文档内容
第一篇 热点、难点突破篇
专题 14空间几何体的结构、面积与体积（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2022秋·北京·高三统考阶段练习）已知圆柱的上、下底面的中心分别为 ， ，过直线 的平面截
该圆柱所得的截面是面积为12的正方形，则该圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆柱的体积公式计算可得结果.
【详解】由题意知该圆柱的高和底面直径是 ，
所以该圆柱的体积为 .
故选：C.
2．（2022·河南·统考一模）已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为 、 ，高为 ，则该圆台的体积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用台体的体积公式可求得该圆台的体积.
【详解】由题意可知，该圆台的体积为 .
故选：C.
3．（2022秋·江西宜春·高三校考阶段练习）已知A，B，C为球O的球面上的三个点， ，
为 的外接圆的圆心，球O的表面积为 ，则 的长度为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】由已知求得球 的半径 ，根据正弦定理求出 外接圆半径 ，即可求出结果.
【详解】设圆 的半径为r，球 的半径为 .依题意得 为等边三角形，则由正弦定理得 ，即
又因为球O的表面积为 ，所以
如图，根据球的截面性质得 平面ABC，所以 ，
所以
故选：C.
4．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）已知圆锥的底面半径为 ，侧面展开图是圆
心角为 的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由扇形的弧长公式与面积公式求解即可
【详解】设圆锥的底面半径为 ，侧面展开扇形的半径为 ，
因为底面周长 ，
所以扇形的弧长 ，
所以 ，
所以圆锥的侧面积为 ，
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）设球 是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体的棱的中点作球 的截面，则最小截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得球 的半径，利用勾股定理求得最小截面的半径，进而求得最小截面的面积.
【详解】正方体的体对角线长为 ，所以球 的半径为 ，
正方体的棱的中点与 的距离为 ，
最小截面的圆的半径为 ，
最小截面的面积为 .
故选：B
6．（2023·全国·模拟预测）端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗．四川流行四角状的粽子，其形状可以
看成一个正四面体．广东流行粽子里放蛋黄，现需要在四角状粽子内部放入一个蛋黄，蛋黄的形状近似地看成
球，当这个蛋黄的表面积是 时，则该正四面体的高的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】根据题意分析可知，当该正四面体的内切球的半径为 时，该正四面体的高最小，再根据该正四面体
积列式可求出结果.
【详解】由球的表面积为 ，可知球的半径为 ，
依题意可知，当该正四面体的内切球的半径为 时，该正四面体的高最小，
设该正四面体的棱长为 ，则高为 ，
根据该正四面体积的可得 ，解得 .
所以该正四面体的高的最小值为 .
故选：B7．（2022秋·河北张家口·高三统考期末）石碾子是我国传统粮食加工工具，如图是石碾子的实物图，石碾子
主要由碾盘、碾滚（圆柱形）和碾架组成．碾盘中心设竖轴（碾柱），连碾架，架中装碾滚，以人推或畜拉的
方式，通过碾滚在碾盘上的滚动达到碾轧加工粮食作物的目的．若推动拉杆绕碾盘转动2周，碾滚的外边缘恰
好滚动了5圈，碾滚与碾柱间的距离忽略不计，则该圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比约为（ ）
A．3：2 B．5：4 C．5：3 D．4：3
【答案】B
【分析】绕碾盘转动2周的距离等于碾滚滚动5圈的距离，列出方程即可求解.
【详解】由题意知， ；
故选：B.
8．（2023·全国·模拟预测）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面
为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为 ，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题中定义，结合圆锥的侧面积和体积公式进行求解即可.
【详解】设直角圆角的底面半径为 ，母线为 ，高为 ，
因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，
所以有 ，
因为直角圆锥的侧面积为 ，
所以有 ，即 ，因此 ，
所以该直角圆锥的体积为 ，
故选：D
9．（2022·浙江·模拟预测）某全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同
步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为h（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一
个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗
地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为 （单位：
），若 ，则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
【答案】C
【分析】设 表示卫星，过 作截面，截地球得大圆 ，过 作圆 的切线 ，线段 交圆 于 ，
得 ，在直角三角形中求出 后，可计算两者面积比．
【详解】设 表示卫星，过 作截面，截地球得大圆 ，过 作圆 的切线 ，线段 交圆 于 ，
如图，则 ， ， ， ，
则 ，又 ，所以
设地球表面积为 ，则
所以 ．
故选：C．二、填空题
10．（2022秋·江苏徐州·高三期末）已知圆柱的高为8，该圆柱内能容纳半径最大的球的表面积为 ，则圆
柱的体积为______．
【答案】
【分析】先分析半径最大的球不可能为圆柱的内切球，所以此球是与圆柱侧面与下底面相切的球，就能求出圆
柱底面半径，然后根据圆柱的体积公式可得.
【详解】圆柱内能容纳半径最大的球的表面积为 ，设此球半径为 ，则
如果圆柱有内切球，又因为圆柱的高为8，所以内切球半径为 ，说明这个圆柱内能容纳半径最大的球，与
圆柱侧面和下底面相切，与上底面相离，易得圆柱底面半径为 ，圆柱的体积为
故答案为：72π
【冲刺提升】
一、单选题
1．（2022秋·广东东莞·高三统考期末）已知一个装满水的圆台形容器的上底半径为6，下底半径为1，高为
，若将一个铁球放入该容器中，使得铁球完全没入水中，则可放入的铁球的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出体积最大时的剖面图，分析出此时圆与上底，两腰相切，建立合适直角坐标系，设圆心坐标为
，利用圆心到腰所在直线等于半径列出方程，解出即可.
【详解】体积最大时，沿上下底面直径所在平面作出剖面图如图所示，显然此时圆 与等腰梯形 的上
底以及两腰相切，则建立如图所示直角坐标系，由题意得 ， ，则 ，
则直线 所在直线方程为 ，即
设 ，体积最大时球的半径为 ，
则 ，则点 到直线 的距离等于半径 ，
则有 ，
解得 或 ， ，
，此时 ，
则
故选：B.
2．（2022·浙江·模拟预测）某工厂要生产容积为 的圆柱形密封罐.已知相同面积的底的成本为侧面成本的
倍，为使成本最小，则圆柱的高与底面半径之比应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设圆柱底面半径为 ，高为 ，利用圆柱体积公式可得 ；设单位面积的成本为 ，总成本为 ，结合圆柱底面积和侧面积公式可表示出 ，利用三项基本不等式的取等条件可求得结果.
【详解】设圆柱底面半径为 ，高为 ，则 ， ；
设单位面积的成本为 ，总成本为 ，
圆柱上下底的总面积为 ，侧面积为 ，
（当且仅当 时取等号），
当总成本最小时， ， .
故选：D.
3.（2022·浙江·模拟预测）如图，正方体 的棱长为1， 分别为棱 ， 的中点，则三
棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，求得 平面 的距离为 ， ，根据等体积法解决即可.
【详解】建立如图所示 空间直角坐标系，因为正方体 的棱长为1，
所以 ,
设平面 的法向量为 ，
所以 ，令 ，得 ，
所以 ，
所以 平面 的距离为
又因为 ,
所以 ,
所以三棱锥 的体积为 ，
故选：A
4．（2022秋·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）正三棱锥 的底面边长是2，E，F，G，H分别是
SA，SB，BC，AC的中点，则四边形EFGH面积的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】画出图形，求出 ，说明 是矩形，结合图形，说明 点在 平面时，面积最小，求出
即可得到范围
【详解】如图所示：
由正三棱锥 的底面边长是2，
因为 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点，
所以 ，
则 ，
所以 是平行四边形
因为正三棱锥 ，
则对棱 ， 的中点连线 与
对棱 ， 的中点连线 相等，
即 ，所以四边形 是矩形，
所以 ，
设 的中心为 ，则 ，
所以 的面积
所以四边形EFGH面积的取值范围是：
故选：B．
5．（2023·全国·郑州中学校考模拟预测）已知空间四边形 ， ， ，且 ，
，面ABC与面 夹角正弦值为1，则空间四边形 外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据空间四边形 的线面关系可得 平面 ，则空间四边形 可以内接于圆柱中，根
据圆柱的外接球半径求得空间四边形 的外接球半径 ，又根据内切球的几何性质用等体积法可求得空间
四边形 的内切球半径 ，即可得空间四边形 外接球与内切球的表面积之比.
【详解】解： 面 与面 夹角正弦值为1， 面 面 ，又面 面
面 ， 平面 ，
则空间四边形 可以内接于圆柱 中，如下图所示：
点 在上底面圆周上， 三个顶点在下底面圆周上，则圆柱 的外接球即空间四边形 的外接球，
取 的中点为 ，连接 ，则球心为 ，半径为 ，且 ， 为正 的外接圆半径，
由正弦定理得 ，即 ，所以 ；
如下图，设空间四边形 的内切球球心为 ，连接 ，设内切球半径为 ，
则 ，
又 中， ，所以 ，
所以 ，
所以外接球与内切球的表面积之比为 .
故选：C.
6．（2022秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）三棱锥 中，
，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】首先取 中点 ，连接 ， .通过勾股定理求解 ， 的长度，并利用余弦定理求解
的值.然后分别过三角形 与 的外心作平面的垂线，垂线交于球心 ，最后求解 的长度，进
而利用勾股定理求解外接球半径 .
【详解】如图，取 中点 ，连接 ， .
且 为 中点， ，
，同理可得 .
又 ， ， ，即 ，
过 的外心作平面 的垂线为 ，垂足为 ，
同理过 的外心作平面 的垂线为 ，并设 ，易知 为球心.
连接 ， ， .
为 的外心， ，
又 在 中， ，
得 ，即外接球半径 ，
故外接球表面积 .
故选：B
7．（2022秋·天津河东·高三统考期末）一个球与一个正三棱柱（底面为等边三角形，侧棱与底面垂直）的两
个底面和三个侧面都相切，若棱柱的体积为 ，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】由题意，设正三棱柱的底面边长为 ，求得其内切球的半径 和正三棱柱的高 ，再根据棱柱的体积
求解 ，代入球的表面积求解即可．
【详解】由题意，设正三棱柱的底面边长为 ，
则其内切球的半径为 ，所以正三棱柱的高为 ，
又棱柱的体积为 ，得 ，
所以球的表面积为 ．
故选：A．
二、填空题
8．（2022秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）如图截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过
适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图，将棱长为 的正四面体沿棱的三等分点作平行于
底面的截面得到所有棱长均为 的截角四面体.则该截角四面体的表面积是______.
【答案】
【分析】根据截面四面体特征可知其是由 个边长为 的等边三角形和 个边长为 的正六边形拼接而成，分别
求得正六边形和等边三角形面积，加和即可得到结果.
【详解】由题意知：该截角四面体的表面积是 个边长为 的等边三角形和 个边长为 的正六边形的面积之和；
将每个正六边形拆分为如下图所示的两个三角形和一个矩形，正六边形每个内角均为 ， ，
每个正六边形的面积为 ，
又每个等边三角形面积为 ，
该截角四面体的表面积为 .
故答案为： .
9．（2023·全国·模拟预测）如图，直三棱柱 中， ⊥ ， ， ，点P在棱
上，且 ，当 的面积取最小值时，三棱锥 的外接球的表面积为______．
【答案】
【分析】先设出BP=x， ，利用 求出 ，结合基本不等式求出 时，面积取得最小值，补形后三棱锥 的外接球即该长方体 的外接球，求出外接球半径和表面积.
【详解】由勾股定理得： ，
设BP=x， ，则 ， ，
，
由 得： ，解得： ，
因为 ，故
由基本不等式得： ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
将三棱锥 补形为长方体 ，则三棱锥 的外接球即该长方体 的外接球，
其中长方体 的外接球的直径为 ，
故半径为 ，故三棱锥 的外接球的表面积为 .
故答案为：
10．（2022秋·江苏南京·高三期末）在四棱锥 中,底面 是边长为2的正方形,平面 平面
,则 体积的最大值为__________.
【答案】
【分析】先做 交 于点 , 平面 ,垂足为 ,连接 ,根据线面垂直的判定定理证明 ,即 ,同理可得 ,即 ,且 ,再根据面面垂直的性质定
理得 ,再设各个长度,在直角三角形 中得到等式进行化简,即可得关于 的式子,进而求得体积的表
达式,求得最值即可.
【详解】解:由题过点 做 分别交 于点 ,
过 做 平面 ,垂足为 ,连接 ,
画图如下:
平面 ,
,
平面 , 平面 ,
平面 ,
,
底面 是边长为2的正方形,
平面 , 平面 ,
,
同理可得: ,
故 三点共线,
且有 , ,
设平面 平面 ,
平面 , 平面 ,
,,
平面 平面 ,平面 平面
平面 ,
平面 ,
,
不妨设 ,
①,
且 ,
即 ,
化简即: ②,
联立①②可得: ,
,
四棱锥 的体积
, ,
当 时, ,
故 体积的最大值为 .
故答案为:
三、解答题
11．（2023·广西梧州·统考一模）边长为1的正方形 中，点M，N分别是DC，BC的中点，现将 ，
分别沿AN，AM折起，使得B，D两点重合于点P，连接PC，得到四棱锥 .(1)证明：平面 平面 ；
(2)求四棱锥 的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)先证明 平面 ，即可证明出平面 平面
(2)先利用 求出点 到平面 的距离，然后再根据四棱锥的体积公式进行计算，即可得出结
果.
【详解】（1）证明：在正方形 中有 ， ， ，
，又因为 ，所以 平面 ，而 平面 ，
所以平面 平面 .
（2）连接MN,由题意可得 ， ，
，由 ，所以 为直角三角形，即 ，
，
设点 到平面 的距离为 ，由 得，
，即 ，得 ，即四棱锥 的体积为
12．（2023·全国·高三对口高考）如题图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 是底面的内接正三
角形． 为 上一点， .
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，圆锥的侧面积为 ．求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，先证明 平面 ，进而可得 ，再结合 ，即可证明
平面 ；
（2）根据题意，结合勾股定理与侧面积公式，即可求出圆锥底面半径为 和母线长为 ，再根据棱锥的体积公
式，即可求解.
【详解】（1）证明：连接OC，因为 ，所以 ，
因为 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心，
所以 平面 ， 平面 ，
所以， ，即
因为 是底面的内接正三角形，O是圆锥底面的圆心，
所以 ，
因为 平面 ，
所以 平面POC，
因为 平面POC，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）解：设圆锥的母线为 ，底面半径为 ，则圆锥的侧面积为 ，即 ，
因为 ， ，解得 ， ，
所以， ，
所以，在等腰直角三角形 中， ，
在 中， ，
所以，三棱锥 的体积 ．
