北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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专题八 立体几何
8.1 空间几何体的表面积和体积
考点一 空间几何体的结构特征
1.(2021新高考Ⅰ,3,5分)已知圆锥的底面半径为√2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为 (
)
A.2 B.2√2C.4D.4√2
答案 √2
B 设圆锥的母线长为l,由题意得πl=2π· ,
∴l=2√2.故选B.
易错警示 1.不清楚圆锥侧面展开图是扇形;2.记不清扇形弧长公式.
2.(2020课标Ⅰ理,3,5分)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四
棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正
方形的边长的比值为( )
√5−1 √5−1 √5+1 √5+1
A. B. C. D.
4 2 4 2
答案
C如图,设正四棱锥的底面边长BC=a,侧面等腰三角形底边上的高PM=h,则正四棱锥的高PO=
√ a2,
ℎ
2−
4北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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a2
∴以|PO|为边长的正方形面积为h2- ,
4
1
一个侧面三角形面积为 ah,
2
a2 1
∴h2- = ah,
4 2
∴4h2-2ah-a2=0,
2
两边同除以a2可得4(ℎ) ℎ-1=0,
−2·
a a
ℎ 1±√5
解得 = ,
a 4
ℎ ℎ
√5+1
又∵ >0,∴ = .故选C.
a a 4
解题关键 利用以四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,求得底面边长a
与侧面等腰三角形底边上的高h之间的关系是求解本题的关键.
考点二 空间几何体的表面积与体积
1.(2021北京,8,4分)对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义:
平地降雨量(mm)0~1010~2525~5050~100
降雨等级 小雨 中雨 大雨 暴雨
如图所示,小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水,那么这24小时降雨的等级是 ( )
A.小雨 B.中雨
C.大雨 D.暴雨
答案
B 命题意图:本题以测量24小时内降水在平地上的积水厚度为载体,考查学生的空间想象能力、
运算求解能力以及应用意识,考查的核心素养是数学运算、直观想象,落实了应用性、综合性和创新性的考
查要求.北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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r 150
解题思路:作圆锥的轴截面如图,设圆锥形容器中水面的半径为r mm,由题意得 = ,所以r=50,则
100 300
1
容器内的雨水的体积V= π×502×150=125 000π(mm3).所以24小时内降水在平地上的积水厚度为
3
125 000π
=12.5(mm),所以这24小时降雨的等级是中雨,故选B.
π×1002
2.(2022新高考Ⅰ,4,5分,应用性)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入
某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面
的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到
157.5 m时,增加的水量约为(√7≈2.65) ( )
A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3
C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3
1
答案
C 140 km2=140×106 m2,180 km2=180×106 m2,由棱台体积公式V= (S+S'+√SS')h可得V
3 增加水量
1
= ×(140+180+√140×180)×106×(157.5-148.5)=3×(320+60√7)×106≈3×(320+60×2.65)×106=1
3
437×106≈1.4×109(m3),故选C.
3.(2021全国甲理,11,5分)已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且AC⊥BC,AC=BC=1,则三
棱锥O-ABC的体积为( )
√2 √3 √2 √3
A. B. C. D.
12 12 4 4
答案
A 解题指导:本题的关键点为O到平面ABC的距离的求解.先求出小圆( ABC的外接圆)的半径,
△
通过球半径和小圆半径,结合勾股定理得出O到平面ABC的距离,然后利用体积公式得出结果.
解析 √2
如图所示,由AC⊥BC可知, ABC是以AB为斜边的直角三角形,又知AC=BC=1,∴AB=
△
AB √2
,∴Rt ABC的外接圆圆心为AB的中点O,半径r= = ,连接OO,∵点O为球心,∴OO⊥平面
1 1 1
2 2
△
ABC,即OO 的长为O到平面ABC的距离.
1北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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√2
在Rt OOB中,OB=1,OB= ,
1 1
2
△
∴OO
1
= √
12−
(√2) 2
=
√2,
2 2
1 1 √2 √2
∴V = × ×12× = .故选A.
O-ABC
3 2 2 12
1
易错警示 牢记锥体的体积公式中的“ ”.易错选C.
3
4.(2022新高考Ⅱ,7,5分)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3√3和4√3,其顶点都在同一球
面上,则该球的表面积为( )
A.100π B.128π C.144π D.192π
答案
A 设正三棱台为A'B'C'-ABC, A'B'C', ABC的外心分别为D',D,则A'D'=3,AD=4,又知D'D=1,
△ △
所以正三棱台的外接球球心在线段D'D的延长线上,设球心为O,半径为R,如图所示,在Rt A'D'O中,
R2=32+(DO+1)2①,在Rt ADO中,R2=42+DO2②,由①②得R=5,所以该球的表面积为4π×52△ =100π,故选A.
△
5.(2022新高考Ⅰ,8,5分)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π,且
3≤l≤3√3,则该正四棱锥体积的取值范围是( )
A.[ 81] [27 81]
18, B. ,
4 4 4
C.[27 64] D.[18,27]
,
4 3北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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答案
C 如图,S-ABCD是正四棱锥,连接AC,BD,
交于点O,设正方形ABCD的边长为a,SO=h,SE是外接球的直径,则SE=2R=6.
a2 a2 l2
由AO2=SO·OE,得 =h(6-h),又l2= +h2,∴l2=6h,∴h= .
2 2 6
则a2=2h(6-h)=l2
(
l2
),
6−
3 6
∴正四棱锥的体积V=1 1 l2 ( l2 ) l2
a2ℎ = · 6− ·
3 3 3 6 6
1 l6
= l4− ,
9 324
4 l5
∴V'= l3− ,令V'=0,得l=2√6.
9 54
V在[3,2√6)上单调递增,在(2√6,3√3]上单调递减,
27 81 64
而l=3时,V= ,l=3√3时,V= ,l=2√6时,V= ,
4 4 3
∴该正四棱锥体积的取值范围是[27 64].
,
4 3
6.(2022全国乙,理9,文12,5分)已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面
上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为 ( )
1 1 √3 √2
A. B. C. D.
3 2 3 2北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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答案
C 如图,设∠AOD=α,∠AOB=α,∠BOC=α,∠COD=α,球O的半径为R,四棱锥的底面所在
1 1 1 2 1 3 1 4
圆O 的半径为r,
1
1
则R=1,S = r2(sin α+sin α+sin α+sin α),
四边形ABCD 1 2 3 4
2
π
当且仅当α=α=α=α= 时,四边形ABCD的面积最大,最大为2r2,此时四边形ABCD为正方形.
1 2 3 4
2
在△OOC中,设高OO=h,则h= ,
1 1 √R2−r2=√1−r2
1 1
V = S h=
×2r2√1−r2(0<r<1),
四棱锥O-ABCD 四边形ABCD
3 3
2 2
令r2=t,则V = t√1−t= √t2−t3(0<t<1),
四棱锥O-ABCD
3 3
设f(t)=t2-t3,则f '(t)=2t-3t2=t(2-3t),
当t∈( 2)时, f '(t)>0,则f(t)单调递增,
0,
3
当t∈(2 )时, f '(t)<0,则f(t)单调递减,
,1
3
2 4
∴t= 时, f(t)取得最大值,且f(t) = ,
max
3 27
4√3 √3
∴(V ) = ,此时高h=√1−r2= ,故选C.
四棱锥O-ABCD max
27 3
1 1 1
一题多解:由题意知S
四边形ABCD
=S
ABD
+S
CBD
= BD·ℎ1+ BD·ℎ2= BD(h
1
+h
2
),其中h
1
,h
2
分别表示
2 2 2
△ △
点A与点C到BD的距离,要使四边形ABCD的面积取最大值,则BD与AC均为四边形ABCD所在圆的直
径,且BD⊥AC,此时BD取得最大值,h+h 也取得最大值,所以S 取最大值时,四边形ABCD为正方
1 2 四边形ABCD
1
形,设其边长为a,四棱锥O-ABCD的高为h(0<h<1),体积为V,则有 a2+h2=1,即a2=2-2h2,所以V=
2
1 1 2 2 √3
a2·ℎ = (2-2h2)·h(0<h<1),∴V= (h-h3),∴V'= (1-3h2),令1-3h2>0,解得0<h< ,令1-3h2<0,解得
3 3 3 3 3北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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√3<h<1,∴函数V=2(h-h3)在( √3)上单调递增,在(√3 )上单调递减,∴当h=√3时,V取得最大
0, ,1
3 3 3 3 3
值.故选C.
7.(2022全国甲,理9,文10,5分)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分
S V
别为S 和S ,体积分别为V 和V .若 =2,则 = ( )
甲 乙 甲 乙 甲 甲
S V
乙 乙
5√10
A.√5B.2√2C.√10D.
4
答案
C 设甲、乙两个圆锥的侧面展开图的圆心角分别为θ 和θ ,母线长均为l,底面半径分别为r ,
甲 乙 甲
r ,高分别为h ,h .由 S =2得 r =2,即r =2 r , 所以 θ =2 θ .又θ +θ =2π,所以θ =4π,θ =2π,
乙 甲 乙 甲 甲 甲 乙 甲 乙 甲 乙 甲 乙
S r 3 3
乙 乙
1 1 4 √5
πr2 ·ℎ π· l2· l
2 1 √5 2√2 V 3 甲 甲 3 9 3
所以r = l,r = l,所以h = l,h = l,所以 甲= = =√10,
甲 乙 甲 乙
3 3 3 3 V 1 1 1 2√2
乙 πr2 ·ℎ π· l2· l
3 乙 乙 3 9 3
故选C.
8. (多选)(2022新高考Ⅱ,11,5分)如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB.
记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为V,V,V,则( )
1 2 3
A.V=2V B.V=V
3 2 3 1
C.V=V+V D.2V=3V
3 1 2 3 1
答案
CD 因为ED⊥平面ABCD,且FB∥ED,所以FB⊥平面ABCD.
