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高考定位 空间几何体的表面积和体积是高考考查的重点内容，常以选择题、填
空题为主，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，难度为中低档.
【真题体验】
1.(2024·新高考Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高
均为，则圆锥的体积为( )
A.2π
B.3π
C.6π
D.9π
答案 B
解析 设圆柱和圆锥的底面半径均为r，
因为它们的高均为，且侧面积相等，
所以2πr×＝πr，得r2＝9，
所以圆锥的体积V＝πr2×＝3π，故选B.
2.(2023·全国甲卷)在三棱锥P－ABC 中，△ABC 是边长为2 的等边三角形，PA＝
PB＝2，PC＝，则该棱锥的体积为( )
A.1
B.
C.2
D.3
答案 A
解析 如图，取AB 的中点D，连接PD，CD，
因为△ABC 是边长为2 的等边三角形，PA＝PB＝2，
所以PD⊥AB，CD⊥AB，
所以PD＝CD＝，又PC＝，
所以PD2＋CD2＝PC2，
所以PD⊥CD，
又AB∩CD＝D，AB，CD⊂平面ABC，
所以PD⊥平面ABC，
所以VP－ABC＝·S△ABC·PD＝××2××＝1，故选A.
3.(2024·天津卷)一个五面体ABC－DEF.已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为
1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为( )
A.
B.＋
C.
D.－
答案 C
解析 因为AD，BE，CF 两两平行，且两两之间距离为1，则该五面体可以看作
底面边长为1 的正三棱柱的一部分，然后分成一个侧棱长为1 的三棱柱和一个底
面为梯形的四棱锥，如图，其中三棱柱的体积等于棱长均为1 的直三棱柱的体积，
四棱锥的高为，底面是上底为1、下底为2、高为1 的梯形，
故该五面体的体积V＝×1××1＋××＝，故选C.
4.(2024·全国甲卷)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆
台的母线长分别为2(r2－r1)，3(r2－r1)，则圆台甲与乙的体积之比为________.
答案
解析 两圆台的上、下底面积对应相等，则两圆台的体积之比为高之比，
根据母线与半径的关系可得甲与乙的体积之比为＝＝.
【热点突破】
热点一 空间几何体的侧面积、表面积
柱体、锥体、台体和球的表面积公式：
(1)若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S 侧＝2πrl，S 表＝2πr(r＋l).
(2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S 侧＝πrl，S 表＝πr(r＋l).
(3)若圆台的上、下底面半径分别为r′，r，则S 侧＝π(r＋r′)l，S 表＝π(r2＋r′2＋r′l＋
rl).
(4)若球的半径为R，则它的表面积S＝4πR2.
例1 (1)(2024·新乡二模)设圆台的上、下底面的半径之比为1∶2，侧面积为
18π，且上底面半径为质数，则该圆台的母线长为( )
A.2
B.3
C.5
D.6
(2)(2024·河南部分学校模拟)如图1 所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富
有特色的汉民族传统手工艺品之一.图2 是小明为自家设计的一个花灯的直观图，
该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面
的边长分别为4 dm 和2 dm，正六棱台与正六棱柱的高分别为1 dm 和6 dm，则
该花灯的表面积为( )
A.(108＋30) dm2
B.(72＋30) dm2
C.(64＋24) dm2
D.(48＋24) dm2
答案 (1)B (2)A
解析 (1)设圆台上底面的半径为r，下底面半径为R，母线为l，则R＝2r.
如图，O1，O 分别为圆台上、下底面的圆心，AB 为一条母线，连接O1O，O1A，
OB，过点A 作AD⊥OB 于点D，则四边形OO1AD 为矩形，得OD＝O1A＝r，
所以BD＝OB－OD＝R－r＝r，
在Rt△ABD 中，r<l，
圆台的侧面积为S＝πl(r＋R)，
所以l＝＝＝＝，
又r 为质数，所以r＝2 或3.
当r＝2 时，l＝3，则r<l，符合题意；
当r＝3 时，l＝2，则r>l，不符合题意.
所以圆台的母线长为3.
(2)因为正六棱台的上、下两个底面的边长分别为4 dm 和2 dm，正六棱台的高为
1 dm.
所以正六棱台的斜高为＝2 dm，
所以该花灯的表面积为×(4＋2)×2×6＋6×2×6＋×42×6＋×22×6＝108＋30
(dm2).故选A.
易错提醒 1.旋转体的表面积问题应注意其侧面展开图的应用.
2.多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积注意衔接部分的处理.
训练1 (1)“李白斗酒诗百篇，长安市上酒家眠”，本诗句中的“斗”的本义是
指盛酒的器具，后又作为计量粮食的工具，某数学兴趣小组利用相关材料制作了
一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”，用它研究“斗”的相关几何性质，已知
该四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为( )
A.12
B.32
C.20＋12
D.20＋12
(2)(2024·佛山二模)某圆锥高为，母线与底面所成的角为，则该圆锥的表面积为(
)
A.3π
B.4π
C.5π
D.6π
答案 (1)C (2)A
解析 (1)根据题意可知，该四棱台的侧面都是上底边长为2，下底边长为4 的等
腰梯形，
所以侧面的斜高为h′＝＝，
则一个侧面的面积为(2＋4)××＝3，
上下底底面面积分别为2×2＝4，4×4＝16，
所以该四棱台的表面积为4＋16＋3×4＝20＋12.
(2)由圆锥高为，母线与底面所成的角为，得圆锥底面圆半径r＝＝1，母线l＝＝
2，所以圆锥的表面积S＝πr2＋πrl＝3π.
热点二 空间几何体的体积
柱体、锥体、台体和球的体积公式：
(1)V 柱体＝Sh(S 为底面面积，h 为高)；
(2)V 锥体＝Sh(S 为底面面积，h 为高)；
(3)V 台体＝(S 上＋S 下＋)h(S 上、S 下分别为上、下底面面积，h 为高)；
(4)V 球＝πR3.
考向1 直接利用公式求体积
例2 (1)(2024·北京东城区模拟)《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一
部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实
践这种方法，为同学们准备了制瓦用的黏土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆
的直径为20 cm，高为20 cm.首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为2 cm 的
黏土，然后，沿圆桶母线方向将黏土层分割成四等份(如图)，等黏土干后，即可
得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共500 人，需要准备的黏
土量(不计损耗)与下列哪个数字最接近.(参考数据：π≈3.14)( )
A.0.8 m3
B.1.4 m3
C.1.8 m3
D.2.2 m3
(2)(2024·西安二模)在正四棱台A1B1C1D1－ABCD 中，AB＝2A1B1，且三棱锥B1－
ABC 的体积为6，则该正四棱台的体积为( )
A.14
B.21
C.24
D.36
答案 (1)B (2)B
解析 (1)由条件可得四片瓦的体积V＝π×122×20－π×102×20＝880π(cm3)，
所以500 名学生，每人制作4 片瓦共需黏土的体积为500×880π ＝440
000π(cm3)，
又π≈3.14，所以共需黏土的体积约为1.381 6 m3，故选B.
(2)设正四棱台的高为h(h>0)，AB＝2A1B1＝2a，
则VB1－ABC＝××(2a)2×h＝a2h＝6，
所以a2h＝9，
所以该正四棱台的体积为h(a2＋a×2a＋4a2)＝a2h＝21.
考向2 割补法求体积
例3 如图，在多面体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是边长为1 的正方形，且
△ADE，△BCF 均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为
________.
答案
解析 过AD 作与底面ABCD 垂直的平面交EF 于点G，过BC 作与底面ABCD 垂
直的平面交EF 于点H，则多面体ABCDEF 被分为三棱锥E－ADG，三棱柱ADG
－BCH，三棱锥F－HBC 三部分.
依题意，三棱锥E－ADG 的高EG＝，
直三棱柱AGD－BHC 的高AB＝1，
则AG＝＝＝.
取AD 的中点M，并连接MG，
则MG＝＝，
∴S△AGD＝×1×＝，
∴V 多面体＝VE－ADG＋VF－BCH＋VADG－BCH＝2VE－ADG＋VADG－BCH
＝×××2＋×1＝.
考向3 等体积法求体积
例4 (2024·成都诊断)在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是边长为4 的正方形，
∠PBA＝∠PBC，PD⊥AD，Q 为正方形ABCD 内一动点(不含边界)，且满足
QA⊥QP，若PD＝2，则三棱锥Q－PBC 的体积的最小值为( )
A.3
B.
C.
D.2
答案 B
解析 如图，因为∠PBA＝∠PBC，AB＝CB，PB＝PB，
所以△PAB≌△PCB，
所以PA＝PC，
又AD＝CD，PD＝PD，所以△PAD≌△PCD，
所以∠PDC＝∠PDA，
因为PD⊥AD，所以PD⊥CD.
又AD∩CD＝D，AD，CD⊂平面ABCD，
所以PD⊥平面ABCD.
连接QD，因为AQ⊂平面ABCD，
所以PD⊥AQ，
又QA⊥QP，QP∩PD＝P，QP，PD⊂平面PDQ，
所以AQ⊥平面PDQ，
又QD⊂平面PDQ，所以AQ⊥QD，
故点Q 在以AD 为直径的半圆上(不包含A，D 两点).
又VQ－PBC＝VP－QBC＝S△QBC·PD，
所以当S△QBC最小，即点Q 到BC 的距离最小，即点Q 是半圆弧AD的中点时，三
棱锥Q－PBC 的体积最小，
故三棱锥Q－PBC 的体积的最小值为××4×2×2＝.故选B.
规律方法 1.规则的几何体可以直接利用相应的公式求解，这就需要熟记柱体、
锥体的体积公式；
2.不规则的几何体往往可以通过“间接法”——割补法求得，即把不规则的几何
体通过“割补”手段，转化为规则几何体体积的和或差.
训练2 (1)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，P，Q 是棱DD1的两个三等
分点，则三棱锥Q－PBC 的体积为( )
A.
B.
C.
D.
(2)紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间.紫砂壶
的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中石瓢壶的壶体可
以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm)，现在向这
个空石瓢壶中加入91π cm3的矿泉水后，问石瓢壶内水深为________cm( )
A.2.8
B.2.9
C.3
D.3.1
答案 (1)B (2)C
解析 (1)如图所示.
VQ－PBC＝VB－PQC＝S△PQC·BC＝×××4×4＝.
(2)由题知矿泉水的体积为91π cm3，将圆台的中轴面拿出，补全为一个三角形，
如图所示.
加入矿泉水后，记石瓢壶内水深为h，水平面半径为r，
由图可知△ABC∽△AFG，
所以有＝，
即＝，解得AB＝12.
由△ABC∽△ADE，得＝，即＝，解得h＝18－3r，
故加入矿泉水后圆台的体积为V＝π(18－3r)(62＋6r＋r2)＝91π，
解得r＝＝5，
所以h＝18－3r＝3.
【精准强化练】
一、单选题
1.(2024·淄博模拟)某圆锥的侧面积为16π，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥
的底面半径长为( )
A.2
B.4
C.2
D.4
答案 C
解析 设圆锥的母线长为l，底面半径为r，即侧面展开图的半径为l，侧面展开
图的弧长为πl.又圆锥的底面周长为2πr，所以2πr＝πl，即圆锥的母线长l＝2r，
所以圆锥的侧面积为πrl＝2πr2＝16π，解得r＝2.
2.(2024·广州调研)正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为，则其体积
为( )
A.28
B.
C.32
D.24
答案 A
解析 如图所示，
在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，OO1是该四棱台的高(O1，O 分别为上、下底面
的中心)，连接OB，O1B1，过点B1作B1E⊥OB，垂足为E.
显然OB＝＝2，O1B1＝＝，
所以该正四棱台的高OO1＝B1E＝＝3，
则该正四棱台的体积V＝×(22＋2×4＋42)×3＝28.故选A.
3.(2024·合肥调研)已知圆台的上、下底面半径分别为1 和3，侧面展开图是半个
圆环，则圆台的侧面积为( )
A.6π
B.16π
C.26π
D.32π
答案 B
解析 圆台的上底面圆半径r′＝1，下底面圆半径r＝3，设圆台的母线长为l，扇
环所在的小圆的半径为x，
依题意有
解得
所以圆台的侧面积S＝π(r′＋r)l＝π(1＋3)×4＝16π.
4.(2024·信阳二模)已知一个圆柱底面半径为2，高为3，上底面的同心圆半径为
1，以这个圆面为上底面，圆柱下底面为下底面的圆台被挖去，剩余的几何体表
面积等于( )
A.(9＋3)π
B.(14＋3)π
C.(5＋2)π
D.(15＋3)π
答案 D
解析 剩余几何体表面积等于圆环的面积加上圆台的侧面积再加上圆柱的侧面积，
由题意r＝1，R＝2，h＝3，
所以圆环的面积为S1＝π(R2－r2)＝3π，
圆台母线l＝＝＝，
所以圆台侧面积为S2＝πl(R＋r)＝3π，
圆柱侧面积为S3＝2πRh＝12π，
所以剩余的几何体表面积等于S1＋S2＋S3＝(15＋3)π.
5.(2024·苏州调研)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F 是线段B1D1上
的动点且EF＝1，则三棱锥A－BEF 的体积为( )
A.
B.
C.
D.无法确定
答案 C
解析 如图所示，
连接AC 与BD 交于点O，
因为BB1⊥平面ABCD，AO⊂平面ABCD，所以AO⊥BB1，
又AO⊥BD，BD∩BB1＝B，BD，BB1⊂平面BDD1B1，
因此AO⊥平面BDD1B1.
VA－BEF＝·S△BEF·AO＝××1×1×＝.
6.(2024·宜宾二模)在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，点E，F 分
别为棱PA 和PB 中点，则四棱锥P－CDEF 和四棱锥P－ABCD 的体积之比为(
)
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 连接AC，CE，
由题意可知VD－PCE＝VD－PAC＝VP－ABCD，VF－PCE＝VB－PAC＝VP－ABCD，
则VP－CDEF＝VD－PCE＋VF－PCE＝VP－ABCD＋VP－ABCD＝VP－ABCD，所以＝.
7.(2024·南昌模拟)木桶效应，也可称为短板效应，是说一只水桶能装多少水取决
于它最短的那块木板.如果一只桶的木板中有一块不齐或者某块木材有破洞，这
只桶就无法盛满水，此时我们可以倾斜水桶，设法让桶装水更多.如图，棱长为2
的正方体容器，在顶点C1和棱AA1的中点M 处各有一个小洞(小洞面积忽略不计)，
为了保持平衡，以BD 为轴转动正方体，则用此容器装水，最多能装水的体积V
＝( )
A.4
B.
C.6
D.
答案 C
解析 棱长为2 的正方体的体积为23＝8，
在BB1，DD1上分别取P，Q，
使得B1P＝D1Q＝，
又M 为棱AA1的中点，
故由勾股定理得C1P＝MQ＝MP＝C1Q＝＝，
故四边形PMQC1为菱形，故P，M，Q，C1四点共面，
取BB1，CC1，DD1的中点T，R，X，连接MT，TR，RX，XM，
则平面PMQC1将长方体MTRX－A1B1C1D1的体积平分，
故以BD 为轴转动正方体，用此容器装水，
则最多能装入的体积为长方体MTRX－ABCD 的体积加上长方体MTRX－
A1B1C1D1的体积的一半，故最多能装水的体积V＝VABCD－A1B1C1D1＝×8＝6.
8.在三棱锥A－BCD 中，AC⊥平面BCD，BD⊥CD.若AB＝3，BD＝1，则该三棱
锥体积的最大值为( )
A.2
B.
C.1
D.
答案 D
解析 因为AC⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，所以AC⊥BD，
又BD⊥CD，AC∩CD＝C，AC，CD⊂平面ACD，
所以BD⊥平面ACD，
因为AD⊂平面ACD，所以BD⊥AD.
在Rt△ABD 中，AB＝3，BD＝1，
则AD＝＝2，
因为AC⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，
所以AC⊥CD.
在Rt△ACD 中，不妨设AC＝a，CD＝b(a>0，b>0)，
由AC2＋CD2＝AD2得a2＋b2＝8，
所以S△ACD＝AC·CD＝ab＝×2ab≤(a2＋b2)＝2，
当且仅当a＝b 且a2＋b2＝8，
即a＝b＝2 时，等号成立，
所以VA－BCD＝VB－ACD＝S△ACD·BD≤×2×1＝，
所以该三棱锥体积的最大值为.
二、多选题
9.(2024·邯郸模拟)“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，
它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之
处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同.有几种阿基米德多面体可由正
多面体进行“截角”得到如图，正八面体E－ABCD－F 的棱长为3，取各条棱的
三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体( )
A.共有18 个顶点
B.共有36 条棱
C.表面积为6＋8
D.体积为8
答案 BD
解析 由图可知该多面体有24 个顶点，36 条棱，故A 错误，B 正确；
该多面体的棱长为1，且表面由6 个正方形和8 个正六边形组成，故该多面体的
表面积为6×1＋8×6××1×1×sin 60°＝6＋12，故C 错误；
正八面体E－ABCD－F 可分为两个全等的正四面体，其棱长为3，
过E 作EO⊥平面ABCD 于O，连接AO，如图.
因为EO⊥平面ABCD，且OA⊂平面ABCD，
所以OE⊥OA，
正方形ABCD 中，由边长为3，则对角线长为3，则OA＝，
在Rt△AOE 中，EO＝＝，
则EF＝2OE＝3，正八面体E－ABCD－F 的体积为×32×3＝9，
切割掉6 个棱长均为1 的正四棱锥，减少的体积为6××12×＝，
所以该阿基米德多面体的体积为9－＝8，故D 正确.
10.(2023·新高考Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB 为底面直径，
∠APB＝120°，PA＝2，点C 在底面圆周上，且二面角P－AC－O 为45°，则(
)
A.该圆锥的体积为π
B.该圆锥的侧面积为4π
C.AC＝2
D.△PAC 的面积为
答案 AC
解析 在△PAB 中，由余弦定理得AB＝2，如图，连接PO，易知圆锥的高h＝PO
＝1，底面圆的半径r＝AO＝BO＝.
对于A，该圆锥的体积V＝πr2h＝π，故A 正确；
对于B，该圆锥的侧面积S 侧＝πr·PA＝2π，故B 错误；
对于C，取AC 的中点H，连接PH，OH.
因为OA＝OC，所以OH⊥AC，
同理可得PH⊥AC，
则二面角P－AC－O 的平面角为∠PHO＝45°，
所以OH＝PO＝1，AH＝CH＝＝，
所以AC＝2，故C 正确；
对于D，PH＝OH＝，S△PAC＝·AC·PH＝2，故D 错误.
11.已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为r 上＝1，r 下＝2，母线
AB 长为2，点E 为AB 的中点，则( )
A.圆台的体积为π
B.圆台的侧面积为12π
C.圆台母线AB 与底面所成角为60°
D.在圆台的侧面上，从点C 到点E 的最短路径长为4
答案 AC
解析 对于A，圆台的高为，则圆台的体积V＝π×(12＋1×2＋22)×＝，
故A 正确；
对于B，由题意，圆台的侧面展开图为半圆环，
其面积为S＝×2π×2×4－×2π×1×2＝6π，故B 错误；
对于C，过A 作AF∥O1O2交底面于F，
由O1O2⊥底面，
所以∠ABF 即为母线AB 与底面所成角.
在等腰梯形ABCD 中，
AB＝2，BF＝2－1＝1，
所以cos ∠ABF＝＝.
因为∠ABF 为锐角，所以∠ABF＝60°.
故C 正确；
对于D，如图所示，在圆台的侧面上，
从C 到E 的最短路径的长度为CE.
由题意可得，FB＝FC＝4，AB＝2.
由E 为AB 中点，所以FE＝3，
所以CE＝＝＝5，故D 错误.
三、填空题
12.(2024·福州调研)在直三棱柱A1B1C1－ABC 中，AB⊥BC，AC1＝2AA1＝4，则该
三棱柱的体积的最大值为________.
答案 6
解析 如图，
AC1＝4，AA1＝2，则A1C1＝2，
由AB⊥BC，则AB2＋BC2＝12≥2AB·BC，
当AB＝BC 时，等号成立，
即AB·BC 的最大值为6，
此时三棱柱的体积最大，最大体积为AB·BC·AA1＝×6×2＝6.
13.(2024·北京卷)汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的
标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量
器的容积成公比为10 的等比数列，底面直径依次为65 mm，325 mm，325
mm，且斛量器的高为230 mm，则斗量器的高为________ mm，升量器的高为
________ mm.(不计量器的厚度)
答案 23 57.5
解析 设升、斗量器的高分别为h1 mm，h2 mm，升、斗、斛量器的容积分别为
V1 mm3，V2 mm3，V3 mm3，
因为升、斗、斛量器的容积成公比为10 的等比数列，所以V3＝10V2，
即π××230＝10×π××h2，
解得h2＝23.
又V2＝10V1，
即π××23＝10×π××h1，
所以h1＝57.5，
所以升、斗量器的高分别为57.5 mm，23 mm.
14.(2024·武汉质检)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，AA1＝
5, O 是A1C1的中点，则三棱锥O－AB1C 的体积为________.
答案 10
解析 由题意可得VO－AB1C＝VABC－A1B1C1－VB1－AA1O－VB1－CC1O－VB1－ABC，
因为AB＝3，BC＝4，AA1＝5，
O 是A1C1的中点，
所以VABC－A1B1C1＝×3×4×5＝30，
VB1－AA1O＝××5××＝5，
VB1－C C1O＝××5××＝5，
VB1－ABC＝××3×4×5＝10，
所以VO－A B1C＝VABC－A1B1C1－V B1－AA1O－V B1－C C1O－V B1－ABC＝30－5－5－10＝
10.
