文档文本内容
高考定位 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与
圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填
空题的形式出现.
【真题体验】
1.(2024·北京卷)圆x2＋y2－2x＋6y＝0 的圆心到直线x－y＋2＝0 的距离为( )
A.
B.2
C.3
D.3
答案 D
解析 化圆的方程为标准方程，得(x－1)2＋(y＋3)2＝10，所以该圆的圆心(1，－
3)到直线x－y＋2＝0 的距离为＝＝3.
2.(2022·北京卷)若直线2x＋y－1＝0 是圆(x－a)2＋y2＝1 的一条对称轴，则a＝(
)
A.
B.－
C.1
D.－1
答案 A
解析 依题意可知圆心坐标为(a，0)，
又直线2x＋y－1＝0 是圆的一条对称轴，
所以2a＋0－1＝0，所以a＝，故选A.
3.(2024·全国甲卷)已知b 是a，c 的等差中项，直线ax＋by＋c＝0 与圆x2＋y2＋4y
－1＝0 交于A，B 两点，则|AB|的最小值为( )
A.1
B.2
C.4
D.2
答案 C
解析 根据题意有2b＝a＋c，即a－2b＋c＝0，
所以直线ax＋by＋c＝0 过点M(1，－2).
设圆x2＋y2＋4y－1＝0 的圆心为C，连接CM，
则AB⊥CM 时，|AB|最小，
将圆的方程化为x2＋(y＋2)2＝5，
则C(0，－2)，所以|MC|＝1，
所以|AB|的最小值为2＝4，故选C.
4.(2023·新高考Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0 相切的两条直线的夹角
为α，则sin α＝( )
A.1
B.
C.
D.
答案 B
解析 如图，由x2＋y2－4x－1＝0 得(x－2)2＋y2＝5，
所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝，
所以圆心到点(0，－2)的距离为＝2.
由于圆心与点(0，－2)的连线平分角α，
所以sin＝＝＝，
又∈，所以cos＝，
所以sin α＝2sincos＝2××＝，故选B.
5.(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0 与⊙C：(x－1)2＋y2＝4 交于A，B 两
点，写出满足“△ABC 面积为”的m 的一个值________.
答案 2(答案不唯一，可以是±，±2 中任意一个)
解析 设圆心C(1，0)到直线x－my＋1＝0 的距离为h，则|AB|＝2，
由h＝，解得h＝或h＝，
若h＝，则＝，解得m＝2 或－2；
若h＝，则＝，解得m＝或－.
故答案为－2，2，－，中的任意一个即可.
【热点突破】
热点一 直线的方程及应用
1.已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1 不同时为零)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝
0(A2，B2不同时为零)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0；l1⊥l2⇔A1A2
＋B1B2＝0.
2.两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0 与l2：Ax＋By＋C2＝0 间的距离d＝(A2＋B2≠0).
3.点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离d＝(A2＋B2≠0).
例1 (1)(2024·西宁模拟)已知直线l1：ax＋3y－6＝0，直线l2：2x＋(a－1)y－4＝
0，则“a＝－2”是“l1∥l2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(多选)已知直线l：x－y＋1＝0，下面四个说法中正确的是( )
A.若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥m
B.与直线n：2x－2y＋3＝0 之间的距离是1
C.点(，0)到直线l 的距离为2
D.过点(2，2)，并且与直线l 平行的直线方程为x－y－4＝0
答案 (1)C (2)CD
解析 (1)由l1∥l2可得a(a－1)－3×2＝0，
解得a＝3 或a＝－2，
当a＝3 时，l1：3x＋3y－6＝0，l2：2x＋2y－4＝0，则l1与l2重合，舍去；
故l1∥l2时，a＝－2.
当a＝－2 时，＝≠，
所以“a＝－2”是“l1∥l2”的充要条件.
(2)直线m 的斜率k＝，倾斜角为，与直线l 不垂直，A 不正确；
直线n：2x－2y＋3＝0 化为x－y＋＝0，
所以直线l 与直线n 的距离为＝，B 不正确；
点(，0)到直线l 的距离d＝＝2，C 正确；
过点(2，2)，与直线l 平行的直线方程为y－2＝(x－2)，即x－y－4＝0，D 正确.
故选CD.
易错提醒 讨论两直线的位置关系时，要考虑斜率不存在的情况；求解两条直线
平行问题时，要注意排除两条直线重合的情况.
训练1 (多选)下列说法错误的是( )
A.过点A(－2，－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为x＋y＝－5
B.直线ax＋y＋1＝0 与以A(2，3)，B(－3，2)为端点的线段相交，则a 的取值范
围是(－∞，－2]∪[1，＋∞)
C.经过点P(1，1)，倾斜角为θ 的直线方程为y－1＝tan θ(x－1)
D.过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)
答案 AC
解析 对于A 中，当在两坐标轴上的截距相等且等于0 时，直线过原点，
可设直线方程为y＝kx，又直线过点A(－2，－3)，
则－3＝－2k，即k＝，
此时直线方程为y＝x，也满足题意，
所以A 错误；
直线l：ax＋y＋1＝0 过定点P(0，－1)，如图，直线l 的斜率为－a，直线PA，
PB 的斜率分别为kPA＝＝2，kPB＝＝－1，若直线l 与线段AB 总有公共点，则－
a≤－1 或－a≥2，得a≤－2 或a≥1，即a 的取值范围是(－∞，－2]∪[1，＋
∞)，所以B 正确；
对于C 中，当倾斜角θ＝时，此时直线的斜率不存在，tan θ 无意义，所以C 错
误；
对于D 中，由两点(x1，y1)，(x2，y2)，
当x1≠x2时，此时过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为y－y1＝(x－x1)，
即(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，
当x1＝x2时，此时过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为x＝x1或x＝x2，适
合上式，
所以过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－
x1)，
所以D 正确.
热点二 圆的方程
1.圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为r.
2.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为，半径为r＝.
例2 (1)(2024·长春三模)经过A(1，1)，B(－1，1)，C(0，2)三个点的圆的方程为(
)
A.(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B.(x－1)2＋(y－1)2＝2
C.x2＋(y－1)2＝1
D.x2＋(y＋1)2＝1
(2)(2024·北京西城区二模)已知圆C 经过点(－1，0)和(3，0)，且与直线y＝2 相切，
则圆C 的方程为________.
答案 (1)C (2)(x－1)2＋y2＝4
解析 (1)设经过A，B，C 三个点的圆的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
由题意可得
解得
且满足D2＋E2－4F＝4>0，所以经过A，B，C 三个点的圆的方程为x2＋y2－2y＝
0，
即为x2＋(y－1)2＝1.
(2)设圆C 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则由题意可得
解得
所以圆C 的方程为(x－1)2＋y2＝4.
规律方法 求圆的方程问题一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的
基本量和方程.
(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.
训练2 (1)已知圆C 与x 轴的正半轴相切于点A，圆心在直线y＝2x 上，若点A 在
直线x－y－4＝0 的左上方且到该直线的距离等于，则圆C 的标准方程为( )
A.(x－2)2＋(y＋4)2＝4
B.(x＋2)2＋(y＋4)2＝16
C.(x－2)2＋(y－4)2＝4
D.(x－2)2＋(y－4)2＝16
(2)已知圆C1：x2＋y2＝4 与圆C2关于直线2x＋y＋5＝0 对称，则圆C2的标准方程
为( )
A.(x＋4)2＋(y＋2)2＝4
B.(x－4)2＋(y－2)2＝4
C.(x＋2)2＋(y＋4)2＝4
D.(x－2)2＋(y－4)2＝4
答案 (1)D (2)A
解析 (1)∵圆C 的圆心在直线y＝2x 上，
∴可设C(a，2a)，
又圆C 与x 轴的正半轴相切于点A，
∴a>0，且圆C 的半径r＝2a，A(a，0).
∵点A 到直线x－y－4＝0 的距离d＝，
∴d＝＝，
解得a＝6 或a＝2，
∴A(2，0)或A(6，0)，
又点A 在直线x－y－4＝0 的左上方，
∴A(2，0)，∴C(2，4)，r＝4，
∴圆C 的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝16.
(2)由题意可得，圆C1的圆心坐标为(0，0)，半径为2，设圆心C1(0，0)关于直线
2x＋y＋5＝0 的对称点为C2(a，b)，
则解得
所以圆C2的标准方程为(x＋4)2＋(y＋2)2＝4.
热点三 直线、圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.
判断方法：
(1)点线距离法(几何法).
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋
B2≠0)，方程组消去y，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线
与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.
2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.
考向1 直线与圆的位置关系
例3 (1)(多选)已知点M 在直线l：y－4＝k(x－3)上，点N 在圆O：x2＋y2＝9 上，
则下列说法正确的是( )
A.点N 到l 的最大距离为8
B.若l 被圆O 所截得的弦长最大，则k＝
C.若l 为圆O 的切线，则k 的取值范围为
D.若点M 也在圆O 上，则点O 到l 的距离的最大值为3
(2)(2024·武汉调研)已知点P(1，0)，C(0，)，O 是坐标原点，点B 满足|BC|＝1，
则OP与PB夹角的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 (1)ABD (2)A
解析 (1)由题意可知，直线l 过定点P(3，4)，圆O 的圆心为原点O，半径为
3，
设圆心O 到直线l 的距离为d.
当OP⊥l 时，圆心O 到直线l 的距离最大，最大距离为＝5，
所以点N 到l 的最大距离为5＋3＝8，故A 正确.
若l 被圆O 所截得的弦长最大，则直线l 过圆心O，可得－3k＝－4，所以k＝，
故B 正确.
若l 为圆O 的切线，则＝3，
解得k＝，故C 错误.
若M 也在圆O 上，则直线l 与圆O 相切或相交，当直线l 与圆O 相切时，点O
到l 的距离取最大值3，故D 正确.
(2)设点B(x，y)，可得BC＝(－x，－y)，因为|BC|＝1，可得x2＋(y－)2＝1，即点
B 的轨迹是以C(0，)为圆心，半径r＝1 的圆，
如图所示，
当直线BP 与圆C 相切且切线在圆心下方时，直线BP 的倾斜角最大，即OP与PB
夹角最大.
设过点P 与圆C 相切的直线PB 的方程为y＝k(x－1)，
即kx－y－k＝0，
则圆心到直线的距离等于圆的半径，可得＝1，解得k＝－，
设切线的倾斜角为α(0≤α<π)，
则tan α＝－，可得α＝，
即OP与PB夹角的最大值为.
考向2 圆与圆的位置关系
例4 (多选)(2024·合肥二模)已知圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝4，
a∈R，则( )
A.两圆的圆心距|OC|的最小值为1
B.若圆O 与圆C 相切，则a＝±2
C.若圆O 与圆C 恰有两条公切线，则－2<a<2
D.若圆O 与圆C 相交，则公共弦长的最大值为2
答案 AD
解析 根据题意，可得圆O：x2＋y2＝1 的圆心为O(0，0)，半径r＝1，
圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝4 的圆心为C(a，1)，半径R＝2.
对于A，因为两圆的圆心距d＝|OC|＝≥1，所以A 正确；
对于B，两圆内切时，圆心距d＝|OC|＝R－r＝1，即＝1，解得a＝0.
两圆外切时，圆心距d＝|OC|＝R＋r＝3，即＝3，解得a＝±2.
综上所述，若两圆相切，则a＝0 或a＝±2，故B 不正确；
对于C，若圆O 与圆C 恰有两条公切线，
则两圆相交，d＝|OC|∈(R－r，R＋r)，
可得1<<3，
解得－2<a<2 且a≠0，故C 不正确；
对于D，若圆O 与圆C 相交，则当圆O：x2＋y2＝1 的圆心O 在公共弦上时，公
共弦长等于2r＝2，达到最大值，因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，
故D 正确.
规律方法 1.与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直
线的距离d，及半弦长，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.
2.两圆相交公共弦的方程可通过两圆方程相减求得，进而在一个圆内，利用垂径
定理求公共弦长.
训练3 (1)(多选)(2024·温州模拟)若圆C 与直线3x－4y－12＝0 相切，且与圆x2－
2x＋y2＝0 相切于点A(2，0)，则圆C 的半径为( )
A.5
B.3
C.
D.
(2)(多选)已知圆C：x2＋y2－4x－2y－13＝0，则下列命题正确的是( )
A.圆心坐标为(2，1)
B.直线l：x＋y－1＝0 与圆C 相交所得的弦长为8
C.圆C 与圆O：x2＋y2＝8 有三条公切线
D.圆C 上恰有三个点到直线y＝x＋b 的距离为，则b＝3 或－5
答案 (1)BD (2)ABD
解析 (1)圆x2－2x＋y2＝0 的圆心为(1，0)，半径为1，
圆C 与圆x2－2x＋y2＝0 相切于点A(2，0)，则圆心在x 轴，设圆心为(a，0)，
则由题意|a－2|＝，
解得a＝－1 或a＝，
a＝－1 时，半径为|－1－2|＝3；
a＝时，半径为＝，故选BD.
(2)对于A，由圆C：x2＋y2－4x－2y－13＝0，可化为(x－2)2＋(y－1)2＝18，可得
圆心C(2，1)，半径为r＝3，所以A 正确；
对于B，由圆心C(2，1)到直线l：x＋y－1＝0 的距离为d＝＝，则相交弦长为2
＝2＝8，所以B 正确；
对于C，由圆O：x2＋y2＝8，可得圆心O(0，0)，半径r1＝2，可得|OC|＝，且r
－r1＝，r＋r1＝5，则r－r1<|OC|<r＋r1，所以圆O 与圆C 相交，可得两圆有两条
公共切线，所以C 错误；
对于D，由圆C 上恰有三个点到直线y＝x＋b 的距离为，则满足圆心C(2，1)到
直线x－y＋b＝0 的距离为2，即＝2，解得b＝3 或b＝－5，所以D 正确.
热点四 隐圆问题
在解决某些解析几何问题时，题设条件看似与圆毫无关系，但通过对题目条件的
分析、转化后，会发现此问题与圆有关，进而利用圆的性质解题，一般我们称之
为隐圆问题.
例5 (1)已知直线kx－y＋2k＝0 与直线x＋ky－2＝0 相交于点P，点A(4，0)，O
为坐标原点，则tan∠OAP 的最大值为( )
A.2－
B.
C.1
D.
(2)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2)，
若圆C 上存在点M，满足|MA|2＋|MO|2＝10，则实数a 的取值范围是________.
答案 (1)B (2)[0，3]
解析 (1)直线kx－y＋2k＝0 恒过定点M(－2，0)，直线x＋ky－2＝0 恒过定点
N(2，0)，
又易知两直线垂直，故P 点轨迹是以(0，0)为圆心，2 为半径的圆，除去与x 轴
的交点，
于是得x2＋y2＝4(x≠±2)，
如图，观察图形可知，射线AP 绕点A 旋转∠OAP∈，
当旋转到与圆O：x2＋y2＝4 相切时，∠OAP 最大，
因为|OA|＝4，AP′为切线，点P′为切点，
|OP′|＝2，∠OP′A＝，
则∠OAP′＝，
所以∠OAP 最大值为，
所以(tan∠OAP)max＝tan＝.
(2)设M(x，y)，由|MA|2＋|MO|2＝10 可得
x2＋(y－2)2＋x2＋y2＝10，
即x2＋(y－1)2＝4，
则点M 在圆x2＋(y－1)2＝4 上，
由题目条件可知点M 在圆C：
(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1 上，
所以两圆相交或相切，
则2－1≤≤1＋2，
解得0≤a≤3.
规律方法 确定隐圆的几种方法：
(1)借助圆的定义；(2)借助距离的平方和为常数；(3)借助平面向量的数量积为定
值；(4)借助距离比值为常数(＝λ，λ>0 且λ≠1，动点P 的轨迹为阿波罗尼斯圆).
训练4 (多选)(2024·盐城调研)在平面直角坐标系中，存在三点A(－1，0)，B(1，
0)，C(0，7)，动点P 满足|PA|＝|PB|，则( )
A.点P 的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝8
B.△PAB 面积最大时，|PA|＝2
C.∠PAB 最大时，|PA|＝2
D.P 到直线AC 距离的最小值为
答案 ABD
解析 设P(x，y)，
由|PA|＝|PB|得|PA|2＝2|PB|2，
即(x＋1)2＋y2＝2[(x－1)2＋y2]，
化简可得(x－3)2＋y2＝8，
即点P 的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝8，A 正确；
∵直线AB 过圆(x－3)2＋y2＝8 的圆心，
∴点P 到直线AB 的距离的最大值为圆(x－3)2＋y2＝8 的半径r，即为2，
∵|AB|＝2，
∴△PAB 面积最大为×2×2＝2，
此时P(3，±2)，
∴|PA|＝＝2，B 正确；
当∠PAB 最大时，
则PA 为圆(x－3)2＋y2＝8 的切线，
∴|PA|＝＝2，C 错误；
直线AC 的方程为7x－y＋7＝0，
则圆心(3，0)到直线AC 的距离为＝，
∴点P 到直线AC 距离的最小值为－2＝，D 正确.
【精准强化练】
一、单选题
1.在△ABC 中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边
的中点N 在x 轴上，则直线MN 的方程为( )
A.5x－2y－5＝0
B.2x－5y－5＝0
C.5x－2y＋5＝0
D.2x－5y＋5＝0
答案 A
解析 设C(x，y)，由题意知可得
即C(－5，－3)，可得M，N(1，0)，
所以直线MN 的方程为＋＝1，
即5x－2y－5＝0.故选A.
2.(2024·大连模拟)过点(－1，1)和(1，3)，且圆心在x 轴上的圆的方程为( )
A.x2＋y2＝4
B.(x－2)2＋y2＝8
C.(x－1)2＋y2＝5
D.(x－2)2＋y2＝10
答案 D
解析 设该圆圆心为(a，0)，半径为r，则该圆方程为(x－a)2＋y2＝r2，
则有解得
故该圆方程为(x－2)2＋y2＝10.
3.直线l：x＋my＋1－m＝0 与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9 的位置关系是( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定
答案 A
解析 已知直线l：x＋my＋1－m＝0 过定点(－1，1)，
将点(－1，1)代入圆的方程可得(－1－1)2＋(1－2)2<9，可知点(－1，1)在圆内，
所以直线l：x＋my＋1－m＝0 与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9 相交.
4.(2024·北京石景山区模拟)直线y＝kx＋1 与圆x2＋(y＋1)2＝16 相交于A，B 两点，
则线段AB 的长度可能为( )
A.5
B.7
C.9
D.14
答案 B
解析 直线y＝kx＋1 恒过点(0，1)，且点(0，1)在圆x2＋(y＋1)2＝16 内，
当点(0，1)是弦AB 的中点时，此时弦长最短，
圆心(0，－1)和点(0，1)的距离为2，此时弦长|AB|＝2＝4，最长的弦长是直径为
8，所以弦长的取值范围是[4，8]，其中只有B 成立.
5.折纸艺术是我国民间的传统文化，将一矩形OABC 纸片放在平面直角坐标系中，
O(0，0)，A(2，0)，C(0，1)，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在
直线的斜率为k，则k 的取值范围是( )
A.[0，1]
B.[0，2]
C.[－1，0]
D.[－2，0]
答案 D
解析 如图，要想使折叠后的O 点落在线段BC 上，可取BC 上任意一点D，作
线段OD 的垂直平分线l，以l 为折痕可使点O 与D 重合，k 即为直线l 的斜率.
因为kOD≥kOB＝，
由k＝－，可知－2≤k<0.
当折叠后点O 与C 重合时，k＝0，
所以－2≤k≤0，
则k 的取值范围是[－2，0]，故选D.
6.(2024·郑州模拟)阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为
常数k(k>0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两
定点A，B 间的距离为2，动点P 满足＝，则|PA|2＋|PB|2的最小值为( )
A.36－24
B.48－24
C.36
D.24
答案 A
解析 以经过A，B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线y 轴，建立直角坐标系，
则A(－1，0)，B(1，0)，
设P(x，y)，∵＝，
∴＝，
两边平方并整理得x2＋y2－6x＋1＝0，
∴(x－3)2＋y2＝8，
∴P 点的轨迹是以(3，0)为圆心，2 为半径的圆，
则有|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2＝2|OP|2＋2，如图所示.
当点P 为圆与x 轴的交点(靠近原点)时，此时，|OP|取最小值，且|OP|＝3－2，
因此，|PA|2＋|PB|2≥2×(3－2)2＋2＝36－24，故选A.
7.(2024·嘉兴二模)已知圆C：(x－5)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)，A(－6，0)，B(0，8)，若
圆C 上存在点P 使得PA⊥PB，则r 的取值范围为( )
A.(0，5]
B.[5，15]
C.[10，15]
D.[15，＋∞)
答案 B
解析 如图，由PA⊥PB 可知点P 的轨迹是以AB 为直径的圆，设为圆M，
因A(－6，0)，B(0，8)，
故圆M：(x＋3)2＋(y－4)2＝25.
依题意知圆M 与圆C 至少有一个公共点.
因C(5，－2)，M(－3，4)，
则|CM|＝＝10，
由|r－5|≤|CM|≤5＋r，解得5≤r≤15.
8.已知圆C：x2＋y2＝4，M，N 是直线l：y＝x＋4 上的两点.若对线段MN 上任意
一点P，圆C 上均存在两点A，B，使得cos∠APB＝，则线段MN 长度的最大值
为( )
A.2
B.4
C.4
D.4
答案 C
解析 如图，圆C：x2＋y2＝4 的圆心到直线l：y＝x＋4 的距离
d＝＝2>2＝r，
所以直线l 与圆C 相离.
当且仅当直线PA，PB 均与圆C 相切时，∠APB 最大，不妨设切线为PE，PF(其
中E，F 为切点)，
因为cos∠APB＝，
所以∠APB＝，则∠EPF≥，
所以sin∠EPC＝≥sin ＝，
解得|PC|≤4，
所以线段MN 长度的最大值为2＝4，故选C.
二、多选题
9.(2024·西安调研)已知直线l：ax＋(2a＋3)y－3＝0，直线n：(a－2)x＋ay－1＝
0，则( )
A.当a＝－2 时，l∥n
B.当a＝时，l⊥n
C.当l∥n 时，直线l，n 之间的距离为
D.坐标原点到直线n 的距离的最大值为
答案 ACD
解析 对于A，当a＝－2 时，l：2x＋y＋3＝0，
n：2x＋y＋＝0，易知l∥n，A 正确；
对于B，当a＝时，l：x＋11y－9＝0，n：5x－y＋3＝0，
则1×5＋11×(－1)＝－6≠0，
故l⊥n 不成立，B 错误；
对于C，当l∥n 时，a2＝(2a＋3)(a－2)，则a2－a－6＝(a－3)(a＋2)＝0，可得a
＝3 或a＝－2，当a＝3 时，l：x＋3y－1＝0，n：x＋3y－1＝0，两直线重合，排
除a＝3；当a＝－2 时，由A 选项的分析知l∥n 成立，所以a＝－2，此时直线
l，n 之间的距离d＝＝，C 正确；
对于D，坐标原点(0，0)到直线n 的距离h＝＝，故当a＝1 时，hmax＝，D 正确.
10.(2024·邵阳模拟)设点P(x，y)为圆C：x2＋y2＝1 上一点，已知点A(4，0)，
B(5，0)，则下列结论正确的有( )
A.x＋y 的最大值为
B.x2＋y2－4x－4y 的最小值为－8
C.存在点P 使|PB|＝|PA|
D.过A 点作圆C 的切线，则切线长为
答案 AD
解析 设x＋y＝t，即x＋y－t＝0，
由≤1 得－≤t≤，
∴t 的最大值是，A 正确；
x2＋y2－4x－4y＝1－4(x＋y)≥1－4(当且仅当x＝y＝时取等号)，B 错误；
由|PB|＝|PA|得＝·，整理得(x－3)2＋y2＝2，因此满足|PB|＝|PA|的点P 在圆(x－3)2
＋y2＝2 上，此圆圆心为(3，0)，半径为，而＋1<3，因此它与圆C 外离，因此圆
C 上不存在点P，满足|PB|＝|PA|，C 错误；
圆C 圆心为C(0，0)，半径为r＝1，则过A 点作圆C 的切线长为＝＝，D 正确.
11.已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，点M 是直线l：y＝－x－1 上的动点，过点M
作圆C 的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是( )
A.切线长|MA|的最小值为
B.四边形ACBM 面积的最小值为2
C.若PQ 是圆C 的一条直径，则MP·MQ的最小值为7
D.直线AB 恒过点
答案 ABD
解析 圆心C(1，2)，C 到l 的距离为＝2，
令M(m，n)，则n＝－m－1，
由圆的性质，可得切线长|MA|＝≥，A 正确；
S 四边形ACBM＝2S△MAC≥2×＝2，B 正确；
MP·MQ＝MC2－CP2＝MC2－2≥6，C 错误；
切点弦AB 的方程
(m－1)(x－1)＋(n－2)(y－2)＝2，
将n＝－m－1 代入，整理得m(x－y＋1)－(x＋3y－5)＝0，
由解得
即直线AB 恒过点，D 正确.
三、填空题
12.经过点P(1，1)以及圆x2＋y2－4＝0 与x2＋y2－4x＋4y－12＝0 交点的圆的方程
为________.
答案 x2＋y2＋x－y－2＝0
解析 设过圆x2＋y2－4＝0 与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0 交点的圆的方程为x2＋y2
－4＋λ(x2＋y2－4x＋4y－12)＝0(*)，
把点P(1，1)代入(*)式得λ＝－，把λ＝－代入(*)式化简得x2＋y2＋x－y－2＝0，
所以所求圆的方程为x2＋y2＋x－y－2＝0.
13.(2024·长沙模拟)已知A(4，1)，B(2，2)，C(0，3)，若在圆x2＋y2＝r2(r>0)上存
在点P 满足|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝13，则实数r 的取值范围是________.
答案 [2－1，2＋1]
解析 设P(x，y)，将坐标代入式子|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝13，可得x2＋y2－4x－4y
＋7＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝1，
则点P 的轨迹是以(2，2)为圆心，1 为半径的圆.
依题意，两圆有公共点，则|r－1|≤2≤r＋1，解得2－1≤r≤2＋1.
14.(2024·石家庄调研)在平面直角坐标系xOy 中，点M(3，0)，N，直线l：(2m＋
1)x－(4m－1)y＋m－1＝0(m≠0)，动点P 满足|PM|＝2|PN|，则动点P 的轨迹Γ 的
方程为________，若Γ 的对称中心为C，l 与Γ 交于A，B 两点，则△ABC 面积的
最大值为________.
答案 (x－1)2＋y2＝1
解析 设P(x，y)，由题意得＝2，
化简得Γ 的方程为(x－1)2＋y2＝1；
则C(1，0)，直线l 的方程可化为(x＋y－1)＋m(2x－4y＋1)＝0，
由解得
所以直线l 过定点D，
又|DC|2＝＋＝<1，
所以点D 在圆C 的内部；
作直线CE⊥l，垂足为E，
设∠DCE＝θ，易求|DC|＝，
所以|CE|＝|DC|cos θ＝cos θ，
所以|AB|＝2＝2，
所以S△ABC＝×2×cos θ
＝，
所以当cos2θ＝1，即θ＝0 时，(S△ABC)max＝.
