文档文本内容
微专题 28 切线与公切线问题
高考定位 曲线的切线与公切线问题是高考考查的热点，一般单独考查，难度较
小，也可与函数的单调性、极值、最值综合考查，难度较大.
【真题体验】
1.(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所
围成的三角形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 f′(x)＝，
所以f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，
即3x－y＋1＝0，
切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，，
所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝，故选A.
2.(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x 在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a
的切线，则a＝________.
答案 ln 2
解析 由题意，令f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1，
所以f′(0)＝2，所以曲线y＝ex＋x 在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.
令g(x)＝ln(x＋1)＋a，则g′(x)＝，
设直线y＝2x＋1 与曲线y＝g(x)相切于点(x0，y0)，则＝2，
得x0＝－，则y0＝2x0＋1＝0，
所以0＝ln＋a，所以a＝ln 2.
3.(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范
围是________.
答案 (－∞，－4)∪(0，＋∞)
解析 因为y＝(x＋a)ex，
所以y′＝(x＋a＋1)ex.
设切点为A(x0，(x0＋a)ex0)，O 为坐标原点，
依题意得，切线斜率
kOA＝y′|x＝x0＝(x0＋a＋1)ex0＝，
化简得x＋ax0－a＝0.
因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，
所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0 有两个不同的根，
所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4 或a>0，
所以a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).
4.(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为________，
________.
答案 y＝x y＝－x
解析 先求当x>0 时，曲线y＝ln x 过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，
则由y′＝，得切线斜率为，
又切线的斜率为，所以＝，
解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，
所以切线斜率为，切线方程为y＝x.
同理可求得当x<0 时的切线方程为y＝－x.
综上可知，两条切线方程为
y＝x，y＝－x.
【热点突破】
热点一 曲线的切线
例1 (1)过坐标原点作曲线y＝ex－2＋1 的切线，则切线方程为( )
A.y＝x
B.y＝2x
C.y＝x
D.y＝ex
(2)(2024·兰州调研)已知过点(0，－1)且与曲线f(x)＝－x3＋x2－6x(x>0)相切的直线
有且仅有两条，则实数a 的取值范围是( )
A.(2，＋∞)
B.(0，＋∞)
C.(－∞，2)
D.(－∞，0)
答案 (1)A (2)A
解析 (1)由y＝ex－2＋1，可得y′＝ex－2，
设切点坐标为(t，et－2＋1)，
可得切线方程为y－(et－2＋1)＝et－2(x－t)，
把原点(0，0)代入切线方程，
可得0－(et－2＋1)＝et－2(0－t)，
即(t－1)et－2＝1，解得t＝2，
所以切线方程为y－(e0＋1)＝e0(x－2)，
即y＝x.
(2)由曲线f(x)＝－x3＋x2－6x(x>0)，
可设切点坐标为(t>0)，
易知切线的斜率存在，
由f′(x)＝－3x2＋3ax－6，
可得切线的斜率k＝－3t2＋3at－6，
从而切线方程为y＝－t3＋t2－6t＋(－3t2＋3at－6)(x－t)，
又切线过点(0，－1)，
所以－1＝－t3＋t2－6t＋(－3t2＋3at－6)(0－t)，整理得4t3－3at2＋2＝0，
由题意可知方程有两个不相等的正实数解.
令h(t)＝4t3－3at2＋2，
则函数h(t)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，
令h′(t)＝12t2－6at＝0，可得t＝0 或t＝.
又h(0)＝2，结合h(t)的图象(如图)特征可知，要满足题意，需使a>0 且h
＝－a3＋2<0，从而可得a>2.所以实数a 的取值范围是(2，＋∞).故选A.
规律方法 求过某点的切线方程时(不论这个点在不在曲线上，这个点都不一定
是切点)，应先设切点的坐标，再根据切点的“一拖三”(切点的横坐标与斜率相
关、切点在切线上、切点在曲线上)求切线方程.
训练1 (1)已知曲线y＝xln x＋ae－x在点x＝1 处的切线方程为2x－y＋b＝0，则b
＝( )
A.－1
B.－2
C.－3
D.0
(2)(2024·泸州模拟)曲线f(x)＝在x＝0 处的切线方程为________.
答案 (1)C (2)2x－y－1＝0
解析 (1)由题意可得y′＝ln x＋1－ae－x，
根据导数的几何意义可知，在点x＝1 处的切线斜率为1－＝2，解得a＝－e.
所以切点为(1，－1)，
代入切线方程可得2＋1＋b＝0，解得b＝－3.
(2)由题意可知f′(x)＝＝，
所以切线斜率k＝f′(0)＝2，又f(0)＝－1，
即切线方程为y－(－1)＝2(x－0)，
即2x－y－1＝0.
热点二 曲线的公切线
考向1 切点相同的公切线问题
例2 (1)(2024·济南质检)已知曲线y＝ln x 与曲线y＝a 在交点(1，0)处有相同的切
线，则a＝( )
A.1
B.
C.－
D.－1
(2)已知曲线f(x)＝x2－2m，g(x)＝3ln x－x，若y＝f(x)与y＝g(x)在公共点处的切
线相同，则m＝( )
A.－3
B.1
C.2
D.5
答案 (1)B (2)B
解析 (1)因为(ln x)′＝，′＝a，曲线y＝ln x 与曲线y＝a 在交点(1，0)处有相同
的切线，所以2a＝1，a＝.故选B.
(2)设曲线f(x)＝x2－2m 和g(x)＝3ln x－x 的公共点为(x0，y0)，
则
即
解得x0＝m＝1.
考向2 切点不同的公切线问题
例3 (1)已知函数f(x)＝ln x 与g(x)的图象关于直线y＝x 对称，直线l 与g(x)，
h(x)＝ex＋1－1 的图象均相切，则l 的倾斜角为( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2024·湖北名校联考)若直线x＋y＋m＝0 是曲线f(x)＝x3＋nx－52 与曲线g(x)＝
x2－3ln x 的公切线，则m－n＝( )
A.－30
B.－25
C.26
D.28
答案 (1)B (2)C
解析 (1)因为函数f(x)＝ln x 与g(x)的图象关于直线y＝x 对称，
所以f(x)＝ln x 与g(x)互为反函数，
所以g(x)＝ex，则g′(x)＝ex.
由h(x)＝ex＋1－1，得h′(x)＝ex＋1，
设直线l 与函数g(x)＝ex的图象的切点坐标为(x1，ex1)，与函数h(x)＝ex＋1－1 的图
象的切点坐标为(x2，ex2＋1－1)，
则直线l 的斜率k＝ex1＝ex2＋1，故x1＝x2＋1，显然x1≠x2，故k＝＝＝1，
所以直线l 的倾斜角为，故选B.
(2)由g(x)＝x2－3ln x，得g′(x)＝2x－，
令2x－＝－1，解得x＝1(x>0).
则直线x＋y＋m＝0 与曲线y＝x2－3ln x 的切点为(1，1)，
代入x＋y＋m＝0，得m＝－2；
由以上可知公切线方程为x＋y－2＝0，
由f(x)＝x3＋nx－52，得f′(x)＝3x2＋n.
设直线x＋y－2＝0 与曲线f(x)＝x3＋nx－52 切于点(t，t3＋nt－52)，
则
解得
所以m－n＝26，故选C.
规律方法 求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比
较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与
直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法.
训练2 (1)已知函数f(x)＝x2－4x＋4，g(x)＝x－1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为(
)
A.3
B.2
C.1
D.0
(2)已知曲线y＝aln x 和曲线y＝x2有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有
相同的切线l，则直线l 的方程为______________________________________.
答案 (1)A (2)2x－y－e＝0
解析 (1)设公切线与f(x)和g(x)分别相切于点(m，f(m))，(n，g(n))，f′(x)＝2x－
4，g′(x)＝－x－2，g′(n)＝f′(m)＝，
解得m＝－＋2，
代入化简得8n3－8n2＋1＝0，
构造函数h(x)＝8x3－8x2＋1，
则h′(x)＝8x(3x－2)，
所以h(x)在(－∞，0)，上单调递增，
在上单调递减，极大值h(0)>0，极小值h<0，
故函数h(x)的图象和x 轴有3 个交点，方程8n3－8n2＋1＝0 有三个解，故公切线
有3 条.
(2)设曲线g(x)＝aln x 和曲线f(x)＝x2在公共点(x0，y0)处的切线相同，
则f′(x)＝2x，g′(x)＝，
由题意知f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，
即解得a＝2e，x0＝，
故切点为(，e)，
切线斜率k＝f′(x0)＝2，
所以切线方程为y－e＝2(x－)，
即2x－y－e＝0.
【精准强化练】
一、单选题
1.(2024·开封模拟)已知函数f(x)＝2x，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方
程为( )
A.x－y－1＝0
B.x－y＋1＝0
C.x·ln 2－y－1＝0
D.x·ln 2－y＋1＝0
答案 D
解析 函数f(x)＝2x，求导得f′(x)＝2xln 2，则f′(0)＝ln 2，而f(0)＝1，
所以所求切线方程为y－1＝ln 2·(x－0)，
即x·ln 2－y＋1＝0.
2.(2024·茂名模拟)曲线f(x)＝ex＋ax 在点(0，1)处的切线与直线y＝2x 平行，则a
＝( )
A.－2
B.－1
C.1
D.2
答案 C
解析 因为曲线f(x)＝ex＋ax 在点(0，1)处的切线与直线y＝2x 平行，
故曲线f(x)＝ex＋ax 在点(0，1)处的切线的斜率为2，
因为f′(x)＝ex＋a，
所以f′(0)＝e0＋a＝1＋a＝2，所以a＝1.
3.(2024·遂宁模拟)若直线y＝kx 与曲线y＝ln x 相切，则k＝( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 设切点为(x0，ln x0)，
则由题意可知f′(x)＝，∴f′(x0)＝＝k，
∴
4.(2024·银川调研)若点P 是函数f(x)＝图象上任意一点，直线l 为点P 处的切线，
则直线l 倾斜角的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 函数f(x)＝中，
sin x＋cos x≠0，即sin 2x>－1，
设点P(x0，y0)，
求导得f′(x)＝
＝－＝－，
由－1<sin 2x≤1，得0<1＋sin 2x≤2，
即≥，
因此函数f(x)的图象在点P 处的切线l 斜率f′(x0)＝－≤－，显然直线l 的倾斜角为
钝角，所以直线l 的倾斜角的取值范围是.
5.已知直线l 为曲线y＝x＋1＋ln x 在A(1，2)处的切线，若l 与曲线y＝ax2＋(a＋
2)x＋1 也相切，则a 等于( )
A.0
B.－4
C.4
D.0 或4
答案 C
解析 因为y＝x＋1＋ln x，
所以y′＝1＋，所以y′|x＝1＝2，
所以曲线y＝x＋1＋ln x 在A(1，2)处的切线方程为y－2＝2x－2，即y＝2x.
由于切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1 相切，
由得ax2＋ax＋1＝0，
当a＝0 时，1＝0，不成立.
又a≠0，两线相切有一切点，
所以Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4 或a＝0(舍去).
6.过点且与曲线y＝2xln x＋3 相切的切线方程是( )
A.2x＋y＋1＝0
B.2x－y＋1＝0
C.2x＋4y＋1＝0
D.2x－4y＋1＝0
答案 B
解析 由题意可得点不在曲线
y＝2xln x＋3 上，
设切点为(x0，y0)，因为y′＝2ln x＋2，
所以所求切线的斜率
k＝2ln x0＋2＝＝，
所以y0＝2x0ln x0＋2x0＋ln x0＋1.
因为点(x0，y0)是切点，所以y0＝2x0ln x0＋3，
所以2x0ln x0＋2x0＋ln x0＋1＝2x0ln x0＋3，
即2x0＋ln x0－2＝0.
设f(x)＝2x＋ln x－2(x>0)，显然f(x)在(0，＋∞ )上单调递增，且f(1)＝0，
所以2x0＋ln x0－2＝0 有唯一解x0＝1，
则所求切线的斜率k＝2，
故所求切线方程为y＝2＝2x＋1，
即2x－y＋1＝0.
7.(2024·杭州质检)若过点(a，b)可以作曲线y＝x－(x>0)的两条切线，则( )
A.b>a>0
B.a>b>a－
C.0<a－<b<a
D.a－<b<0<a
答案 B
解析 设切点为(x0，y0)，则x0>0，由题知y′＝1＋(x>0)，设切线的斜率为k，
则k＝1＋＝＝，
化简得(a－b)x－2x0＋a＝0，①
则Δ＝4－4a(a－b).
∵过点(a，b)可以作曲线y＝x－(x>0)的两条切线，
∴方程①有两个不同的正解，
∴
∴a>b>a－.
其中a>0，b 与a－的符号不能确定，故选B.
8.若存在斜率为3a(a>0)的直线l 与曲线f(x)＝x2＋2ax－2b，g(x)＝3a2·ln x 都相切，
则实数b 的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 设直线l 与f(x)，g(x)的切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为f(x)＝x2＋2ax－2b，
g(x)＝3a2·ln x，
所以f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝，
因为直线l 与f(x)，g(x)都相切，
所以x1＋2a＝＝3a，解得x1＝x2＝a，
则两切点重合，即f(a)＝g(a)，
a2＋2a2－2b＝3a2·ln a，
2b＝a2－3a2·ln a.
设h(a)＝a2－3a2·ln a(a>0)，
则h′(a)＝2a－6aln a＝2a(1－3ln a)，
当0<a<e 时，h′(a)>0，h(a)单调递增；
当a>e 时，h′(a)<0，h(a)单调递减，
则h(a)max＝h
＝e－3e·ln e＝e，
因为当a→＋∞时，h(a)→－∞，
所以2b≤e，
即b≤e，
所以实数b 的取值范围为.
二、多选题
9.已知函数f(x)＝ex，则下列结论正确的是( )
A.曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1
B.曲线y＝f(x)的切线斜率可以是－1
C.过点(0，1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1 条
D.过点(0，0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有2 条
答案 AC
解析 对于A，令f′(x)＝ex＝1，得x＝0，
所以曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1，
故A 正确；
对于B，令f′(x)＝ex＝－1，无解，
所以曲线y＝f(x)的切线斜率不可以是－1，
故B 错误；
对于C，因为点(0，1)在曲线上，
所以点(0，1)是切点，则f′(0)＝1，
所以切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1，
所以过点(0，1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1 条，故C 正确；
对于D，因为点(0，0)不在曲线上，
所以设切点(x0，ex0)，
则切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，
因为点(0，0)在切线上，
所以ex0＝x0ex0，解得x0＝1，
所以过点(0，0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1 条，故D 错误.
10.(2024·温州适考)若函数y＝f(x)的图象上存在两个不同的点P，Q，使得f(x)的
图象在这两点处的切线重合，则称函数y＝f(x)为“切线重合函数”，下列函数
中是“切线重合函数”的是( )
A.f(x)＝sin x＋cos x
B.f(x)＝sin(cos x)
C.f(x)＝x＋sin x
D.f(x)＝x2＋sin x
答案 ABC
解析 对于A，f(x)＝sin x＋cos x＝sin，
则f′(x)＝cos，
当x＝2kπ＋，k∈Z 时，f′(x)＝0，f(x)取得最大值，直线y＝是函数图象的切线，
且过点，k∈Z，故A 正确；
对于B，f(x)＝sin(cos x)，
则f′(x)＝－sin xcos(cos x)，
当x＝2kπ，k∈Z 时，f′(x)＝0，f(x)取得最大值sin 1，直线y＝sin 1 是函数图象的
切线，且过点(2kπ，sin 1)，k∈Z，故B 正确；
对于C，f(x)＝x＋sin x，则f′(x)＝1＋cos x，当x＝2kπ＋，k∈Z 时，f′(x)＝1，
f(x)＝2kπ＋＋1，k∈Z，
过点，k∈Z 的切线方程是y－＝x－，k∈Z，即y＝x＋1，
因此该切线过f(x)图象上的两个以上的点，故C 正确；
对于D，f(x)＝x2＋sin x，则f′(x)＝2x＋cos x，令g(x)＝f′(x)＝2x＋cos x，
则g′(x)＝2－sin x>0 在R 上恒成立，所以g(x)即f′(x)是R 上的增函数，因此函数
f(x)图象上不存在两点，使它们的切线斜率相等，故D 错误.
11.(2024·昭通诊断)若过y 轴上一点P(0，m)最多可作出n(n∈N*)条直线与函数
f(x)＝xex的图象相切，则( )
A.n 可以取到3
B.m＋n<3
C.当n＝1 时，m 的取值范围是
D.当n＝2 时，m 存在且唯一
答案 ABD
解析 设切点为(x0，x0ex0)，f′(x)＝(x＋1)ex，则＝(x0＋1)ex0，
所以－m＝xex0.
令g(x)＝x2ex，则g′(x)＝(x2＋2x)ex，
易得g(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增，在(－2，0)上单调递减.
极大值为g(－2)＝4e－2，极小值为g(0)＝0，当x→－∞时，g(x)→0，作出g(x)的
图象如图所示，
显然当m∈(－4e－2，0)时，g(x)＝－m 有三个解，即有三条切线，n＝3；
当m＝0 时，g(x)＝－m 有一个解，即有且仅有一条切线，n＝1；
当m>0 时，g(x)＝－m 无解，即不存在切线，不符合题意；
当m＝－4e－2时，g(x)＝－m 有两个解，即有两条切线，n＝2；
当m<－4e－2时，g(x)＝－m 有一个解，即有一条切线，n＝1；
所以A，B，D 正确，C 错误.
三、填空题
12.过点(－1，0)作曲线y＝x3－x 的切线，写出一条切线方程为________.
答案 2x－y＋2＝0(答案不唯一)
解析 y＝x3－x，y′＝3x2－1，
设切点坐标为(x0，x－x0)，
则切线斜率为3x－1，
得方程y－(x－x0)＝(3x－1)(x－x0)，
代入点(－1，0)，得2x＋3x－1＝0，
即(x0＋1)2(2x0－1)＝0，
解得x0＝－1 或x0＝，
当x0＝－1 时，切线方程为2x－y＋2＝0；
当x0＝时，切线方程为x＋4y＋1＝0.
13.已知直线l 与曲线C1：y＝x2和C2：y＝－均相切，则该直线与两坐标轴围成的
三角形的面积为________.
答案 2
解析 由已知得C1，C2的导函数分别为y′＝2x，y′＝，
设C1，C2上的切点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则有2x1＝＝＝，
解得
故l：y＝4x－4 与坐标轴的交点坐标分别为(1，0)，(0，－4)，围成的三角形面积
为×1×4＝2.
14.若函数f(x)＝ln x＋ax 与函数g(x)＝x2的图象有两条公切线，则实数a 的取值
范围是________.
答案 (－∞，1)
解析 设公切线与函数f(x)，g(x)分别切于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则过A，B 的切线分别为y＝x＋ln x1－1，
y＝2x2x－x，
则有
由ln x1－1＝－x 得x1＝e1－x，
代入＋a＝2x2得a＝2x2－ex－1，
依题意知y＝a 与y＝2x－ex2－1的图象有两个不同的交点.
令φ(x)＝2x－ex2－1，
∵φ′(x)＝2－2xex2－1，令φ′(x)＝0，得x＝1，
当x∈(－∞，1)时，φ′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，
∴φ(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
∴φ(x)max＝φ(1)＝1，
又x→－∞时，φ(x)→－∞；
x→＋∞时，φ(x)→－∞，
故a<1.
