导数及其应用学生版(1)_2024年4月_01按日期_6号_2024届新结构高考数学合集_新高考19题（九省联考模式）数学合集140套_导数及其应用--2024年新高考题型

导数及其应用(新高考培优专用)
目录
【重难保分考点】
【重难保分考点一】导数的概念和几何意义
【重难保分考点二】导数与函数单调性
【重难保分考点三】导数与函数极值
【重难保分考点四】导数与函数最值
【重难保分考点五】导数的综合应用
【能力培优考点】
【能力培优考点一】导数与含参的单调区间问题
【能力培优考点二】导数与恒成立问题
【能力培优考点三】导数与函数的零点
【能力培优考点四】导数与不等式证明
【冲刺压轴考点】
【冲刺压轴考点一】二次求导
【冲刺压轴考点二】参变分离
【冲刺压轴考点三】函数构造
【冲刺压轴考点四】双变量
1【重难保分考点一】导数的概念和几何意义
一、单选题
1. (2022上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习)已知函数fx
2
 在x=x 处的导数为6，则lim 0
Δx→0
fx 0 -Δx  -fx 0  = ( )
2Δx
A.-3 B.3 C.-6 D.6
2. (2023上·湖南·高二邵阳市第二中学校联考阶段练习)已知直线y=3x与曲线y=ln3x-a  +2相切，则a
的值为 ( )
1 1 5
A. B.ln + C.2 D.1
4 3 3
二、多选题
3. (2023上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习)已知函数fx 
2x
= ，则所有正确的结论是 ( )
2x+1
A.函数fx  是增函数 B.函数fx  的值域为0,1 
C.曲线y=fx 
1
关于点0,
2
 对称 D.曲线y=fx 
1
有且仅有两条斜率为 的切线
5
4. (2023上·河南周口·高三校联考阶段练习)已知函数f(x)=x3(3lnx-1)，则 ( )
A.函数f(x)的最小值为-1
B.若函数f(x)在点(m,f(m))处的切线与直线y=9e2x-1平行，则f(m)=2e3
C.函数g(x)=f(x)-a(a>0)有且仅有两个零点
3e
D. f ln 2   
3
<f 2  <flog 2 3 
三、填空题
5. (2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测)已知曲线fx  =x+ex在点 0,f0    处的切线与曲线y=lnx-1  +a
相切，则a= .
6. (2022上·山东青岛·高三山东省青岛第一中学校考期中)若曲线C 1 :fx  =x2+a和曲线C 2 :gx  =4lnx-
2x存在有公共切点的公切线，则该公切线的方程为 .
【重难保分考点二】导数与函数单调性
一、单选题
1. (2024上·河南南阳·高三方城第一高级中学校联考期末)已知函数f(x)在R上的导函数为f(x)，且f(x)-
1<0，则f(x)+2x-8>f(3x-8)的解集为 ( )
A.(-∞,4) B.(0,+∞) C.(-∞,0) D.(4,+∞)
2. (2023·四川成都·统考一模)若a=lnlnπ 
2 2 1
,b= ln ,c=- ，则 ( )
3 3 e
A.c<a<b B.b<c<a C.c<b<a D.b<a<c
二、多选题
3. (2024·全国·模拟预测)已知函数f(x)=4x3-6x2+3，则 ( )
A. f(x)在[-2,2]上的极大值和最大值相等
B.直线6x+2y-7=0和函数f(x)的图象相切C.若f(x)在区间(a,a+1)上单调递减，则a=0
1
D. f
101
3

2
+f
101

100
+⋯+f
101
 =200
4. (2023·全国·模拟预测)已知函数fx  和gx  分别为R上的奇函数和偶函数，满足fx  +gx  =2ex，f
x  ，g x  分别为函数fx  和gx  的导函数，则下列结论中正确的是 ( )
A. fx  =ex-e-x
B.当x>0时，gx  的值域为2,+∞ 
C.当x≥0时，若fx  ≥ax恒成立，则a的取值范围为-∞,2 
D.当n∈N*时，满足g1  g2  ⋅⋅⋅gn  >en+1+2 
n
2
三、填空题
5. (2023上·陕西榆林·高三校考阶段练习)已知函数fx  的定义域为-1,5  ，部分对应值如表，fx  的导函
数y=f x  的图象如图所示，
x -1 0 2 4 5
fx  1 2 1.5 2 1
下列关于函数fx  的命题：
①函数fx  的值域为1,2  ；
②如果当x∈-1,t  时，fx  的最大值为2，那么t的最大值为4；
③函数fx  在0,2  上是减函数；
④当1<a<2时，函数y=fx  -a最多有4个零点．
其中正确命题的序号是 .
6. (2023·全国·高三专题练习)若对于x≥1，不等式ax-1  -lnx≥0恒成立，则参数a的取值范围为
．
【重难保分考点三】导数与函数极值
一、单选题
1. (2024·全国·模拟预测)记函数y=fx  的导函数为y，y的导函数为y，则曲线y=fx  的曲率K=
y

1+y  2  
．则曲线y=lnx的曲率的极值点为 ( )
3
2
2 2 3 2 3 2
A. B. C. D.
2 3 9 3
2. (2023上·山西临汾·高三山西省临汾市第三中学校校联考期中)已知函数fx  =x2-ax-lnx+2a∈R 在区间0,1
4
 上单调递减，在区间1,+∞  上单调递增，则fx  的极小值为 ( )
A.2 B.1 C.0 D.-1
二、多选题
3. (2023上·河北衡水·高三校考阶段练习)若函数fx 
b c
=alnx+ + ,a≠0
x x2
 既有极大值也有极小值，则
( )
A.bc<0 B.ab<0 C.b2+8ac>0 D.ac<0
4. (2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中)已知函数fx  及其导函数f x  的部分图象如图所示，
设函数gx 
fx
=

，则gx
ex
 ( )
A.在区间a,b  上是减函数 B.在区间a,b  上是增函数
C.在x=a时取极小值 D.在x=b时取极小值
三、填空题
5. (2023·陕西宝鸡·统考二模)若函数fx 
1
=ex-e-x+ x3-ax无极值点，则实数a的取值范围是 .
3
6. (2023上·山西临汾·高三校考阶段练习)已知曲线fx  =x3+ax2+bx+1在点 1,f1    处的切线斜率为3，
2
且x= 是y=fx
3
 的极值点，则函数的另一个极值点为 .
【重难保分考点四】导数与函数最值
一、单选题
1. (2022·福建福州·统考三模)已知函数fx 
cosπx
= ，以下结论中错误的是 ( )
x2+1
A. fx  是偶函数 B. fx  有无数个零点
C. fx 
1
的最小值为- D. fx
2
 的最大值为1
2. (2023·陕西商洛·统考一模)已知函数fx  =2x-1  ex-x2-ax在 R上单调递增，则a的最大值是 ( )
1
A.0 B. C.e D.3
6
二、多选题
3. (2023下·福建厦门·高二厦门一中校考期中)已知函数fx 
m
=xex- x2-mx，则函数fx
2
 在1,2  上的最
小值可能为 ( )3 1
A.e- m B.- mln2m C.2e2-4m D.e2-2m
2 2
4. (2023上·广西河池·高三贵港市高级中学校联考阶段练习)已知函数fx
5

x2+3x+1
= ，则下列结论正确的
ex
是 ( )
A.函数fx  存在三个不同的零点
B.函数fx  既存在极大值又存在极小值
C.若x∈t,+∞ 
5
时，f(x) = ，则t的最大值为1 max e
D.当-e2<k<0时，方程fx  =k有且只有两个实根
三、填空题
5. (2023上·宁夏银川·高三校考阶段练习)函数fx  =xlnx，gx  =x2-2x+a，若对任意的x∈  1 ,1 1  e  ，x ∈ 2
1,2  ，使得fx 1  ≥gx 2  成立，则实数a的范围是 ．
6. (2023·全国·高三专题练习)(1)已知函数fx  =xex-ax+lnx+1  ，若fx  ≥0恒成立，则正数a的取值
范围是 ；
(2)已知不等式xex-ax+1  ≥lnx对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是 ；
(3)已知函数fx  =aex-lnx-1，若fx  ≥0恒成立，则实数a的取值范围是 ；
(4)已知不等式ex-1≥kx+lnx，对∀x∈0，+∞  恒成立，则k的最大值为 ．
【重难保分考点五】导数的综合应用
一、单选题
1. (2023上·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校考期末)若点P1,m  不在函数fx  =x3-3mx的图像上，
且过点P有三条直线与fx  的图像相切，则实数m的取值范围为 ( )
1
A. 0,
4

1
B. 0,
4

1 1
∪ ,
4 2

1 C. -∞,
4
 1 ∪ ,+∞
2
 1 D. -∞,
4
 1 ∪ ,+∞
2

1
2. (2023上·江苏常州·高三校联考阶段练习)设函数f(x)= x2-4x+alnx，若函数y=f(x)存在两个极值点
2
x,x ，且不等式f(x)+f(x )≥x+x +t恒成立，则t的取值范围为 ( )
1 2 1 2 1 2
A. -∞，-1  B. -∞，-16-8ln2 
e2
C. -∞， -4e
2
 D. -∞，-13 
二、多选题
3. (2023下·甘肃庆阳·高二校考阶段练习)如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是
16cm2的等腰直角三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则下列说
法中正确的有 ( )144 256π
A.冰块最大体积为 πcm3 B.冰块的最大体积为 cm3
27 27
4
C.冰块体积达到最大时，冰块的高度为 cm D.冰块体积达到最大时，冰块的高度为2cm
3
4. (2024上·辽宁丹东·高三统考期末)已知函数fx
6

1
= x3-x-1，则 ( )
3
A. fx  有一个零点 B. fx 
2
的极小值为-
3
C. fx  的对称中心为0,-1  D.直线y=-x-1是曲线y=fx  的切线
三、填空题
1
5. (2023上·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考期末)已知不等式 x2-alnx>0(a>0)恒成立，则a的
2
取值范围是 ．
6. (2023上·江苏镇江·高三校考阶段练习)如图，正方形ABCD 与正方形ABCD的中心重合，边长分别为3
1 1 1 1
和1，P，P，P，P分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点，把阴影部分剪掉后，将四个三角形分别沿AD，
1 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1
AB，BC，CD折起，使P，P，P，P重合于P点，则四棱锥P-ABCD的高为 ，若直四棱柱A B C
1 2 3 4 2 2 2
D -A B C D 内接于该四棱锥，其上底面四个顶点在四棱锥侧棱上，下底面四个顶点在面ABCD内，则该
2 3 3 3 3
直四棱柱A B C D -A B C D 体积的最大值为 ．
2 2 2 2 3 3 3 3【能力培优考点一】导数与含参的单调区间问题
一、解答题
1. (2023上·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习)设fx
7
 =ax-a+1 
1
lnx- .
x
(1)讨论fx  的单调性；
(2)设gx  =x2e2x-fx  ，若关于x的不等式gx  ≥ax+a+3 
1
lnx+ +1恒成立，求实数a的取值范
x
围.
2. (2023上·广东深圳·高三珠海市第一中学校联考阶段练习)已知函数f(x)=(x-1)ex+ax2，a∈R．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a<-1时，若f(x)的极小值点为x ，证明：f(x)存在唯一的零点x ，且x-x ≥ln2．
0 1 1 01
3. (2023上·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考期中)已知函数f(x)=lnx+ x2-ax．
2
1
(1)当a= 时，求在曲线y=f(x)上的点(1,f(1))处的切线方程；
2
(2)讨论函数f(x)的单调性；
(3)若f(x)有两个极值点x ，x ，证明： fx 1
1 2
8
 -fx 2  a <2- ．
x-x 2
1 2
4. (2024·广东佛山·统考一模)已知fx  =e2x-ax-1,gx  =axex-1  ，其中a∈R.
(1)求fx  的单调区间；
(2)若a>2，证明：当x≥ 3a-6时，fx  >gx  .5. (2023上·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校考期末)已知函数fx
9
 =ax-2lnx．
(1)试讨论函数fx  的单调性；
(2)a>0时，求fx  在1,e  上的最大值；
(3)当x>1时，不等式fx  <x-2  lnx+2x+a-1恒成立，求整数a的最大值．
1
6. (2023上·山西吕梁·高三校联考阶段练习)已知函数f(x)=- x2+ax-lnx(a∈R)．
2
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)有两个极值点x ，x (x<x )，求当a为何值时，4f(x)-2f(x )取得最大值．
1 2 1 2 1 2【能力培优考点二】导数与恒成立问题
一、解答题
1
1. (2023·四川内江·统考一模)已知函数f(x)= ax2-lnx．
2
(1)当a=1时，求f(x)的极值；
(2)若不等式f(x)≥x恒成立，求实数a的取值范围．
2. (2024·全国·模拟预测)已知函数fx
10
 =lnx+axa∈R  ．
(1)若函数fx  有两个不同的零点，求实数a的取值范围；
(2)若fx  ≤x⋅e2x-1对任意的x∈0,+∞  恒成立，其中e为自然对数的底数，求实数a的最大值．3. (2024上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校联考期末)已知函数fx
11
 =xlnx+2x-1.
(1)求fx  单调区间;
(2)已知m为整数，关于x的不等式f(x)>mx-1  在x>1时恒成立，求m的最大值．
4. (2024·全国·模拟预测)已知函数fx  =x+a  lnx-ex-1  a∈R  ．
(1)当a=0时，讨论函数f(x)的单调性；
(2)若f(x)>0在(1,+∞)上恒成立，求a的取值范围．5. (2024上·山西·高三期末)已知函数fx
12
 =mx-1  2-2x+2lnx，m≥2.
(1)求证：函数fx  存在单调递减区间，并求出该函数单调递减区间a,b  的长度b-a的取值范围；
(2)当x≥1时，fx  ≤2xex-1-4x恒成立，求实数m的取值范围.
6. (2024上·甘肃武威·高三统考期末)已知函数fx 
2x
= +alnx+1
ex
 .
(1)当a=0时，求fx  的最大值；
(2)若fx  ≤0在x∈0,+∞  上恒成立，求实数a的取值范围.【能力培优考点三】导数与函数的零点
一、单选题
1. (2023上·山东·高三校联考阶段练习)已知函数fx
13

ax, x≤0

=lnx,
x>0
，则函数gx
x
 =2 ef fx    -1的零点
个数为 ( )
A.0或3 B.0或1 C.1或2 D.2或3﹒
二、多选题
2. (2024上·湖北武汉·高三统考期末)已知函数fx  =ex-kx，gx  =klnx-x，k>0，则 ( )
A.当k>e时，函数fx  有两个零点
B.存在某个k∈0,+∞  ，使得函数fx  与gx  零点个数不相同
C.存在k>e，使得fx  与gx  有相同的零点
D.若函数fx  有两个零点x 1 ,x 2x 1 <x 2  ，gx  有两个零点x 3 ，x 4x 3 <x 4  ，一定有xx =x x 1 4 2 3
三、解答题
3. (2024上·江苏·高三统考期末)已知函数fx 
lnx
=ex-m- (m∈R).
x
(1)当m=1时，求函数fx  的单调区间；
(2)若函数fx  的图象与x轴相切，求证：1+ln2<m<2+ln6.
4. (2023上·山东·高三校联考阶段练习)定义函数f nx 
x2 x3
=1-x+ - +⋯+-1
2 3

xn
n n∈N*
n
 ．
(1)求曲线y=f nx  在x=-2处的切线斜率；
(2)若f 2x  -2≥kex对任意x∈R恒成立，求k的取值范围；
(3)讨论函数f nx  的零点个数，并判断f nx  是否有最小值．若f nx  有最小值m﹐证明：m>1-ln2；若
f nx  没有最小值，说明理由．
(注：e=2.71828⋯是自然对数的底数)5. (2023上·广西柳州·高三柳州高级中学校考阶段练习)已知函数fx
14

a
=-2lnx- +1，
x2
(1)当a=1时，求fx  在区间  1 ，2
 2
 上的值域；
(2)若fx 
1 1 2
有两个不同的零点x ，x ，求a的取值范围，并证明： + > . 1 2 x2 x2 a
1 2
6. (2024上·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)已知函数fx 
1
=alnx-x+ (a∈R).
x
(1)是否存在实数a，使得x=1为函数fx  的极小值点.若存在，求a的值；若不存在，请说明理由；
(2)若fx  图象上总存在关于点1,0  对称的两点，求a的取值范围.【能力培优考点四】导数与不等式证明
一、解答题
1. (2023上·河北石家庄·高三石家庄市第二十七中学校考阶段练习)已知函数fx
15

1
=xlnx- x2+ax．
4
(1)若fx  在定义域内为单调递减函数，求a的取值范围；
(2)求证：当a>0且x∈0,2  时，fx  >-1．
x2+m
2. (2024·陕西宝鸡·统考一模)已知函数f(x)=ln(x+1)- (m∈R)
x+1
(1)当m=-1时，求f(x)的单调区间；
(2)已知x>0，求证：当m≥1时，f(x)<0恒成立；
x2+m
(3)设m>0，求证：当函数f(x)恰有一个零点时，该零点一定不是函数y= 的极值点．
x+13. (2024·全国·模拟预测)已知函数fx
16
 =lnx-aex a>0  ，其中e为自然对数的底数．
1
(1)若a= ，求fx
e
 的单调区间；
(2)证明：fx  ≤-2-lna．
4. (2024上·辽宁丹东·高三统考期末)已知定义在0,+∞  上的函数fx  =lnx+1  和gx  = x.
(1)求证：fx  <gx  ；
(2)设φx 
4
= g2 x 

 +t  

fx  在0,+∞  存在极值点，求实数t的取值范围.5. (2023·全国·模拟预测)已知函数fx
17
 =x-mlnxm∈R  ．
(1)讨论fx  的单调性；
(2)若存在不相等的实数x 1 ，x 2 ，使得fx 1  =fx 2  ，证明：0<m<x+x ． 1 2
6. (2023上·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习)已知函数fx  =alnx-x,a∈R．
(1)讨论fx  的单调性；
(2)若存在不相等的实数x 1 ,x 2 ，使得fx 1  =fx 2  ，证明：0<2a<x+x ． 1 2【冲刺压轴考点一】二次求导
一、解答题
1. (2023·广东·统考二模)已知a∈R，函数fx
18
 =x-1  ln1-x  -x-acosx，f x  为fx  的导函数.
(1)当a=0时，求函数fx  的单调区间；
(2)讨论f x  在区间0,1  上的零点个数；
1 1 10
(3)比较 cos 与ln 的大小，并说明理由.
10 10 9
2. (2023上·河南·高三校联考阶段练习)已知函数fx  =xln1+ax  -x2 a>0  ，
(1)若a=1，求fx  的单调区间；
(2)若x=0是fx  的极小值点，求实数a的取值范围．3. (2023下·湖北·高二十堰一中校联考期中)已知函数fx
19

ax
=sinx- 0<x<1
x+2
 ，gx  =cosx-1+
x2
.
2
(1)证明：当x≥0时，gx  ≥0；
(2)若fx  >0，求a的取值范围；
2 2 n 1
(3)证明： - <sin
3 2n+3 k=1 kk+1 




<1.
4. (2023·全国·模拟预测)已知函数fx  =x-1  lnx-ax-1a>0  ．
(1)若fx  的最小值为-e-1，求a的值；
(2)若a=1，证明：函数fx  存在两个零点x 1 ，x 2 ，且f x 1  +f x 2  <-2．5. (2023·全国·模拟预测)已知函数fx
20
 =mx-xlnx，m∈R．
(1)若函数fx  的图象在x=1处的切线方程为y=x+b，求b的值；
(2)若m=2，fx 1  =fx 2 
1
且x<x ，λ∈0, 1 2 2  ，求证：x1-λxλ<e． 1 2
6. (2022·全国·模拟预测)已知函数fx 
x3
=- +πx2-ax，gx
3
 =2cosx．
(1)当x≥0时，求证：gx  ≥2-x2．
(2)令Fx  =fx  -gx  ，若Fx  的两个极值点分别为m，n(m<n)．
①当a=0时，求曲线y=F x  在x=m，x=n处的切线方程(F x  为Fx  的导函数)；
a-2
②求证：n-m≤
 π-2π3
．
1-π2【冲刺压轴考点二】参变分离
一、解答题
1. (2023上·河南·高三校联考开学考试)fx
21
 =lnex+a+1 
x x2
- 2 + 4 +b有两个零点x 1 ,x 2x 1 <x 2  ．
(1)a=0时，求b的范围；
5
(2)b=-1且a< 时，求证：x -x<2 5-4a．
4 2 1
2. (2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测)已知函数fx  =x+1  1-e-x 
(1)证明：fx  ≥x
(2)若fx 
lnx+ax-x
≥1+ ，求实数a的取值范围.
ex3. (2022上·江苏泰州·高三江苏省泰兴中学校考阶段练习)已知函数f(x)=ex+(2-a)cosx．
(1)若f(x)在[0,+∞)单调递增，求a的取值范围；
(2)当x≥0时，f(x)≥a(x-1)+3，求a的取值范围．
4. (2022上·河南·高三校联考开学考试)已知函数fx
22
 =x2-a  ex．
(1)若fx  存在两个极值点x ，x ，求x2+x2的取值范围； 1 2 1 2
(2)若2e-0.92>0.923，证明：当0.25<a<0.26时，函数Fx  =fx 
1
-ax2在-∞,
2
 上有2个零点．(参
考数据：0.923=0.778688)5. (2022下·江西赣州·高二统考期末)已知f(x)=3ex-1-bxlnx-2ax-a，曲线y=fx
23
 在x=1处切线过点
1
- ,0
2
 ．
(1)求b的值；
(2)当x∈  1 ,+∞
 2
 时，fx  ≥0，求a的取值范围．
6. (2022·广东广州·华南师大附中校考三模)已知函数fx 
a a
=xlnx+ 2 x2- 2 存在两个极值点x 1 ,x 2x 1 <x 2  ．
(1)求实数a的取值范围；
x+x
(2)判断f 1 2
2
 的符号，并说明理由．【冲刺压轴考点三】函数构造
一、解答题
1. (2023上·湖南衡阳·高三衡阳市八中校联考阶段练习)已知函数fx
24
 =kx+1  lnx-kx.
(1)若函数fx  在0,+∞  上单调递增，求实数k的取值范围；
(2)讨论函数fx  的零点个数.
1
2. (2023·浙江金华·校联考模拟预测)已知f(x)=ax2-ax- -lnx+e1-x(a>0)．
x
(1)若当x=1时函数fx  取到极值，求a的值；
(2)讨论函数fx  在区间(1,+∞)上的零点个数．3. (2023上·河北邢台·高三校联考阶段练习)已知函数fx
25

aex-1
= +elnx-x
x
 ，a∈R.
(1)若fx  在1,+∞  上单调递增，求a的取值范围；
5
(2)当a≥ 时，证明：fx
2
 +e-1  x>ex-1 1-lnx  +elnx.
4. (2023上·天津和平·高三天津一中校考阶段练习)已知函数fx 
3
=x2lnx- a
2
 ，a为实数．
2
(1)当a= 时，求函数在x=1处的切线方程；
3
(2)求函数fx  的单调区间；
(3)若函数fx  在x=e处取得极值，f x  是函数fx  的导函数，且f x 1  =f x 2  ，x<x ，证明：2<x 1 2 1
+x <e．
25. (2023上·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习)已知函数fx
26
 =xex.
(1)求fx  过原点的切线方程；
(2)已知对任意的x≥0，都有不等式fx  -ex-ax+1≥2sinx恒成立，求实数a的取值范围.
6. (2023·湖南永州·统考一模)已知函数fx  =lnx+1  ,gx  =axex-2lna+3ln2+3．
(1)当x∈-1,0  ∪0,+∞ 
fx
时，求证：
 1
>- x+1；
x 2
(2)若x∈-1,+∞  时，gx  ≥fx  ，求实数a的取值范围．【冲刺压轴考点四】双变量
一、解答题
1. (2023上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中)已知函数fx
27

1
=aex- x2+a有两个不同的极值点x,x 2 1 2
x 1 <x 2  .
(1)求实数a的取值范围；
(2)已知m>0，且x+mx >m+1，求m的取值范围.
1 2
2. (2023上·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)函数fx 
1
=alnx+ x2-a+1
2

3
x+ (a>0).
2
(1)求函数fx  的单调区间；
(2)当a=1时，若fx 1  +fx 2  =0，求证：x+x ≥2； 1 2
(3)求证：对于任意n∈N*都有2lnn+1 
n i-1
+ 
i
i=1

2
 >n.f(x)
3. (2023·新疆·统考三模)已知函数f(x)=ax2+(a+1)xlnx-1，g(x)= ．
x
(1)讨论gx
28
 的单调性；
e2
(2)若方程f(x)=x2ex+xlnx-1有两个不相等的实根x,x ，求实数a的取值范围，并证明ex1+x2> ．
1 2 xx
1 2
4. (2023下·广东珠海·高二珠海市斗门区第一中学校考阶段练习)已知函数fx  =x-lnx-3.
(1)求曲线y=fx  在x=1处的切线方程；
(2)记函数gx  =x2-bx-3-fx  ，设x 1 ,x 2x 1 <x 2  是函数gx  的两个极值点，若b≥2，且gx 1  -gx 2 
≥m恒成立，求实数m的最大值.5. (2023下·江苏南通·高二海安高级中学校联考阶段练习)已知函数fx
29
 =ex+ax2-bx+2.
(1)若a=0，讨论fx  的单调性；
1
(2)若a= 2 ，存在x 1 ,x 2x 1 ≠x 2  满足fx 1  =fx 2  ，且x+x =2，求b的取值范围. 1 2
6. (2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测)若函数fx 
1 1
=alnx- x2+a+ x>0
2 2
 有两个
零点x,x ，且x<x ．
1 2 1 2
(1)求a的取值范围；
(2)若fx  在x 1 ,0  和x 2 ,0  处的切线交于点x 3 ,y 3  ，求证：2x <x+x ． 3 1 2