北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
9.5 圆锥曲线的综合问题
一、选择题
1.(2021浙江,9,4分)已知a,b∈R,ab>0,函数f(x)=ax2+b(x∈R).若f(s-t), f(s), f(s+t)成等比数列,则平面上点(s,t)的
轨迹是( )
A.直线和圆 B.直线和椭圆
C.直线和双曲线 D.直线和抛物线
答案 C 由题意知f(s)=as2+b, f(s-t)=a(s-t)2+b=(as2+b)+at(t-2s), f(s+t)=a(s+t)2+b=(as2+b)+at(t+2s),
∵f(s-t), f(s), f(s+t)成等比数列,∴f(s-t)·f(s+t)=f 2(s)⇒[(as2+b)+at(t-2s)][(as2+b)+at(t+2s)]=(as2+b)2⇒at(as2+b)
(t-2s+t+2s)+a2t2(t2-4s2)=0⇒2at2(as2+b)+a2t2(t2-4s2)=0,(*)
①当t=0时,s∈R,故(s,t)的轨迹为一条直线;
②当t≠0时,(*)式可化为2as2+2b+at2-4as2=0,
即2as2-at2=2b,因为ab>0,
t2 b
所以s2- = >0,故(s,t)的轨迹为双曲线,故选C.
2 a
二、解答题
x2
2.(2022届广西开学考,22)设双曲线 -y2=1的右焦点为F,过F的直线与双曲线C的右支交于A、B两点.
3
(1)若直线AB与x轴不垂直,求直线的斜率的取值范围;
(2)求AB中点的轨迹方程.
x2
解析 (1)由题知F(2,0),设直线AB的方程为y=k(x-2),代入方程 -y2=1,得(3k2-1)x2-12k2x+12k2+3=0.设
3
A(x,y),B(x,y),
1 1 2 2
12k2
{ x +x = >0,
1 2 3k2-1
则 12k2+3
x x = >0,
1 2 3k2-1
Δ=144k4-4(3k2-1)(12k2+3)=12k2+12>0,
所以k∈( √3)∪(√3 ).
-∞,- ,+∞
3 3
(2)设AB中点坐标为(x,y),若直线AB的斜率存在,
0 0北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
x=x +x = 6k2 ,y=y + y =k(x-2)= 2k ,消去k得,(x-1)2-3 =1,此时x=6k2-2+2=2+
0 1 2 0 1 2 0 0 y2 0
2 3k2-1 2 3k2-1 0 3k2-1
2
>2,所以AB中点的轨迹方程为(x-1)2-3y2=1(x>2);
3k2-1
若直线AB的斜率不存在,则x=2,y=0,满足(x-1)2-3y2=1.综上,AB中点的轨迹方程为(x-1)2-3y2=1(x≥2).
0 0
3
3.(2022届山西怀仁一中期中,21)已知点A(-2,0),B(2,0),设动点P满足直线PA与PB的斜率之积为- ,记动点
4
P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)若动直线l经过点(1,0),且与曲线E交于C,D(不同于A,B)两点,问:直线AC与BD的斜率之比是不是定值?
若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.
3 y y 3 x2 y2
解析 (1)设P(x,y),由题意可得k ·k =- ,所以 · =- (x≠±2),所以曲线E的方程为 +
PA PB 4 x+2 x-2 4 4 3
=1(x≠±2).
{
x=my+1,
(2)由题意知,可设直线l:x=my+1,C(x
1
,y
1
),D(x
2
,y
2
),由
x2 y2
可得(3m2+4)y2+6my-9=0,则
+ =1(x≠±2),
4 3
y 1 +y 2 = -6m ,y 1 y 2 = -9 ,因为直线AC的斜率k 1 = y 1 ,直线BD的斜率k 2 = y 2 ,且my 1 y 2 =3
3m2+4 3m2+4 x +2 x -2 2
1 2
3 1 3
(y + y )- y y + y
k y (x -2) y (m y -1) m y y - y 2 1 2 1 2 1 2 2
(y+y),所以 1= 1 2 = 1 2 = 1 2 1 = = =
1 2 k y (x +2) y (m y +3) m y y +3 y 3 3 9
2 2 1 2 1 1 2 2 (y + y )+3 y y + y
2 1 2 2 2 1 2 2
1 1
,所以直线AC和BD的斜率之比为定值 .
3 3
4.(2021四省八校调研,20)已知圆锥曲线E: + =4,经过点Q(-4,4)的直线l与
√(x-1)2+ y2 √(x+1)2+ y2
E有唯一公共点P,定点R(-1,0).
(1)求曲线E的标准方程;
(2)设直线PR,QR的斜率分别为k,k,求kk 的值.
1 2 1 2北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
解析 (1)由 + =4可得,点(x,y)到定点(-1,0),(1,0)的距离的和为4.由椭圆的
√(x-1)2+ y2 √(x+1)2+ y2
定义可知动点(x,y)的轨迹即圆锥曲线E是以(-1,0),(1,0)为左、右焦点,2a=4为长轴长的椭圆(此处必须由定义
x2 y2
说明圆锥曲线的类型),则其长半轴长a=2,则短半轴长b=√22-12=√3,故曲线E的标准方程为 + =1.
4 3
(2)由题意得过点Q(-4,4)的直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y-4=k(x+4),即y=kx+4+4k,
x2 y2
代入 + =1,整理,得(3+4k2)x2+32(k+1)kx+64k2+128k+52=0(※).∵l与E仅有一个公共点,
4 3
∴Δ=1 024(k+1)2k2-4(3+4k2)(64k2+128k+52)=0,
1 13
即12k2+32k+13=0.解得k=- 或k=- .(k的值有两个,需分两种情况求解)
2 6
1 3 3 4
设P(x,y),当k=- 时,方程(※)为x2-2x+1=0,得x=1,∴y= ,∴k= ,又k=- ,∴kk=-1.
0 0 0 0 1 2 1 2
2 2 4 3
13 13 9 3 4
当k=- 时,方程(※)为49x2+182x+169=0,得x=- ,∴y=- ,∴k= ,又k=- ,∴kk=-1.综上所述,kk 的
0 0 1 2 1 2 1 2
6 7 14 4 3
值为-1.
5.(2022届甘肃名校月考,21)已知F,F
分别是椭圆E:x2 +y2
=1(a>b>0)的左,
1 2
a2 b2
右焦点,|FF|=6,当P在E上且PF 垂直于x轴时,|PF|=7|PF|.
1 2 1 2 1
(1)求E的标准方程;
(2)A为E的左顶点,B为E的上顶点,M是E上第四象限内一点,AM与y轴交于点C,BM与x轴交于点D.求
证:四边形ABDC的面积是定值.
b2
解析 (1)由题意知|PF|= ,|PF|+|PF|=2a,|PF|=7|PF|,则8|PF|=2a,所以a=2b,又c=3,a2=b2+c2,∴a=2√3,b=√3,
1 2 1 2 1 1
a
x2 y2
∴E的标准方程是 + =1.
12 3北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
(2)证明:由题意知A(-2√3,0),B(0,√3),设M(m,n),C(0,t),D(s,0),因为A,C,M三点共线,所以设⃗AC=λ⃗AM,解
2√3n -√3m
得t= ,又B,D,M三点共线,所以设⃗BD=μ⃗BM,解得s= .
m+2√3 n-√3
m2 n2
易知,|AD|=s+2√3,|BC|=√3-t, + =1,
12 3
3m 12n 6mn
所以|AD|·|BC|=√3s-2√3t-st+6=- - + +6=-
n-√3 m+2√3 (n-√3)(m+2√3)
6√3m-12√3n+36 6mn 6(m+2√3)(n-√3)
+ +6= +6=12.所以四边形
(m+2√3)(n-√3) (n-√3)(m+2√3) (n-√3)(m+2√3)
1
ABDC的面积为 |AD|·|BC|=6.故四边形ABDC的面积是定值.
2
6.(2022届长春外国语学校期中,21)已知椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数
a2 b2
关系,直线l:x-y+√2=0与以原点为圆心,以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M是椭圆的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k,k,且
1 2
k+k=4,证明:直线AB过定点,并求出该定点.
1 2
解析 (1)易知,等轴双曲线的离心率为 ,故椭圆C的离心率e=√2.∵e2=c2 =a2-b2 =1,∴a2=2b2.由x-y+
√2
2 a2 a2 2
√2 x2
√2=0与圆x2+y2=b2相切,得 =b,故b=1,∴a2=2.∴椭圆C的方程为 +y2=1.
√2 2
y -1
(2)已知M(0,1).当直线AB的斜率不存在时,设方程为x=x 0 (x 0 ≠0),A(x 0 ,y 0 ),B(x 0 ,-y 0 ).由k 1 +k 2 =4,得 0 +
x
0
- y
0
-1 =4,即x
0
=-1.此时直线AB的方程为x=-1.当直线AB的斜率存在时,设AB的方程为y=kx+m,依题
x 2 2
0北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
{y=kx+m,
意知m≠±1.设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),由
x2
得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.则x
1
+x
2
=- 4km ,x
1
x
2
=
+ y2=1 1+2k2
2
2m2-2.由k
1 +k 2 =4,得
y
1
-1
+
y
2
-1
=4,
1+2k2 x x
1 2
kx +m-1 kx +m-1 x +x
∴ 1 + 2 =4,即2k+(m-1) 1 2 =4,
x x x x
1 2 1 2
∴k- km =2,∴k=2(m+1),∴m=k-1.故直线AB的方程为y=kx+k-1,即y=k( 1)-1.∴直线AB过定点
x+
m+1 2 2 2
( 1 ).综上,直线AB过定点( 1 ).
- ,-1 - ,-1
2 2
7.(2022届成都蓉城名校联盟联考一,20)已知椭圆E:x2 +y2
=1(a>b>0)的长轴长与短轴长之比为2,过点P(0,2
a2 b2
√5)且斜率为1的直线与椭圆E相切.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点T(2,0)的直线l与椭圆E交于A,B两点,与直线x=8交于H点,若⃗HA=λ⃗AT,⃗HB=λ⃗BT.证明:λ+λ
1 2 1 2
为定值.
{ y=x+2√5,
a x2 y2
解析 (1)由题意知, =2,a=2b,切线方程为y=x+2 √5 .设椭圆方程为 + =1,联立得 x2 y2
b 4b2 b2 + =1,
4b2 b2
x2 y2
整理得5x2+16√5x+80-4b2=0,则Δ=0,即(16√5)2-20(80-4b2)=0,则b2=4,∴椭圆方程为 + =1.
16 4
(2)由题意知,直线l的斜率一定存在.当直线l的斜率为零时,易得λ+λ=0;当直线l的斜率不为零时,设直线
1 2
l:x=ty+2(t≠0),A(x,y),B(x,y),联立{ x=ty+2, 得(t2+4)y2+4ty-12=0,则y+y= -4t ,yy= -12 ,直线
1 1 2 2 1 2 1 2
x2+4 y2=16, t2+4 t2+4北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
l:x=ty+2,令x=8,则y= 6 ,即H 8, 6 .∵ ⃗HA =( x -8,y - 6), ⃗AT =(2-x 1 ,-y 1 ), ⃗HA =λ 1⃗AT ,∴
t t 1 1 t
{x
1
-8=λ
1
(2-x
1
),
6 6 6 6 6(y + y )
6 ∴1- =-λ 1 ,同理可得,1- =-λ 2 ,∴-λ 1 -λ 2 =1- +1- =2- 1 2 =2-
y - =-λ y , t y t y t y t y t y y
1 t 1 1 1 2 1 2 1 2
-24t t2+4
· =0.综上,λ+λ=0.
t2+4 -12t 1 2
8.(2021皖南八校第三次联考,20)已知椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的左焦点为F,过点F的直线l与椭圆交于
a2 b2
A,B两点,当直线l⊥x轴时,|AB|=√2,tan∠AOB=2√2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l'⊥l,直线l'与直线l、x轴、y轴分别交于M、P、Q,当点M为线段AB中点时,求
⃗PM·⃗PF的
⃗PO·⃗PQ
取值范围.
2b2 2tan∠AOF
解析 (1)由题意可知F(-c,0).当直线l⊥x轴时,|AB|= =√2,tan∠AOB= =2√2,解得
a 1-tan2 ∠AOF
b2
√2 ( π) √2 |AF|
tan∠AOF= 或-√2,∵∠AOF∈ 0, ,∴tan∠AOF= = = a ,得b=c=1,a=√2,故椭圆C的方程
2 2 2 |FO|
c
x2
为 +y2=1.
2
{y=k(x+1),
(2)设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),依题意直线l的斜率一定存在且不为零,设l:y=k(x+1),由
x2
消去y得
+ y2=1,
2
(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,则x 1 +x 2 = -4k2 ,则y 1 +y 2 =k(x 1 +x 2 +2)= 2k .故M(-2k2 , k ),
2k2+1 2k2+1 2k2+1 2k2+1北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
直线l':y- k =- 1( x+ 2k2 ),令y=0,则P(-k2 ,0 ),∵PM⊥MF,OQ⊥PO,
2k2+1 k 2k2+1 2k2+1
∴⃗PM·⃗PF=|⃗PM|2,⃗PO·⃗PQ=|⃗PO|2,
(-k2 -2k2 ) 2 ( k ) 2
- + 0-
⃗PM·⃗PF |⃗PM|2 2k2+1 2k2+1 2k2+1 k2+1 1 1
∴ = = = =1+ ,∵k2∈(0,+∞),∴1+
⃗PO·⃗PQ |⃗PO|2 (-k2
)
2 k2 k2 k2
2k2+1
∈(1,+∞),
∴
⃗PM·⃗PF∈(1,+∞).
⃗PO·⃗PQ
9.(2022届四川内江六中月考,20)已知椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F、F,过F 且与x轴垂
1 2 2
a2 b2
直的直线与椭圆C交于A,B两点,△AOB的面积为2√2,点P为椭圆C的下顶点,|PF
2
|=√2|OP|.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)经过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交椭圆C于M,N两点,求|⃗FM·⃗FN|的取值范围.
1 2b2 b2c
解析 (1)因为△OPF 为直角三角形,所以b2+c2=|PF|2=(√2b)2,故b=c,又S = · ·c= =2√2,所以
2 2 △AOB 2 a a
x2
b2c=2√2a,又a2=b2+c2,所以b3=2√2·√b2+c2=4b,故b2=4,所以a2=b2+c2=4+4=8,故椭圆C的标准方程为 +
8
y2
=1.
4
(2)由题意得F(1,0),M,N,F三点共线,所以|⃗FM·⃗FN|=||⃗FM|·|⃗FN|·cos π|=|FM|·|FN|.若直线l斜率为零,则|
⃗FM·⃗FN|=|FM|·|FN|=(a-1)(a+1)=7;若直线l斜率不为零,设直线l的方程为x=my+1,M(x,y),N(x,y),则
1 1 2 2
{x=my+1,
x2 y2
消去x得(m2+2)y2+2my-7=0,所以y
1
+y
2
=
-2m
,y
1
y
2
=
-7
,则|FM|=
√(x -1)2+ y2
=
+ =1, m2+2 m2+2 1 1
8 4
= |y|,同理|FN|= ·|y|,所以| · |=|FM|·|FN|=(m2+1)|yy|
√(m y +1-1)2+ y2 √m2+1 1 √m2+1 2 ⃗FM ⃗FN 1 2
1 1
