专题突破练8 空间几何体的表面积与体积
必备知识夯实练
1.(2025 辽宁大连模拟)已知圆台的上、下底面的面积分别为4π,36π,侧面积为64π,则该
圆台的高为( )
A.2❑√3
B.3❑√3
C.4❑√3
D.5❑√3
2.(2025 广东汕头一模)若圆锥的侧面展开图是半径为3、圆心角为2π
3
的扇形,则该圆锥
的体积为( )
A.2❑√2π
3
B.2❑√2π
C.6❑√2π
D.π
3
3.(2025 浙江金华二模)如图,AB,CD 是棱长为2 的正方体展开图中的两条线段,则原正方
体中几何体ABCD 的表面积为( )
A.6+4❑√2
B.6+2❑√3
C.2+2❑√2+4❑√3
D.2+4❑√2+4❑√3
4.(2025 江苏盐城模拟)如图,圆锥PO 的轴截面为边长为4 的正三角形,过PO 的中点O'作
平行于底面的截面,以截面为底面挖去一个圆柱,则余下几何体的表面积为( )
A.11π+❑√3π
B.11π+2❑√3π
C.12π+❑√3π
D.12π+2❑√3π
5.(2025 陕西西安一模)正三棱锥S-ABC 侧棱长为1,E,F 分别是SA,SC 上的动点,当△BEF
周长的最小值为❑√2时,三棱锥的侧面积为( )
A.3
4
B.1
C.5
4
D.2
6.(多选题)(2025 浙江湖州模拟)如图,该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几
何体,若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10 cm,则下列选项中正确的是(
)
A.该几何体的高为10❑√2 cm
B.该几何体的表面积为(100❑√3+200❑√2)cm2
C.该几何体的体积为2 000 ❑√2
3
cm3
D.一只小蚂蚁从该几何体表面由点E 爬行到点S,所经过的最短路程为❑√150+50 ❑√6 cm
7.(2025 广东惠州模拟)在直角梯形ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,且AD=2,AB=4, BC=5.
在梯形ABCD 内,挖去一个以A 为圆心,以2 为半径的四分之一圆,得到如图所示的阴影
部分,以AB 所在直线为轴,将图中阴影部分旋转一周形成的旋转体的表面积为
.
8.(2025 湖南怀化模拟)如图,底面半径为4 的圆锥,将其放倒在一平面上,使圆锥在此平面
内绕圆锥顶点S 滚动,当这个圆锥在平面内转回原位置时,圆锥本身恰好滚动了2 周,则圆
锥的表面积为 .
9.(2024 全国甲,理14)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1,下底面半径均为r2,圆台的母
线长分别为2(r2-r1),3(r2-r1),则圆台甲与乙的体积之比为 .
10.(2025 浙江绍兴模拟)已知正三棱台的上底面边长是下底面边长的一半,侧棱长为2,过
侧棱中点且平行于底面的截面三角形的边长为3,则正三棱台的体积为 .
关键能力提升练
11.(2025 湖北襄阳模拟)一个直三棱柱形容器中盛有水,侧棱AA1=18,底面三角形ABC 边
AB 上的高为h.当底面水平放置时水面高度为16(如图1).当侧面AA1B1B 水平放置时(如
图2),水面高度为( )
图1
图2
A.1
3
h
B.1
2
h
C.
❑√2
2
h
D.2
3
h
12.(2022 全国甲,理9,文10)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为
2π,侧面积分别为S 甲和S 乙,体积分别为V 甲和V 乙.若S甲
S乙
=2,则V 甲
V 乙
=( )
A.❑√5
B.2❑√2
C.❑√10
D.5 ❑√10
4
13.(多选题)(2025 江苏南京模拟)“阿基米德多面体”又称“半正多面体”,与正多面体类
似,它们也都是凸多面体,每个面都是正多边形,并且所有棱长也都相等,但不同之处在于
阿基米德多面体的每个面的形状不全相同.有几种阿基米德多面体可由正多面体进行
“截角”得到,如图,正八面体E-ABCD-F 的棱长为3,取各条棱的三等分点,截去六个角后
得到一种阿基米德多面体,则该阿基米德多面体( )
A.共有18 个顶点
B.共有36 条棱
C.表面积为6+8❑√3
D.体积为8❑√2
14.(多选题)(2025 广东深圳模拟)如图,圆锥SO 底面圆的圆心为O,AB 是圆O 的一条直径,
SA 与底面所成角的正弦值为2❑√2
3
,AB=4,P 是母线SA 的中点,C 是母线SB 上一动点,则下
列说法正确的是( )
A.圆锥SO 的母线长为12
B.圆锥SO 的表面积为16π
C.一只蚂蚁沿圆锥SO 的表面上的曲线ACP 从点A 处爬到点P 处,在蚂蚁所爬的最短路
径中,这只蚂蚁离圆锥SO 的顶点S 的最短距离是3 ❑√21
7
D.在圆锥SO 内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体,则该正方体的体积的最大值
是16 ❑√6
9
15.(2025 北京西城一模)端午节又名端阳节、粽子节等,它是中国首个入选世界非遗的节
日.从形状来分,端午节吃的粽子有三角粽、四角粽、枕形粽、牛角粽等.其中,四角粽的
形状可以近似看成一个四面体ABCD,如图所示.设棱AD 的长为6 cm,其余的棱长均为2
❑√6 cm,则该四角粽的表面积为 cm2,体积为 cm3.(粽叶的厚度忽略不计)
核心素养创新练
16.(2025 湖北武汉模拟)如图,在棱长为1 的正方体内部,有8 个以正方体顶点为球心且半
径相等的部分球体Oi(i=1,2,…,8),有1 个以正方体中心为球心的球O0,O0与Oi(i=1,2,…,8)
均相切,则该9 部分的体积和的最大值为( )
A.
❑√3 π
4
B.(2❑√3-3)π
C.(❑√3−3
2
)π
D.
❑√3 π
8
答案：
1.C 解析 作圆台的轴截面,如图所示.
由题意得圆台的上、下底面的半径分别为2,6,设圆台的母线长为l,高为h,则该圆台的侧
面积S 侧=π×(2+6)×l=64π,解得l=8,所以h=❑√l
2-(6-2)
2=4❑√3.
2.A 解析 设圆锥的母线长为l,底面半径为r,高为h,则l=3,由题意可得2πr=2π
3 ×3,即
r=1,所以h=❑√l
2-r
2=2❑√2,故圆锥的体积V=2❑√2π
3
.
3.B 解析 还原正方体如图所示,
BC=CD=BD=2❑√2,S△BCD=1
2 ×2❑√2×2❑√2×sinπ
3
=2❑√3,S△ABD=S△ACD=S△ABC=1
2 ×2×2=2,
所以四面体ABCD 的表面积为6+2❑√3.
4.D 解析 作出圆锥PO 的轴截面△PAB,此截面截挖去的圆柱得圆柱的轴截面矩形
CDEF,如图所示.
依题意,△PAB 是边长为4 的正三角形,所以OB=2,OP=2❑√3.
因为O'是PO 中点,所以OO'=1
2
PO=❑√3,OC=O'D=1
2
OB=1,圆锥母线PB=4,圆柱OO'的侧
面积S1=2π·OC·OO'=2❑√3 π,圆锥PO 的表面积S2=π·OB2+π·OB·PB=4π+8π=12π,所以余下
几何体的表面积是S1+S2=12π+2❑√3 π .
5.A 解析 作正三棱锥S-ABC 的侧面展开图,如图所示,连接BB',
当E,F 分别为BB'与SA,SC 的交点时,△BEF 的周长最小,此时BB'=❑√2,而SB=SB'=1,所以
SB2+SB'2=2=BB'2,所以∠BSB'=90°,所以∠ASB=30°,所以三棱锥的侧面积为3× 1
2
SA×SBsin 30°=3
4 .
6.ACD 解析 由题可知EF=SA=10 cm,所以AC=10❑√2 cm,所以OA=5❑√2 cm,所以SO=
❑√S A
2-O A
2=5❑√2 cm,因此该几何体的高为10❑√2 cm,所以A 正确;
几何体的表面积为102+40×5❑√2+4×
❑√3
4 ×102=100+200❑√2+100❑√3(cm2),所以B 错误;
该几何体的体积为102×5❑√2+ 1
3 ×102×5❑√2= 2 000 ❑√2
3
(cm3),所以C 正确;
观察图形知,小蚂蚁从点E 爬行到点S 的最短路径为沿表面越过棱AB 或AD,由对称性,
不妨取长方形EFBA 及△SAB,将它们置于同一平面内,连接SE,如图,取EF 中点H,连接
SH,则SH=5❑√3+5❑√2,而EH=5,所以最短路程为SE=
❑√E H
2+ S H
2=
❑√5
2+(5 ❑√2+5 ❑√3)
2= ❑√150+50 ❑√6(cm),所以D 正确.故选ACD.
7.68π 解析 由题意可知阴影部分以AB 所在直线为轴,旋转一周形成的旋转体为一个
圆台挖去一个半球,其中圆台的上、下底面半径分别为2 和5,高为4,母线长为
❑√(5-2)
2+ 4
2=5,挖去半球的半径为2,故形成的旋转体的表面积为π×52+π(2+5)×5+1
2 ×
4π×22=68π.
8.48π 解析 设圆锥的母线长为l,底面半径为r=4,则2πl=2×2πr,解得l=2r=8,所以圆锥
的表面积为π×8×4+π×42=48π.
9.
❑√6
4
解析 如图,由题意,可知V 甲
V 乙
= h甲
h乙
=
❑√4(r2-r1)
2-(r2-r1)
2
❑√9(r2-r1)
2-(r2-r1)
2 =
❑√3
2❑√2 =
❑√6
4 .
甲
乙
10.14 ❑√2
3
解析 如图,延长三棱台ABC-A1B1C1的侧棱交于一点O,可以得到正三棱锥O-
ABC,
设三棱台的上底面边长为x,下底面边长为2x,则有2 x + x
2
=3,即x=2,由题可得正三棱锥的
侧棱长为2×2=4,过点O 作OP⊥平面ABC,交平面A1B1C1于点E,记BC 的中点为H,则
AP=2
3AH=2
3 ×2❑√3= 4 ❑√3
3
,则OP=❑√4
2-( 4 ❑√3
3
)
2= 4 ❑√6
3
,故三棱台的体积为7
8 × 1
3 ×(
❑√3
4 ×
42)× 4 ❑√6
3
= 14 ❑√2
3
.
11.D 解析 设底面三角形ABC 的面积为S,当底面ABC 水平放置时,水面高度为16,所
以水的体积V=16S,设侧面AA1B1B 水平放置时,水呈四棱柱体,设四棱柱体的底面梯形的
面积为S',则V=18S',所以16S=18S',所以S'
S = 16
18 = 8
9
,设四棱柱体的底面梯形的高为h',则
可得(h-h'
h
)2=1
9
,解得h'=2
3
h.
12.C 解析 如图,甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆,设圆的半径(即圆锥的
母线长)为3,
则圆的周长为6π,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,则
2πr1=4π,2πr2=2π,则r1=2,r2=1,由勾股定理得,h1=❑√5,h2=2❑√2,所以
V 甲
V 乙
=
1
3 π r1
2h1
1
3 π r2
2h2
= 2
2×❑√5
1
2×2❑√2
= ❑√10,故选C.
13.BD 解析 由图可知该多面体有24 个顶点,36 条棱,故A 错误,B 正确;
该多面体的棱长为1,且表面由6 个正方形和8 个正六边形组成,故该多面体的表面积为
6×1+8×6× 1
2 ×1×1×sin 60°=6+12❑√3,故C 错误;
正八面体E-ABCD-F 可分为两个全等的正四棱锥,其各棱长均为3,在四棱锥E-ABCD 中,
过E 作EO⊥平面ABCD 于点O,连接AO,如图所示.
因为EO⊥平面ABCD,且OA⊂平面ABCD,所以OE⊥OA.在正方形ABCD 中,因为边长为
3,所以OA=3 ❑√2
2
.
在Rt△AOE 中,EO=❑√A E
2- A O
2= 3 ❑√2
2
,则正八面体E-ABCD-F 的体积为1
3 ×32× 3 ❑√2
2
×
2=9❑√2.
切割掉6 个棱长均为1 的正四棱锥,减少的体积为6× 1
3 ×12×
❑√2
2 = ❑√2,所以该阿基米德多
面体的体积为9❑√2−❑√2=8❑√2,故D 正确.
故选BD.
14.BCD 解析 如图1,圆锥SO 的轴截面为等腰三角形SAB,则OA=2.
图1
图2
因为SA 与底面所成角的正弦值为2❑√2
3
,所以SO
SA = 2❑√2
3
,所以
❑√S A
2-O A
2
SA
= 2❑√2
3
,解得
SA=6,故A 错误;
如图2,在圆锥SO 的侧面展开图中,SA=6,∠ASA'=4 π
6 = 2π
3
,则圆锥的侧面积为1
2 × 2π
3 ×
62=12π,所以圆锥SO 的表面积为12π+4π=16π,故B 正确;
如图2,易知AP 为蚂蚁所爬的最短路径,过点S 作SH⊥AP,垂足为H.
在△ASP 中,AS=6,SP=3,∠ASP=2π
3
,由余弦定理可得AP=
❑√A S
2+ S P
2-2 AS·SPcos∠ASP=3❑√7,则1
2
AS·SPsin∠ASP=1
2
AP·SH,即1
2 ×6×3
×
❑√3
2 = 1
2 ×3❑√7SH,解得SH=3 ❑√21
7
,故C 正确;
如图1,设圆锥SO 内切球的球心为O',过点O'作O'E⊥SA,O'F⊥SB,垂足分别为E,F,由题
意可知sin∠SAO=2❑√2
3
,则sin∠ASO=1
3
,所以O' E
SO' =
O'O
SO -OO' = 1
3 .因为SA=6,OA=2,所
以SO=4❑√2,所以
O'O
4 ❑√2-OO' = 1
3
,解得O'O=❑√2.
设该正方体棱长的最大值为a,则3a2=(2❑√2)2,解得a=2❑√6
3
,所以该正方体的体积的最大
值是a3=16 ❑√6
9
,故D 正确.故选BCD.
15.12❑√3+6❑√15 6❑√6 解析 cos∠ACD= A C
2+C D
2- A D
2
2 AC ×CD
= 1
4
,
所以sin∠ACD=❑√1-co s
2∠ACD =
❑√15
4
,
所以该四角粽的表面积S=2×
❑√3
4 ×(2❑√6)2+2× 1
2 ×2❑√6×2❑√6×
❑√15
4
=12❑√3+6❑√15.
取BC 的中点为O,连接OA,OD,则OA⊥BC,OA=OD=
❑√3
2 ×2❑√6=3❑√2,
所以OA2+OD2=AD2,即OD⊥OA,
又BC∩OD=O,BC,OD⊂平面BCD,所以OA⊥平面BCD,所以该四角粽的体积V=1
3 ×
S△BCD×OA=1
3 ×
❑√3
4 ×(2❑√6)2×3❑√2=6❑√6.
16.C 解析 设球体O0的半径为r1,Oi(i=1,2,…,8)的半径为r2,所以2r1+2r2=❑√3,即得
r1+r2=
❑√3
2
,0<r2≤1
2
,
所以y=r1r2=r2×(
❑√3
2
-r2)=-r2
2+
❑√3
2
r2,图象是开口向下的抛物线,对称轴为直线r2=
❑√3
4
,所以
❑√3-1
4
≤y=-r2
2+ ❑√3r2≤3
16
,该9 部分的体积和为V=4
3 π r1
3+ 4
3 π r2
3= 4
3 π(r1+r2)(r1
2+r2
2-r1r2)=
2❑√3
3
π[(r1+r2)2-3r1r2]=2❑√3 π(1
4
-r1r2)≤(❑√3−3
2
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