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培优点5 极点与极线
[考情分析] “极点、极线”是射影几何中的内容，不属于高考考查的范围，但极点、极线是圆锥曲线的
一种基本特征，蕴含了很多圆锥曲线的重要性质，自然成为命题人命题的背景知识和方向，掌握了极点、
极线的相关知识，就可以从“高观点下”看待高中圆锥曲线的相关内容，更容易抓住问题的本质.
考点一 极点与极线
1.极点与极线的定义
过点P(x0，y0)的动直线交圆锥曲线于A，B 两点，过A，B 的切线交点的轨迹叫做点P 关于圆锥曲线的极线，
点P 叫做相应于此极线的极点，简称极.
一个极点与其对应的极线称作一对配极元素，它们之间的关系称作一对配极关系.
2.极点、极线与圆锥曲线的位置关系
如图(1)，若极点P 在圆锥曲线外，则相应的极线l 与点P 的切点弦重合，即相应的极线l 是由点P 向圆锥
曲线所引的两条切线的切点弦所在直线，极线l 与圆锥曲线有两个交点；
如图(2)，若极点P 在圆锥曲线内，则极线l 是圆锥曲线经过点P 的弦的两端点处的两条切线交点的轨迹，
此时，极线l 与圆锥曲线相离，它们无交点；
如图(3)，若极点P 在圆锥曲线上，则相应的极线l 与在点P 处的切线重合，即相应的极线l 就是圆锥曲线
在点P 处的切线，极线l 与圆锥曲线有唯一交点.
例1 (多选)已知点P 是异于原点的一点，则下列关于极线方程的说法中，正确的是( )
A.已知点P(x0，y0)和圆C：x2+y2=r2，则关于点P 的极线方程为x0x+y0y=r2
B.已知点P(x0，y0)在椭圆x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)外，则点P 相应的极线方程为x0 x
a
2 + y0 y
b
2 =1
C.对于双曲线x
2
a
2- y
2
b
2 =1，与点P(x0，y0)对应的极线方程为x0 x
a
2 + y0 y
b
2 =1
D.对于抛物线y2=2px，若点P(
p
2 ，0)，则对应的极线为抛物线的准线
答案 ABD
解析 对于A，点P 与圆的位置关系有三种，不妨设点P(x0，y0)在圆C 的外部，
两切点分别为T1(x1，y1)，T2(x2，y2)，
两条切线的方程分别为xix+yiy=r2(i=1，2)，
∵P(x0，y0)在切线上，∴x0x1+y0y1=r2，
x0x2+y0y2=r2，
∴T1(x1，y1)，T2(x2，y2)在直线x0x+y0y=r2上，由两点确定一条直线知直线T1T2的方程为x0x+y0y=r2，A 正确；
对于B，极线l 与椭圆相交，且为由点P 向椭圆所引两条切线的切点弦所在直线，设两切点分别为
A(x1，y1)，B(x2，y2)，两条切线的方程分别为
lPA：x1 x
a
2 + y1 y
b
2 =1，lPB：x2 x
a
2 + y2 y
b
2 =1，
∵P(x0，y0)在切线上，∴{
x1 x0
a
2 + y1 y0
b
2 =1,
x2 x0
a
2 + y2 y0
b
2 =1,
即点A(x1，y1)，B(x2，y2)均满足x0 x
a
2 + y0 y
b
2 =1，
故切点弦AB 所在直线方程，即为点P 相应的极线方程，为x0 x
a
2 + y0 y
b
2 =1，B 正确；
对于C，证明方法同椭圆，可得极线方程为x0 x
a
2 - y0 y
b
2 =1，C 错误；
对于D，由阿基米德三角形的性质可知D 正确.
[规律方法] (1)一般地，若圆M：(x-a)2+(y-b)2=r2，P(x0，y0)是圆外一点(极点)，则过点P(x0，y0)的圆M 的
切点弦(极线)的方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(2)从代数角度看，在圆锥曲线方程中，以x0x 替换x2，以x0 y + y0 x
2
替换xy，以y0y 替换y2，以x0+ x
2
替换
x，以y0+ y
2
替换y 即可得到点P(x0，y0)的极线方程.
(3)从几何角度看，如图，设P 是不在圆锥曲线上的一点，过P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E，
F，G，H，连接EH，FG 交于N，连接EG，FH 并延长，延长线交于M，则直线MN 为点P 对应的极线.
若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线.
由图同理可知，PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 对应的极线.因而将△MNP 称为自极三角形.
跟踪演练1 过椭圆C：x
2
25+ y
2
9 =1 内一点M(3，2)，作直线AB 与椭圆交于点A，B，作直线CD 与椭圆
交于点C，D，过A，B 分别作椭圆的切线交于点P，过C，D 分别作椭圆的切线交于点Q，求PQ 所在
的直线方程为 .
答案 3 x
25 +2 y
9 =1
解析 方法一 由题意知直线PQ 为点M 关于椭圆C 的极线，所以直线PQ 的方程为3 x
25 +2 y
9 =1.
方法二 由题意设P(x1，y1)，Q(x2，y2).
则直线AB 为点P 关于椭圆C 的极线，
其方程为x1 x
25 + y1 y
9 =1.
又M(3，2)在直线AB 上，
所以3 x1
25 +2 y1
9 =1，
①
同理3 x2
25 +2 y2
9 =1，
②
由①②可得直线PQ 的方程是3 x
25 +2 y
9 =1.
考点二 极点与极线的性质及应用
例2 设椭圆C：x
2
2 +y2=1 的右焦点为F，如图所示，过点F 的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，点M 的
坐标为(2，0)，O 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.
证明 当直线l 的斜率为0 时，易证∠OMA=∠OMB；
当直线l 与x 轴不重合时，设其方程为x=my+1，
A(x1，y1)，B(x2，y2).
联立{
x =my +1,
x
2
2 + y
2=1,
消去x 得(m2+2)y2+2my-1=0.
易得Δ=8(m2+1)>0，所以y1+y2=-2m
m
2+2，y1y2=-
1
m
2+2，
则kAM+kBM=
y1
x1-2+
y2
x2-2
= y1( x2-2)+ y2( x1-2)
( x1-2)( x2-2)
= x1 y2+ x2 y1-2( y1+ y2)
( x1-2)( x2-2)
，
而x1y2+x2y1-2(y1+y2)
=(my1+1)y2+(my2+1)y1-2(y1+y2)
=2my1y2-(y1+y2)
=2m·(-
1
m
2+2)-(- 2m
m
2+2)=0，
所以kAM+kBM=0，从而∠OMA=∠OMB.
综上所述，∠OMA=∠OMB.
[规律方法] 极点、极线的性质
(1)如图1，设点P 关于圆锥曲线Γ 的极线为l，过点P 任作一割线交Γ 于点A，B，交l 于点Q，则PA
PB = AQ
BQ ；
反之，若PA
PB = AQ
BQ 成立，则点P，Q 调和分割线段AB，并且2
PQ = 1
PA + 1
PB ，2
PQ = 1
QA - 1
QB .
(2)如图2，设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O)的调和共轭点为点Q，PQ 连线经过圆锥曲线的中心，
则有OR2=OP·OQ，反之若有此式成立，则点Q 为点P 关于此圆锥曲线的调和共轭点.
(3)如图3，A，B 为圆锥曲线Γ 的一条对称轴l 上的两点(不在Γ 上)，若A，B 关于Γ 调和共轭，过点B 任作
Γ 的一条割线，交Γ 于P，Q 两点，则∠PAB=∠QAB.
(4)如图4，已知点Q 在圆锥曲线Γ 的对称轴上，直线l 垂直于该对称轴，过点Q 作直线交Γ 于点M，N，P
为l 上任意一点.若点Q 与直线l 是Γ 的一对极点与极线，当对称轴是x 轴时，kPM+kPN=2kPQ.
(5)如图5，已知点A 是椭圆x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)上任一点，极点P(t，0)(|t|<a，|t|≠c，t≠0)，相应的极线x=a
2
t
，椭圆在点A 处的切线与极线x=a
2
t 交于点N，过点N 作MN⊥AP 于点M，则直线MN 恒过x 轴上的一个定
点Q，且点M 的轨迹是以PQ 为直径的圆(点Q 除外).
(6)如图6，设圆锥曲线Γ 的一个焦点为F，与F 相应的准线为l.若过点F 的直线与圆锥曲线Γ 相交于M，N
两点，则Γ 在M，N 两点处的切线的交点Q 在准线l 上，且FQ⊥MN；反之，若过准线l 上一点Q 作圆锥
曲线Γ 的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN 过焦点F，且FQ⊥MN.
跟踪演练2 如图，过椭圆y
2
2 +x2=1 的焦点F(0，1)的直线l 与椭圆交于C，D 两点，并与x 轴交于点
P，A，B 分别为椭圆的左、右顶点，直线AC 与BD 交于点Q.当点P 异于A，B 两点时，证明：⃗OP·⃗OQ
为定值.
证明 设直线 l 的方程为y=kx+1(k≠0，k≠±1)，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，联立{
y =kx +1,
y
2
2 + x
2=1,
消去y 得(k2+2)x2+2kx-1=0，
易得Δ=8(k2+1)>0，
则{
x1+ x2=- 2k
k
2+2
, ①
x1 x2=-
1
k
2+2
,②
易知A(-1，0)，B(1，0)，
则直线AC 的斜率kAC=
y1
x1+1，
其方程为y=
y1
x1+1(x+1)，
③
直线BD 的斜率kBD=
y2
x2-1，
其方程为y=
y2
x2-1(x-1)，
④
由③÷④得x +1
x -1=
y2( x1+1)
y1( x2-1)，
即
xQ+1
xQ-1=
y2( x1+1)
y1( x2-1)=
(k x2+1)( x1+1)
(k x1+1)( x2-1)
=k x1 x2+k x2+ x1+1
k x1 x2-k x1+ x2-1
=
-
k
k
2+2
+ k x2- 2k
k
2+2
- x2+1
-
k
k
2+2
-k(- 2k
k
2+2
- x2)+ x2-1
=
(k -1)(k -2)
k
2+2
+(k -1)x2
(k -2)(k +1)
k
2+2
+(k +1)x2
=k -1
k +1，
解得xQ=-k.易得P(- 1
k ，0)，
故⃗OP·⃗OQ=xPxQ=-1
k ·(-k)=1，
即⃗OP·⃗OQ为定值1.
专题强化练
[分值：30 分]
1.(13 分)如图，已知椭圆C：x
2
4 +y2=1 的左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，点P 是椭圆C 上异于顶点
的动点，直线AD 与直线BP 交于点 M，直线 DP 与x 轴交于点N.证明：直线MN 过定点，并求出该定点.
证明 由题意可得D(0，1)，B(2，0)，A(-2，0)，
设直线BP 的方程为x=my+2(m≠0，m≠±2).
联立{
x =my +2,
x
2
4 + y
2=1,
消去x 得(m2+4)y2+4my=0，
解得y=0 或y=- 4 m
m
2+ 4 ，
所以yP=- 4 m
m
2+ 4 ，
从而xP=myP+2=8-2m
2
m
2+ 4
，
故P(
8-2m
2
m
2+ 4
，- 4 m
m
2+ 4)，
所以直线DP 的斜率kDP=
- 4 m
m
2+ 4
-1
8-2m
2
m
2+ 4
=- 4 m-m
2- 4
8-2m
2
=
m+2
2(m-2)，
故直线DP 的方程为y=
m+2
2(m-2)x+1，
令y=0，解得x=2(2-m)
m+2
=4 -2m
m+2 ，
所以N(
4 -2m
m+2 ，0)，
又直线AD 的方程为x
-2 + y
1 =1，即x-2y+2=0，
联立{
x -2 y +2=0,
x =my +2, 解得{
x =- 2m+ 4
m-2 ,
y =-
4
m-2 ,
所以M(- 2m+ 4
m-2 ，-
4
m-2).
所以直线MN 的斜率
kMN=
0+
4
m-2
4 -2m
m+2 + 2m+ 4
m-2
=m+2
4 m ，
所以直线MN 的方程为y=m+2
4 m (x - 4 -2m
m+2 )，
整理得m(x-4y+2)+2x-4=0，
由{
x - 4 y +2=0,
2 x - 4 =0
解得{
x =2,
y =1,
所以直线MN 过定点(2，1).
2.(17 分)设抛物线C：y=x2的焦点为F，动点P 在直线l：x-y-2=0 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线
PA，PB，且与抛物线C 分别相切于A，B 两点.
(1)求△APB 的重心G 的轨迹方程；(7 分)
(2)证明：∠PFA=∠PFB.(10 分)
(1)解 设切点A，B 坐标分别为(x0，x0
2)和(x1，x1
2) (x1≠x0)，
所以切线AP 的方程为2x0x-y-x0
2=0，切线BP 的方程为2x1x-y-x1
2=0，
由于P 既在AP 上，又在BP 上，
所以{
2 x0 xP- y P- x0
2=0,
2 x1 xP- y P- x1
2=0,
解得{
xP= x0+ x1
2
,
y P= x0 x1,
P(
x0+ x1
2
，x0 x1)，
所以△APB 的重心G 的横坐标
xG= x0+ x1+ xP
3
=xP，
yG= x0
2+ x1
2+ yP
3
= x0
2+ x1
2+ x0 x1
3
=( x0+ x1)
2- x0 x1
3
=4 xP
2 - y P
3
，
所以yP=-3yG+4xG
2 ，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为
x-(-3y+4x2)-2=0，即y=1
3(4x2-x+2).
(2)证明 方法一 因为F(0，1
4)，⃗
FA=(x0，x0
2- 1
4)，
⃗
FP=(
x0+ x1
2
，x0 x1- 1
4)，⃗
FB=(x1，x1
2- 1
4).
由于P 点在抛物线外，则|⃗FP|≠0.
所以cos∠PFA=⃗
FP·⃗FA
|⃗FP||⃗FA |
=
x0+ x1
2
· x0+(x0 x1- 1
4)(x0
2- 1
4)
|⃗FP|√
x0
2+(x0
2- 1
4)
2
= x0 x1+ 1
4
|⃗FP|
，
同理有cos∠PFB=⃗
FP·⃗FB
|⃗FP||⃗FB|
=
x0+ x1
2
· x1+(x0 x1- 1
4)(x1
2- 1
4)
|⃗FP|√
x1
2+(x1
2- 1
4)
2
= x0 x1+ 1
4
|⃗FP|
，故∠PFA=∠PFB.
方法二 ①当x1x0=0 时，由于x1≠x0，
不妨设x0=0，则A(0，0)，
所以P 点坐标为(
x1
2 ，0)，
则P 点到直线AF 的距离为d1=| x1|
2
，
而直线BF 的方程为y-1
4 = x1
2- 1
4
x1
x，
即(x1
2- 1
4)x-x1y+1
4 x1=0.
所以P 点到直线BF 的距离为
d2=|(x1
2- 1
4)
x1
2 + x1
4|
√(x1
2- 1
4)
2
+ x1
2
=(x1
2+ 1
4)
| x1|
2
x1
2+ 1
4
=| x1|
2
，
所以d1=d2，即得∠PFA=∠PFB.
②当x1x0≠0 时，直线AF 的方程为
y-1
4 = x0
2- 1
4
x0
x，
即(x0
2- 1
4)x-x0y+1
4 x0=0，
直线BF 的方程为y-1
4 = x1
2- 1
4
x1
x，
即(x1
2- 1
4)x-x1y+1
4 x1=0，
所以P 点到直线AF 的距离为
d3=|(x0
2- 1
4)
x0+ x1
2
- x0
2 x1+ 1
4 x0|
√(x0
2- 1
4)
2
+ x0
2
=|
x0- x1
2 |(x0
2+ 1
4)
x0
2+ 1
4
=| x0- x1|
2
，
同理可得P 点到直线BF 的距离d4=| x1- x0|
2
，
因此由d3=d4，可得到∠PFA=∠PFB.
综上，∠PFA=∠PFB.
