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圆锥曲线中的二级结论 【知识拓展】 1.焦点弦问题 (1)焦点三角形的面积公式：P 为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，F1，F2 为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则： 在椭圆中，S△PF1F2＝b2·tan； 在双曲线中，S△PF1F2＝. (2)焦半径的数量关系式：直线l 过焦点F 与椭圆(或双曲线)相交于A，B 两点， 则＋＝. (3)抛物线焦点弦的性质 设AB 是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F 的弦，则： ①|AF|＝，|BF|＝，|AB|＝，S△AOB＝(α 为直线AB 的倾斜角)； ②＋＝； ③以AB 为直径的圆与准线相切； ④以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切； ⑤过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上. (4)焦点弦定理：已知焦点在x 轴上的椭圆或双曲线或抛物线，经过其焦点F 的 直线交曲线于A，B 两点，直线AB 的倾斜角为α，AF＝λFB，则曲线的离心率满 足等式|ecos α|＝. 2.圆锥曲线的切线、切点弦方程 (1)过椭圆＋＝1(a>b>0)上一点(x0，y0)的切线方程为＋＝1；过双曲线－＝1(a>0， b>0)上一点(x0，y0)的切线方程为－＝1；过抛物线y2＝2px(p>0)上一点(x0，y0)的 切线方程为y0y＝p(x＋x0). (2)过椭圆＋＝1(a>b>0)外一点P(x0，y0)作椭圆的两条切线PA，PB(A，B 为切点)， 则切点弦AB 的方程为＋＝1. 过双曲线－＝1(a>0，b>0)外一点P(x0，y0)作双曲线的两条切线PA，PB(A，B 为 切点)，则切点弦AB 的方程为－＝1； 过抛物线y2＝2px(p>0)外一点P(x0，y0)作抛物线的两条切线PA，PB(A，B 为切 点)，则切点弦AB 的方程为y0y＝p(x＋x0). 【类型突破】 类型一 椭圆、双曲线焦点三角形的面积 例1 (2024·临沂调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2， 其离心率为e＝，点P 为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝，已知△F1PF2的内切 圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为( ) A.2 B.4 C.6 D.12 答案 D 解析 由e＝，得＝，即a＝2c.① 设△F1PF2的内切圆的半径为r， 因为△F1PF2的内切圆的面积为3π， 所以πr2＝3π，解得r＝(舍负)， 在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式， 知S△F1PF2＝b2tan＝r(2a＋2c)， 即b2＝(a＋c)，② 又a2＝b2＋c2，③ 联立①②③得c＝3，a＝6，b＝3， 所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12. 易错提醒 1.要注意结论中∠F1PF2＝θ. 2.不要混淆椭圆与双曲线中焦点三角形的面积公式. 训练1 已知P 是椭圆＋＝1(a>b>0)上一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，当 ∠F1PF2＝时，S△F1PF2＝4；当线段PF1的中点落到y 轴上时，tan∠F1PF2＝，则 椭圆的标准方程为( ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案 A 解析 设|PF1|＝m，|PF2|＝n， 当∠F1PF2＝时， 由题意知S△F1PF2＝b2tan， 即4＝b2tan，所以b2＝12. 当线段PF1的中点落到y 轴上时， 又O 为F1F2的中点， 所以PF2∥y 轴，即PF2⊥x 轴. 由tan∠F1PF2＝，得＝， 即n＝，则m＝c，且n＝＝. 所以联立 解得 所以椭圆标准方程为＋＝1. 类型二 焦半径的数量关系 例2 (2024·丽水质检)已知双曲线C 的左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，过 F2的直线与C 的右支交于A，B 两点.若AF2＝2F2B，|AB|＝|F1B|，则双曲线C 的 方程为________. 答案 －＝1 解析 如图，令|F2B|＝t， 则|AF2|＝2t， ∴|AB|＝3t，|F1B|＝3t， 又＋＝， ∴＋＝，即＝， 又|F1B|－|F2B|＝2a， ∴3t－t＝2a，∴t＝a， ∴＝，即3b2＝4a2， 又c＝，∴a2＋b2＝7，解得b2＝4，a2＝3， 故双曲线C 的方程为－＝1. 易错提醒 公式的前提是直线AB 过焦点F，焦点F 不在直线AB 上时，公式不 成立. 训练2 已知椭圆C：＋＝1，过右焦点F2的直线交椭圆于A，B 两点，且|AF2|＝ 2，则|AB|＝________，cos ∠F1AB＝________. 答案 － 解析 由椭圆方程知a＝4，b＝2，|AF2|＝2， 又＋＝， 即＋＝， 解得|BF2|＝， ∴|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝， 由椭圆定义知|AF1|＝8－2＝6， |BF1|＝8－＝， 在△AF1B 中，由余弦定理，得cos∠F1AB＝＝－. 类型三 抛物线中二级结论的应用 例3 已知F 是抛物线C：y2＝4x 的焦点，过点F 作两条相互垂直的直线l1，l2， 直线l1与C 相交于A，B 两点，直线l2与C 相交于D，E 两点，则|AB|＋|DE|的最 小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10 答案 A 解析 如图，设直线l1的倾斜角为θ，θ∈， 则直线l2的倾斜角为＋θ， 由抛物线的焦点弦弦长公式知 |AB|＝＝， |DE|＝＝， ∴|AB|＋|DE|＝＋＝≥＝16， 当且仅当sin2θ＝cos2θ，即sin θ＝cos θ， 即θ＝时取“＝”. 易错提醒 要注意公式|AB|＝是直线AB 与抛物线y2＝2px 相交的表达式，而当直 线AB 与抛物线x2＝2py 相交时，|AB|＝(θ 为直线AB 的倾斜角). 训练3 (2024·南昌调研)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线与x 轴的交点 为E，过点E 的直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1>x2，y1>0，且 ∠AFB＝60°，则＝________. 答案 解析 延长AF 交抛物线于点D，易知B，D 关于x 轴对称. 设O 为坐标原点，直线AF 的倾斜角为α， 所以∠BFO＝∠DFO＝∠AFx＝α， 又∠AFB＝60°，所以α＝60°， 所以|AF|＝＝2p， |BF|＝|DF|＝＝， 分别过点A，B 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A1，B1， 则＝＝＝3， 所以＝. 类型四 圆锥曲线的切线、切点弦问题 例4 (多选)设A，B 为抛物线C：y＝x2上两个不同的点，且直线AB 过抛物线C 的焦点F，分别以A，B 为切点作抛物线C 的切线，两条切线交于点P.则下列结 论正确的有( ) A.点P 一定在抛物线C 的准线上 B.AP⊥BP C.PF⊥AB D.△PAB 的面积有最大值无最小值 答案 ABC 解析 由抛物线知焦点F， 可设直线AB 方程为y＝kx＋， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立直线与抛物线方程得x2－kx－＝0， 则x1＋x2＝k，x1x2＝－， 切线AP 的方程为y1＋y＝2xx1， 切线BP 的方程为y＋y2＝2x2x， 联立解得P， 因为抛物线y＝x2的准线方程为y＝－， 所以点P 在准线上，故A 正确； 由A 可知，直线AP 的斜率为2x1，直线BP 的斜率为2x2， 2x1·2x2＝4x1x2＝－1， 所以AP⊥BP，B 正确； 又∵kPF＝＝－， ∴kPF·k＝－1，∴PF⊥AB，故C 正确； ∵弦长|AB|＝|x1－x2| ＝ ＝·＝k2＋1， ∴S△PAB＝|AB|d＝·(k2＋1)· ＝， 当k＝0 时，S△PAB有最小值，无最大值，故D 错误，故选ABC. 规律方法 开口向上或向下的抛物线在某点处的切线方程可通过求导的方法来解 决. 训练4 如图，已知点P(x0，y0)是双曲线C1：－＝1 上的点，过点P 作椭圆C2： ＋＝1 的两条切线，切点为A，B，直线AB 交C1的两渐近线于点E，F，O 是坐 标原点，则OE·OF的值为( ) A. B.1 C. D. 答案 B 解析 椭圆C2关于点P(x0，y0)的切点弦AB 的方程为＋＝1， 即3x0x＋4y0y＝12， 由 解得E， 同理F， 则OE·OF＝＋＝＝1，故选B. 【精准强化练】 一、单选题 1.设F 为抛物线C：y2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A，B 两点， O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 抛物线C：y2＝3x 中，2p＝3，p＝， 故S△OAB＝＝＝. 2.设F1，F2 为椭圆C：y2＋＝1(0<n<1)的焦点，若在椭圆C 上存在点P，满足 ∠F1PF2＝120°，则实数n 的取值范围为( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 易知当点P 位于椭圆的左顶点或右顶点时，∠F1PF2最大，且△PF1F2的面 积也最大，故b2tan ≤×2c×b. 即n≤×2×， 又0<n<1，故解得0<n≤. 3.(2024·泉州调研)已知O 为坐标原点，F 为抛物线C：y2＝8x 的焦点，M 为C 上 一点，若|MF|＝8，则△MOF 的面积为( ) A.4 B.3 C.8 D.3 答案 A 解析 法一 抛物线C：y2＝8x 的准线方程为x＝－2. 设M(x0，y0)，由抛物线的定义可知，点M 到焦点F(2，0)的距离等于其到准线x ＝－2 的距离，所以|MF|＝x0＋2＝8，所以x0＝6. 因为点M(x0，y0)在抛物线C：y2＝8x 上， 所以y＝8×6＝48，则|y0|＝4，所以S△MOF＝|OF|·|y0|＝×2×4＝4，故选A. 法二 因为抛物线C：y2＝8x 关于x 轴对称， 所以不妨设点M 在x 轴上方，直线FM 的倾斜角为θ，则 |MF|＝＝＝8， 所以cos θ＝，因为0<θ<π，所以θ＝，则∠OFM＝， 所以S△MOF＝|OF|·|MF|·sin∠OFM＝×2×8×sin ＝4，故选A. 4.(2024·昆明诊断)已知椭圆Г：＋＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2 倍，过右焦 点F 且斜率为k(k>0)的直线与Г 相交于A，B 两点，且AF＝3FB，则k＝( ) A.1 B.2 C. D. 答案 D 解析 依题意a＝2b，e＝＝， 设AF＝λFB，因为AF＝3FB， 所以λ＝3，设直线的倾斜角为α， 则e＝ 得＝，|cos α|＝， 又k>0，∴α∈， 得cos α＝，所以k＝tan α＝. 5.抛物线E：y2＝4x 的焦点为F，曲线l：y＝|x－1|交抛物线E 于A，B 两点，则 △ABF 的面积为( ) A.4 B.6 C.3 D.8 答案 D 解析 作出图形如图所示， 曲线l：y＝|x－1|关于直线x＝1 对称， 且曲线l 过抛物线y2＝4x 的焦点F(1，0)， 设直线FA 的倾斜角为θ，即∠AFx＝θ， 所以∠OFB＝θ， 所以直线FB 的倾斜角为π－θ， 由题意可知，tan θ＝， 则|AF|＝＝， |BF|＝＝. 又∠AFB＝π－2θ，所以S△ABF＝|AF|·|BF|·sin(π－2θ)＝××sin 2θ＝＝＝＝＝8，故选 D. 二、多选题 6.(2024·宜昌质检)伟大的古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用不断分 割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的π 倍，这种方法已具有 积分计算的雏形.已知椭圆C 的面积为12π，离心率为，F1，F2是椭圆C 在x 轴上 的两个焦点，A 为椭圆C 上的动点，则下列说法正确的是( ) A.椭圆C 的标准方程为＋＝1 B.若∠F1AF2＝，则S△F1AF2＝20 C.存在点A，使得∠F1AF2＝ D.＋的最小值为＋ 答案 AD 解析 对于A，由 解得a＝6，b＝2，c＝4， 则椭圆C 的标准方程为＋＝1，故A 正确； 对于B，令θ＝∠F1AF2，S△F1AF2＝b2·tan ＝，故B 错误； 对于C，当点A 为短轴的一个顶点时，∠F1AF2最大， 此时cos∠F1AF2＝＝>0， 所以∠F1AF2为锐角， 则不存在点A，使得∠F1AF2＝，故C 错误； 对于D，＋ ＝(|AF1|＋|AF2|) ＝ ≥(3＋2)＝＋， 当且仅当＝， 即|AF1|＝|AF2|时，等号成立，故D 正确. 7.设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1， A2，点P 是C 上异于A1，A2的一点，则下列结论正确的是( ) A.若C 的离心率为，则直线PA1与PA2的斜率之积为－ B.若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为b2 C.若C 上存在四个点P 使得PF1⊥PF2，则C 的离心率的取值范围是 D.若|PF1|≤2b 恒成立，则C 的离心率的取值范围是 答案 BD 解析 设P(x0，y0)，所以＋＝1， ∵e＝＝，∴a＝2c，∴a2＝b2， ∴kPA1·kPA2＝－＝－， ∴选项A 错误； 若PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为b2tan＝b2， ∴选项B 正确； 若C 上存在四个点P 使得PF1⊥PF2，即C 上存在四个点P 使得△PF1F2的面积为 b2， ∴·2c·b>b2，∴c>b，∴c2>a2－c2， ∴e∈，∴选项C 错误； 若|PF1|≤2b 恒成立，∴a＋c≤2b， ∴a2＋c2＋2ac≤4b2＝4(a2－c2)， ∴5e2＋2e－3≤0， ∴0<e≤，∴选项D 正确. 三、填空题 8.抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过焦点F 且倾斜角为的直线与抛物线相交于 A，B 两点，若|AB|＝8，则抛物线的方程为________. 答案 y2＝2x 解析 ∵|AB|＝＝＝8p＝8， ∴p＝1，∴抛物线的方程为y2＝2x. 9.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，过原点的直线与双曲线交于A，B 两点，以线段 AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若△ABF 的面积为2a2，则双曲线的离 心率为________. 答案 解析 如图.设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′， 因为以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F(c，0)， 所以S△AF′F＝S△ABF＝2a2且∠F′AF＝θ＝， 根据双曲线焦点三角形面积公式， 得S△AF′F＝. 所以2a2＝b2，即＝2，e＝＝. 10.如图所示，已知抛物线C1：y2＝2px(p>0)过点(2，4)，圆C2：x2＋y2－4x＋3＝ 0.过圆心C2的直线l 与抛物线C1和圆C2分别交于P，Q，M，N，则|PM|＋4|QN| 的最小值为________. 答案 13 解析 由题设知，16＝2p×2，则2p＝8， 故抛物线的标准方程为y2＝8x， 则焦点F(2，0)， 由直线PQ 过抛物线的焦点， 则＋＝＝， 圆C2：(x－2)2＋y2＝1 的圆心为(2，0)，半径为1， |PM|＋4|QN|＝|PF|－1＋4(|QF|－1)＝|PF|＋4|QF|－5 ＝2(|PF|＋4|QF|)－5 ＝2×＋5≥4＋5＝13， 当且仅当|PF|＝2|QF|时，等号成立，故|PM|＋4|QN|的最小值为13.
