北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
9.4 抛物线及其性质
一、选择题
1.(2022届河南温县一中月考,12)双曲线C:x2-y2=1和抛物线C:y2=2px相交于点M,N,若△OMN的外接圆经
1 2
过点A(7
,0
),则抛物线C
2
的方程为( )
2
3
A.y2= x B.y2=x C.y2=x D.y2=4x
2
答案 A 由题意,易知OA是△OMN的外接圆的直径,所以圆的圆心为(7 ),半径为7,所以圆的方程为
,0
4 4
7
{ x2+ y2- x=0,
(
x-
7) 2 +y2=(7) 2 ,即x2+y2-7x=0.由 2 解得{x=2, 或{ x=2, 不妨令M(2,
√3
4 4 2 x2- y2=1, y=√3 y=-√3.
x>0,
3 3
),N(2,-√3),将M或N的坐标代入抛物线的方程得3=4p,p= ,所以抛物线的方程为y2= x.故选A.
4 2
2.(2021长春第二次质检,10)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点A(2,y),F为焦点,直线FA交抛物线的准线于点
0
M,满足2⃗FA=⃗AM,则抛物线方程为( )
A.y2=8x B.y2=16x
C.y2=24x D.y2=32x
p
答案 C 由题意知,抛物线的准线方程为x=- ,过点A作准线的垂线,垂足为B,由抛物线的定义,得|AB|=|
2
p
p p |AB| 2 2+ 2
AF|=x + =2+ ,设准线与x轴的交点为C,因为2⃗FA=⃗AM,所以 = ,即 2 = ,解得p=12,所以
A 2 2 |FC| 3 3
p
抛物线的方程为y2=24x,故选C.北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
一题多解 由题意知,抛物线的焦点为F(p ),准线方程为x=-p,由2 = 得,A是线段FM上靠近
,0 ⃗FA ⃗AM
2 2
点F的三等分点,所以M( p ),所以 =( p ),又 =( p ),所以2
- ,3 y ⃗AM - -2,2y ⃗FA 2- ,y
2 0 2 0 2 0
( p)=-p-2,解得p=12,所以抛物线的方程为y2=24x,故选C.
2-
2 2
3.(2022届河南开封月考,5)一种卫星接收天线如图(1)所示,其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫
星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点F处,如图(2)所示.已知接收天线的口
径AB为4.8 m,深度为1 m.若P为接收天线上一点,则点P与焦点F的最短距离为( )
图(1)
图(2)
A.0.72 m B.1.44 m C.2.44 m D.2.88 m
答案 B 在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系,使接收天线的顶点与原点重合,焦点在x轴上,如
图所示.设抛物线方程为y2=2px(p>0),由题知,点A(1,2.4)在抛物线上,所以(2.4)2=2p,解得p=2.88.则点P与焦点
p
F的最短距离为 =1.44 m.故选B.
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4.(2022届江西景德镇一中月考,9)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过抛物线上一点A作l的垂线,
9√2
垂足为B.设C(2p,0),AF与BC相交于点D.若|CF|=|AF|,且△ACD的面积为 ,则p的值为( )
2
A.√2 B.2√2 C.√3 D.2√3
答案 D 如图,由题知F(p ),C(2p,0),
,0
2
3p p 3p
则|CF|= .∵AB∥x轴,|CF|=|AF|=|AB|,∴四边形ABFC为平行四边形,∴|CD|=|BD|.由|AB|=x + = ,解得
A
2 2 2
1 1 1 3p 9√2
x =p,代入y2=2px可得y =√2p,∴S = S = × × ×√2p= ,解得p=2√3.故选D.
A A △ACD 2 △ABC 2 2 2 2
5.(2022届云南玉溪月考,7)已知直线l过抛物线C:y2=x的焦点,并交抛物线C于A,B两点,|AB|=2,则弦AB中
点G的横坐标是( )
3 4 3
A. B. C. D.1
2 3 4
1
答案 C 如图,由题意可得抛物线的准线m的方程为x=- ,过点G作GD⊥m于点D,过A,B分别作AA'⊥m
4
1 1
于点A',BB'⊥m于点B',则|AA'|+|BB'|=|AB|=2,因为弦AB的中点为G,所以|GD|= (|AA'|+|BB'|)= |AB|=1,所以
2 2
1 3
点G的横坐标是1- = ,故选C.
4 4北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
π
6.(2020贵州4月适应性测试,9)已知抛物线C:y2=2px(p>0),倾斜角为 的直线交C于A,B两点.若线段AB中
6
点的纵坐标为2√3,则p的值为( )
1
A. B.1 C.2 D.4
2
答案 C 根据题意,设直线AB的方程为x=
y+m,由{x=√3 y+m,
得y2-2 py-2pm=0,设
√3 √3
y2=2px
y + y
A(x,y),B(x,y),则y+y=2√3p,∴ 1 2 =√3p=2√3,解得p=2,故选C.
1 1 2 2 1 2
2
y - y π √3 {y2=2px ,
一题多解 设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则y
1
+y
2
=4√3 ,且 1 2=tan = ,由 1 1 得(y
1
+y
2
)(y
1
-
x -x 6 3 y2=2px
1 2 2 2
y 2 )=2p·(x 1 -x 2 ),由题意知x 1 ≠x 2 ,∴(y 1 +y 2 )· y 1 - y 2=2p,即4 √3 ×√3=2p,解得p=2,故选C.
x -x 3
1 2
7.(2021豫北六校1月联考,5)已知圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则圆C的圆心的轨迹为( )
A.双曲线 B.椭圆 C.直线 D.抛物线
答案 D 由题意知,圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,即圆C的圆心到点(0,3)的距离与
到直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义可知,所求轨迹是抛物线,故选D.
8.(2021九师联盟第三次联考,10)已知点M(-4,-2),抛物线x2=4y,F为抛物线的焦点,l为抛物线的准线,P为抛物
线上一点,过P作PQ⊥l,点Q为垂足,过P作抛物线的切线l
1
,l
1
与l交于点R,则|QR|+|MR|的最小值为( )
A.1+2√5 B.2√5 C.√17 D.5
答案 D 由题意知F(0,1),直线l的方程为y=-1,由x2=4y,得y=x2 ,则y'= x .设P( x , x 1 2 )(x 1 ≠0),则过P的
4 2 1 4
x 2
1
切线l
1
的斜率k=
2
,连接FQ,因为PQ⊥l,所以Q(x
1
,-1),所以k
FQ
=-
x
,所以k
FQ
·k=-1,所以FQ⊥l
1
,连接
1北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
PF,RF,MF,由抛物线的定义知,|PF|=|PQ|,所以直线l 是线段FQ的垂直平分线,所以|RF|=|RQ|,所以|QR|+|MR|=|
1
RF|+|MR|≥|MF|= =5,当且仅当M,R,F三点共线时等号成立,故选D.
√(-4-0)2+(-2-1)2
9.(2021长春第一次质检,10)已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点(点A在第
一象限),且⃗AB=4⃗FB,则直线l的倾斜角为( )
π π π 2π
A. B. C. D.
6 4 3 3
答案 C 解法一:由题意知,抛物线的焦点为F(p
,0
),设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)(y
1
>0,y
2
<0),则
⃗AB
=(x
2
-x
1
,y
2
-y
1
),
2
{ ( p)
⃗FB =( x - p ,y ),因为⃗AB =4⃗FB ,所以 x 2 -x 1 =4 x 2 - 2 , 即 {x 1 =2p-3x 2 , 结合
2 2 2 y =-3 y ,
y - y =4 y , 1 2
2 1 2
{y2=2px , { y 1 =√3p, y - y 2p
1 1 解得 √3 所以直线l的斜率k= 1 2= = √3 ,所以直线l的倾斜角为
y2=2px , y =- p, x -x y + y
2 2 2 3 1 2 1 2
π
,故选C.
3
解法二:设抛物线的准线为l',如图,过A,B分别作AM⊥l',BN⊥l',垂足分别为M,N,过点B作BC⊥AM于C,则由
3 1
抛物线的定义知|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.因为⃗AB=4⃗FB,所以|AF|= |AB|,|FB|= |AB|,所以|AC|=|AM|-|BN|=|
4 4
1 π π π
AF|-|FB|= |AB|,所以在Rt△ABC中,∠ABC= ,∠BAC= ,因为AM∥x轴,所以∠AFx=∠BAC= ,所以直线l
2 6 3 3
π
的倾斜角为 ,故选C.
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解法三:因为⃗AB=4⃗FB,所以⃗AF=3⃗FB,所以|⃗AF|>|⃗FB|,又点A在第一象限,所以直线AB的倾斜角θ为锐
p p p 3p 1 π
角,由焦点弦的性质知|AF|= ,|BF|= ,∴ = ,解得cos θ= .∴θ= .
1-cosθ 1+cosθ 1-cosθ 1+cosθ 2 3
二、填空题
10.(2022届湘豫名校联盟11月联考,13)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点P(4,4)在C上,则|PF|=
.
答案 5
p
解析 将点P(4,4)代入抛物线C:x2=2py,解得p=2,即抛物线方程为x2=4y.所以|PF|=4+ =5.
2
11.(2022届河南平顶山月考,16)抛物线C:x=2py2(p>0)的焦点F到准线的距离为2,过点F的直线与C交于
|AF|
A,B两点,C的准线与x轴的交点为M,若△MAB的面积为3√2,则 = .
|BF|
1
答案 2或
2
1 1
解析 抛物线C:x=2py2(p>0)化为标准形式为y2= x(p>0).∵抛物线的焦点F到准线的距离为2,∴ =2,
2p 4 p
1
即p= ,∴抛物线方程为y2=4x,焦点F(1,0).∵过点F的直线与C交于A,B两点,∴设直线AB的方程为
8
x=my+1,与抛物线方程联立得,y2-4my-4=0.设A(x,y),B(x,y),不妨设A点在x轴上方,B点在x轴下方.则
1 1 2 2
y+y=4m,yy=-4,|AB|= · = =4·(1+m2).设点M到直
1 2 1 2 √1+m2 √(y + y )2-4 y y √1+m2√16m2+16
1 2 1 2
线AB的距离为d,则d= |-1-1| = 2 .∴S =1|AB|·d=1×4(1+m2)· 2 =4 =3 ,解
△MAB √m2+1 √2
√m2+1 √m2+1 2 2 √m2+1北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
{x =2,
得m2=1,∴m=±√2.当m=√2时,y 1 +y 2 = √2 ,y 1 y 2 =-4,解得 {y 1 =2√2, 此时 1 1 ∴|AF|=x 1 +1=3,|BF|
8 4 4 y =-√2, x = ,
2 2 2
{ 1
=x 2 +1=3,∴ |AF| =2.当m=-√2时,y 1 +y 2 =- √2 ,y 1 y 2 =-4,解得 { y 1 =√2, 此时 x 1 = 2 , ∴|AF|=x 1 +1=3,|
2 |BF| 4 y =-2√2, 2
2 x =2,
2
|AF| 1
BF|=x+1=3,∴ = .
2 |BF| 2
三、解答题
12.(2022届广西开学考,20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M为抛物线C上一点,|MF|=8,且∠OFM=
2π
(O为坐标原点).
3
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,求△AOB面积的最小值.
解析 (1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(p ),准线方程为x=-p,过点M作准线的垂线,垂足为N,过
,0
2 2
点M作x轴的垂线,垂足为D,如图,
由题意得|MF|=|MN|=p+|MF|·cos 60°,即8=p+4,解得p=4,故抛物线C的方程为y2=8x.
(2)焦点F(2,0),由题意知直线l斜率不为0,设直线l方程为x=ty+2,由{x=ty+2,
消去x得y2-8ty-16=0,设
y2=8x,
2
A(x,y),B(x,y),则有y+y=8t,yy=-16,|AB|= |y-y|,又坐标原点到直线l的距离d= ,所以
1 1 2 2 1 2 1 2 √1+t2 1 2
√1+t2
