
则λy1y2= 3( y1+ y2)
2
，
所以x=4 λ y1 y2+6 y2-2 y1
y1+3 y2
=6( y1+ y2)+6 y2-2 y1
y1+3 y2
=4( y1+3 y2)
y1+3 y2
=4，
综上，直线A1M，A2N 的交点 D 恒在定直线x=4 上.
