北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
综合检测卷(二)
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个
选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2017课标Ⅲ文,1,5分)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B 由题意得A∩B={2,4},所以A∩B中元素的个数为2.故选B.
2.(2022届清华大学中学生标准学术能力测试(10月),3)复数z满足(1-i)z=3+2i(i为虚数单位),则z=( )
1+5i 1-5i -1+5i -1-5i
A. B. C. D.
2 2 2 2
3+2i (3+2i)(1+i) 1+5i 1-5i
答案 B 由题意得z= = = ,∴z= .
1-i (1-i)(1+i) 2 2
3.(2020课标Ⅲ文,3,5分)设一组样本数据x,x,…,x 的方差为0.01,则数据10x,10x,…,10x 的方差为( )
1 2 n 1 2 n
A.0.01 B.0.1
C.1 D.10
x +x +…+x 1
答案 C 由已知条件可知样本数据x,x,…,x 的平均数x= 1 2 n ,方差s2 = ×[(x-x)2+(x-x
1 2 n n 1 n 1 2
1
)2+…+(x-x)2]=0.01,则数据10x,10x,…,10x 的平均数为 ×(10x+10x+…+10x)=10x.
n 1 2 n 1 2 n
n
1 100
所以这组数据的方差s2= [(10x-10x)2+(10x-10x)2+…+(10x-10x)2]= [(x-x)2+(x-x)2+…+(x-x)2]=100
2 n 1 2 n n 1 2 n
=100×0.01=1,故选C.
s2
1
4.(2021河南安阳4月模拟,4)已知函数f(x)={ 3x-1-1,x≥1, 且f(m)=-2,则f(8+m)= ( )
-1-log (x+7),x<1
3
A.-16 B.16 C.24 D.26
答案 D 若m≥1,则f(m)=3m-1-1=-2,即3m-1=-1,方程无解;若m<1,则f(m)=-1-log(m+7)=-2,即log(m+7)=1,解
3 3
得m=-4.∴f(8+m)=f(4)=34-1-1=26.故选D.北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
5.(2020课标Ⅲ,9,5分)已知2tan θ-tan( π)=7,则tan θ=( )
θ+
4
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案 D 2tan θ-tan( π)=2tan θ-tanθ+1=7,整理可得tan2θ-4tan θ+4=0,∴tan θ=2.故选D.
θ+
4 1-tanθ
6.(2022届河南驻马店月考,12)三棱锥S-ABC的各个顶点都在球O的表面上,且△ABC是等边三角形,SA⊥底
面ABC,SA=4,AB=6.若点D在线段SA上,且AD=3SD,则过点D的平面截球O所得截面的最小面积为( )
A.3π B.4π C.8π D.13π
2 √3
答案 A 设△ABC外接圆的圆心为G,连接AG,OG,则外接圆半径AG= ×6× =2√3,取SA的中点E,连
3 2
接OE,OD,OA,则OE⊥SA.由SA=4,AD=3SD,得AE=2,DE=1,∴OD= = ,
√(2√3)2+12 √13
设三棱锥S-ABC的外接球的半径为R,则R= =4,则过点D的平面截球O所得截面圆的最小
√(2√3)2+22
半径为 = ,∴过点D的平面截球O所得截面的最小面积为π·( )2=3π.故选A.
√42-(√13)2 √3 √3
a
7.(2022届郑州外国语中学调研二,5)已知函数f(x)=x+ (a>0),则曲线y=f(x)过点P(2,0)的切线有( )
2x
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
a y
答案 C 设切点为A(x 0 ,y 0 )(x 0 ≠0),直线AP的斜率为k,则f '(x 0 )=k,由题意得f '(x 0 )=1- ,k= 0 =
2x2 x -2
0 0
a
x 0 + 2x = 2x2 0 +a ,∴1- a = 2x2 0 +a (x 0 ≠0),化简得2 x2 +ax 0 -a=0(*),Δ=a2+8a,∵a>0,∴方程(*)有两个
0 2x2-4x 2x2 2x2-4x 0
x -2 0 0 0 0 0
0
不同的解,∴曲线y=f(x)过点P(2,0)的切线有2条,故选C.北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
8.(2021山西晋中二模,7)已知点F是抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,O为坐标原点,A,B是抛物线E上的两点,满
足|FA|+|FB|=10,⃗FA+⃗FB+⃗FO=0,则p=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
p p
答案 D 设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则|FA|+|FB|=x
1
+ +x
2
+ =x
1
+x
2
+p=10①,由⃗FA+⃗FB+⃗FO=0,知⃗FA+⃗FB+
2 2
⃗FO
=(
x +x -
3p
,y + y
)=0,所以x
1
+x
2
=3p②,联立①②解得p=4,故选D.
1 2 2 1 2 2
二、多选选择题:本题共8小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的
选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,
有选错的得0分.
9.(2021届广东深圳中学达标测试,12)已知函数f(x)=xex,若x<x<0,则下列选项中正确的是( )
1 2
A.(x-x)[f(x)-f(x)]>0 B.x f(x)≤x f(x)
1 2 1 2 1 2 2 1
1
C.|f(x)-f(x)|< D.f(x)-f(x)<x-x
1 2 1 2 2 1
e
答案 CD 因为f(x)=xex,所以f '(x)=(x+1)ex,
令f '(x)>0,解得x>-1,
即f(x)在(-1,+∞)上单调递增,
令f '(x)<0,解得x<-1,
即f(x)在(-∞,-1)上单调递减,
当x<x<0时,(x-x)[f(x)-f(x)]的符号无法确定,故A错误;
1 2 1 2 1 2
f (x)
令g(x)= ,x∈(-∞,0),
x
则g(x)=ex在(-∞,0)上单调递增,
故x<x<0时,g(x)<g(x),
1 2 1 2
f (x ) f (x )
即 1 < 2 ,
x x
1 2
所以x f(x)>x f(x),故B错误;
1 2 2 1北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
1
当x=-1时,函数取得极小值f(x) =- ,
极小值 e
且当x→-∞时,f(x)→0,x→0时,f(x)→0,
1
故|f(x)-f(x)|<|f(-1)|= ,故C正确;
1 2
e
令h(x)=f(x)+x,x∈(-∞,0),
则h(x)=x(ex+1),h'(x)=ex(x+1)+1,h″(x)=ex(x+2),
当x<-2时,h″(x)<0,即h'(x)在(-∞,-2)上单调递减,
当-2<x<0时,h″(x)>0,即h'(x)在(-2,0)上单调递增,
所以h'(x)的最小值为h'(-2)=1-e-2>0,
所以h'(x)>0恒成立,即h(x)在(-∞,0)上单调增,
因为x<x<0,所以h(x)<h(x),
1 2 1 2
故f(x)+x<f(x)+x,
1 1 2 2
即f(x)-f(x)<x-x,故D正确.
1 2 2 1
10.(2021届江苏南京航空航天大学附中期中,11)已知等差数列{a}的首项为1,公差d=4,前n项和为S,则下
n n
列结论成立的是( )
A.数列{S
n
}的前10项和为100
n
B.若a,a,a 成等比数列,则m=21
1 3 m
n 1 6
∑
C.若 > ,则n的最小值为6
i=1 a i a i+1 25
1 16 25
D.若a +a=a+a ,则 + 的最小值为
m n 2 10
m n 12
答案 AB 由题意可得a=4n-3,S=2n2-n.
n n
S
n
对于A选项, =2n-1,
n
则 S n+1 - S n =2(n+1)-1-(2n-1)=2,所以数列{S n }是首项为 S 1 =a 1 =1,公差为2的等差数列,其前10项和为
n+1 n n 1
10×(10-1)
10×1+ ×2=100,所以选项A正确;
2
对于B选项,由a
1
,a
3
,a
m
成等比数列,可得
a2
=a
1
·a
m
,又a
1
=1,a
3
=1+2×4=9,所以a
m
=4m-3=81,解得m=21,所以选项
3
B正确;北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
对于C选项,因为 1 = 1 =1( 1 1 ),
-
a a (4i-3)(4i+1) 4 4i-3 4i+1
i i+1
所以
∑
n 1 =1·(
1-
1
+
1
-
1
+…+
1
-
1 )= n > 6 ,解得n>6,故n的最小值为
i=1 a i a i+1 4 5 5 9 4n-3 4n+1 4n+1 25
7,所以选项C错误;
对于D选项,由a +a=a+a ,可得4m-3+4n-3=5+37,即m+n=12,
m n 2 10
则1+16= 1 (m+n)·( 1 16)
+
m n 12 m n
= 1 ( n 16m)
1+16+ +
12 m n
≥ 1 ( √ n 16m)
17+2 ·
12 m n
1 25
= (17+8)= ,
12 12
n 16m
当且仅当 = ,
m n
12 48
即m= ,n= 时,取等号,
5 5
25
又因为m,n∈N*,所以最小值不为 ,所以选项D错误.故选AB.
12
11.(2021届山东开学质量检测,12)如图,在直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,AA
1
=AC=2,AB=3,∠BAC=90°,点D,E分
EC DC
别为线段BC,BC上的动点(不含端点),且 = ,则下列说法正确的是( )
1 B C BC
1
A.ED∥平面ACC
1
B.四面体A-BDE的体积是定值
√13
C.异面直线BC与AA 所成角的正切值为
1 1
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4
D.二面角A-EC-D的余弦值为
13
答案 ACD 在直三棱柱ABC-ABC 中,四边形BCCB 是矩形.
1 1 1 1 1
EC DC
对于A,∵
B C
=
BC
,∴ED∥B
1
B,又∵B
1
B∥A
1
A,∴ED∥A
1
A,又∵ED⊄平面ACC
1
,AA 1⊂平面ACC
1
,∴ED∥平面
1
ACC,A项正确.
1
EC DC ED EC DC ED
对于B,∵ED∥B
1
B,∴
B C
=
BC
=
B B
,不妨令
B C
=
BC
=
B B
=k(0<k<1),∴ED=kB
1
B,DC=kBC,又
1 1 1 1
AB·AC
∵B
1
B⊥平面ABC,∴ED⊥平面ABC,∴ED⊥BC,又A到平面DCC
1
的距离即为A到BC的距离d= =
BC
3×2 6√13 1 1 1 1 1
= ,∴四面体A-BDE的体积V = ·S ·d= × BD·DE·d= (BC-CD)·DE·d= (BC-
√13 13
A-BDE
3
△BDE
3 2 6 6
1 6√13
kBC)·kBB· d= (1-k)·k·√13×2× =2k(1-k)不是定值.因此B不正确.
1
6 13
对于C,∵A
1
A∥B
1
B,∴B
1
C与AA
1
所成角为∠CB
1
B(或其补角),在Rt△B
1
BC中,B
1
B=2,BC=√13,∴tan∠BB
1
C=
BC √13
= ,∴C项正确;
B B 2
1
对于D,二面角A-EC-D即二面角A-BC-B,以A为原点,分别以 , , 的方向为x,y,z轴的正方向建
1 ⃗AB⃗AC ⃗A A
1
立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,2,0),B(3,0,2),∴ =(3,0,2), =(-3,2,0), =(-3,2,-2),设平面ABC的法向量为
1 ⃗AB ⃗BC ⃗B C 1
1 1
{m·⃗AB =0, { 3x+2z=0, {z=-3,
m=(x,y,z),则 1 即 令x=2,则 则m=(2,0,-3).
m·⃗B C=0, -3x+2y-2z=0, y=0,
1北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
{n·⃗BC=0, {-3x +2y =0,
设平面BB 1 C的法向量为n=(x 1 ,y 1 ,z 1 ),则 即 1 1 令x 1 =2,得n=(2,3,0),
n·⃗B C=0, -3x +2y -2z =0,
1 1 1 1
2×2 4
故二面角A-EC-D的余弦值为 = ,因此D正确.综上可知,选ACD.
√13×√13 13
x2 y2
12.(2020山东日照一模,12)已知双曲线 - =1(n∈N*),不与x轴垂直的直线l与双曲线右支交于点B,C(B
n n
在x轴上方,C在x轴下方),与双曲线渐近线交于点A,D(A在x轴上方),O为坐标原点,下列选项中正确的为(
)
A.|AC|=|BD|恒成立
1
B.若S = S ,则|AB|=|BC|=|CD|
△BOC
3
△AOD
C.△AOD面积的最小值为1
D.对每一个确定的n,若|AB|=|BC|=|CD|,则△AOD的面积为定值
答案 ABD 设l:y=kx+b,代入x2-y2=n得(1-k2)x2-2bkx-b2-n=0,①
显然k≠±1,Δ=4b2k2+4(1-k2)(b2+n)>0,即b2+n(1-k2)>0,
设B(x,y),C(x,y),则x,x 是方程①的两个根,
1 1 2 2 1 2
有x+x= 2kb ,xx=-(b2+n),
1 2 1 2
1-k2 1-k2
设A(x,y),D(x,y),
3 3 4 4
{y=kx+b, b
由 得x= ,
y=x, 3 1-k
{y=kx+b, -b
由 得x= ,
y=-x, 4 1+k
2kb
所以x+x= ,
3 4 1-k2
所以AD和BC的中点重合,
所以|AB|=|CD|,所以|AC|=|BD|恒成立.故A正确.北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
1 1
因为S = S ,所以|BC|= |AD|,
△BOC
3
△AOD
3
又|AB|=|CD|,所以|AB|=|BC|=|CD|,故B正确.
因为|AB|=|BC|=|CD|,
1
所以|BC|= |AD|,
3
1
得√1+k2|x
1
-x
2
|= √1+k2 |x
3
-x
4
|,
3
9n
即b2= (k2-1)>0,
8
所以k2>1,
又|OA|= | b |,|OD|= | b |,∠AOD=90°,
√2 √2
1-k 1+k
1 | b2 | 9n
所以S = |OA||OD|= = 是定值.故D正确.
△AOD
2 1-k2 8
设直线l的方程为x=ty+m,t∈(-1,0)∪(0,1),m>1,
{x=ty+m, m
由 得y= ,
y=x 3 1-t
由{x=ty+m,得y=-m ,|OA|= | m |,
4 √2
y=-x 1+t 1-t
|OD|= | m |,∠AOD=90°,
√2
1+t
所以S =1|OA||OD|= m2 >m2>1,故C错误.故选ABD.
△AOD
2 1-t2
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
x2 y2
13.(2019课标Ⅲ,15,5分)设F,F 为椭圆C: + =1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MFF 为
1 2 1 2
36 20
等腰三角形,则M的坐标为 .
答案 (3,√15)北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
解析 不妨设F
1
,F
2
分别是椭圆C的左,右焦点,由M点在第一象限,△MF
1
F
2
是等腰三角形,知|F
1
M|=|F
1
F
2
|,又
x2 y2
由椭圆方程 + =1,知|FF|=8,|FM|+|FM|=2×6=12,所以|FM|=|FF|=8,所以|FM|=4.设M(x,y)
1 2 1 2 1 1 2 2 0 0
36 20
{(x +4)2+ y2=64,
(x>0,y>0),则 0 0
0 0
(x -4)2+ y2=16,
0 0
解得x=3,y=√15,即M(3,√15).
0 0
14.(2021山西长治二中月考,16)已知数列{a
n
}各项均为正数,S
n
为其前n项和.若
a2
-a
n
a
n+1
-2
a2
=0,a
1
=1,则S
7
=
n+1 n
.
答案 127
解析 ∵ a2 -a n a n+1 -2 a2 =0,
n+1 n
∴(a -2a)(a +a)=0.
n+1 n n+1 n
又数列{a}各项均为正数,∴a +a>0,
n n+1 n
∴a -2a=0,即a =2a,
n+1 n n+1 n
∴数列{a}是以a=1为首项,2为公比的等比数列,
n 1
1-27
∴S= =127.
7 1-2
思路分析 根据 a2 -a n a n+1 -2 a2 =0化简得(a n+1 -2a n )·(a n+1 +a n )=0,根据数列{a n }各项均为正数可得a n+1 -2a n =0,即
n+1 n
证得数列{a}为等比数列,利用等比数列的前n项和公式即可得所求.
n
15.(2020课标Ⅰ文,15,5分)曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为 .
答案 y=2x
1 1
解析 设f(x)=ln x+x+1,则f '(x)= +1.设切点为(x,y),由题意知f '(x)=2,即 +1=2,解得x=1,所以y=2,所
x 0 0 0 x 0 0
0
以切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
16.(2022届云南大理模拟,15)在一次数学探究活动中,某手工制作小组利用硬纸板做了一个如图所示的几何
模型,北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
底面ABCD为矩形,AB=4√2,BC=4,半圆面APD⊥底面ABCD.经研究发现,当点P在半圆弧AD(不含A,D点)
上运动时,四棱锥P-ABCD的外接球始终保持不变,则该外接球的体积为 .
答案 32√3π
解析 由题意得△PAD为直角三角形,
取AD的中点G,连接GP,则GA=GD=GP,
连接BD,取BD的中点O,连接OG,OP,则OG⊥AD,
∵平面APD⊥平面ABCD,且平面APD∩平面ABCD=AD,OG⊂平面ABCD,∴OG⊥平面PAD,易得O到四棱锥
P-ABCD各顶点的距离相等,
∴O为四棱锥P-ABCD的外接球的球心,
1 1 4
设外接球的半径为R,则R= BD= ×√32+16=2√3,∴外接球的体积为 π(2√3)3=32√3π.
2 2 3
四、解答题:本题共六小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
17.(2022届北京一七一中学10月月考,16)已知等比数列{a}的各项均为正数,a=8,a+a=48.
n 2 3 4
(1)求数列{a}的通项公式;
n
(2)设b=loga 证明:{b}为等差数列,并求{b}的前n项和S.
n 4 n n n n
解析 (1)设等比数列{a}的公比为q,依题意知q>0,
n
∵a=8,a+a=48,∴aq=8,aq2+aq3=48,
2 3 4 1 1 1
a
即8q+8q2=48,解得q=2或q=-3(舍),∴a= 2 =4,
1
q
∴数列{a}的通项公式为a=a·qn-1=2n+1.
n n 1
n+1
(2)由(1)得b=loga=log2n+1=(n+1)·log2= ,
n 4 n 4 4
2
n+2 n+1 1 1
∵b -b= - = ,∴数列{b}是首项为1,公差d= 的等差数列,
n+1 n n
2 2 2 2
n(n-1) n2+3n
∴S=nb+ d= .
n 1 2 4
18. (2022届北京牛栏山一中10月月考,18)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
且满足asin C=√3ccos A.
(1)求角A;
(2)若已知a=√3,求△ABC周长l的最大值.
解析 (1)因为asin C=√3ccos A,
所以sin Asin C=√3sin Ccos A,
因为C∈(0,π),所以sin C≠0,
sin A
所以sin A=√3cos A,即tan A= =√3,
cosA
π
因为A∈(0,π),所以A= .
3
1
(2)由余弦定理得3=b2+c2-2bc· ,
2
所以b2+c2-bc=3,即(b+c)2-3bc=3,
1 1
所以 (b+c)2-1=bc≤ (b+c)2,当且仅当b=c=√3时,等号成立,所以b+c≤2√3,所以△ABC的周长l=a+b+c≤√3
3 4
+2√3=3√3,故△ABC周长l的最大值为3√3.
19.(2022届成都蓉城名校联盟联考一,18)书籍是精神世界的入口,阅读让精神世界闪光,阅读逐渐成为许多人
的一种生活习惯,每年4月23日为世界读书日.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况,
通过随机抽样调查了100位年轻人,对这些人每天的阅读时间(单位:分钟)进行统计,得到样本的频率分布直
方图,如图所示.
(1)根据频率分布直方图,估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数x(单位:分钟,同一组数据用该组数据区
间的中点值表示);
(2)若年轻人每天阅读时间X近似地服从正态分布N(μ,100),其中μ近似为样本平均数x,求P(64<X≤94);
(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式,研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60),
[60,70),[80,90)的年轻人中抽取10人,再从中任选3人进行调查,求抽到每天阅读时间位于[80,90)的人数ξ的
分布列和数学期望.北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
参考数据:若X~N(μ,δ2),则①P(μ-δ<X≤μ+δ)≈0.682 7;②P(μ-2δ<X≤μ+2δ)≈0.954 5;③P(μ-3δ<X≤μ+3δ)≈0.997 3.
解析 (1)根据频率分布直方图得x=(55×0.010+65×0.020+75×0.045+85×0.020+95×0.005)×10=74.
(2)由题意知μ=74,δ=10,X~N(74,100),
0.682 7+0.954 5
所以P(64<X≤94)=P(μ-δ<X≤μ+2δ)≈ =0.818 6.
2
(3)由于每天阅读时间位于分组[50,60),[60,70)和[80,90)的频率之比为1∶2∶2,故抽取的10人中位于这三组的人
数分别为2,4,4,
C3
1
C2C1
1
C1C2
3
C3
随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3,P(ξ=0)= 6 = ,P(ξ=1)= 6 4= ,P(ξ=2)= 6 4= ,P(ξ=3)= 4
C3 6 C3 2 C3 10 C3
10 10 10 10
1
= ,ξ的分布列为:
30
ξ 0 1 2 3
1 1 3 1
P
6 2 10 30
1 1 3 1 6
∴E(ξ)=0× +1× +2× +3× = .
6 2 10 30 5
20.(2022届成都蓉城名校联盟联考一,20)已知椭圆E:x2 +y2
=1(a>b>0)的长轴长与短轴长之比为2,过点
a2 b2
P(0,2√5)且斜率为1的直线与椭圆E相切.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点T(2,0)的直线l与椭圆E交于A,B两点,与直线x=8交于H点,若⃗HA=λ⃗AT,⃗HB=λ⃗BT.证明:λ+λ
1 2 1 2
为定值.
{ y=x+2√5,
a x2 y2
解析 (1)由题意知, =2,a=2b,切线方程为y=x+2 √5 .设椭圆方程为 + =1,联立得 x2 y2
b 4b2 b2 + =1,
4b2 b2
x2 y2
整理得5x2+16√5x+80-4b2=0,则Δ=0,即(16√5)2-20(80-4b2)=0,则b2=4,∴椭圆方程为 + =1.
16 4北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
(2)由题意知,直线l的斜率一定存在.当直线l的斜率为零时,易得λ+λ=0;当直线l的斜率不为零时,设直线
1 2
l:x=ty+2(t≠0),A(x,y),B(x,y),联立{ x=ty+2, 得(t2+4)y2+4ty-12=0,则y+y= -4t ,yy= -12 ,直线
1 1 2 2 1 2 1 2
x2+4 y2=16, t2+4 t2+4
l:x=ty+2,令x=8,则y= 6 ,即H 8, 6 .∵ ⃗HA =( x -8,y - 6), ⃗AT =(2-x 1 ,-y 1 ), ⃗HA =λ 1⃗AT ,∴
t t 1 1 t
{x
1
-8=λ
1
(2-x
1
),
6 6 6 6 6(y + y )
6 ∴1- =-λ 1 ,同理可得,1- =-λ 2 ,∴-λ 1 -λ 2 =1- +1- =2- 1 2 =2-
y - =-λ y , t y t y t y t y t y y
1 t 1 1 1 2 1 2 1 2
-24t t2+4
· =0.综上,λ+λ=0.
t2+4 -12t 1 2
21.(2020课标Ⅱ,20,12分)如图,已知三棱柱ABC-ABC 的底面是正三角形,侧面BBCC是矩形,M,N分别为
1 1 1 1 1
BC,BC 的中点,P为AM上一点.过BC 和P的平面交AB于E,交AC于F.
1 1 1 1
(1)证明:AA 1∥MN,且平面A
1
AMN⊥平面EB
1
C
1
F;
(2)设O为△A
1
B
1
C
1
的中心.若AO∥平面EB
1
C
1
F,且AO=AB,求直线B
1
E与平面A
1
AMN所成角的正弦值.
解析 (1)证明:因为M,N分别为BC,B
1
C
1
的中点,所以MN∥CC
1
.又由已知得AA 1∥CC
1
,故AA 1∥MN.
因为△A
1
B
1
C
1
是正三角形,所以B
1
C 1⊥A
1
N.
又B
1
C 1⊥MN,A
1
N∩MN=N,故B
1
C 1⊥平面A
1
AMN.又B
1
C 1⊂平面EB
1
C
1
F,所以平面A
1
AMN⊥平面EB
1
C
1
F.
