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微专题35 最值、范围问题
高考定位 解析几何中的最值与范围问题是解析几何中的典型问题，是教学的重
点也是历年高考的热点.解决这类问题不仅要善于利用几何手段对平面图形进行
研究，而且要从代数角度进行函数等相关运算.
【难点突破】
[高考真题] (2023·全国甲卷改编)已知抛物线C：y2＝4x，设F 为C 的焦点，M，
N 为C 上两点，且FM·FN＝0，求△MFN 面积的最小值.
解 抛物线的焦点为F(1，0).
由题意知直线MN 的斜率不可能为0，
∴设MN 的方程为x＝my＋t，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立消去x 得y2－4my－4t＝0，
∴Δ＝16m2＋16t>0，即m2＋t>0，
由根与系数的关系得y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t，
∵FM·FN＝0，
∴(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝0，
即(x1－1)(x2－1)＋y1y2
＝(my1＋t－1)(my2＋t－1)＋y1y2
＝(m2＋1)y1y2＋m(t－1)(y1＋y2)＋(t－1)2
＝(m2＋1)(－4t)＋m(t－1)·4m＋(t－1)2
＝0，
即－4m2t－4t＋4m2t－4m2＋t2－2t＋1＝0，
即4m2＝t2－6t＋1.
设F 到MN 的距离为d，则d＝，
又|MN|＝|y1－y2|
＝·
＝·
＝4·，
∴S△MFN＝|MN|·d＝×4··
＝2·|t－1|＝·|t－1|
＝·|t－1|＝(t－1)2.
∵4m2＝t2－6t＋1≥0，
解得t≤3－2 或t≥3＋2，
∴当且仅当t＝3－2 时，S△MFN取得最小值12－8，
即△MFN 面积的最小值为12－8.
样题1 (2024·衡水模拟改编)已知椭圆＋＝1，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，
过椭圆右焦点F2的直线l 与椭圆交于A，B 两点，求|AB|的范围.
解 因为椭圆的方程为＋＝1，
所以F1(－1，0)，F2(1，0)，
当直线l 的斜率为0 时，|AB|＝2a＝4，
当直线l 的斜率不为0 时，设直线l 的方程为
x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去x，
得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
易得Δ＝(6m)2＋36(3m2＋4)>0，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
所以|AB|＝
＝
＝
＝＝4－，
因为m2≥0，所以3m2＋4≥4，
所以0<≤1，所以3≤|AB|<4，
综上，3≤|AB|≤4，即|AB|的取值范围是[3，4].
样题2 (2024·温州模拟)已知抛物线E：x2＝4y 的焦点为F，抛物线上的点A(x0，
y0)处的切线为l.
(1)求l 的方程(用x0，y0表示)；
(2)若直线l 与y 轴交于点B，直线AF 与抛物线交于点C，若∠ACB 为钝角，求y0
的取值范围.
解 (1)抛物线E：x2＝4y 即y＝，
则y′＝x，
则在A(x0，y0)处切线l 的斜率为k＝x0，
所以l：y－y0＝x0(x－x0)，
即y＝x0x－y0.
(2)易知F(0，1)，B(0，－y0).
设直线AF：y＝kx＋1，C(x1，y1)，
代入抛物线方程得x2－4kx－4＝0，
故x1x0＝－4，y0y1＝＝1，
因为∠ACB 为钝角，所以CF·CB<0，
即(－x1)(－x1)＋(1－y1)(－y0－y1)＝x－y0－y1＋y1y0＋y<0，
即3y1－＋1＋y<0，(*)
因为y1>0，所以不等式(*)y＋3y＋y1－1<0，
即(y1＋1)(y1＋1－)(y1＋1＋)<0，
解得0<y1<－1，所以y0>＋1.
样题3 (2024·烟台模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)经过点A(－2，0)，离心
率为，直线l 过点D(3，0)且与双曲线C 交于两点P，Q(异于点A).
(1)求证：直线AP 与直线AQ 的斜率之积为定值.并求出该定值；
(2)过点D 分别作直线AP，AQ 的垂线，垂足分别为M，N，记△ADM，△ADN
的面积分别为S1，S2，求S1·S2的最大值.
(1)证明 令双曲线半焦距为c，依题意，a＝2，＝，
由c2＝a2＋b2，解得b＝4，
则双曲线C 的方程为－＝1，
显然直线l 不垂直于y 轴，
设直线l 的方程为x＝my＋3，
由
消去x，得(4m2－1)y2＋24my＋20＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
直线AP，AQ 的斜率分别为kAP，kAQ，
所以kAPkAQ＝·
＝
＝＝－.
(2)解 设直线AP 的方程为y＝k(x＋2)，
则直线DM 的方程为y＝－(x－3)，
由
得点M 的纵坐标yM＝，
用－替换上式中的k 得点N 的纵坐标yN＝，
则S1·S2＝|yMyN|＝＝，
而25k2＋≥2＝40，
当且仅当k＝±时取等号，
因此S1·S2≤，
所以S1·S2的最大值为.
规律方法 求解范围、最值问题的常见方法
(1)利用判别式来构造不等关系.
(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系.
(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式.
(4)利用基本不等式.
训练 (2024·南昌模拟)已知点F(1，0)，P 为平面内一动点，以PF 为直径的圆与
y 轴相切，点P 的轨迹记为C.
(1)求C 的方程；
(2)过点F 的直线l 与C 交于A，B 两点，过点A 且垂直于l 的直线交x 轴于点
M，过点B 且垂直于l 的直线交x 轴于点N.当四边形MANB 的面积最小时，求l
的方程.
解 (1)设P(x，y)，则以PF 为直径的圆的圆心为，
根据圆与y 轴相切，可得＝|PF|＝，
化简得y2＝4x，所以C 的方程为y2＝4x.
(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，
设直线l：y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝1，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝＋2＝，
设直线l 的倾斜角为θ，则|AM|＝|AF||tan θ|，|BN|＝|BF||tan θ|，
所以|AM|＋|BN|＝|AF||tan θ|＋|BF||tan θ|＝|AB||tan θ|＝|AB||k|.
四边形MANB 的面积S＝S△ABM＋S△ABN
＝|AB|(|AM|＋|BN|)＝
＝＝，
设t＝|k|>0，
则S(t)＝＝8，
所以S′(t)＝8＝8·
＝8·，
当t>时，S′(t)>0，S(t)单调递增，
当0<t<时，S′(t)<0，S(t)单调递减，
所以当t＝，即|k|＝时，四边形MANB 的面积最小，此时k＝±，故直线l 的方程
为y＝±(x－1)，即x－y－＝0 或x＋y－＝0.
【精准强化练】
1.已知直线y＝kx＋m 与椭圆：＋y2＝1 相交于A，B 两点，与y 轴交于点M，若
存在m 使得OA＋3OB＝4OM，求实数m 的取值范围.
解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M(0，m)，
由OA＋3OB＝4OM得(x1＋3x2，y1＋3y2)＝(0，4m)，∴x1＝－3x2，
由
得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
∵Δ＝(8km)2－4×(4k2＋1)×(4m2－4)>0，
即64k2－16m2＋16>0，
∴4k2－m2＋1>0，
由根与系数的关系得
x1＋x2＝－，x1x2＝，
又x1＝－3x2，∴x2＝，
则x1·x2＝－3x＝－3＝，
即16k2m2－4k2＋m2－1＝0，
∴k2＝，代入4k2－m2＋1>0，
得＋1－m2>0，所以<m2<1，
解得m∈∪，
∴实数m 的取值范围是∪.
2.(2024·台州模拟)已知椭圆Γ：＋y2＝1(a>1)的上、下顶点分别为A，B，点Q 在
线段AB 上运动(不含端点)，点P(－1，0)，直线PQ 与椭圆交于C，D 两点(点C
在点P 左侧)，PD 的中点M 的轨迹交y 轴于E，F 两点，且|EF|＝.
(1)求椭圆Γ 的方程；
(2)记直线AC，AD 的斜率分别为k1，k2，求k1－k2的最小值.
解 (1)设PD 中点M(x0，y0)，则D(2x0＋1，2y0)，
因为点Q 在线段AB 上，所以点D 只能在右半椭圆上运动，所以0<2x0＋1≤a，
即－<x0≤，
由点D 在椭圆Γ：＋y2＝1 上，
所以＋4y＝1，
令x0＝0，得|y0|＝，①
因为|EF|＝，所以2|y0|＝，代入①解得a2＝4，
故椭圆Γ 的方程为＋y2＝1.
(2)设直线CD 的方程为y＝k(x＋1)，|k|<1，C(x1，y1)，D(x2，y2).
由
得(4k2＋1)x2＋8k2x＋4(k2－1)＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
又k1＝＝＝k＋，
k2＝k＋，
k1－k2＝(k－1)＝(k－1)
＝(k－1)＝，
令t＝k＋1∈(0，2)，得k1－k2＝
＝＝≥，
当t＝，即k＝时取等号，
所以k1－k2的最小值为.
3.(2024·黄山模拟)设点F1(－c，0)，F2(c，0)分别是椭圆C：＋y2＝1 的左、右焦
点，P 为椭圆C 上任意一点，且PF1·PF2的最小值为－2.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)求椭圆C 的外切矩形ABCD 的面积S 的最大值.
解 (1)设点P(x，y)，则y2＝1－，其中a2>1，PF1＝(－c－x，－y)，PF2＝(c－
x，－y)，
所以PF1·PF2＝(－c－x)(c－x)＋y2＝x2－c2＋y2＝x2－(a2－1)＋1－＝x2－a2＋2，
故当x＝0 时，PF1·PF2取最小值2－a2＝－2，可得a2＝4，
因此，椭圆C 的方程为＋y2＝1.
(2)设点A(x0，y0)，当直线AB，AD 的斜率都存在时，设直线AB，AD 的斜率分别
为k1，k2，
设过点A 且斜率存在的直线的方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx＋(y0－kx0)，
联立
可得(4k2＋1)x2＋8k(y0－kx0)x＋4(y0－kx0)2－4＝0，
则Δ＝64k2(y0－kx0)2－16(4k2＋1)[(y0－kx0)2－1]＝0，
整理可得(y0－kx0)2－4k2－1＝0，
即(x－4)k2－2kx0y0＋y－1＝0，
则k1，k2是关于k 的方程(x－4)k2－2kx0y0＋y－1＝0 的两根，
因为AB⊥AD，则k1k2＝＝－1，
整理可得x＋y＝5(x≠4)；
当AB，AD 分别与两坐标轴垂直时，
则A(±2，±1)，满足x＋y＝5.
所以点A 的轨迹方程为x2＋y2＝5，
由对称性可知，矩形ABCD 的四个顶点都在圆x2＋y2＝5 上，该圆的半径为，
由勾股定理可得|AB|2＋|AD|2＝(2)2＝20，
由基本不等式可得20＝|AB|2＋|AD|2≥2|AB|·|AD|，即|AB|·|AD|≤10，
当且仅当时，
即当|AB|＝|AD|＝时，等号成立，
故S＝|AB|·|AD|≤10，即矩形ABCD 的面积的最大值为10.
4.(2024·南京质检)已知O 为坐标原点，F(1，0)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，
过F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于A，B 两点.当A 为短轴顶点时，
△OAF 的周长为3＋.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若线段AB 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于点P，Q，M 为线段AB 的中点，
求|PM|·|PQ|的取值范围.
解 (1)设椭圆C 的焦距为2c，由题意得c＝1.
当A 为短轴顶点时，△OAF 的周长为a＋b＋1＝3＋.
又a2＝b2＋1，所以a2＝(2＋－a)2＋1，
解得a＝2，所以b＝.
所以椭圆C 的方程为＋＝1.
(2)如图，因为F(1，0)，所以可设直线AB：y＝k(x－1)(k≠0).
联立得
消去y 并整理得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝，
则M.
于是线段AB 的垂直平分线的方程为y＝－－.
令y＝0，得xP＝.
法一 因为k≠0，所以xP＝＝－∈.
易得△OPQ∽△MPF，所以＝，
可得|PM|·|PQ|＝|PO|·|PF|＝xP(1－xP)＝xP－x.
因为xP∈，且函数y＝xP－x 在上单调递增，
所以|PM|·|PQ|＝xP－x∈.
法二 |PM|·|PQ|＝|xM－xP|·|xP|
＝·
＝.
令t＝4k2＋3，则|PM|·|PQ|＝＝＝，
因为t>3，所以∈，
因此－3－2＋1∈(0，1).
因此|PM|·|PQ|＝∈.
