北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
专题九 平面解析几何
9.1 直线与圆
基础篇 固本夯基
考点一 直线的方程
1.(2022届湖南永州一中10月月考,5)过圆(x+2)2+y2=4的圆心且与直线x+y=0垂直的直线方程为( )
A.x+y-2=0 B.x-y-2=0
C.x-y+2=0 D.x+y+2=0
答案 C
2.(多选)(2022届石家庄二中开学考,12)瑞士数学家欧拉在所著的《三角形的几何学》一书中提出:任意三角
形的外心、重心、垂心在同一条直线上.后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点A(-4,0),B(0,4),其欧拉
线方程为x-y+2=0,则顶点C的坐标可以是( )
A.(2,0) B.(0,2)
C.(-2,0) D.(0,-2)
答案 AD
3.(多选)(2022届华大新高考联盟11月测评,9)若直线y=kx+b不经过第一象限,则点(k,b)可能在( )
A.第二象限 B.第三象限
C.第四象限 D.坐标轴上
答案 BD
4.(2020课标Ⅲ文,8,5分)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为( )
A.1 B.√2 C.√3 D.2
答案 B
5.(2022届江苏无锡一中开学考,4)“m=1”是“直线mx+y=1与直线x-my=1互相垂直”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
6.(多选)(2020山东泰安一模,10)下列说法正确的是( )北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
A.“c=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+c=0的距离为3”的充要条件
B.直线xsin α-y+1=0的倾斜角的取值范围为[ π]∪[3π )
0, ,π
4 4
C.直线y=-2x+5与直线2x+y+1=0平行,且与圆x2+y2=5相切
D.离心率为√3的双曲线的渐近线方程为y=±√2x
答案 BC
7.(多选)(2020江苏启东检测,9)已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,下列说法正确的是( )
A.当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直
B.若直线l与直线x-y=0平行,则a=0
C.直线l过定点(0,1)
D.当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距相等
答案 AC
8.(2022届辽宁六校期初联考,13)已知直线l:y=(2a2-1)x-2与直线l:y=7x+a平行,则a= .
1 2
答案 2
9.(2021八省联考,14)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别
为 , .
1
答案 ;-3
3
考点二 圆的方程
1.(2020山东聊城一中月考,5)已知圆C与直线y=-x及x+y-4=0都相切,圆心在直线y=x上,则圆C的方程为(
)
A.(x-1)2+(y-1)2=2
B.(x-1)2+(y+1)2=2
C.(x+1)2+(y-1)2=4
D.(x+1)2+(y+1)2=4
答案 A
2.(多选)(2022届广东珠海月考,10)在平面内,已知线段AB的长度为4,则满足下列条件的点P的轨迹为圆的
是( )
A.∠APB=90° B.PA2+PB2=10
C.⃗PA·⃗PB=-6 D.PA=3PB
答案 BD北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
3.(2021广东珠海一模,14)若方程x2+y2+λxy+2kx+4y+5k+λ=0表示圆,则k的取值范围为 .
答案 (-∞,1)∪(4,+∞)
4.(2019北京,11,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为
.
答案 (x-1)2+y2=4
5.(2018天津,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 .
答案 x2+y2-2x=0
6.(2022届石家庄二中开学考,17)圆C过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线l:2x-7y+8=0上.
(1)求圆C的方程;
(2)P为圆C上的任意一点,定点Q(8,0),求线段PQ中点M的轨迹方程.
5-0
解析 (1)设线段AB的垂直平分线为m.因为直线AB的斜率k= =-1,所以线段AB的垂直平分线m的
1-6
斜率为1,
6+1 7 0+5 5
因为线段AB中点的横坐标和纵坐标分别为 = , = ,
2 2 2 2
所以直线m的方程为y-5=1×( 7),即x-y-1=0.
x-
2 2
{ x- y-1=0, {x=3,
又圆心在直线l上,所以圆心是直线m与直线l的交点,联立 解得
2x-7 y+8=0, y=2,
所以圆心为C(3,2),又半径r=|CA|=√13,所以圆C的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.
x +8
{ 0 =x,
2 {x =2x-8,
(2)设线段PQ的中点M(x,y),P(x 0 ,y 0 ),因为M为线段PQ的中点,则 解得 0 代入圆
y +0 y =2y,
0 = y, 0
2
C的方程得(2x-8-3)2+(2y-2)2=13,
即线段PQ中点M的轨迹方程为( 11) 2 +(y-1)2=13.
x-
2 4
考点三 直线与圆的位置关系
1.(2021浙江绍兴一模,6)设m∈R,则“1≤m≤2”是“直线l:x+y-m=0和圆C:x2+y2-2x-4y+m+2=0有公共点”
的( )
A.充分不必要条件北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
2.(2020课标Ⅱ理,5,5分)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为( )
√5 2√5 3√5 4√5
A. B. C. D.
5 5 5 5
答案 B
3.(2018课标Ⅲ理,6,5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积
的取值范围是( )
A.[2,6] B.[4,8]
C.[√2,3√2] D.[2√2,3√2]
答案 A
4.(多选)(2022届长沙雅礼中学月考一,11)已知直线l:kx+y=0与圆M:x2+y2-2x-2y+1=0,则下列说法正确的是(
)
A.直线l与圆M一定相交
B.若k=0,则直线l与圆M相切
C.当k=-1时,直线l被圆M截得的弦最长
D.圆心M到直线l的距离的最大值为√2
答案 BCD
5.(多选)(2022届湖南郴州一中月考,10)已知直线l:(m-1)x+(2m-1)y-4m+4=0和圆C:(x-2)2+(y-1)2=9,则下列说
法正确的是( )
A.直线l恒过点(4,0)
B.x轴被圆C截得的弦长为2√2
C.直线l被圆C截得的弦长存在最大值,且最大值为4
D.直线l被圆C截得的弦长存在最小值,且最小值为4
答案 AD
6.(多选)(2021新高考Ⅱ,11,5分)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是( )
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
答案 ABD
7.(2022届江苏南通如皋中学10月检测,14)已知圆C 和圆C 与x轴和直线y=kx(k>0)相切,两圆交于P,Q两
1 2
13
点,其中P点坐标为(3,2),已知两圆半径的乘积为 ,则k的值为 .
2
答案 2√2
8.(2022届长沙长郡中学月考一,14)已知直线l:mx+y-3=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4交于A,B两点,过A,B分别作l
的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=4,则|CD|= .
答案 4√2
9.(2019浙江,12,6分)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则
m= ,r= .
答案 -2;√5
10.(2020浙江,15,6分)已知直线y=kx+b(k>0)与圆x2+y2=1和圆(x-4)2+y2=1均相切,则k= ,b=
.
√3 2√3
答案 ;-
3 3
11.(2018课标Ⅰ文,15,5分)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|= .
答案 2√2
12.(2022届江苏苏州期初调研,16)
某中学开展劳动实践活动,学生加工制作零件,零件的截面如图(单位:cm)所示,四边形AFED为矩形,弧BC为
圆O的一段弧(点O未标出),B是弧BC与直线AB的切点,C是弧BC与直线CD的切点,直线EF与圆O相切.
4 3
已知tan α= ,tan β= ,则该零件的截面的周长为 cm.(结果保留π)
3 4
答案 (84+6π)
|MA|
13.(2022届江苏新高考基地学校期中,21)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,0),B(4,0),点M满足
|MB|
1
= .记M的轨迹为C.
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(1)求C的方程;
(2)设圆C:x2+y2-8x+15=0,若直线l交C于P,Q两点,交圆C 于R,S两点,且|PQ|=2|RS|,证明:直线l过定点.
1 1
|MA| 1
解析 (1)设M(x,y),由 = 得|MB|2=4|MA|2,
|MB| 2
即(x-4)2+y2=4[(x-1)2+y2],
化简得x2+y2=4,
所以C的方程是x2+y2=4.
(2)证明:设直线l的方程为y=kx+t,由已知得圆C 的标准方程为(x-4)2+y2=1.
1
|PQ|=2
√
4-(
t
),|RS|=2
√
1-(
4k+t
)
2
.
√k2+1 √k2+1
因为|PQ|=2|RS|,
√ t √ 4k+t
所以 4-( )=2 1-( ),
√k2+1 √k2+1
8k
即t2=4(4k+t)2,所以t=-8k或t=- ,
3
当t=-8k时,直线l为y=kx-8k,过定点(8,0),
当t=-8k时,直线l为y=kx-8k,过定点(8 ),所以直线l过定点(8,0)或(8 ).
,0 ,0
3 3 3 3
考点四 圆与圆的位置关系
1.(2022届石家庄二中开学考,6)圆C:x2+y2=1与圆C:x2+y2+k(4x+3y)-1=0(k∈R,k≠0)的位置关系为( )
1 2
A.相交 B.外离
C.相切 D.无法确定
答案 A
2.(2022届江苏苏州中学月考,6)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度为2√2,则圆M与
圆N:x2+y2-6x-12y-4=0的位置关系是( )
A.内切 B.外切
C.相交 D.外离
答案 A
3.(2022届石家庄二中开学考,15)古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262—公元前190)的著作《圆锥曲线
论》是古代世界光辉的科学成果.著作中有这样一个命题:平面内到两个定点距离的比为常数k(k>0,k≠1)的北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系xOy中,O(0,0),A(3,0),圆C:
(x-2)2+y2=r2(r>0)上有且仅有一个点P满足|PA|=2|PO|,则r的值为 .
答案 1或5
4.(2020福建厦门第一次质量检测,15)已知圆O:x2+y2=1,圆N:(x-a+2)2+(y-a)2=1.若圆N上存在点Q,过点Q作
圆O的两条切线,切点为A,B,使得∠AQB=60°,则实数a的取值范围是 .
答案 [ √14 √14]
1- ,1+
2 2
综合篇 知能转换
A组
考法一 对称问题的处理方法
1.(2022届石家庄二中开学考,2)若直线l:y=kx-k+1与直线l 关于点(2,3)对称,则直线l 过定点( )
1 2 2
A.(-3,5) B.(3,-5) C.(3,5) D.(5,3)
答案 C
2.(2020郑州二模,4)圆(x+2)2+(y-12)2=4关于直线x-y+8=0对称的圆的方程为( )
A.(x+3)2+(y+2)2=4
B.(x+4)2+(y-6)2=4
C.(x-4)2+(y-6)2=4
D.(x+6)2+(y+4)2=4
答案 C
3. (2020甘肃民勤一中期末,8)如图,已知A(4,0)、B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直
线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是( )
