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专练 34 空间几何体的结构特征、表面积和体积
授课提示：对应学生用书73页
[基础强化]
一、选择题
1．[2024·新课标Ⅰ卷]已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，
则圆锥的体积为( )
A．2π B．3π
C．6π D．9π
答案：B
解析：设圆柱、圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为 ＝.又圆柱与圆锥的侧面积相
等，所以2πr·＝πr，解得r＝3，所以圆锥的体积V＝π×32×＝3π，故选B.
2．用一平面截正方体，所得截面的面积最大时，截面的几何形状为( )
A．正六边形 B．五边形
C．长方形 D．三角形
答案：C
解析：由题意用一平面截正方体，所得截面可以为正六边形、五边形、正方形、长方
形、梯形、三角形．而当截面是以面对角线为长、正方体棱长为宽的长方形时，可知该截
面的面积最大，故选C.
3．棱长为2的正方体ABCD－ABC D 中，M，N分别为棱BB ，AB的中点，则三棱
1 1 1 1 1
锥A－DMN的体积为( )
1 1
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：A
解析：如图，
易知V三棱锥A －DMN＝V三棱锥D －AMN，由正方体的结构特征，知DA⊥平面
1 1 1 1 1 1
AMN，所以DA 为三棱锥D －AMN的高．因为M，N分别为棱BB ，AB的中点，所以
1 1 1 1 1 1
S△AMN＝2×2－×1×1－×1×2－×1×2＝，所以V三棱锥A －DMN＝V三棱锥D －
1 1 1 1
AMN＝×S△AMN×DA＝××2＝1.
1 1 1 1
4．已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝，
若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为( )
A．π B．π
C．3π D．3π
答案：B
解析：在△AOB中，AO＝BO＝，∠AOB＝，由余弦定理得AB＝＝3，设等腰三角形
PAB底边AB上的高为h，则S ＝×3h＝，解得h＝，由勾股定理得母线PA＝＝3，则该
△PAB
圆锥的高PO＝＝，所以该圆锥的体积为×3π×＝π，故选B.
5．(多选)[2023·新课标Ⅰ卷]下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体
容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( )
A．直径为0.99 m的球体
B．所有棱长均为1.4 m的四面体
C．底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体
D．底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体答案：ABD
解析：由于棱长为1 m的正方体的内切球的直径为1 m，所以选项A正确；由于棱长
为1 m的正方体中可放入棱长为 m的正四面体，且>1.4，所以选项B正确；因为正方体的
棱长为1 m，体对角线长为 m，<1.8，所以高为1.8 m的圆柱体不可能整体放入正方体容
器中，所以选项C不正确；由于正方体的体对角线长为 m，而底面直径为1.2 m的圆柱体，
其高0.01 m可忽略不计，故只需把圆柱的底面与正方体的体对角线平行放置，即可以整体
放入正方体容器中，所以选项D正确．综上，选ABD．
6．[2022·全国甲卷(文)，10]甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和
为2π，侧面积分别为S 和S ，体积分别为V 和V ，若＝2，则＝( )
甲 乙 甲 乙
A． B．2
C． D．
答案：C
解析：设甲、乙两个圆锥的母线长都为l，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r ，r ，
1 2
高分别为h ，h.因为两圆锥的侧面展开图的圆心角之和为2π，所以＋＝2π，则r ＋r ＝l.又
1 2 1 2
＝2，所以πrl＝2πrl，所以r ＝2r ，所以r ＝l，r ＝l，所以h ＝＝l，h ＝＝l，所以＝＝
1 2 1 2 1 2 1 2
＝.故选C.
7．已知A，B是球O的表面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O
－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A．124π B．144π
C．156π D．196π
答案：B
解析：
如图所示，当点C位于垂直平面AOB的直径端点时，三棱锥O－ABC的体积最大，设
球O的半径为R，此时V ＝V ＝××R2×R＝R3＝36，故R＝6，则球O的表面积为
O－ABC C－AOB
4πR2＝144π.
8.
如图所示的某粮仓(粮仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆
锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则制作这样一个粮仓的用料面积为( )
A．(＋4)π B．(2＋4)π
C．(3＋4)π D．(4＋4)π
答案：D
解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，则4πr＝4π，解得r＝1，所以h＝＝，圆柱的
侧面积为2πr·2h＝4π，故制作这样一个粮仓的用料面积为(4＋4)π.
9．[2022·新高考Ⅰ卷，4]南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一
部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水
位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一
个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)( )
A．1.0×109 m3 B．1.2×109 m3C．1.4×109 m3 D．1.6×109 m3
答案：C
解析：由棱台的体积公式，得增加的水量约为×(157.5－148.5)×(140×106＋180×106
＋)＝3×106×(140＋180＋60)≈3×106×(140＋180＋60×2.65)≈1.4×109(m3).故选C.
二、填空题
10．[2024·全国甲卷(理)]已知圆台甲、乙的上底面半径均为r，下底面半径均为r，圆
1 2
台的母线长分别为2(r－r)，3(r－r)，则圆台甲与乙的体积之比为________．
2 1 2 1
答案：
解析：∵圆台甲、乙的上、下底面半径均相等，
∴＝＝＝＝.
11．[2023·新课标Ⅱ卷]底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一
个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________．
答案：28
解析：如图所示，正四棱锥PABCD的底面边长为4，用平行于底面的平面截去一个底
面边长为2，高为3的正四棱锥PA′B′C′D′后，得到正四棱台A′B′C′D′ABCD，且A′B′＝2，
AB＝4.记O′，O分别为正四棱台A′B′C′D′ABCD上、下底面的中心，H′，H分别为A′B′，AB
的中点，连接PO，PH，O′H′，OH，则PO′＝3，O′H′＝1，OH＝2.易知△PO′H′∽△POH，
所以＝，即＝，解得PO＝6，所以OO′＝PO－PO′＝3，所以该正四棱台的体积V＝×3×(22
＋2×4＋42)＝28.
12．[2023·全国甲卷(理)]在正方体ABCDABC D 中，E，F分别为AB，C D 的中点．
1 1 1 1 1 1
以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有________个公共点．
答案：12
解析：
如图，线段EF过正方体的中心，所以以EF为直径的球的球心即正方体的中心，球的
半径为，而正方体的中心到每一条棱的距离均为，所以以EF为直径的球与每一条棱均相
切，所以共有12个公共点．
[能力提升]
13．(多选)[2023·新课标Ⅱ卷]已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，
∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角PACO为45°，则( )
A．该圆锥的体积为π
B．该圆锥的侧面积为4π
C．AC＝2
D．△PAC的面积为
答案：AC
解析：在△PAB中，由余弦定理得AB＝2，如图，连接PO，易知圆锥的高h＝PO＝1，底面圆的半径r＝AO＝BO＝.对于A，该圆锥的体积V＝πr2h＝π，故A选项正确；对于B，
该圆锥的侧面积S ＝πr·PA＝2π，故B选项错误；对于C，取AC的中点H，连接PH，
侧
OH，因为OA＝OC，所以OH⊥AC，同理可得PH⊥AC，则二面角P－AC－O的平面角为
∠PHO＝45°，所以OH＝PO＝1，AH＝CH＝＝，所以AC＝2，故C选项正确；对于D，
PH＝OH＝，S ＝×AC×PH＝2，故D选项错误．综上，选AC.
△PAC
14．[2024·新课标Ⅱ卷]已知正三棱台ABCABC 的体积为，AB＝6，AB ＝2，则AA
1 1 1 1 1 1
与平面ABC所成角的正切值为( )
A． B．1
C．2 D．3
答案：B
解析：设正三棱台ABCABC 的高为h.
1 1 1
∵AB＝6，AB＝2，∴S ＝×6×6×sin ＝9，S△ABC ＝×2×2×sin ＝.∵正三棱台
1 1 △ABC 1 1 1
ABCABC 的体积V＝(S ＋S△ABC ＋)h＝×(9＋＋)h＝h＝，∴h＝.
1 1 1 △ABC 1 1 1
如图，
设△ABC和△ABC 的中心分别为O，O ，连接AO ，OO，AO，作AD⊥平面ABC交
1 1 1 1 1 1 1 1
平面ABC于点D，由几何体ABCABC 为正三棱台可知，点D在AO上，且四边形AOOD
1 1 1 1 1
为矩形，其中∠AAD即为直线AA与平面ABC所成的角．由AB＝6，AB ＝2，可得OA＝
1 1 1 1
2，OA＝，∴AD＝OA－OD＝OA－OA＝，∴tan ∠AAD＝＝＝1.故选B.
1 1 1 1 1
15．[2023·新课标Ⅰ卷]在正四棱台ABCDABC D 中，AB＝2，AB ＝1，AA ＝，则该
1 1 1 1 1 1 1
棱台的体积为________．
答案：
解析：方法一 如图所示，
设点O ，O分别为正四棱台ABCDABC D 上、下底面的中心，连接BD ，BD，则点
1 1 1 1 1 1 1
O ，O分别为BD ，BD的中点，连接OO，则OO即正四棱台ABCDABC D 的高，过点
1 1 1 1 1 1 1 1 1
B 作BE⊥BD，垂足为E，则BE＝OO.因为AB＝2，AB ＝1，所以OB＝，OB ＝，所以
1 1 1 1 1 1 1 1
BE＝OB－OE＝OB－OB ＝，又AA ＝，所以BB ＝，BE＝＝＝，所以OO＝，所以V正
1 1 1 1 1 1
四棱台ABCDABC D＝×(22＋12＋)×＝.
1 1 1 1
方法二 如图，将正四棱台 ABCDABC D 补形成正四棱锥 PABCD，因为 AB＝2，AB ＝1，
1 1 1 1 1 1
AB∥AB ，所以A ，B ，C ，D 分别为PA，PB，PC，PD的中点，又AA＝，所以PA＝
1 1 1 1 1 1 1
2，即PB＝2.连接BD，取BD的中点为O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，易知BO＝，所
以PO＝＝，所以正四棱台ABCDABC D 的高为，所以V＝×(22＋12＋)×＝.
1 1 1 1
16．[2024·九省联考]已知轴截面为正三角形的圆锥MM′的高与球O的直径相等，则圆
锥MM′的体积与球O的体积的比值是______，圆锥MM′的表面积与球O的表面积的比值是
________．
答案： 1
解析：设圆锥的底面半径为r，球的半径为R.
因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高h＝r，母线l＝2r，
由题可知：h＝2R，所以球的半径R＝r，
所以圆锥的体积为V＝×(π×r2)×r＝πr3，
1
球的体积V＝πR3＝π×(r)3＝πr3，
2
所以＝＝；
圆锥的表面积S＝πrl＋πr2＝3πr2，
1
球的表面积S＝4πR2＝4π×(r)2＝3πr2，
2
所以＝＝1.
