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微专题33 圆锥曲线的基本问题
高考定位 圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解
答题的一问的形式命题，难度相对较小.
【真题体验】
1.(2023·全国甲卷)设F1，F2 为椭圆C：＋y2＝1 的两个焦点，点P 在C 上，若
PF1·PF2＝0，则|PF1|·|PF2|＝( )
A.1
B.2
C.4
D.5
答案 B
解析 法一 因为PF1·PF2＝0，
所以PF1⊥PF2，
则S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝b2tan，
得|PF1|·|PF2|＝1×tan，
所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B.
法二 因为PF1·PF2＝0，
所以PF1⊥PF2，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝16.
因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，
所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20，
即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20，
所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B.
2.(2024·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P 是双
曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8 的直角三角形，则
双曲线的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
答案 C
解析 由题意可知，∠F1PF2＝90°，
又直线PF2的斜率为2，
可得tan∠PF2F1＝＝2，
根据双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，
得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝×4a×2a＝4a2，
又S△PF1F2＝8，所以a2＝2，
所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝(4a)2＋(2a)2＝20a2＝40.
又|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10，
又a2＋b2＝c2，所以b2＝8，
所以双曲线的方程为－＝1，故选C.
3.(2023·全国乙卷)已知点A(1，)在抛物线C：y2＝2px 上，则A 到C 的准线的距
离为________.
答案
解析 将点A 的坐标代入抛物线方程，得5＝2p，于是y2＝5x，则抛物线的准线
方程为x＝－，
所以A 到准线的距离为1－(－)＝.
4.(2022·北京卷)已知双曲线y2＋＝1 的渐近线方程为y＝±x，则m＝________.
答案 －3
解析 法一 依题意得m<0，双曲线的方程化为标准方程为y2－＝1，此时双曲
线的渐近线的斜率为±＝±，解得m＝－3.
法二 依题意得m<0，令y2－＝0，
得y＝±x，则±＝±，
解得m＝－3.
5.(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，
过F2作平行于y 轴的直线交C 于A，B 两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C 的离
心率为________.
答案
解析 法一 由|AB|＝10 及双曲线的对称性得|AF2|＝＝5，
因为|AF1|＝13，所以2a＝|AF1|－|AF2|＝13－5＝8，2c＝|F1F2|＝＝＝12，
所以a＝4，c＝6，则C 的离心率e＝＝＝.
法二 因为|AB|＝10，所以＝10，
所以＝＝5，
又|AF1|＝13，
所以|F1F2|＝2c＝＝12，
得c＝6，所以a2＋5a－36＝0，
得a＝4，所以C 的离心率e＝＝＝.
【热点突破】
热点一 圆锥曲线的定义与标准方程
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|).
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|).
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l 为抛物线的准线，点F 不在定直线l 上，PM⊥l 于点M.
2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指
利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p 的值.
例1 (1)(2024·抚顺三模)过双曲线C：－y2＝1 的左焦点F1作倾斜角为θ 的直线l
交C 于M，N 两点.若MF1＝3F1N，则|cos θ|＝( )
A.
B.
C.
D.
(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为
B，以线段F1A 为直径的圆交线段F1B 的延长线于点P，若F2B∥AP 且线段AP 的
长为2＋，则该椭圆方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
答案 (1)D (2)D
解析 (1)设双曲线的右焦点为F，连接MF，NF，
由题意可得a＝2，b＝1，c＝，
设|MF1|＝3|F1N|＝3t，|MF|＝2a＋3t＝4＋3t，|FN|＝2a＋t＝4＋t，
由余弦定理可得cos∠NF1F＋cos∠MF1F＝＋
＝0，
即＋＝0，
解得t＝，
所以cos∠MF1F＝＝－，故|cos θ|＝.
(2)设椭圆的半焦距为c，因为点P 在以线段F1A 为直径的圆上，所以AP⊥PF1.
又因为F2B∥AP，所以F2B⊥BF1.
又因为|F2B|＝|BF1|，
所以△F1F2B 是等腰直角三角形，
于是△F1AP 也是等腰直角三角形，
因为|AP|＝2＋，所以|F1A|＝(2＋)，
得a＋c＝(2＋)，又b＝c，所以a＝c，
解得a＝2，c＝2，得b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆方程为＋＝1.
规律方法 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误：双曲线的定义中忽略“绝对
值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，
双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置.
训练1 (1)(2024·晋城二模)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：
x2＋y2＋8x＋7＝0 相切，且双曲线的左焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为(
)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
(2)(2024·莆田二模)已知抛物线y2＝4x 的焦点为F，点M 在抛物线上.若点Q 在圆
(x－3)2＋y2＝1 上，则|MF|＋|MQ|的最小值为( )
A.5
B.4
C.3
D.2
答案 (1)D (2)C
解析 (1)圆C：x2＋y2＋8x＋7＝0 的圆心为C(－4，0)，半径r＝3，
又双曲线－＝1 的渐近线方程为bx±ay＝0，
由题意可知解得
所以该双曲线的方程为－＝1.
(2)如图所示.
由题意抛物线y2＝4x 的准线为x＝－1，它与x 轴的交点为D(－1，0)，焦点为
F(1，0)，
过点M 向抛物线的准线引垂线，垂足为点N，
设圆(x－3)2＋y2＝1 的圆心为P(3，0)，已知圆与x 轴的交点为点E，
|MF|＋|MQ|＝|MN|＋|MQ|≥|NQ|≥|NP|－|PQ|＝|NP|－r＝|NP|－1≥|DP|－1＝4－1
＝3，
且|MF|＋|MQ|＝3 成立的条件是M，O 重合，且Q，E 重合，综上所述，|ME|＋|
MQ|的最小值为3.
热点二 椭圆、双曲线的几何性质
1.求离心率通常有两种方法
(1)直接利用公式：椭圆的离心率e＝＝(0<e<1)，双曲线的离心率e＝＝(e>1).
(2)根据条件建立关于a，b，c 的齐次式，消去b 后，转化为关于e 的方程或不等
式，即可求得e 的值或取值范围.
2.与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0).
考向1 离心率问题
例2 (1)(2024·天津调研)已知F 是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，抛物线C 的准
线与双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线交于A，B 两点，若△ABF 为等边
三角形，则Γ 的离心率e＝( )
A.
B.
C.
D.
(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，半焦距为c.在椭圆上存在
点P 使得＝，则椭圆离心率的取值范围是( )
A.[－1，1)
B.(－1，1)
C.(0，－1)
D.(0，－1]
答案 (1)D (2)B
解析 (1)抛物线的焦点坐标为F，
准线方程为x＝－，
联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程得解得y＝±，
可得|AB|＝，
由△ABF 为等边三角形，可得p＝·，
即有＝，
则e＝＝＝＝.故选D.(2)由＝，
得＝＝＝，
得|PF1|＝，
又|PF1|∈(a－c，a＋c)，
则a－c<<a＋c，
∴a2－c2<2ac<(a＋c)2，
即e2＋2e－1>0，
又e∈(0，1)，∴e∈(－1，1).
考向2 椭圆、双曲线的几何性质
例3 (1)(2024·北京朝阳区模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，
过点F 作垂直于x 轴的直线l，M，N 分别是l 与双曲线C 及其渐近线在第一象限
内的交点.若M 是线段FN 的中点，则C 的渐近线方程为( )
A.y＝±x
B.y＝±x
C.y＝±x
D.y＝±x
(2)椭圆C：＋＝1(b2<18 且b>0)的上、下顶点分别为A，C，如图，点B 在椭圆上
(异于椭圆顶点)，点D 在椭圆内，平面四边形ABCD 满足∠BAD＝∠BCD＝
90°，且S△ABC＝2S△ADC，则该椭圆的短轴长为________.
答案 (1)C (2)6
解析 (1)设双曲线的右焦点为F(c，0)，
过第一象限的渐近线方程为y＝x，
当x＝c 时，y＝，即N，又M，
因为M 是线段FN 的中点，
所以＝·，得c＝2b，
所以c2＝4b2＝a2＋b2，即a＝b，
所以C 的渐近线方程为y＝±x＝±x.
(2)根据题意可得A(0，b)，C(0，－b)，
设B(x1，y1)，D(x2，y2).
连接BD(图略)，由∠BAD＝∠BCD＝90°可得，点A，B，C，D 均在以BD 为直径
的圆E(E 为BD 中点)上，
又原点O 为圆E 上的弦AC 的中点，
所以圆心E 在AC 的垂直平分线上，
即圆心E 在x 轴上，
所以y1＋y2＝0.
又S△ABC＝2S△ADC，
所以x1＝－2x2，
故圆心E 的坐标为，
所以圆E 的方程为＋y2＝x＋y，
将(0，b)代入圆E 的方程，
结合＋＝1 可得b2＝9，
所以b＝3，短轴长为6.
规律方法 1.确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围，其关键就是确立一个关于
a，b，c 的等量关系或不等关系，然后用a，c 代换b，进而求的值或范围.
2.求双曲线渐近线方程的关键在于求或的值，也可将双曲线方程中等号右边的
“1”变为“0”，然后因式分解得到.
训练2 (1)(多选)(2024·南通二模)已知双曲线C：－＝1(b>0)的右焦点为F，直线
l：x＋by＝0 是C 的一条渐近线，P 是l 上一点，则( )
A.C 的虚轴长为2
B.C 的离心率为
C.|PF|的最小值为2
D.直线PF 的斜率不等于－
(2)(2024·广州模拟)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l
过点F1.若点F2关于l 的对称点P 恰好在椭圆C 上，且F1P·F1F2＝a2，则C 的离
心率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 (1)AD (2)C
解析 (1)双曲线C：－＝1 的渐近线方程为bx±2y＝0，
依题意，－＝－，解得b＝，
对于A，C 的虚轴长2b＝2，A 正确；
对于B，C 的离心率e＝＝，B 错误；
对于C，点F(，0)到直线l：x＋y＝0 的距离＝，即|PF|的最小值为，C 错误；
对于D，直线l：x＋y＝0 的斜率为－，而点F 不在l 上，点P 在l 上，则直线PF
的斜率不等于－，D 正确.
(2)设∠PF1F2＝θ，由题意知|PF1|＝|F1F2|＝2c，
由椭圆的定义得|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2c.
因为F1P·F1F2＝a2，所以4c2cos θ＝a2.
在△PF1F2中，由余弦定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|cos θ，
即(2a－2c)2＝8c2－8c2cos θ＝8c2－a2，
整理可得4c2＋8ac－5a2＝0，
即4e2＋8e－5＝0，
解得e＝或e＝－(舍去)，所以e＝.
故选C.
热点三 抛物线的几何性质
抛物线的焦点弦的几个常见结论：
设AB 是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F 的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)当AB⊥x 轴时，弦AB 的长最短为2p.
例4 (1)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M(x0，2)是抛物线C 上一点，
以点M 为圆心的圆与直线x＝交于E，G 两点.若sin∠MFG＝，则抛物线C 的方
程是( )
A.y2＝x
B.y2＝2x
C.y2＝4x
D.y2＝8x
(2)设抛物线C：y2＝4x 的焦点为F，M 为抛物线上的点，且MF 与x 轴不垂直，
M 在直线x＝－2 上的射影为N.若△MNF 的垂心在抛物线C 上，则|MF|＝( )
A.9
B.10
C.11
D.12
答案 (1)C (2)B
解析 (1)过点M 作MD⊥EG，垂足为D.
∵M(x0，2)在抛物线上，
∴8＝2px0，则px0＝4.①
由题意可知|DM|＝x0－.
∵sin∠MFG＝，
∴|DM|＝|MF|，
即x0－＝，解得x0＝p.②
由①②得x0＝p＝－2(舍去)或x0＝p＝2，
∴抛物线C 的方程是y2＝4x.
(2)不妨设点M 在第一象限.
如图，过点F 作FQ⊥MN，垂足为Q，
设线段FQ 交抛物线C 于点H，
则H 为△MNF 的垂心，
易知F(1，0)，将x＝1 代入y2＝4x，得y＝±2，则H(1，2).
设点M，则N(－2，y)，
则FN＝(－3，y)，HM＝.
由已知可得FN·HM＝－3＋y(y－2)＝－2y＋3＝0，即y2－8y＋12＝0.
因为点M 与点H 不重合，则y≠2，
所以y＝6，则M(9，6)，因此，|MF|＝9＋1＝10.故选B.
规律方法 利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的
几何图形(如三角形、直角梯形等)来得到已知量与p 的关系，灵活运用抛物线的
焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算.
训练3 (1)苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑(如图1
所示)，“门”的内侧曲线呈抛物线形.图2 是“东方之门”的示意图，已知|CD|
＝30 m，|AB|＝60 m，点D 到直线AB 的距离为150 m，则此抛物线顶端O 到AB
的距离为( )
A.180 m
B.200 m
C.220 m
D.240 m
(2)焦点为F 的抛物线y2＝2px(p>0)上有一点P(2，2p)，O 为坐标原点，则满足|
MP|＝|MO|＝|MF|的点M 的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
答案 (1)B (2)B
解析 (1)以O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程
为x2＝－2py(p>0)，由题意设D(15，h)，h<0，B(30，h－150)，
则
解得
所以此抛物线顶端O 到AB 的距离为50＋150＝200(m).
(2)将点P 的坐标代入抛物线中得(2p)2＝2p×2，解得p＝1，则P(2，2)，所以OP
的斜率为1，且OP 的中点为(1，1)，
则OP 的垂直平分线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋y－2＝0，
又OF 的垂直平分线方程为x＝，
|MP|＝|MO|＝|MF|，则点M 为OP 的垂直平分线和OF 的垂直平分线的交点，
所以点M 的坐标为.
【精准强化练】
一、单选题
1.(2024·济南二模)已知抛物线C：y2＝4x 的焦点为F，该抛物线上一点P 到x＝－
2 的距离为4，则|PF|＝( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 C
解析 由题意可知，抛物线C：y2＝4x 的准线为x＝－1，
设P(x0，y0)，x0≥0，则x0＋2＝4，解得x0＝2，所以|PF|＝x0＋1＝3.
2.(2024·北京海淀区模拟)若双曲线－＝1(a>0，b>0)上的一点到焦点(－，0)的距
离比到焦点(，0)的距离大b，则该双曲线的方程为( )
A.－y2＝1
B.－y2＝1
C.x2－＝1
D.x2－＝1
答案 D
解析 由题知c＝，根据题意，由双曲线的定义知2a＝b，
又a2＋b2＝c2，所以5a2＝5，得到a2＝1，b2＝4，
所以双曲线的方程为x2－＝1，故选D.
3.(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C 上任意一点P 向x 轴作
垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M 的轨迹方程为( )
A.＋＝1(y>0)
B.＋＝1(y>0)
C.＋＝1(y>0)
D.＋＝1(y>0)
答案 A
解析 由题意可知把曲线C 上所有点的纵坐标缩短至原来的一半，横坐标不变，
即可得到点M 的轨迹.
曲线C 为半圆，则点M 的轨迹为椭圆(x 轴上方部分)，其中长半轴长为4，短半
轴长为2，故选A.
4.(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在
该双曲线上，则该双曲线的离心率为( )
A.4
B.3
C.2
D.
答案 C
解析 法一 根据焦点坐标可知c＝4，根据焦点在y 轴上，可设双曲线的方程为
－＝1(a>0，b>0)，则得
所以离心率e＝＝2.
法二 根据双曲线的定义，
得2a＝|－|＝|6－10|＝4，
根据焦点坐标可知c＝4，所以离心率e＝＝＝2.
5.(2024·西安模拟)已知抛物线C：y2＝4x 的焦点为F，准线为l，P 为C 上一点，
直线PF 与l 相交于点Q，与y 轴交于点M.若F 为PQ 的中点，则|PM|＝( )
A.4
B.6
C.4
D.8
答案 B
解析 根据题意可得|PF|＝xP＋＝2p，
所以4＝xP＋1，所以xP＝3，
根据抛物线的对称性不妨设P 在第一象限，
所以y＝12，
则P(3，2)，又F(1，0)，
则kPF＝＝，
所以直线PF 的方程为y＝(x－1)，
令x＝0，则y＝－，即M(0，－)，
所以|PM|＝＝6.
6.已知抛物线C：x2＝4y 的焦点为F，P 为抛物线上一个动点，A(－1，3)，则|PF|
＋|PA|的最小值为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
答案 B
解析 由题意可知抛物线x2＝4y 的焦点坐标为F(0，1)，准线l 的方程为y＝－
1，过P 作PQ⊥l 于Q，如图所示，
由抛物线定义可知|PF|＝|PQ|，
所以|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|，
则当A，P，Q 三点共线时，|PQ|＋|PA|取得最小值，所以|PF|＋|PA|的最小值为3
－(－1)＝4.
7.(2024·韶关二模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，过点F 的直线
l：3x＋4y＋m＝0 与y 轴交于点B，与双曲线C 交于点A(A 在y 轴右侧).若B 是线
段AF 的中点，则双曲线C 的渐近线方程为( )
A.y＝±x
B.y＝±x
C.y＝±x
D.y＝±2x
答案 C
解析 设双曲线右焦点为F2，连接AF2.
又△AFF2中，FO＝OF2，FB＝BA，
则AF2∥OB，|AF2|＝2|OB|，
由直线l：3x＋4y＋m＝0 可得F，B，则A，
又由双曲线C：－＝1(a>0，b>0)可得A，
则c＝，－＝－，则有＝，
即b2＝ac，
又c2＝a2＋b2，则有4b4－9a4－9a2b2＝0，
整理得 ＝0，
解之得＝.
则双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.
8.椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点、左焦点、上顶点分别为A，F，B.若坐标原点
O 关于直线BF 的对称点恰好在直线AB 上，则椭圆C 的离心率e 的取值范围为(
)
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 依题意可知BF 是∠ABO 的平分线，由角平分线性质可知＝，
两边平方并将b2＝a2－c2代入，
得＝，
故＝，
即2e3－2e2－2e＋1＝0.
构造函数f(x)＝2x3－2x2－2x＋1，0<x<1，
f′(x)＝6x2－4x－2＝2(3x2－2x－1)＝2(3x＋1)(x－1)，
所以f(x)在(0，1)上单调递减.
f＝>0，f＝－<0，
由函数的零点存在定理可知e∈.
二、多选题
9.(2024·泉州调研)已知椭圆C：3x2＋4y2＝48 的两个焦点分别为F1，F2，P 是C
上任意一点，则( )
A.C 的离心率为
B.△PF1F2的周长为12
C.|PF1|的最小值为3
D.|PF1|·|PF2|的最大值为16
答案 BD
解析 由椭圆C：3x2＋4y2＝48，得＋＝1，
则a＝4，b＝2，c＝2，所以e＝＝，故A 错误；
易知△PF1F2的周长为|F1F2|＋|PF1|＋|PF2|＝2a＋2c＝8＋4＝12，故B 正确；
当P 在椭圆长轴的一个端点时，|PF1|取得最小值，最小值为a－c＝4－2＝2，故
C 错误；
由基本不等式得|PF1|·|PF2|≤＝16，
当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等，
则|PF1|·|PF2|取得最大值16，故D 正确.
10.(2023·新高考Ⅱ卷)设O 为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝
2px(p>0)的焦点，且与C 交于M，N 两点，l 为C 的准线，则( )
A.p＝2
B.|MN|＝
C.以MN 为直径的圆与l 相切
D.△OMN 为等腰三角形
答案 AC
解析 对于A，因为直线y＝－(x－1)经过抛物线C 的焦点，
且直线与x 轴的交点为(1，0)，
所以抛物线C 的焦点坐标为(1，0)，
所以＝1，即p＝2，所以A 正确；
对于B，不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1<x2，
联立方程得
消去y 并整理得3x2－10x＋3＝0，
解得x1＝，x2＝3.
由抛物线的定义得，
|MN|＝x1＋x2＋p＝＋2＝，故B 错误；
对于C，设MN 的中点A，M，N，A 到直线l 的距离分别为d1，d2，d，
因为d＝(d1＋d2)＝(|MF|＋|NF|)＝|MN|，即A 到直线l 的距离等于MN 的一半，所
以MN 为直径的圆与直线l 相切，C 正确；
对于D，由题知M，N(3，－2)，
所以由两点间距离公式可得|OM|＝，|ON|＝，又|MN|＝，故D 错误.
11.(2024·武汉质检)已知双曲线C：x2－＝1，F1，F2为双曲线的左、右焦点，若
直线l 过点F2，且与双曲线的右支交于M，N 两点，则下列说法正确的是( )
A.双曲线C 的离心率为
B.若l 的斜率为2，则弦MN 的中点坐标为(8，12)
C.若∠F1MF2＝，则△MF1F2的面积为3
D.使△MNF1为等腰三角形的直线l 有3 条
答案 BCD
解析 对于A，由双曲线方程得a＝1，b＝，故c＝2，则离心率e＝2，故A 错
误；
对于B，由A 知F2(2，0)，则直线l 的方程为y＝2(x－2)，
联立
消去y，得x2－16x＋19＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝16，故＝8，
而y1＋y2＝2x1－4＋2x2－4＝2(x1＋x2)－8＝24，
则＝12，故弦MN 的中点坐标为(8，12)，故B 正确；
对于C，根据双曲线定义得|MF1|－|MF2|＝2，
由余弦定理的推论可得
cos∠F1MF2＝，
即＝，
可得|MF1|·|MF2|＝12，
所以△MF1F2的面积为|MF1|·|MF2|·sin ＝×12×＝3，故C 正确；
对于D，当直线MN⊥x 轴时，可得|MF1|＝|NF1|，△MNF1为等腰三角形；
当MN 不与x 轴垂直时，根据双曲线定义得|MF1|－|MF2|＝2，|NF1|－|NF2|＝2，
两式相加得|MF1|＋|NF1|＝4＋|MF2|＋|NF2|＝4＋|MN|，
不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1>0，y1>0，x2>0，y2<0)，
①若|MF1|＝|MN|，则|NF1|＝4，
所以解得
即N，
此时△MNF1为等腰三角形；
②若|NF1|＝|MN|，则|MF1|＝4，
所以解得
即M，此时△MNF1为等腰三角形.
综上，使△MNF1为等腰三角形的直线l 有3 条，故D 正确.
三、填空题
12.(2024·长沙模拟)已知O 为坐标原点，F1(－1，0)，F2(1，0)，Q(0，3)，向量m
＝(1，－2)，动点P 满足PQ∥m，写出一个a，使得有且只有一个点P 同时满足||
PF1|－|PF2||＝2a(0<a<1)，则a＝________.
答案
解析 由||PF1|－|PF2||＝2a(0<a<1)，
且|F1F2|＝2>2a，知点P 在以F1，F2为焦点的双曲线上，c＝1，b2＝1－a2.
设P(x，y)，因为Q(0，3)，
则PQ＝(－x，3－y)，m＝(1，－2)，
由于PQ∥m，y＝－2x＋3.
若直线y＝－2x＋3 与双曲线的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交
点，
所以－＝－2，解得a＝.
13.圆锥曲线的光学性质被人们广泛地应用于各种设计中，例如从双曲线的一个
焦点发出的光线，经过双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦
点.如图，从双曲线C 的右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线
的反向延长线经过左焦点F1.已知入射光线F2P 的斜率为－2，且F2P 和反射光线
PE 互相垂直(其中P 为入射点)，则双曲线C 的渐近线方程为________________.
答案 2x＋y＝0 和2x－y＝0
解析 设双曲线的方程为－＝1，
设P(x0，y0)，F1(－c，0)，F2(c，0)，
故kF2P＝＝－2，kPF1＝＝，
则x0＝，y0＝，所以P，
将其代入双曲线方程中得－＝1，
结合c2＝a2＋b2，k＝±，
所以9k4－32k2－16＝0，
解得k2＝4 或k2＝－(舍去)，因此k＝±2，
所以渐近线方程为2x＋y＝0 和2x－y＝0.
14.已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F1PF2
＝，设椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，则e＋e 的最小值为________.
答案 1＋
解析 由题意，可设椭圆长半轴长为a1，
双曲线的实半轴长为a2，
不妨设P 为双曲线右支上一点，
由椭圆和双曲线的定义可知
则|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，
又∠F1PF2＝，
由余弦定理可得(2c)2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos，
整理得4c2＝a＋3a，
即＋＝4，则＋＝1，
所以e＋e＝(e＋e)＝1＋＋≥1＋2＝1＋.
当且仅当＝，即e2＝e1时取等号.
