北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
专题八 立体几何
8.1 空间几何体的表面积和体积
基础篇 固本夯基
考点一 空间几何体的结构特征
1.(2022届山东烟台一中开学考,2)已知圆锥的表面积等于12π cm2,其侧面展开图是一个半圆,则圆锥的底面
半径为( )
3
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D. cm
2
答案 B
2.(2021新高考Ⅰ,3,5分)已知圆锥的底面半径为√2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( )
A.2 B.2√2 C.4 D.4√2
答案 B
3. (2020课标Ⅰ理(文),3,5分)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以
该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底
面正方形的边长的比值为( )
√5-1 √5-1 √5+1 √5+1
A. B. C. D.
4 2 4 2
答案 C
4.(2020浙江,14,4分)已知圆锥的侧面积(单位:cm2)为2π,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半
径(单位:cm)是 .
答案 1北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
考点二 空间几何体的表面积与体积
1.(2022届河北邢台入学考,4)
六氟化硫,化学式为SF,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体,有良好的绝缘性,在电器工业
6
方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体(每个面都是正三角形的八面体),如图所示,硫原子位于正
八面体的中心,6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为2a,则六氟化硫分子
中6个氟原子构成的正八面体的体积是(不计氟原子的大小)( )
4√2 8√2
A. a3 B. a3
3 3
C.4√2a3 D.8√2a3
答案 B
2.(2021全国甲理,11,5分)已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且AC⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥
O-ABC的体积为( )
√2 √3 √2 √3
A. B. C. D.
12 12 4 4
答案 A
3.(2018课标Ⅰ,10,5分)在长方体ABCD-ABCD 中,AB=BC=2,AC 与平面BBCC所成的角为30°,则该长
1 1 1 1 1 1 1
方体的体积为( )
A.8 B.6√2 C.8√2 D.8√3
答案 C
4.(2020山东泰安期末,8)已知正三棱锥S-ABC的侧棱长为4√3,底面边长为6,则该正三棱锥外接球的表面积
是( )
A.16π B.20π C.32π D.64π
答案 D
5.(多选)(2021河北保定二模,9)如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,
则下列结论正确的是( )北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
A.圆柱的体积为4πR3
B.圆锥的侧面积为√5πR2
C.圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等
D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2
答案 BD
6. (2021福建泉州二模,6)如图是一个由6个正方形和8个正三角形围成的十四面体,其所有顶点都在球O
的球面上,若十四面体的棱长为1,则球O的表面积为( )
A.2π B.4π
C.6π D.8π
答案 B
7.(2021全国甲文,14,5分)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30π,则该圆锥的侧面积为 .
答案 39π
8.(2020新高考Ⅱ,13,5分)棱长为2的正方体ABCD-ABCD 中,M,N分别为棱BB,AB的中点,则三棱锥A-
1 1 1 1 1 1
DMN的体积为 .
1
答案 1
9.(2019江苏,9,5分)如图,长方体ABCD-ABCD 的体积是120,E为CC 的中点,则三棱锥E-BCD的体积是
1 1 1 1 1
.
答案 10
10.(2020江苏,9,5分)如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边
形边长为2 cm,高为2 cm,内孔半径为0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是 cm3.北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
答案 ( π)
12√3-
2
11.(2018天津文,11,5分)如图,已知正方体ABCD-ABCD 的棱长为1,则四棱锥A-BBDD的体积为
1 1 1 1 1 1 1
.
1
答案
3
综合篇 知能转换
A组
考法一 空间几何体的表面积和体积
1.(2021新高考Ⅱ,5,5分)正四棱台的上、下底面的边长为2,4,侧棱长为2,则四棱台的体积为( )
56 28√2
A.56 B.28√2 C. D.
3 3
答案 D
2.(2021济南一模,7)已知菱形ABCD,AB=BD=2,将△ABD沿BD折起,使二面角A-BD-C的大小为60°,则三棱
锥A-BCD的体积为( )
√3 2√2 3√3
A. B. C. D.2√2
2 3 2
答案 A
3.(2018课标Ⅲ,文12,理10,5分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其
面积为9√3,则三棱锥D-ABC体积的最大值为( )
A.12√3 B.18√3 C.24√3 D.54√3
答案 B北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
4.(2020湖南衡阳联考,10)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,且AB=2.若三棱锥P-ABC的外接球
体积为36π,则当该三棱锥的体积最大时,其表面积为( )
A.6+6√3 B.8+6√3 C.8+8√5 D.6+8√5
答案 C
5.(2022届浙江浙南名校联盟联考一,15)一圆锥母线长为定值a(a>0),母线与底面所成角大小为θ
( π),当圆锥体积V最大时,sin θ= .
0<θ<
2
√3
答案
3
6.(2019天津,文12,理11,5分)已知四棱锥的底面是边长为√2的正方形,侧棱长均为√5.若圆柱的一个底面的
圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为 .
π
答案
4
7
7.(2018课标Ⅱ理,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为 ,SA与圆锥底面所成角为
8
45°.若△SAB的面积为5√15,则该圆锥的侧面积为 .
答案 40√2π
8.(2018天津理,11,5分)已知正方体ABCD-ABCD 的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分
1 1 1 1
别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为 .
1
答案
12
9.(2017课标Ⅰ文,16,5分)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面
SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为 .
答案 36π北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
考法二 与球有关的切、接问题
1.(多选)(2022届河北神州智达省级联测二,12)已知三棱柱ABC-ABC 的6个顶点全部在球O的表面
1 1 1
上,AB=AC,∠BAC=120°,三棱柱ABC-ABC 的侧面积为8+4√3,则球O的表面积可能是( )
1 1 1
A.4π B.8π
C.16π D.32π
答案 CD
2.(2020天津,5,5分)若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )
A.12π B.24π
C.36π D.144π
答案 C
9√3
3.(2020课标Ⅱ理,10,5分)已知△ABC是面积为 的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.若球O的表
4
面积为16π,则O到平面ABC的距离为( )
3
A.√3 B.
2
√3
C.1 D.
2
答案 C
4.(2019课标Ⅰ理,12,5分)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的
正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为 ( )
A.8√6π B.4√6π C.2√6π D.√6π
答案 D
5.张衡(78年—139年)是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家,他的数学著作有《算罔论》,他曾
经得出结论:圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A,B,若线
段AB的最小值为√3-1,利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为( )
A.30 B.10√10 C.12√10 D.36
答案 C
6.(2017天津理,10,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的
体积为 .
9
答案 π
2
7.(2017课标Ⅱ文,15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
.
答案 14π
8.(2021山东烟台一模,16)已知正三棱锥P-ABC的底面边长为2,侧棱长为√13,其内切球与两侧面PAB,PBC
分别切于点M,N,则MN的长度为 .
5
答案
6
B组
1
(2022届江苏海安高级中学期中,8)如图所示,在直三棱柱ABC-ABC 中,AA=1,AB=BC=√3,cos∠ABC=
1 1 1 1
3
,P是AB上的一动点,则AP+PC 的最小值为( )
1 1
A.√5 B.√7 C.1+√3 D.3
答案 B
应用篇 知行合一
应用 与立体几何有关的实际应用问题
1.(多选)(2022届河北9月联考,10 生活实践情境)“端午节”为中国国家法定节假日之一,已被列入世界非
物质文化遗产名录,吃粽子是端午节的习俗之一.全国各地的粽子包法各有不同.如图,粽子可包成棱长为6
3
cm的正四面体状的三角粽,也可做成底面半径为 cm,高为6 cm(不含外壳)的圆柱状竹筒粽.现有两碗馅料,
2
若一个碗的容积等于半径为6 cm的半球的体积,则(参考数据:√2π≈4.44)( )
A.这两碗馅料最多可包三角粽35个
B.这两碗馅料最多可包三角粽36个
C.这两碗馅料最多可做竹筒粽21个
