文档内容
导数及其应用(新高考培优专用)
目录
【重难保分考点】
【重难保分考点一】导数的概念和几何意义
【重难保分考点二】导数与函数单调性
【重难保分考点三】导数与函数极值
【重难保分考点四】导数与函数最值
【重难保分考点五】导数的综合应用
【能力培优考点】
【能力培优考点一】导数与含参的单调区间问题
【能力培优考点二】导数与恒成立问题
【能力培优考点三】导数与函数的零点
【能力培优考点四】导数与不等式证明
【冲刺压轴考点】
【冲刺压轴考点一】二次求导
【冲刺压轴考点二】参变分离
【冲刺压轴考点三】函数构造
【冲刺压轴考点四】双变量
1【重难保分考点一】导数的概念和几何意义
一、单选题
1. (2022上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习)已知函数fx
2
在x=x 处的导数为6，则lim 0
Δx→0
fx 0 -Δx -fx 0 = ( )
2Δx
A.-3 B.3 C.-6 D.6
2. (2023上·湖南·高二邵阳市第二中学校联考阶段练习)已知直线y=3x与曲线y=ln3x-a +2相切，则a
的值为 ( )
1 1 5
A. B.ln + C.2 D.1
4 3 3
二、多选题
3. (2023上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习)已知函数fx
2x
= ，则所有正确的结论是 ( )
2x+1
A.函数fx 是增函数 B.函数fx 的值域为0,1
C.曲线y=fx
1
关于点0,
2
对称 D.曲线y=fx
1
有且仅有两条斜率为 的切线
5
4. (2023上·河南周口·高三校联考阶段练习)已知函数f(x)=x3(3lnx-1)，则 ( )
A.函数f(x)的最小值为-1
B.若函数f(x)在点(m,f(m))处的切线与直线y=9e2x-1平行，则f(m)=2e3
C.函数g(x)=f(x)-a(a>0)有且仅有两个零点
3e
D. f ln 2
3
f(3x-8)的解集为 ( )
A.(-∞,4) B.(0,+∞) C.(-∞,0) D.(4,+∞)
2. (2023·四川成都·统考一模)若a=lnlnπ
2 2 1
,b= ln ,c=- ，则 ( )
3 3 e
A.c0时，gx 的值域为2,+∞
C.当x≥0时，若fx ≥ax恒成立，则a的取值范围为-∞,2
D.当n∈N*时，满足g1 g2 ⋅⋅⋅gn >en+1+2
n
2
三、填空题
5. (2023上·陕西榆林·高三校考阶段练习)已知函数fx 的定义域为-1,5 ，部分对应值如表，fx 的导函
数y=f x 的图象如图所示，
x -1 0 2 4 5
fx 1 2 1.5 2 1
下列关于函数fx 的命题：
①函数fx 的值域为1,2 ；
②如果当x∈-1,t 时，fx 的最大值为2，那么t的最大值为4；
③函数fx 在0,2 上是减函数；
④当10 D.ac<0
4. (2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中)已知函数fx 及其导函数f x 的部分图象如图所示，
设函数gx
fx
=
，则gx
ex
( )
A.在区间a,b 上是减函数 B.在区间a,b 上是增函数
C.在x=a时取极小值 D.在x=b时取极小值
三、填空题
5. (2023·陕西宝鸡·统考二模)若函数fx
1
=ex-e-x+ x3-ax无极值点，则实数a的取值范围是 .
3
6. (2023上·山西临汾·高三校考阶段练习)已知曲线fx =x3+ax2+bx+1在点 1,f1 处的切线斜率为3，
2
且x= 是y=fx
3
的极值点，则函数的另一个极值点为 .
【重难保分考点四】导数与函数最值
一、单选题
1. (2022·福建福州·统考三模)已知函数fx
cosπx
= ，以下结论中错误的是 ( )
x2+1
A. fx 是偶函数 B. fx 有无数个零点
C. fx
1
的最小值为- D. fx
2
的最大值为1
2. (2023·陕西商洛·统考一模)已知函数fx =2x-1 ex-x2-ax在 R上单调递增，则a的最大值是 ( )
1
A.0 B. C.e D.3
6
二、多选题
3. (2023下·福建厦门·高二厦门一中校考期中)已知函数fx
m
=xex- x2-mx，则函数fx
2
在1,2 上的最
小值可能为 ( )3 1
A.e- m B.- mln2m C.2e2-4m D.e2-2m
2 2
4. (2023上·广西河池·高三贵港市高级中学校联考阶段练习)已知函数fx
5
x2+3x+1
= ，则下列结论正确的
ex
是 ( )
A.函数fx 存在三个不同的零点
B.函数fx 既存在极大值又存在极小值
C.若x∈t,+∞
5
时，f(x) = ，则t的最大值为1 max e
D.当-e20(a>0)恒成立，则a的
2
取值范围是 ．
6. (2023上·江苏镇江·高三校考阶段练习)如图，正方形ABCD 与正方形ABCD的中心重合，边长分别为3
1 1 1 1
和1，P，P，P，P分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点，把阴影部分剪掉后，将四个三角形分别沿AD，
1 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1
AB，BC，CD折起，使P，P，P，P重合于P点，则四棱锥P-ABCD的高为 ，若直四棱柱A B C
1 2 3 4 2 2 2
D -A B C D 内接于该四棱锥，其上底面四个顶点在四棱锥侧棱上，下底面四个顶点在面ABCD内，则该
2 3 3 3 3
直四棱柱A B C D -A B C D 体积的最大值为 ．
2 2 2 2 3 3 3 3【能力培优考点一】导数与含参的单调区间问题
一、解答题
1. (2023上·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习)设fx
7
=ax-a+1
1
lnx- .
x
(1)讨论fx 的单调性；
(2)设gx =x2e2x-fx ，若关于x的不等式gx ≥ax+a+3
1
lnx+ +1恒成立，求实数a的取值范
x
围.
2. (2023上·广东深圳·高三珠海市第一中学校联考阶段练习)已知函数f(x)=(x-1)ex+ax2，a∈R．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a<-1时，若f(x)的极小值点为x ，证明：f(x)存在唯一的零点x ，且x-x ≥ln2．
0 1 1 01
3. (2023上·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考期中)已知函数f(x)=lnx+ x2-ax．
2
1
(1)当a= 时，求在曲线y=f(x)上的点(1,f(1))处的切线方程；
2
(2)讨论函数f(x)的单调性；
(3)若f(x)有两个极值点x ，x ，证明： fx 1
1 2
8
-fx 2 a <2- ．
x-x 2
1 2
4. (2024·广东佛山·统考一模)已知fx =e2x-ax-1,gx =axex-1 ，其中a∈R.
(1)求fx 的单调区间；
(2)若a>2，证明：当x≥ 3a-6时，fx >gx .5. (2023上·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校考期末)已知函数fx
9
=ax-2lnx．
(1)试讨论函数fx 的单调性；
(2)a>0时，求fx 在1,e 上的最大值；
(3)当x>1时，不等式fx <x-2 lnx+2x+a-1恒成立，求整数a的最大值．
1
6. (2023上·山西吕梁·高三校联考阶段练习)已知函数f(x)=- x2+ax-lnx(a∈R)．
2
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)有两个极值点x ，x (xmx-1 在x>1时恒成立，求m的最大值．
4. (2024·全国·模拟预测)已知函数fx =x+a lnx-ex-1 a∈R ．
(1)当a=0时，讨论函数f(x)的单调性；
(2)若f(x)>0在(1,+∞)上恒成立，求a的取值范围．5. (2024上·山西·高三期末)已知函数fx
12
=mx-1 2-2x+2lnx，m≥2.
(1)求证：函数fx 存在单调递减区间，并求出该函数单调递减区间a,b 的长度b-a的取值范围；
(2)当x≥1时，fx ≤2xex-1-4x恒成立，求实数m的取值范围.
6. (2024上·甘肃武威·高三统考期末)已知函数fx
2x
= +alnx+1
ex
.
(1)当a=0时，求fx 的最大值；
(2)若fx ≤0在x∈0,+∞ 上恒成立，求实数a的取值范围.【能力培优考点三】导数与函数的零点
一、单选题
1. (2023上·山东·高三校联考阶段练习)已知函数fx
13
ax, x≤0
=lnx,
x>0
，则函数gx
x
=2 ef fx -1的零点
个数为 ( )
A.0或3 B.0或1 C.1或2 D.2或3﹒
二、多选题
2. (2024上·湖北武汉·高三统考期末)已知函数fx =ex-kx，gx =klnx-x，k>0，则 ( )
A.当k>e时，函数fx 有两个零点
B.存在某个k∈0,+∞ ，使得函数fx 与gx 零点个数不相同
C.存在k>e，使得fx 与gx 有相同的零点
D.若函数fx 有两个零点x 1 ,x 2x 1 1-ln2；若
f nx 没有最小值，说明理由．
(注：e=2.71828⋯是自然对数的底数)5. (2023上·广西柳州·高三柳州高级中学校考阶段练习)已知函数fx
14
a
=-2lnx- +1，
x2
(1)当a=1时，求fx 在区间 1 ，2
2
上的值域；
(2)若fx
1 1 2
有两个不同的零点x ，x ，求a的取值范围，并证明： + > . 1 2 x2 x2 a
1 2
6. (2024上·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)已知函数fx
1
=alnx-x+ (a∈R).
x
(1)是否存在实数a，使得x=1为函数fx 的极小值点.若存在，求a的值；若不存在，请说明理由；
(2)若fx 图象上总存在关于点1,0 对称的两点，求a的取值范围.【能力培优考点四】导数与不等式证明
一、解答题
1. (2023上·河北石家庄·高三石家庄市第二十七中学校考阶段练习)已知函数fx
15
1
=xlnx- x2+ax．
4
(1)若fx 在定义域内为单调递减函数，求a的取值范围；
(2)求证：当a>0且x∈0,2 时，fx >-1．
x2+m
2. (2024·陕西宝鸡·统考一模)已知函数f(x)=ln(x+1)- (m∈R)
x+1
(1)当m=-1时，求f(x)的单调区间；
(2)已知x>0，求证：当m≥1时，f(x)<0恒成立；
x2+m
(3)设m>0，求证：当函数f(x)恰有一个零点时，该零点一定不是函数y= 的极值点．
x+13. (2024·全国·模拟预测)已知函数fx
16
=lnx-aex a>0 ，其中e为自然对数的底数．
1
(1)若a= ，求fx
e
的单调区间；
(2)证明：fx ≤-2-lna．
4. (2024上·辽宁丹东·高三统考期末)已知定义在0,+∞ 上的函数fx =lnx+1 和gx = x.
(1)求证：fx 0 ，
(1)若a=1，求fx 的单调区间；
(2)若x=0是fx 的极小值点，求实数a的取值范围．3. (2023下·湖北·高二十堰一中校联考期中)已知函数fx
19
ax
=sinx- 00，求a的取值范围；
2 2 n 1
(3)证明： - <sin
3 2n+3 k=1 kk+1
<1.
4. (2023·全国·模拟预测)已知函数fx =x-1 lnx-ax-1a>0 ．
(1)若fx 的最小值为-e-1，求a的值；
(2)若a=1，证明：函数fx 存在两个零点x 1 ，x 2 ，且f x 1 +f x 2 <-2．5. (2023·全国·模拟预测)已知函数fx
20
=mx-xlnx，m∈R．
(1)若函数fx 的图象在x=1处的切线方程为y=x+b，求b的值；
(2)若m=2，fx 1 =fx 2
1
且x0.923，证明：当0.250)．
x
(1)若当x=1时函数fx 取到极值，求a的值；
(2)讨论函数fx 在区间(1,+∞)上的零点个数．3. (2023上·河北邢台·高三校联考阶段练习)已知函数fx
25
aex-1
= +elnx-x
x
，a∈R.
(1)若fx 在1,+∞ 上单调递增，求a的取值范围；
5
(2)当a≥ 时，证明：fx
2
+e-1 x>ex-1 1-lnx +elnx.
4. (2023上·天津和平·高三天津一中校考阶段练习)已知函数fx
3
=x2lnx- a
2
，a为实数．
2
(1)当a= 时，求函数在x=1处的切线方程；
3
(2)求函数fx 的单调区间；
(3)若函数fx 在x=e处取得极值，f x 是函数fx 的导函数，且f x 1 =f x 2 ，x- x+1；
x 2
(2)若x∈-1,+∞ 时，gx ≥fx ，求实数a的取值范围．【冲刺压轴考点四】双变量
一、解答题
1. (2023上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中)已知函数fx
27
1
=aex- x2+a有两个不同的极值点x,x 2 1 2
x 1 0，且x+mx >m+1，求m的取值范围.
1 2
2. (2023上·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)函数fx
1
=alnx+ x2-a+1
2
3
x+ (a>0).
2
(1)求函数fx 的单调区间；
(2)当a=1时，若fx 1 +fx 2 =0，求证：x+x ≥2； 1 2
(3)求证：对于任意n∈N*都有2lnn+1
n i-1
+
i
i=1
2
>n.f(x)
3. (2023·新疆·统考三模)已知函数f(x)=ax2+(a+1)xlnx-1，g(x)= ．
x
(1)讨论gx
28
的单调性；
e2
(2)若方程f(x)=x2ex+xlnx-1有两个不相等的实根x,x ，求实数a的取值范围，并证明ex1+x2> ．
1 2 xx
1 2
4. (2023下·广东珠海·高二珠海市斗门区第一中学校考阶段练习)已知函数fx =x-lnx-3.
(1)求曲线y=fx 在x=1处的切线方程；
(2)记函数gx =x2-bx-3-fx ，设x 1 ,x 2x 1 0
2 2
有两个
零点x,x ，且x
